青海西宁市2025-2026学年第二学期末调研测试卷高一数学

西宁市2025～2026学年第二学期末调研测试卷 高一数学 注意事项： 1．本试卷满分150分，考试时间120分钟． 2．本试卷为试题卷，不允许作为答题卷使用，答题部分请在答题卡上作答，否则无效． 3．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场、座位号填写在答题卡上，同时将学校、姓名、准考证号、考场填写在本试卷上． 4．选择题用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑（如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号）．非选择题用0.5毫米的黑色签字笔答在答题卡相应的位置，书写工整，字迹清晰． 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求． 1．下列统计量中，能度量样本离散程度的是 A．中位数 B．平均数 C．标准差 D．众数 2．投壶是从先秦延续至清末的汉民族传统礼仪和宴饮游戏，在春秋战国时期较为盛行．如图为一幅唐朝的投壶图，甲、乙是唐朝的两位投壶游戏参与者，假设甲、乙每次投壶时，投中的概率均为0.6且投壶结果互不影响．若甲、乙各投壶1次，则只有一个人投中的概率为 A．0.6 B．0.48 C．0.36 D．0.24 3．已知复数z满足，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，满足，，则在上的投影向量为 A． B． C． D． 5．某网店2025年全年的月收支数据如图所示，则针对2025年这一年的收支情况，下列说法中正确的是 A．月收入的最大值为90万元，最小值为10万元 B．这一年的总利润超过400 C．这12个月利润的中位数与众数均为30 D．11月份的利润最大 6．在矩形中，E，F分别为，的中点，G为中点，则 A． B． C． D． 7．如图①所示，圆锥绣球是虎耳草科绣球属植物，在中国主要分布于西北、华东、华南、西南等地区，抗虫害能力强，其花序硕大，类似于圆锥形，因此得名．现将某圆锥绣球近似看作如图②所示的圆锥模型，已知，直线与圆锥底面所成角的余弦值为，则该圆锥的表面积为 A． B． C． D． 8．在日常生活中，我们常常会看到两个人共提一个行李包的情景，若行李包所受的重力为G，两个拉力分别为，，且，与夹角为，当两人拎起行李包时，下列结论正确的是 A． B．当角越大时，用力越省 C．当时， D．当时， 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知复数z在复平面内对应的向量，则下列关于复数z的说法正确的是 A． B．z的虚部为 C． D．若复数满足，则在复平面内对应的点的集合是圆环 10．设内角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列条件能判定为等腰三角形的是 A． B． C． D． 11．如图，等边三角形的边长为2，边上的高为，沿把三角形折起，则 A．在折起的过程中始终有平面 B．三棱锥的体积的最大值为 C．当时，点A到的距离为 D．当时，点D到平面的距离为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．若复数（其中i为虚数单位）为纯虚数，则实数m的值为__________． 13．如图是一个古典概型的样本空间及事件A和B，其中，，，，则__________． 14．2026年“五一”假期，山西应县木塔推出数字沉浸式体验空间，既弥补游客无法登塔遗憾，又为木塔建立毫米级精度数字档案，为科学修复提供依据，成为文化遗产保护国际示范案例．宁寿塔位于西宁市北山顶，是明代古塔，也是“北山烟雨”景观核心．受应县木塔“数字分身”做法启发，某校数学实践小组为保护该遗产开展数学探究活动，用无人机进行航拍测量．无人机在距水平地面30米的同一高度上先后悬停于A，B两点．记塔顶为P，在B点测塔顶P的俯角为．已知A，B两点间的水平距离为米，且水平面上，（其中Q为塔顶P在无人机所在水平面上的垂直投影点），则宁寿塔的高度为__________米． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分）长方体中，，，E，F，M分别为棱，，的中点． （1）证明：E，C，，F四点共面； （2）证明：平面平面． 16．（15分）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． （1）若，求的面积； （2）若，求周长的最大值． 17．（15分）青海塔拉滩光伏园区是全球单体规模最大的光伏电站．截至2026年，通过生态修复与产业发展同步推进，园区累计治理沙化土地近60万亩，带动周边2300多户牧民增收．工作人员调查了100户牧民的家庭年增收额（单位：万元），得到如下频数分布表： 增收额分组 户数 a 24 b 21 14 （1）已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33％，求a，b的值；估计该样本的第三四分位数（结果保留一位小数）； （2）从样本中增收额不低于5万元的牧户中，工作人员按照分层随机抽样方法抽取了5户进行深度调研．现从这5户中随机抽取2户参加一场座谈会，求抽取的2户增收额都在万元内的概率； （3）估计园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量． 18．（17分）已知，，，O是坐标原点． （1）若点A，B，M三点共线，求t的值； （2）当t取何值时，取到最小值？并求出最小值． （3）若，Q为线段（含端点）上的动点，求的取值范围． 19．（17分）如图所示，平面四边形中，，，，将其沿对角线折成四面体，使平面平面． （1）求证：平面平面； （2）求二面角的大小； （3）若四面体的顶点在同一个球面上，求该球的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $西宁市2025一2026学年第二学期末调研测试卷 高一数学参考答案及评分意见 一、选择题 题号 2 3 4 6 7 8 答案 C B A 4 C D B C 二、选择题 (注意：部分选对的，选项为2个每个3分，选项为3个每个2分。) 题号 9 10 11 答案 ACD BD ACD 三、填空题 12.-1; 1 14.15 四、解答题（每题只提供一种方法，如有不同方法，可按评分意见酌情给分） 15.证明：(1)连接EF,EC,D1F,A1B, 在长方体ABCD-AB1C1D1中， B .AD1∥BC,AD1=BC, ∴.所以四边形ADCB是平行四边形， 则DC∥AB,… 1分) .在△AAB中，点E,F分别为棱AB,AA1的中点， .EF∥AB,… (2分) ∴.EF∥DC, (3分) E,C,D,F四点共面. (5分) (2)连接EM,FM,AD1,AC 由(1)知EF∥D1C, 又EF4平面ACD1,D,CC平面ACD1, EF∥平面ACD,… (7分) E,M分别为棱AB,BC的中点， .EM/∥AC,… (8分) 又EM平面ACD1,ACC平面ACD1, .EM∥平面ACD1, (10分) 又EF∩EM=E,EFC平面EFM,EMC平面EFM, .平面EFM∥平面ACD1.… (13分) 16.解：(1)因为角A为△ABC内角，则0<A<π， 已知aM=5,所以A=子， (2分) AB.AC=IABI IACICosA =2, 所以AB1IAC1=4,… (5分) 则△MC的面积S=分4 ARHIACI1siM=7x4×=,3 …(7分)》 (2)已得A=写，又a=3, 由余弦定理a2=b2+c2-2 bcosA 得9=b2+c2-bc … (8分) 则9=(b+c)2-3bc (11分) ≥(6+e)2-3()2 (13分) =4(6+e)2 即(b+c)2≤36 所以b+C≤6，当且仅当b=c时取等号，… (14分) 所以△ABC周长的最大值为9.… (15分) 17.解：(1)已知调查的100户牧民中增收额低于4万元的占比为33% 所以品-品解得a=9, (1分) b=100-9-24-21-14=32,… (2分) 由频数分布表可知 9+24+32=65<75, 9+24+32+21=86>75 所以第三四分位数在区间[5,6)内，… (3分) 5+3-8-5.5: 则第三四分位数为5.5万元 …(5分) (2)根据分层轴样[5,6)和[6,7]的频数比为品=是， 则深度调研的5户在[5,6)和[6,7]中分别选取3人和2人，…（6分) 分别设为a1,a2,a3,和b1,b2, 则随机抽取2户参加一场座谈会的样本空间2包含的样本点有a1a2,a1a3,a1b1, a1b2,a23,a2b1,a2b2,a3b1,a3b2,b1b2,共10个， 即n(2)=10,…(9分) 记事件A=“2户增收额都在[6,7]万元”，则事件A包含的样本点有bb2, 即n(A)=1,… (10分) 所以P(A)=n(A=1 n(2)-10 (11分) (③)因为样本中增收额不低于5万元的频率为0=0.35， (13分) 所以园区周边增收的2300户牧户中增收额不低于5万元的牧户数量为 2300×0.35=805户.… (15分) 18.解：(1)A=0-0i=(0,4)-(2,0)=(-2,4), AM=0M-0A=(t,t)-(2,0)=(t-2,t), 因为A,B,M三点共线， 所以AB与AM共线，即AM=入AB(X∈R),…(2分) |t-2=-2入 所以 ............4 (3分) t=4入 解得1=子 (4分) (2)Mi=(2-t,-t),MB=(-t,4-t), (5分) MA.MB=-t(2-t)-t(4-t) =2t2-6t -24-32-号 (7分) 所以当=号时， (8分) M·M诹得最小值-是 (9分) (3)由题意，设A0=mA店=(-2m,4m),m∈[0,1]，…(10分) 而0d=0A+A0=(-2m+2,4m), 即Q(-2m+2,4m),… (12分) 又P(-2,0),所以P0=(-2m+4,4m), (13分) 1PQ12=1P012=(-2m+4)2+(4m)2 =20m2-16m+16 =20(m-号+ , (14分) 因为me[0,1], 所以当m=号时PO1产有最小值， (15分) 当m=1时1PQ12有最大值20，… (16分) 所以1PQP的取值范围为，20]， 故1P01的取值范园为8g5,25 (17分) 3 19.(I)证明：·平面A'BD⊥平面BCD,平面A'BD∩平面BCD=BD, CD⊥BD,CDC平面BCD, .CD⊥平面A'BD; …(3分）B 又CDC平面A'CD, ∴.平面A'CD⊥平面A'BD… (4分) (2)獬：在△ABD中，AB=AD=1,BD=√2， .△ABD为等腰直角三角形，则AB⊥AD, 即A'B⊥A'D,… (5分) 由(1)知CD⊥平面A'BD, 又A'BC平面A'BD, .CD⊥A'B,… (6分) 又A'D∩CD=D,A'DC平面A'CD,CDC平面A'CD .A'B⊥平面A'CD,… .. (7分) 又A'CC平面A'CD A'B⊥A'C (8分) 又A'DC平面A'BD,A'CC平面A'CD, .∠CA'D为二面角C-A'B-D的平面角. (9分) 又由(1)知CD⊥平面A'BD,A'DC平面A'BD, .CD⊥A'D, 已知CD=A'D=1, .△A'CD为等腰直角三角形… (11分) .∴.∠CA'D=45°；… (12分)》 (3)解：由(2)知A'B⊥A'C,A'C=2 则△A'BC为直角三角形，且BC=√3 取BC的中点O, 则0A'=0B=0C= 2 已知BD⊥CD,则△BCD也为直角三角形， 则0D=8c=9, 2 所以点0为四面体A'BCD的外接球的球心，外接球半径为号 …(15分) 2. (17分)