1.1集合的概念与表示第1课时课件- 2026-2027学年高一上学期数学北师大版必修第一册

该高中数学课件聚焦集合的概念，涵盖集合与元素的定义、元素与集合的属于关系、常见数集及符号表示，通过“开学教育通知”情境导入，以“对象是否构成集合”的问题链搭建从具体到抽象的学习支架，帮助学生理解集合元素的确定性、互异性和无序性。 其亮点在于以数学抽象和逻辑推理为核心，通过情境实例、典型例题（如判断集合构成、元素与集合关系应用）及分层训练（基础巩固、综合运用、拓展探究），引导学生从现实问题中抽象数学概念，培养逻辑思维。学生能在辨析中深化理解，教师可借助系统资源提升教学效率。

第一课时　集合的概念 新课程标准解读 核心素养 1.通过实例，了解集合的含义，理解元素与集合的 属于关系 数学抽象、逻辑 推理 2.针对具体问题，能在自然语言和图形语言的基础 上，用符号语言刻画集合 数学抽象 目录 数学·必修第一册（BSD） 目录 基础知识·重落实 01 典型例题·精研析 02 知能演练·扣课标 03 基础知识·重落实 01 课前预习 必备知识梳理 目录 目录 　　9月1日上午，学校通知：全体高一学生下午6点钟开始在班级进 行开学教育，之后偶数班去一楼大厅领取数学教辅书《三维设计》. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）这些对象能构成一个集合吗？ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 【问题】　（1）这个通知的对象有哪些？ 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点一　集合与元素 1. 集合 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 元素 提醒　一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说集合中的元 素没有重复. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 同一个集合 只要构成两个集合的元素 ，无关顺序，我们就称这两个集 合是同一个集合. 提醒　集合中的元素具有三个特性：①确定性：作为一个集合中的 元素，必须是确定的，不确定的对象不能构成集合；②互异性：对 于一个给定的集合，集合中的元素一定是不同的；③无序性：构成 集合的元素无先后顺序之分. 【想一想】 某班所有的高个子男生能否构成一个集合？ 相同　 提示：某班所有的高个子男生不能构成集合，因为高个子男生没有 明确的标准. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点二　元素与集合的关系 关系 概念 记法 读法 属 于 如果元素 a 集合 A 中，就说元素 a ⁠集合 A ⁠ a 属于集合 A 不 属 于 如果元素 a 集合 A 中，就说元素 a 不属于集合 A ⁠ a 不属于集合 A 在　 属于　 a ∈ A 　 不在　 a ∉ A 　 提醒　符号“∈”“∉”只能用在元素与集合之间，表示元素与集合 之间的从属关系，注意开口方向. 目录 数学·必修第一册（BSD） 知识点三　常见的数集及符号表示 数集 自然数 集 正整数 集 整数集 有理数 集 实数集 正实数 集 符号 ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ ⁠ 【想一想】 N与N＋（N*）有何区别？ 提示：N＋（N*）是所有正整数组成的集合，而N是由0和所有的正整 数组成的集合，所以N比N＋（N*）多一个元素0. N　 N＋或N*　 Z　 Q　 R　 R＋　 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 判断正误.（正确的画“√”，错误的画“×”） （1）我校今年入学的爱好数学的学生可以组成一个集合. （　×　） （2）元素1，2，3和元素3，2，1组成的集合是同一个集合. （　√　） （3）0是自然数. （　√　） （4）单词“Good”的构成字母组成的集合中有4个元素. （　×　） × √ √ × 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 方程 x2－1＝0所有实数解组成的集合中共有 个元素. 解析：由 x2－1＝0，得 x ＝±1，故集合中共有2个元素1和－1. 3. 用“∈”或“∉”填空： N； －3 Z； Q； R. 2　 ∉　 ∈　 ∉　 ∈　 目录 数学·必修第一册（BSD） 典型例题·精研析 02 课堂互动 关键能力提升 目录 目录 题型一 集合的基本概念 【例1】　（1）（多选）下列所给对象能构成集合的是（　AD　） AD A. 平面直角坐标系内到原点的距离等于1的点 B. 高中数学必修第一册课本上的所有难题 C. 比较接近1的整数的全体 D. 某校高一年级的16岁以下的学生 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：A中的对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“到原点的 距离等于1的点”；B、C中的对象不能构成集合，因为“难题”“比 较接近1”的标准不明确，所以元素不确定，故不能构成集合；D中的 对象能构成集合，因为有确定标准，元素是“某校高一年级的16岁以 下的学生”，故选A、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）集合 P 中含有两个元素1和4，集合 Q 中含有两个元素1和 a2，若 P ＝ Q ，则 a ＝ ⁠. 解析：由题意得 a2＝4，即 a ＝±2. ±2　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 1. 判断一组对象能构成集合的条件 （1）能找到一个明确的标准，使得对于任何一个对象，都能确定 它是不是给定集合的元素； （2）任何两个对象都是不同的； （3）对元素出现的顺序没有要求. 2. 判断两个集合是同一个集合的注意点 若两个集合是同一个集合，则这两个集合的元素相同，但是要注意 其中的元素不一定按顺序对应相等. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）下列各组对象能组成集合的是（　　） A. 大于6的所有整数 B. 高中所有学习好的同学 C. 被3除余2的所有整数 解析：　选项A、C、D中的元素符合集合中元素的确定性；而选项B中，“学习好”没有明确标准，不符合集合中元素的确定性，不能构成集合. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 设 a ， b 是两个实数，集合 A 中含有0， b ， 三个元素，集合 B 中 含有1， a ， a ＋ b 三个元素，且集合 A 与集合 B 是同一个集合，则 a ＋2 b ＝ ⁠. 解析：由题意知 a ＋ b ＝0，所以 ＝－1，所以 b ＝1， a ＝－1，所 以 a ＋2 b ＝1. 1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型二 元素与集合的关系 【例2】　（1）下列五个关系中，正确的个数为（　C　） ① ∈R；② ∉Q；③｜－3｜∉N；④－ ∈Z. A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 解析：由于 ∈R，－ ∈Z， 是无理数，故①②④正确，因为｜ －3｜＝3是自然数，所以③错误.故选C. C 目录 数学·必修第一册（BSD） （2）若集合 A 中的元素 x 满足 ∈N， x ∈N，则集合 A 中的元素 为 ⁠. 解析：由题意可得 x 为自然数，所以 可以为6，3，2，因此 x 的值为2，1，0.因此 A 中元素为2，1，0. 2，1，0　 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 判断元素与集合关系的2种方法 （1）直接法：如果集合中的元素直接给出，只要判断该元素在已知 集合中是否出现即可； （2）推理法：对于一些没有直接表示的集合，只要判断该元素是否 满足集合中元素所具有的特征即可，此时应首先明确已知集合 中的元素具有什么特征. 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. （多选）由不超过5的实数组成集合 A ， a ＝ ＋ ，则（　　） A. a ∈ A B. a2∈ A D. a ＋1∈ A 解析：　 a ＝ ＋ ＜ ＋ ＝4＜5，所以 a ∈ A . a ＋1 ＜ ＋ ＋1＝5，所以 a ＋1∈ A ， a2＝（ ）2＋2 × ＋ （ ）2＝5＋2 ＞5，所以 a2∉ A ， ＝ ＝ ＝ － ＜5，所以 ∈ A . 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 用∈，∉填空： 已知集合 A 中的元素 x 是被3除余2的整数，则有：17 A ，－5 ⁠ A . 解析：由题意可设 x ＝3 k ＋2， k ∈Z，令3 k ＋2＝17，得 k ＝5∈Z. 所以17∈ A . 令3 k ＋2＝－5，得 k ＝－ ∉Z. 所以－5∉ A . ∈　 ∉　 目录 数学·必修第一册（BSD） 题型三 集合中元素特性的应用 【例3】　已知集合 A 含有三个元素 a －2，2 a2＋5 a ，12，且－3∈ A ，求 a 的值. 解：因为－3∈ A ，所以 a －2＝－3或2 a2＋5 a ＝－3，解得 a ＝－1或 a ＝－ . 当 a ＝－1时， a －2＝－3，2 a2＋5 a ＝－3，不满足集合元素的互异 性，所以舍去. 当 a ＝－ 时，经检验，符合题意.故 a ＝－ . 目录 数学·必修第一册（BSD） 【母题探究】 1. （变设问）本例集合 A 中含有三个元素，实数 a 的取值是否有 限制？ 解：有限制. 由元素的互异性可得 解得 所以实数 a 不能取四个值：14， ，－4，－1. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. （变设问）本例集合 A 中能否只有一个元素？ 解：若该集合中只有一个元素，则有 a －2＝2 a2＋5 a ＝12. 由 a －2＝12，解得 a ＝14，此时2 a2＋5 a ＝2×142＋5×14＝ 462≠12.所以该集合中不可能只含有一个元素. 目录 数学·必修第一册（BSD） 通性通法 根据集合中元素的特性求参数取值的3个步骤 目录 数学·必修第一册（BSD） 【跟踪训练】 1. 已知集合 S 中的三个元素 a ， b ， c 是△ ABC 的三条边长，那么△ ABC 一定不是（　　） A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形 解析：　因为集合中的元素必须是互异的，所以三角形的三条边 长两两不相等，故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 已知集合 A 中含有三个元素1， a ， a －2，且3∈ A ，则实数 a 的值 为（　　） A. 3 B. 5 C. 3或5 D. 无解 解析：　因为3∈ A ，所以 a －2＝3或 a ＝3.当 a －2＝3，即 a ＝5 时，满足题意；当 a ＝3时， a －2＝1，不满足集合中元素的互异 性，故舍去.综上可得 a 的值为5，故选B. 目录 数学·必修第一册（BSD） 1. 下列说法正确的是（　　） A. 某班中年龄较小的同学能够组成一个集合 C. 不超过20的非负数组成一个集合 D. 方程（ x －1）（ x ＋1）2＝0的所有实数解组成的集合中有3个元素 解析：　A项中元素不确定.B项中两个集合元素相同，因为集合 中的元素具有无序性，所以两个集合是同一个集合.D项中方程的 实数解分别是 x1＝1， x2＝ x3＝－1.由互异性知，构成的集合含2个 元素. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 若 a ， b ， c ， d 为集合 A 的四个元素，则以 a ， b ， c ， d 为边长构 成的四边形可能是（　　） A. 矩形 B. 平行四边形 C. 菱形 D. 梯形 解析：　由集合中的元素具有互异性可知 a ， b ， c ， d 互不相 等，而梯形的四条边可以互不相等，故选D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. （多选）下列说法正确的有（　　） A. N与N＋是同一个集合 B. N中的元素都是Z中的元素 C. Q中的元素都是Z中的元素 D. Q中的元素都是R中的元素 解析：　因为N＋表示正整数集，N表示自然数集，Z表示整数 集，Q表示有理数集，R表示实数集，所以A、C中的说法不正确， B、D中的说法正确，故选B、D. 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 已知集合 P 中元素 x 满足： x ∈N，且2＜ x ＜ a ，又集合 P 中恰有三 个元素，则整数 a ＝ ⁠. 解析：∵ x ∈N，2＜ x ＜ a ，且集合 P 中恰有三个元素，易知 a ＝6. 5. 已知集合 A 中含有两个元素 a －3和2 a －1，若－3∈ A ，则实数 a 的 值为 ⁠. 解析：若－3＝ a －3，则 a ＝0，此时集合 A 中含有两个元素－3， －1，符合题意；若－3＝2 a －1，则 a ＝－1，此时集合 A 中含有两 个元素－4，－3，符合题意.综上所述，实数 a 的值为0或－1. 6　 0或－1　 目录 数学·必修第一册（BSD） 知能演练·扣课标 03 课后巩固 核心素养落地 目录 目录 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 1. (2025高一上·临海月考)下列元素所组成的总体，能表示集合的是（　　） A．高一年级打篮球好的学生 B．高一年级比较难的学科 C．高一年级所有男生 D．高一年级写字好的学生 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　A、打篮球好的学生标准不明确，对象不确定，高一年级打篮球好的学生不能形成集合，故A不符合； B、比较难的学科，比较难标准不明确，则高一年级比较难的学科不能形成集合，故B不符合； C、高一年级所有男生，对象明确可知，是确定的，能形成集合，故C符合； D、写字好标准不明确，则高一年级写字好的学生不能形成集合，故D不符合. 故答案为：C. 目录 数学·必修第一册（BSD） 2. 下列对象能构成集合的是（　　） ①所有很高的山峰；②方程 x2＋3 x －4＝0的实根；③所有小于10 的自然数；④ cos 60°， sin 45°， cos 45°. A. ①② B. ②③ C. ①④ D. ③④ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 解析：　对于①，“所有很高的山峰”没有一个明确的标准去判 断哪座山峰是很高的，不符合集合中元素的确定性，“所有很高的 山峰”不能构成集合；对于②，方程 x2＋3 x －4＝0在实数范围内 的解是－4，1，是确定的，“方程 x2＋3 x －4＝0的实根”能构成 集合；对于③，小于10的自然数是0，1，2，3，4，5，6，7，8， 9，是确定的，“小于10的自然数” 能构成集合；对于④，因 cos 60°＝ ， sin 45°＝ ， cos 45°＝ ，即 sin 45°与 cos 45°相 同，不符合集合中元素的互异性，“ cos 60°， sin 45°， cos 45°”不能构成集合.故选B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 3. 设集合 A 含有两个元素 x ， y ， B 含有两个元素0， x2，若 A ＝ B ， 则 x ＋ y ＝（　　） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 解析：　由题意得 x ≠0，即得故 x ＋ y ＝1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 4. 已知集合 A 中元素满足2 x ＋ a ＞0， a ∈R. 若1∉ A ，2∈ A ，则实数 a 的取值范围为 ⁠. 解析：因为1∉ A ，2∈ A ，所以即－4＜ a ≤－2. －4＜ a ≤－2　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 5. 设集合 A 含有－2，1两个元素， B 含有－1，2两个元素，定义集 合 A ☉ B ，满足 x1∈ A ， x2∈ B ，且 x1 x2∈ A ☉ B ，则 A ☉ B 中所有 元素之积为（　　） A. －8 B. －16 C. 8 D. 16 解析：　集合 A ☉ B 中有2，－4，－1三个元素，故所有元素之 积为8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 6. 设 P ， Q 为两个非空实数集合， P 中含有0，2，5三个元素， Q 中 含有1，2，6三个元素，定义集合 P ＋ Q 中的元素是 a ＋ b ，其中 a ∈ P ， b ∈ Q ，则 P ＋ Q 中元素的个数是 ⁠. 解析：若 a ∈ P ， b ∈ Q ，则 a ＋ b 的取值分别为1，2，3，4，6， 7，8，11，则组成的集合 P ＋ Q 中有8个元素. 8　 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 目录 数学·必修第一册（BSD） 谢 谢 观 看！ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 $