精品解析：福建省福州市仓山区福州现代中学2025-2026学年第二学期数学学科七年级期末考试卷

2025-2026学年第二学期数学学科七年级期末考试卷 （完卷时间：120分钟，总分：150分） 一、选择（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图是兰州市今年9月份一周的气温图，以下叙述不正确的是（ ） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 6. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 9. 如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 二、填空（每小题4分，共24分） 11. 为了了解某市10000名中学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______． 12. 如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 13. 若代数式的值不大于，则的最大整数解是 _____． 14. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 15. 如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 16. 已知a、b、c为三个非负数，且满足，，，则S的取值范围是________． 三、解答（共86分） 17. 解方程组： 18. 如图，，．求证：． 19. 学校举办数学知识竞赛，共25道题，每题都给出3个答案，只有一个答案正确，每题选对得4分，不选或错选倒扣2分，初赛不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少对了多少道题？ 20. 在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 21. 某校为了解八年级学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（A：；B：；C：；D：；E：），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请解答下列问题： （1）分组的组距为________，本次调查共抽取学生为：________ （2）求扇形统计图中D组扇形对应的百分比；补全频数分布直方图； （3）若该校八年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校八年级体重超过的学生大约有多少名？ 22. 已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： （1）若方程组的解满足，求a的取值范围． （2）若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 23. 根据题意，完成下列各题 （1）证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） （2）在中，若，求证：． 24. 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间．对于解集取中间的不等式组（比如：，，，），我们规定其“有限距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“有限点”．例如：的“有限距离”，“有限点”为． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． （1）不等式组的“有限距离”；“有限点”为___________； （2）若不等式组的“有限距离”，求m的取值范围； （3）若（2）中的不等式组恰有2个“有限点”，直接写出m的取值范围：____________ 25. 点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． （1）如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； （2）如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期数学学科七年级期末考试卷 （完卷时间：120分钟，总分：150分） 一、选择（每小题4分，共40分） 1. 下列方程是二元一次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A选项，中的次数为2，不符合二元一次方程的定义； B选项，含3个未知数，不符合二元一次方程的定义； C选项，中的次数为2，不符合二元一次方程的定义； D选项，满足所有条件，符合二元一次方程的定义． 2. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】将不等式系数化为1求得其解集，再根据“大于向右，小于向左，包括端点用实心，不包括端点用空心”的原则即可判断答案． 【详解】解：， 则， 不等式的解集在数轴上表示如下：． 3. 下列长度的三条线段能组成三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的三边关系，若两条较短边的和大于最长边，即可组成三角形，据此逐一判断选项即可． 【详解】解：A选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； B选项：，满足三角形的三边关系，能组成三角形，符合要求； C选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求； D选项：，不满足两边之和大于第三边，不能组成三角形，不符合要求． 4. 已知，下列不等式一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的基本性质， 根据不等式的基本性质逐一分析选项． 【详解】解：因为， 两边乘以负数时，不等号方向改变，得， 所以A不成立； 因为， 不等式两边加同一个数，不等号方向不变，得， 所以B成立； 因为， 两边除以正数时，不等号方向不变，得， 所以C不成立； 因为， 当和为负数时，例如，，此时但，不成立， 所以D不符合题意． 故选：B． 5. 如图是兰州市今年9月份一周的气温图，以下叙述不正确的是（ ） A. 该周星期五气温最高 B. 该周星期五到星期日气温持续降低 C. 该周星期二的气温与星期四的气温一样高 D. 该周气温最低为 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了折线统计图，根据折线图分别判断即可． 【详解】解：A、根据折线图，该周星期五气温最高，故A选项不符合题意； B、根据折线图，该周星期五到星期日气温持续降低，故B选项不符合题意； C、该周星期二的气温与星期四的气温一样高，故C选项不符合题意； D、该周气温最低为，故D选项符合题意． 故选：D． 6. 下面四个图形中，线段能表示的高的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的高线， 根据三角形的高线的定义解答即可.从三角形的一个顶点向对边作垂线，顶点和垂足之间的线段是三角形的高线． 【详解】过点B作边上的垂线，B与垂足之间线段长即为高，只有B选项符合，而A、C、D都没有作的垂线，故错误． 故选：B． 7. 如图，在中，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点E，过点E作交于点F．若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的画法，平行线的性质，三角形的内角和定理，根据题意可得平分，可求得，利用平行线的性质，即可解答，熟知角平分线的画法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得平分，又，， ， ， ， 故选：A． 8. 用5张大小、形状完全相同的长方形纸片在平面直角坐标系中摆成如图所示的图案，已知点B的坐标为，若每个长方形的长为x，宽为y，则可列出方程组（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及坐标与图形性质，每个长方形的长为x，宽为y，根据点B的坐标，列出关于x、y的二元一次方程组即可． 【详解】解：根据题意得：， 故选：C． 9. 如图，和均为的外角，的平分线所在直线与的平分线相交于点，与的平分线相交于点，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，三角形形内角平分线，三角形外角性质，由三角形外角的性质和对顶角相等可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；角平分线的定义，三角形外角的性质，根据角平分线的定义和平角判定选项； 由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定； 利用三角形外角的性质可得，结合 可判定；熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，故A项错误，符合题意； ∵平分，平分， ∴，， ∴, ∵， ∴，即，故B正确，不符合题意； ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，故C正确，不符合题意； ∵， ∴， ∵， ∴，故D正确，不符合题意； 故选：． 10. 如图，在中，平分，于点，的面积为，，，则的长是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作于点，利用角平分线的性质得出，再根据即可求解． 【详解】解：过点作于点， ∵平分，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． 二、填空（每小题4分，共24分） 11. 为了了解某市10000名中学生的睡眠时间情况，在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是______． 【答案】500 【解析】 【分析】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的定义，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．据此求解即可． 【详解】解：在该市范围内随机抽取500名学生进行调查，这次抽样调查的样本容量是500． 故答案为：500． 12. 如图，已知，，即可证明，全等的依据是________．（用字母表示） 【答案】 【解析】 【分析】利用即可证明． 【详解】解：∵， ∴和为直角三角形， 在和中， ， ∴， 则全等的依据是． 13. 若代数式的值不大于，则的最大整数解是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意列出不等式，求出解集确定出的最大整数解即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得：， 则的最大整数解是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了求一元一次不等式的整数解，熟练掌握解一元一次不等式的方法及注意事项是解题的关键． 14. 如图，已知方格纸中是9个相同的小正方形，则的度数为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用全等的性质求网格中的角度，三角形外角的性质，等腰直角三角形的性质，得出是解题的关键．观察图形可知与所在的直角三角形全等，则，根据外角的性质卡得，即可求解． 【详解】解：观察图形可知与所在的直角三角形全等（两直角边分别为1和2）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 15. 如图，已知是的角平分线，是的高，，，________． 【答案】 【解析】 【分析】由直角三角形两个锐角互余得出，，得到，由角平分线的定义得出，最后由三角形内角和定理即可得出． 【详解】解：∵是的高，，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 16. 已知a、b、c为三个非负数，且满足，，，则S的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意先把看作已知数，分别用表示出和，让，列式求出的取值范围，再求得用表示的形式，结合的取值范围即可求得的范围． 【详解】解：，， 则 解得，， ∵、， ∴，， ∴． ∵， ∵， ∴， ∴． 即． 三、解答（共86分） 17. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】利用代入法解二元一次方程组解方程即可. 【详解】解： 由②得：， 把代入①得：， 解得， 把代入， 解得， 则方程组的解为： 18. 如图，，．求证：． 【答案】证明：∵，，， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 【解析】 【分析】由平角的定义得出，证明，由全等三角形的性质得出． 【详解】略． 19. 学校举办数学知识竞赛，共25道题，每题都给出3个答案，只有一个答案正确，每题选对得4分，不选或错选倒扣2分，初赛不低于70分就能进入复赛，那么进入复赛的选手至少对了多少道题？ 【答案】进入复赛的选手至少对了20道题 【解析】 【分析】设答对题数为未知数，根据得分规则和复赛分数要求列一元一次不等式，求解最小正整数解． 【详解】解：设进入复赛的选手答对了x道题，不选或错选道题， 根据题意可知：， 解得：， ∵x为非负整数，且， ∴满足条件的x的最小值为20， 答：进入复赛的选手至少对了20道题． 20. 在四边形中，找到一点，使点到、的距离相等；并且到、的距离之和最短．（请用尺规作图，并保留作图痕迹） 【答案】 【解析】 【分析】延长和交于一点，作的角平分线，连接与角平分线交点即为所求点． 【详解】略 21. 某校为了解八年级学生的身体健康情况，从该年级随机抽取了若干名学生，将他们按体重（均为整数，单位：）分成五组（A：；B：；C：；D：；E：），并依据统计数据绘制了如下两幅尚不完整的扇形统计图和频数分布直方图． 请解答下列问题： （1）分组的组距为________，本次调查共抽取学生为：________ （2）求扇形统计图中D组扇形对应的百分比；补全频数分布直方图； （3）若该校八年级共有800名学生，根据调查结果，估计该校八年级体重超过的学生大约有多少名？ 【答案】（1）7，50 （2） （3）估计该校八年级中体重超过的学生大约有288人 【解析】 【分析】（1）根据组距的定义求解即可，根据A组的人数和占比可求出总调查人数． （2）根据D组的人数除以总人数即可求出D组扇形对应的百分比，再求出B组人数即可补全条形统计图． （3）用样本估计总体即可． 【小问1详解】 解：由题意可知，分组的组距为， 本次调查共抽取学生为：（名）． 【小问2详解】 解：扇形统计图中D组所占的百分比为． B组人数为（名）． 补全图形略： 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校八年级体重超过的学生大约有288人． 22. 已知关于x，y的二元一次方程组回答下列问题： （1）若方程组的解满足，求a的取值范围． （2）若方程组的解均为正数，则a的取值范围为___________． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法与不等式（组）的应用，掌握整体代入求、解方程组后根据解的正负列不等式组是解题的关键． （1）将两个方程相加，整体求出的表达式，代入不等式求解的范围； （2）先解方程组得到的表达式，再根据解为正数列不等式组求解的范围． 【小问1详解】 解： ，得，③ ，得． ∵， ∴， 解不等式，得， ∴的取值范围为． 【小问2详解】 解：由（1）可知，．④ ，得． 将代入④中， 解得， ∴方程组的解是 ∵方程组的解均为正数， ∴ 解不等式组，得， ∴的取值范围为． 23. 根据题意，完成下列各题 （1）证明：如果一个三角形有两个角相等，那么它们所对的边相等．（写出已知、求证，画图并证明） （2）在中，若，求证：． 【答案】（1）已知：在中，， 求证：， 证明：过点A作于点D， 则， 在和中， ， ∴， ∴． （2）证明∶假设不成立，则有， (1)假设，则，与矛盾， ∴不成立； (2)假设， 过A作，D在线段内， 则， ∵，， ∴， 这是和矛盾的， ∴不成立， ∴只能． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出已知，求证，然后过点A作于点D，证明，即可得出． （2）利用反证法证明即可． 【小问1详解】 解：略； 【小问2详解】 解：略． 24. 请阅读以下材料，并解决问题： 材料一：我们知道，解不等式组求解集有一口诀：大小小大取中间．对于解集取中间的不等式组（比如：，，，），我们规定其“有限距离”均为，不等式组的整数解称为不等式组的“有限点”．例如：的“有限距离”，“有限点”为． 材料二：对于两个不等式组成的不等式组，我们求其解集就是分别解这两个不等式，再取其解集公共部分；类似的，对于三个或三个以上的不等式组成的不等式组，我们依然是分别解出每一个不等式，再求出它们解集的公共部分． （1）不等式组的“有限距离”；“有限点”为___________； （2）若不等式组的“有限距离”，求m的取值范围； （3）若（2）中的不等式组恰有2个“有限点”，直接写出m的取值范围：____________ 【答案】（1）3； （2）． （3） 【解析】 【分析】（1）先求出不等式组的解集，再根据“有限距离”和“有限点”的定义求解即可． （2）先求出前两个不等式的解集，再根据m的取值范围以及“有限距离”分情况求解即可． （3）根据（2）中的不等式组的解集和恰有2个“有限点”，可得出第三个不等式的解集范围，进而可求出m的取值范围． 【小问1详解】 解：解不等式组， 由①，得， 由②，得， ∴解集为， 故“有限距离”；“有限点”为； 【小问2详解】 解：， 由①，得， 由②，得， ∴前两个不等式的解集为， 由③，得， ∵不等式组的“有限距离”， ∴不等式组的解集为：， ∴当，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， 解得：， 此时， 当时，即， ∴不等式的解集为， ∴， ∴， ∴， 此时，； 当时，即时，不等式③成立， 综上：． 【小问3详解】 解：， 由（2）可知前两个不等式的解集为，且“有限距离”，不等式组恰有2个“有限点”， ∴不等式的解集为：， 解得：． 25. 点，为坐标轴上两点，点为坐标平面内一点，，连接，，，． （1）如图1，点C在内，满足． ①若，求的度数； ②若，求的长； （2）如图2，，为中点，点在线段上，连接并延长至点，使得，、交于点，连接，若，求的面积． 【答案】（1）①；②； （2） 【解析】 【分析】（1）①根据三角形内角和定理可得的度数，再由角的和差关系可得答案； ②过点作交延长线于，可证明，得到，根据三角形面积计算公式可得，求解即可； （2）过点作于，连接，利用证明，得到和，即可证明，得到，结合已知得到，，，以及，设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为，列方程求得和，即可求得三角形面积． 【小问1详解】 解：①在中，； ∴； ∵； ∴； ②过点作交延长线于点，如图， ∴， 由①得：， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴，负值舍去； 【小问2详解】 解：过点作于，连接，如图所示， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴，， ∴， 设三角形面积为，三角形面积为，则三角形面积为，三角形面积为， ，解得， 则三角形面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $