精品解析：山东省菏泽市定陶区2024-2025学年八年级下学期期末考试数学试题

八年级数学期末样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟 2．请将答案填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于直线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 点，在图象上，当时， C 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过定点 4. 已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（ ） … 1 3 … … 2 … A. 6 B. C. 2 D. 5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 直线经过点和点，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 若将直线向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 不经过第一象限 C. 平移后的直线可看作二元一次方程 D. 与轴交于点 8. 已知，矩形中，，，为线段中点，线段在线段上移动，且，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 10. 如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11 已知，则______． 12. 若代数式有意义，则的取值范围是_______． 13. 已知一次函数的函数值随的增大而减小，那么对应的函数图像不经过第______象限． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为______． 15. 甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）如图所示，①两人到达终点的时间相差5分钟；②本次比赛全程12千米；③比赛开始24分钟时两人第一次相遇；④第36分钟两人第二次相遇．以上结论正确的是______． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 17. 如图所示的是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为和． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于原点成中心对称的线段，并写出点的坐标； （3）请直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 18 （1）计算：． （2）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 20. 如图，是一块正方形土地，在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这土地分成面积相等的四部分．除了连接正方形的两条对线或两组对边的中点外，你还有什么方案？请画出图形，并说明理由． 21. 如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（a，0）、（0，b），且（a﹣3）2+=0． （1）求出点A、B、C的坐标； （2）若过点C的直线CD交矩形OABC的边于点D，且把矩形OABC的面积分为1：4两部分，求直线CD的解析式． 22. 某商店计划购买两种教具共200个，购进教具的数量不超过教具数量的2倍．已知教具的进价为30元／个，教具的进价为20元／个，教具售价为45元／个，教具的售价为30元／个． （1）求最多购进教具多少个？ （2）求售完这批教具可以获得的最大利润是多少？ （3）如果教具的进价上调元，教具的进价不变，但限定教具的数量不少于教具的数量，两种教具的售价均不变．该商店将购进的两种教具全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出的值． 23. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学期末样题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间120分钟 2．请将答案填写在答题卡上 一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个选项符合题目要求． 1. 二十四节气是中国劳动人民独创的文化遗产，能反映季节的变化，指导农事活动．下面四副图片分别代表“芒种”“白露”“立夏”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的定义，掌握中心对称图形的定义是解题的关键． 根据中心对称图形的定义，即可判断答案． 【详解】解：根据中心对称图形的定义，分别判断如下： A：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； C：把图形绕着某一个点旋转180°，旋转后的图形不能够与原来的图形重合，所以该图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D：符合中心对称图形的定义，所以该图形是中心对称图形，故该选项符合题意．   故选：D ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式运算、求立方根、算术平方根，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据二次根式运算法则和求立方根、算术平方根的规则进行判断即可． 【详解】解：A：，故该选项不符合题意； B：，故该选项不符合题意； C：，同类二次根式可直接合并，故该选项符合题意； D：，故该选项不符合题意． 故选：C． 3. 关于直线，下列说法错误的是（ ） A. 图象与轴交于点 B. 点，在图象上，当时， C. 图象经过第一、二、四象限 D. 图象经过定点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象的性质，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据一次函数图象的性质逐一分析各选项的正确性． 【详解】解：A：当时，，故图象与轴交于，正确，故该选项不符合题意； B：当时，对于函数，随的增大而减小，，故，正确，故该选项不符合题意； C. 当时，，直线经过第一、三、四象限，不经过第二象限，错误，故该选项符合题意； D. 将代入函数，，故图象恒过定点，正确，故该选项不符合题意． 故选：C． 4. 已知是的一次函数，与之间的部分对应值如表所示，则的值为（ ） … 1 3 … … 2 … A. 6 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查待定系数求函数解析式，求函数值．根据一次函数的定义，设解析式为，利用已知两组对应值求出和，得到该函数解析式，再代入计算． 【详解】解：设该一次函数解析式为， ∵当时，；当时，， ∴，解得， ∴该一次函数解析式为， 当时，， ∴． 故选：D． 5. 如图，在平面直角坐标系中，边长为4的正方形的边在轴上，边的中点是坐标原点，将正方形绕点按逆时针方向旋转后，点的对应点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质、坐标与图形的性质、旋转的性质，正确的识别图形是解题的关键． 根据旋转可得：，，可得的坐标． 【详解】解：如图所示： 由旋转得：，， ∵四边形是正方形，且是的中点， ∴， ∴，即．   故选：B ． 6. 直线经过点和点，直线经过点，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与不等式之间的关系，掌握一次函数与不等式之间的关系是关键． 根据函数图象找到直线的函数图象在直线的图象下方时，自变量的取值范围即可得到答案． 【详解】解：如图所示： 由条件可知点是直线与直线的交点， ∴由函数图象可知，当直线的函数图象在直线的图象下方时， 则的取值范围为， ∴不等式的解集为．   故选：A ． 7. 若将直线向上平移3个单位长度，则关于平移后的直线，下列描述正确的是（ ） A. 随的增大而减小 B. 不经过第一象限 C. 平移后的直线可看作二元一次方程 D 与轴交于点 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查一次函数图象的平移，一次函数的图象及性质．根据一次函数图象的平移规律得到新直线的解析式，再根据一次函数图象及性质逐一分析各选项是否正确即可． 【详解】解：向上平移3个单位，得到． A：平移后的直线随的增大而增大，故本选项描述错误； B：平移后的直线经过第一、二、三象限，故本选项描述错误； C：平移后的直线可整理为，与选项中的不符，故本选项的描述错误； D：对于直线，令，得，则直线与轴交于点，故本选项的描述正确． 故选：D 8. 已知，矩形中，，，为线段中点，线段在线段上移动，且，连接，则的最小值为（ ） A. 10 B. C. 12 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，平移的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握性质的解题的关键．作E关于的对称点，连接，，将向左平移两个单位，使C到达点，由可知G落在F点，可知的最小值为，根据矩形的性质结合中点的定义求出，，根据勾股定理计算即可． 【详解】解：如图，作E关于的对称点，连接，，将向左平移两个单位，使C到达点，由可知G落在F点， ∴， ∴当、、三点共线时，取得最小值，最小值为； ∵矩形中，，，为线段中点， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 故选：A． 9. 如图（1），在平面直角坐标系中，矩形在第一象限，且轴，直线沿轴正方向平移，在平移过程中，直线被矩形截得的线段长为，直线在轴上平移的距离为，、间的函数关系图象如图（2）所示，那么矩形的面积为（ ） A. B. C. 8 D. 10 【答案】C 【解析】 【分析】根据平移的距离可以判断出矩形BC边的长，根据的最大值和平移的距离可以求得矩形AB边的长，从而求得面积 【详解】如图：根据平移的距离在4至7的时候线段长度不变， 可知图中, 根据图像的对称性，， 由图（2）知线段最大值为，即 根据勾股定理 矩形的面积为 故答案为：C 【点睛】本题考查了矩形的面积计算，一次函数图形的实际意义，勾股定理，一次函数的分段函数转折点的意义；正确的分析函数图像，数形结合解决实际问题是解题的关键． 10. 如图所示，在中，，将绕顶点逆时针旋转得到，点是的中点，点是的中点，连接．若，，则线段长度的最小值是（ ） A. B. C. 2 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是三角形三边关系的应用． 根据勾股定理求出，然后由三角形三边关系进行计算． 【详解】解：由，，， 得：， 旋转得到，是的中点，是的中点， 得：，， ∴．   故选：B ． 二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分． 11. 已知，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方根，把两边同时平方，可得：，根据平方根的定义可知． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 12. 若代数式有意义，则的取值范围是_______． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查分式有意义的条件及二次根式有意义的条件，要使分式有意义，分母不为0，要使二次根式有意义，被开方数为非负数，据此列不等式求解即可得答案． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴且， 解得：且． 故答案为：且 13. 已知一次函数的函数值随的增大而减小，那么对应的函数图像不经过第______象限． 【答案】三 【解析】 【分析】根据一次函数的函数值随的增大而减小，得到，得到，从而得到，从而得到图象分布第二，一，四象限，解答即可． 本题考查了一次函数的性质及其图象分布，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据一次函数的函数值随的增大而减小， 得到，得到， 从而得到， 从而得到图象分布第二，一，四象限， 故图象不经过第三象限． 故答案为：三． 14. 如图，在平面直角坐标系中，矩形两边与坐标轴重合，，．将矩形绕点逆时针旋转，每次旋转，第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位．则变换后得到的点对应点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系内坐标的变化规律，旋转和平移的性质，先根据矩形的性质可知，再作出旋转后的图形，进而找到点的坐标规律即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴将矩形绕点逆时针旋转，如图， 可知：，，，， ， 则每旋转次则回到原位置， ∴， 即第次旋转结束时，完成了次循环，与的位置相同 ， ∵第次旋转结束后，再将所得矩形向下平移个单位， ∴变换后得到的点对应点的坐标为， 故答案为：． 15. 甲、乙两名选手在一次自行车越野赛中，路程（千米）随时间（分钟）变化的图象（全程）如图所示，①两人到达终点的时间相差5分钟；②本次比赛全程12千米；③比赛开始24分钟时两人第一次相遇；④第36分钟两人第二次相遇．以上结论正确的是______． 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的应用，用待定系数法求函数的表达式是解题的关键． ①．由图象即可得出答案；③．先求出线段所在直线的解析式，将代入，即可得出答案；②．先求出乙的速度，再根据路程速度时间，即可得出答案；④．分别求出线段所在直线的解析式和线段所在直线的解析式，联立方程组即可得出答案． 【详解】解：①．两人到达终点的时间相差为（分钟），故本选项符合题意； ③．设线段所在直线的解析式为， 将，代入， 即， 解得：， 则线段所在直线解析式为， 当时，， 解得：． 故比赛开始24分钟时第一次相遇，故本选项符合题意； ②．乙的速度为， 则本次比赛全程为（千米），故本选项符合题意； ④．设线段所在直线的解析式为， 将，分别代入， 即， 解得：， 则线段所在直线的解析式为， 设线段所在直线的解析式为， 将代入，即， 解得：， 则线段所在直线的解析式为， 联立， 解得：， 即第38分钟两人第二次相遇，故本选项不符合题意． 故选：①②③． 三、解答题：本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（）先进行二次根式的乘除法运算，再利用二次根式的性质化简后合并即可； （）利用平方差和完全平方公式展开，再合并即可； 本题考查了二次根式的混合运算，掌握二次根式的运算法则和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 如图所示的是边长为1的小正方形组成的方格，线段的端点在格点上，建立平面直角坐标系，使点的坐标分别为和． （1）画出该平面直角坐标系； （2）画出线段关于原点成中心对称的线段，并写出点的坐标； （3）请直接写出以点为顶点的平行四边形的第四个顶点的坐标． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析， （3）点的坐标为或或 【解析】 【分析】本题主要考查了平面直角坐标系中点的坐标的特征，平行四边形的判定，作图-旋转变换，熟练掌握各性质是解题的关键． （1）根据其中一个点的坐标，即可确定原点位置，建立坐标系即可； （2）根据中心对称的性质，即可画出线段； （3）根据平行四边形的性质即可画出图形即可得出答案． 【小问1详解】 解：点的坐标分别为和，建立坐标系如下图： 【小问2详解】 如图所示，线段即为所求，； 【小问3详解】 如图，点的坐标为或或． 18. （1）计算：． （2）解不等式，并写出它的所有非负整数解． 【答案】（1） （2），它的非负整数解为 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算，解不等式组； （1）先化简括号里面的，再合并同类二次根式，最后算除法即可； （2）按解不等式的步骤计算即可． 【详解】解：（1） ； （2）， 去分母得， 去括号得， 移项合并同类项得， 系数化1得， ∴它的非负整数解为． 19. 如图所示，在平面直角坐标系中，点在直线上，过点的直线交轴于点． （1）求的值和直线的函数表达式； （2）若点在线段上，点在直线上． 求： ①的范围； ②的最大值． 【答案】（1）， （2）； 【解析】 【分析】（1）待定系数法解答即可； （2）①根据A，B的横坐标，解答即可． ②用含t的代数式表示出，根据一次函数的增减性确定最值即可． 本题考查了待定系数法，一次函数的性质，熟练掌握待定系数法，性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：把代入，得． 设直线的函数表达式为，把，代入，得 解得 直线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：①点在线段上， ． 故的范围； ②解：点在直线上， ， ． ， 随t的增大而减小， 当，的最大值为． 20. 如图，是一块正方形的土地，在这块土地上修建两条笔直的、互相垂直的小路，把这土地分成面积相等的四部分．除了连接正方形的两条对线或两组对边的中点外，你还有什么方案？请画出图形，并说明理由． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题主要考查正方形的性质和全等三角形的判定和性质，根据题意得到正方形中，过中心的两条垂直线段把正方形平均分成四份，再根据全等三角形和正方形的性质证明即可； 【详解】解：过正方形的对称中心．任意作两条互相垂直的直线，，分别交，于点E，G．交，于点H，F，则与可作为小路的位置．如图所示，理由如下： 将四边形，，，的面积分别记为正方形的面积记为S． 因为经过正方形的对称中心．所以四边形与四边形全等． 所以， 同理，所以， 连接， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴． 在和中， ，，， ∴． 同理． ∴， ∴， 即和把正方形分成面积相等的四部分． 21. 如图，矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（a，0）、（0，b），且（a﹣3）2+=0． （1）求出点A、B、C的坐标； （2）若过点C的直线CD交矩形OABC的边于点D，且把矩形OABC的面积分为1：4两部分，求直线CD的解析式． 【答案】（1）A（3，0）B（3，5）C（0，5）；（2）①y=﹣x+5，②y=﹣x+5． 【解析】 【分析】（1）根据平方与算术平方根的和为0，可得平方与算术平方跟同时为0，可得a、b的值，根据矩形，可得点A、B、C的坐标； （2）根据面积的比，可得D点的坐标，但要分S△ODC=3 ，S△CBD=3这两种情况，根据待定系数法求解析式，可得答案． 【详解】解：（1）由（a﹣3）2+=0． 可知（a﹣3）2+|b﹣5|=0， ∴a=3 b=5， ∵矩形OABC中，O为直角坐标系的原点，A、C两点的坐标分别为（a，0）、（0，b）， ∴A（3，0）B（3，5）C（0，5）； （2）S矩形OABC=OA•OC=3×5=15 由题意知CD分矩形OABC的两部分面积为3和12 ①CD与OA交于点D S△ODC=3 即•OD•OC=3 OD=， 即D（，0）C（0，5） y=﹣x+5 ②CD与AB交于点D S△CBD=3 ×3×BD=3 BD=2 即D（3，3） y=﹣x+5． 【点睛】本题考查了一次函数的综合题，（1）发现平方、根式的非负性，求出a、b的值是解答此题的关键；（2）先根据面积的比求出D点的坐标，再发现需要分情况讨论是解决此题关键． 22. 某商店计划购买两种教具共200个，购进教具的数量不超过教具数量的2倍．已知教具的进价为30元／个，教具的进价为20元／个，教具售价为45元／个，教具的售价为30元／个． （1）求最多购进教具多少个？ （2）求售完这批教具可以获得的最大利润是多少？ （3）如果教具的进价上调元，教具的进价不变，但限定教具的数量不少于教具的数量，两种教具的售价均不变．该商店将购进的两种教具全部卖出后获得的最大利润是2399元，请求出的值． 【答案】（1）最多购进教具133个 （2）售完这批教具可以获得的最大利润是2665元 （3）2 【解析】 【分析】（１）设购进教具x个，则购进教具个，根据题意，得，解不等式，求整数解即可． （２）设售完这批教具可以获得的总利润为y元，则，整理后，利用一次函数的性质解答即可． （3）根据题意，分类解答即可． 本题考查了不等式应用，一次函数性质的应用，熟练掌握解不等式，一次函数的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购进教具x个，则购进教具个， 根据题意，得， 解得， 又为正整数， 的最大值为133． 答：最多购进教具133个． 【小问2详解】 解：设售完这批教具可以获得的总利润为y元，则， 即， ，随x的增大而增大， 当时，取得最大值，最大值为（元）． 答：售完这批教具可以获得的最大利润是2665元． 【小问3详解】 解：根据题意，得， 解得， 又，且为正整数， 且x整数． 当时，， 即， ， 随x的增大而增大， 当时，y取得最大值， 此时， 解得； 当时，， 即，不符合题意，舍去； 当时，， 即， ， 随x的增大而减小， 当时，取得最大值，此时， 解得（不符合题意，舍去）． 的值为2 23. 一副三角板分别记作和，其中，，，．作于点，于点，如图1． （1）求证：； （2）在同一平面内，将图1中的两个三角形按如图2所示的方式放置，点与点重合记为，点与点重合，将图2中的绕按顺时针方向旋转后，延长交直线于点． ①当时，如图3，求证：四边形为正方形； ②当时，写出线段，，的数量关系，并证明；当时，直接写出线段，，的数量关系． 【答案】（1）证明见解析 （2）①证明见解析；②当时，线段，，的数量关系为；当时，线段，，的数量关系为； 【解析】 【分析】（1）利用等腰直角三角形与含30度角的直角三角形的性质可得结论； （2）①证明，，可得，证明，可得四边形为矩形，结合，即， 而，可得，从而可得结论；②如图，当时，连接，证明，可得，结合，可得；②如图，当时，连接，同理，结合，可得 【小问1详解】 证明：设， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：①∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴四边形为矩形， ∵，即， 而， ∴， ∴四边形正方形； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ②如图，当时，连接， 由（1）可得：，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； 【点睛】本题考查的是等腰直角三角形的性质，含30度角的直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线的性质，正方形的判定，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，锐角三角函数的应用，作出合适的辅助线是解本题的关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $