第十三章 三角形（单元达标检测）-2026-2027学年人教版八年级上册数学

**基本信息** 聚焦初中数学三角形单元，通过基础辨析、情境应用及动态探究题，全面考查几何直观、推理能力与模型意识，适配单元复习检测。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10题/30分|三角形形状判断、等腰三角形内角（题2）、三边关系（题3）|结合停车场地锁（题7）、地球纬度（题10）等真实情境| |填空题|8题/24分|中点四边形面积（题12）、等腰三角形周长（题13）、三角形三线性质（题14）|设置动点路径（题18）等开放性问题| |解答题|7题/46分|动态几何探究（题24）、镜面反射应用（题25）|从基础计算到综合推理，层次分明，渗透模型意识|

2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第十三章 三角形（单元达标检测） 参考答案 1．D 【分析】根据三角形按角分类的定义，仅凭一个锐角无法确定另外两个角的度数，从而无法确定三角形的具体形状，分情况讨论即可求解． 【详解】解：∵ 三角形按角分类可分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形 ， ∴确定三角形形状需看其最大内角是锐角、直角还是钝角， ∵图中只露出一个锐角，另外两个角未知 ， ∴另外两个角可能均为锐角，此时为锐角三角形 ；另外两个角中可能有一个为直角，此时为直角三角形 ；另外两个角中可能有一个为钝角，此时为钝角三角形， 综上所述，该三角形的形状以上三种都有可能． 2．D 【分析】根据等腰三角形两底角相等的性质，分两种情况讨论，即顶角为比例中的1份和顶角为比例中的4份，再利用三角形内角和为列方程求解． 【详解】解：设等腰三角形两个内角的度数分别为、， 情况1：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，即顶角度数为； 情况2：当顶角为时，两个底角均为， ∵三角形内角和为， ∴， 解得，，即顶角度数为； 因此该等腰三角形的顶角度数为或． 3．A 【分析】根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，结合已知边长的大小关系和整数条件，枚举所有可能的边长即可得到结果． 【详解】解：∵，，且为整数， ∴，的可能取值为． ∵是最长边，因此只需满足即可构成三角形， 当时，得，结合，可得整数，共2种， 当时，得，结合，没有符合条件的整数， 当时，得，结合，没有符合条件的， 综上，满足条件的三角形共2个． 4．A 【分析】先根据三角形三边关系确定的取值范围，再根据绝对值的化简法则去掉绝对值符号，合并计算得到结果． 【详解】解：∵三角形的三边长为，，， 根据三角形三边关系可得， ∴， ∴，， ∴． 5．C 【分析】连接，利用面积法将的面积表示为与的面积之和，结合即可求出的值． 【详解】解：如图，连接， ， ， ，， ， ， ． 6．B 【分析】根据已知条件是高, ，,得出,,又因为是角平分线,得出． 【详解】解： , 是角平分线 7．A 【分析】根据三角形外角定理以及邻补角定义进行求解． 【详解】解：如图2所示， ， 根据三角形外角定理可得， ． 8．A 【分析】根据三角形的任意两边之和大于第三边进行作答即可． 【详解】解：设长方形和五边形的周长分别为，， 则，， ∵， ∴， 故． 9．D 【分析】先由邻补角定义求出，再由三角形内角和定理求出，最后由平行线性质求解即可． 【详解】解：， ， 在中，，，则， ， ． 10．C 【分析】设与交于点，先计算的度数，再利用三角形内角和定理及平行线的性质求解． 【详解】解：设与交于点， ∵，， ∴， ∵为地面水平线， ∴，即， 在中，， ∵太阳光线平行，即， ∴． 故选：C． 11．或 【分析】根据题意分两种情况画出图形，利用平行线的性质与垂直的定义，结合角度的和差关系计算的度数． 【详解】解：分两种情况讨论： （1） 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到钝角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， ； （2） 当的一边与的一边平行，另一边互相垂直，得到锐角时： ，， ∴ 又 另一边互相垂直，即， 综上可知，或． 12．9 【分析】连接，根据三角形的中线把三角形分成面积相同的两部分求解即可． 【详解】解：连接，如下图， ∵各边中点分别为M，N，P，Q， ∴， ∴①，②，③，④， 由得，， ∴． 13．14或16 【分析】先根据非负数的性质求出m和n的值，再分两种情况讨论等腰三角形的边长，结合三角形三边关系验证后计算周长即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，， ∴，， 当腰长为6，底边长为4时，三边长为6，6，4，满足三角形三边关系，此时周长为； 当腰长为4，底边长为6时，三边长为4，4，6，满足三角形三边关系，此时周长为； ∴的周长是14或16． 14．①②③ 【详解】解：依次分析：①是中线， ，①正确； ②是角平分线， ，②正确； ③， ， 又， ，③正确； ④通过是中线可以得到，但是无法得到，④错误． 综上可知，正确结论的序号有①②③． 15． 【分析】本题考查了三角形的高线和中线的意义，根据，，求出，根据是中线即可求解． 【详解】解： ∵是中线 16． 【分析】根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． ∴线段的最小值是． 17．30 【分析】延长交于．根据三角形内角和公式求出，可得，根据三角形外角的性质得，然后代入数据求解即可． 【详解】解：延长交于． ，， ， ． ，， ． ． 18．4或11 【分析】根据中线的性质可得，然后分两种情况：当点P在边上时，当点P在边上时，即可求解． 【详解】解：∵中，，，， ∴， ∵为的中点， ∴， 当点P在边上时，如图， ∵的面积为6， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为4； 当点P在边上时，如图， ∵为的中点，的面积为6， ∴， ∴， ∴点P为的中点，即， 此时点运动的路程长为； 综上所述，点运动的路程长为4或11． 19．等腰三角形三边长分别为，， 【分析】设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为，则可得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】解：设这个等腰三角形的底边长为，则腰长为， 由题意得，， 解得， ∴， ∴这个等腰三角形三边长分别为，，． 20．（1） （2）等腰三角形 【分析】（1）先利用三角形三边关系确定的取值范围，再结合为小于的偶数的条件求出的值； （2）根据边长特征判断三角形形状． 【详解】（1）解：∵在中，三边长为，，，且，， ∴ ，即 ， ∵为小于的偶数， ∴，即的长为； （2）解：由（1）得，， ∴， ∴是等腰三角形． 21．（1）证明：如图，延长交于点H， 因为（已知），（对顶角相等）， 所以（等量代换）， 所以（同旁内角互补，两直线平行）， 所以（两直线平行，内错角相等）， 又因为（已知）， 所以（等量代换）， 所以（同位角相等，两直线平行）； （2） 【分析】（1）根据同旁内角互补，两直线平行证明，再证明，即可证明； （2）利用平行线的性质求得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】（1）略 （2）解：因为（已知）， 所以（两直线平行，同位角相等）． 因为， 所以． 22．（1） （2） 【分析】根据三角形的面积公式解答即可； 利用三角形中线的定义可得，即得的周长的周长，代入已知数据即可求解． 【详解】（1）解：∵是的高，， ∴， ∵，，， ∴， ∴； （2）解：∵是的中线， ∴， ∴的周长的周长 ． 23．（1）9 （2） （3）存在，或 【分析】（1）由题可知，，，从而可得，即可求解； （2）过点作轴于点，轴于点，从而可得，，，，，，，即可求得； （3）设点，根据题意得，，解得，，从而可得，点的坐标为或． 【详解】（1）解：，，， ，，， ， ； （2）解：根据题意得， 过点作轴于点，轴于点，如图， ，， ，， ，，， ； （3）解：存在，理由： 设点，根据题意得，， 解得，， ∴点的坐标为或． 24．（1）①，②不变， （2）不变， 【分析】（1）①结合垂直求出，最后由角平分线求出； ②利用角平分线性质和三角形内角和定理，推导与的关系，进而求出其度数； （2）因为平分，所以，因为平分，所以，由三角形外角性质可知，即，再次利用外角性质可知，代入化简即可求得的大小是一个定值． 【详解】（1）①∵直线与互相垂直， ∴， ∴． ， ∵平分， ∴． ②的大小不会发生变化， ∵平分，平分， ∴，． ∴． ； （2）的大小不会发生变化， ∵平分， ∴； ∵平分， ∴， ． 故的大小不变，为． 25．（1）40； （2）当与平行时，． （3）． 【分析】（1）先由三角形内角和定理得到，由题意得，，根据平角的定义得到，，再由三角形内角和定理求解即可； （2）根据当，得到，然后根据平角的定义得到，再由，，以及三角形内角和定理求解即可； （3）由图可得，，即得，再根据锐角三角形的定义列出不等式组解答即可求解． 【详解】（1）解：如图， ∵ ∴ 由题意得， ∵，， ∴； （2）解：当时，， ∵ ∴． ∵，， ∴， ∴， ∴， 即当与平行时，两面镜子的夹角； （3）解：由图可得，， ∵， ∴， 同理可得，， ∴ ． ∵三角形为锐角三角形， ∴， ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $2026-2027学年八年级上册数学《典例全解·题型通关》 第十三章 三角形（单元达标检测） 一、选择题 1．如图，小亮所拿三角形被遮住了一部分，只露出一个锐角．则三角形的形状是（     ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．以上都有可能 2．已知一个等腰三角形两个内角度数之比为，则这个等腰三角形顶角度数为（    ） A． B． C．或 D．或 3．在中，三边长分别为a，b，c，且都是整数，，，则满足条件的三角形的个数为（    ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 4．三角形三边长分别为：2，x，6，化简（     ） A．4 B． C． D． 5．如图，在中，，，P为边上一动点（不与A，B重合），于点E，于点F，则的值是（     ） A．8 B．7 C．6 D．5 6．如图，在中，是高，是角平分线，，，则的度数为（     ） A． B． C． D． 7．停车场有如图1所示的地锁，图2为其示意图，若，则（    ） A． B． C． D． 8．如图，将一张长方形纸片剪去一个角，得到五边形纸片，设长方形和五边形的周长分别为，，则下列大小关系正确的是（     ） A． B． C． D． 9．如图是一辆变速自行车的实物图，图是抽象出来的部分示意图，已知直线与相交于点，，，，则的大小为（     ） A． B． C． D． 10．如图所示是地球截面图，其中，分别表示南回归线和北回归线，表示赤道，点表示某市的位置，现已知地球南回归线的纬度是（），该市的纬度是北纬（），而冬至正午时，太阳光直射南回归线（光线的延长线经过地心），则该市冬至正午时，太阳光线与地面水平线的夹角的度数是（     ） A． B． C． D． 二、填空题 11．若平面内两个角、的两边一边互相平行，另一边互相垂直，且，则________． 12．如图，某校有一四边形空地，空地面积是18，学校计划对这一空地进行美化，取各边中点分别为M，N，P，Q，连接与相交于点O，若图中阴影部分种植花卉，空白部分种植草坪，请计算种植花卉的总面积为__________． 13．已知m，n为等腰的边长，且满足，则的周长是________． 14．如图，在中，，，是高，是角平分线，是中线．给出下面四个结论：①；②；③；④．上述结论中，正确结论的序号有__________． 15．如图，在中，是高，是中线，，，则__________． 16．如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是_______． 17．如图是可调躺椅的示意图，与的交点为，，，．为了舒适，需调整大小，使，且、、保持不变，则图中应调整为________度． 18．如图，中，，，，为的中点．动点从点出发，沿的路径在的边上运动，当的面积为6时，点运动的路程长为_______． 三、解答题 19．用一条长为的细绳围成一个等腰三角形，如果腰长是底边长的2倍，求这个等腰三角形各边的长度． 20．已知的三边分别为a，b，c，且，． （1）若c的长为小于6的偶数，求c的长； （2）在（1）的条件下，判断的形状． 21．如图，已知，，． （1）求证：； （2）若，，求的度数． 22．如图，、分别是的高和中线，若，，， （1）求的长 （2）求与的周长差 23．在平面直角坐标系中，为原点，点，，．将点向右平移7个单位长度，再向上平移5个单位长度，得到对应点． （1）求的面积； （2）若线段的长为5，求的面积； （3）在轴上是否存在一点，使的面积等于的面积的？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 24．【问题背景】已知直线与互相垂直，垂足为O，点A在射线上运动，点B在射线上运动，点A、B均不与点O重合． （1）【探究结论】如图1，平分，平分． ①若．则________． ②在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，求出的度数；若变化，请说明理由． （2）【拓展应用】如图2，平分交于点I，平分，的反向延长线交的延长线于点D．在点A、B的运动过程中，的大小是否会发生变化？若不变，直接写出的度数：若变化，直接写出的度数的变化范围． 25．【综合与应用】当光线经过镜面反射时，入射光线、反射光线与镜面所夹的角对应相等．如图①、图②、图③入射光线经过镜子两次镜面反射，分别反射为两条反射光线，且，．设镜子与的夹角． 【问题初探】 （1）如图①，两面镜子的夹角为，当光线经过镜子后反射，，．若，则的度数是______°． 【拓展应用】 （2）如图②，是一种由两面镜子组成的反光镜，若与平行，求两面镜子的夹角的度数． 【深入探究】 （3）如图③，若，，入射光线的延长线与反射光线的反向延长线的夹角，若三角形为锐角三角形，请求出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $