专题2.6二指数及指数函数讲义-2027届高考数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数专题，涵盖根式、指数幂运算、指数函数图像与性质等高考核心考点，按概念-运算-图像-应用逻辑架构知识，通过知识梳理、题型分类（4大题型）、跟踪训练及课后作业，帮助学生系统构建知识网络，突破运算化简、图像应用等难点。 资料以题型为载体落实核心素养，如通过指数函数图像零点问题训练，培养学生用数学眼光观察图像特征的能力，结合单调性应用题型发展数学思维的推理意识。设置基础到综合的分层练习，配合真题演练即时反馈，确保高效突破考点，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实用指导。

专题2.6指数与指数函数 知识梳理 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示：xn＝a⇒ (2)根式的性质①()n＝a(n∈N*，且n>1)．②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 【题型1 指数幂的化简与求值】 【例1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 跟踪训练 1．计算：－＋＋(0.002) ＝________． 2．化简4a·b÷的结果为________． 3．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________． 4．已知x＋x＝3，则x2＋x－2＋3＝________． 【题型2 指数函数的图象及应用】 【例1】(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． (3)若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________． (4)函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． 跟踪训练 1.（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 2.（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 3.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【题型3 指数函数的定义及应用】 【例3】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 跟踪训练 1.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 2.（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 3.（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【题型4 指数函数的性质及应用】 【例4】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 跟踪训练 1.（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2.（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 3.（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4.（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 5.（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 6.（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 课后作业： 1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　) A．为增函数 B．为减函数 C．先增后减 D．先减后增 2.（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 3.化简（   ） A． B． C． D． 4.（25-26高二下·山东临沂·期末）函数的大致图象是（   ） A．B．C． D． 5.（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 7．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 8.（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 9.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 10.（2026·陕西安康·一模）已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 11.（多选 25-26高一上·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 12.（多选 24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 13．（2024·贵州毕节·二模）（多选）已知，则下列式子中正确的有（ ） A． B． C． D． 14.（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 15.函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 16.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 17.已知函数（，且）． (1)若的图象经过点和，求的解析式 (2)若，函数，若在区间上的最大值为，最小值为，若，求实数的值 18.已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 19.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 20.（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.6指数与指数函数 知识梳理 1．根式 (1)根式的概念 ①若xn＝a，则x叫做a的n次方根，其中n>1且n∈N*.式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数． ②a的n次方根的表示：xn＝a⇒ (2)根式的性质①()n＝a(n∈N*，且n>1)．②＝ 2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正分数指数幂：a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ②负分数指数幂：a－＝＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)； ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂无意义． (2)有理数指数幂的运算性质 ①ar·as＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；②＝ar－s(a>0，r，s∈Q)；③(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)； ④(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)． 3．指数函数的图象与性质 y＝ax (a>0且a≠1) a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 过定点(0，1) 当x>0时，y>1； 当x<0时，0<y<1 当x>0时，0<y<1； 当x<0时，y>1 在R上是增函数 在R上是减函数 常用结论 1．指数函数图象的画法 画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. 2.指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数(1)y＝ax，(2)y＝bx，(3)y＝cx，(4)y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b>0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0，a≠1)的图象越高，底数越大． 3．指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象和性质跟a的取值有关，要特别注意应分a>1与0<a<1来研究． 【题型1 指数幂的化简与求值】 【例1】（25-26高一下·北京·阶段检测）求值：__________. 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根式的化简求值、指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】利用指数幂的运算性质计算可得. 【详解】原式 . 跟踪训练 1．计算：－＋＋(0.002) ＝________． 解析：原式＝－＋＋＝－＋＋10＝10.答案：10 2．化简4a·b÷的结果为________． 解析：原式＝4÷a＝－6ab－1＝－.答案：－ 3．计算：＋0.1－2＋－3π0＋＝________． 解析：原式＝＋＋－3＋＝＋100＋－3＋＝100.答案：100 4．已知x＋x＝3，则x2＋x－2＋3＝________． 解析：由x＋x＝3，得x＋x－1＋2＝9，所以x＋x－1＝7，所以x2＋x－2＋2＝49，所以x2＋x－2＝47，所以x2＋x－2＋3＝50.答案：50 【题型2 指数函数的图象及应用】 【例1】(1)函数f(x)＝21－x的大致图象为(　　) 答案：A 函数f(x)＝21－x＝2×，单调递减且过点(0，2)，选项A中的图象符合要求． (2)若函数y＝|3x－1|在(－∞，k]上单调递减，则k的取值范围为________． 函数y＝|3x－1|的图象是由函数y＝3x的图象向下平移一个单位后，再把位于x轴下方的图象沿x轴翻折到x轴上方得到的，函数图象如图所示． 由图象知，其在(－∞，0]上单调递减，所以k的取值范围为(－∞，0]． (3)若函数f(x)＝|3x－1|－k有一个零点，则k的取值范围为________． 解析：函数f(x)有一个零点，即y＝|3x－1|与y＝k有一个交点．由本例(2)得y＝|3x－1|的图象如图所示， 故当k＝0或k≥1时，直线y＝k与函数y＝|3x－1|的图象有唯一的交点，所以函数f(x)有一个零点． 答案：{0}∪[1，＋∞) (4)函数y＝|3x－1|＋m的图象不经过第二象限，则实数m的取值范围是________． 解析：作出函数y＝|3x－1|＋m的图象如图所示． 由图象知m≤－1，即m∈(－∞，－1]． 答案：(－∞，－1] 跟踪训练 1.（2026高三·全国·专题练习）函数且的图像可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.79 【知识点】判断指数型函数的图象形状 【详解】，，则函数需向下平移个单位，不过点，所以排除A，当时，有，所以排除B，当时，有，所以排除C，故选D. 2.（25-26高一上·江苏南京·期末）已知函数（，且）的图象如图所示，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据图象平移结合题中函数图象分析判断即可. 【详解】因为函数的图象是由指数函数向下平移而得到， 由图可知，解得． 故选：D. 3.若直线与函数的图象有两个不同交点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】指数函数图像应用 【分析】分类讨论可得分段函数的解析式，从而可得函数图象，结合图象，根据交点个数确定的取值范围. 【详解】由题意知函数的图象如下图所示： 如图与函数的图象有且仅有两个交点， 所以. 【题型3 指数函数的定义及应用】 【例3】若是指数函数，则有（    ） A． B． C． D．且 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】根据函数是指数函数求参数 【详解】由指数函数的定义得，解得. 跟踪训练 1.（2026·上海·三模）已知函数是指数函数，则函数的图象过定点___________ 【答案】 【难度】0.78 【知识点】指数型函数图象过定点问题、根据函数是指数函数求参数 【详解】由题意得，，得，则函数的图象过定点. 2.（2026·湖南长沙·三模）若为指数函数，且，则______ 【答案】 【难度】0.75 【知识点】求等比数列前n项和、求指数函数解析式 【分析】由指数函数定义可设，由可求得的值，再利用等比数列求和公式求解. 【详解】为指数函数，可设且， ，解得：，， 则 . 3.（25-26高二下·天津河西·阶段检测）若指数函数的图象经过点，则_____． 【答案】/ 【难度】0.92 【知识点】求指数函数解析式 【分析】使用待定系数法解出函数解析式求解. 【详解】设的图象过点， 解得． 【题型4 指数函数的性质及应用】 【例4】（2026·甘肃张掖·二模）已知函数在上单调递减，则实数的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、由指数（型）的单调性求参数 【分析】利用复合函数的单调性求解即可. 【详解】因为为上的增函数， 所以由复合函数的单调性知在上单调递减， 当时，在上单调递减，满足题意； 当时，在上单调递减，则， 解得. 综上，. 跟踪训练 1.（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 2.（24-25高二下·湖南长沙·期末）若 是上的单调递增函数，则实数的取值范围为（    ）． A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】由指数（型）的单调性求参数、根据分段函数的单调性求参数、根据函数的单调性求参数值 【分析】根据分段函数在上单调递增的要求：各分段分别单调递增、分段点处左段函数值不大于右段函数值，列不等式组求解. 【详解】若为上的单调递增函数，需同时满足以下条件： 当时，指数函数单调递增，因此； 当时，一次函数单调递增， 因此斜率，解得； 在分段点处，左端函数值不大于右端函数值， 即，整理得，解得； 取三个不等式解集的交集，可得，即的取值范围为. 3.（2026·河南开封·模拟预测）已知函数在上单调递减，则a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.62 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、根据函数的单调性求参数值、与二次函数相关的复合函数问题 【分析】结合函数定义域与复合函数单调性计算即可得. 【详解】令， 由题意知，在上单调递减，且在上恒成立. 所以，解得. a的取值范围是. 4.（2026·重庆·三模）若是奇函数，则的值域为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.68 【知识点】由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域 【分析】由可得，再结合不等式的运算求解值域即可. 【详解】函数的定义域为， 由是奇函数即， 所以，解得， 则， 因为且，所以，，则， 即，可得， 所以函数的值域为． 5.（2026·上海黄浦·三模）已知函数． (1)判断函数的奇偶性并说明理由； (2)当时，若存在，使得成立，求实数t的取值范围； 【答案】(1)当时，为偶函数； 当时，为奇函数； 当时，既不是奇函数也不是偶函数. (2) 【难度】0.7 【知识点】函数奇偶性的定义与判断、由奇偶性求参数、求指数型复合函数的值域、由指数函数的单调性解不等式 【分析】（1）利用奇函数，偶函数的基本性质进行判断，分类讨论参数的取值即可求解； （2）通过参变分离，构建辅助函数，将参数的取值范围转化为函数的值域从而进行求解. 【详解】（1），所以， 当时，，为偶函数， 当时，，为奇函数， 当时，，所以既不是奇函数也不是偶函数. （2）当时，，存在，使得成立， 化简可得，即在上有解， 令，因为，所以，即在上有解， 故实数的取值范围为函数的值域， ，因为，所以， 即实数的取值范围为. 6.（2026·海南三亚·一模）已知正实数，满足，则的最大值为（     ） A．0 B． C．1 D．2 【答案】A 【难度】0.42 【知识点】判断指数型复合函数的单调性、条件等式求最值 【分析】首先根据函数的单调性判断 ，再根据基本不等式求解. 【详解】设为增函数减函数增函数，函数的定义域为， 且满足，所以函数是奇函数， 所以，则，得 ， 即，，得，， 则， 当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 课后作业： 1．若函数f(x)＝(2a－5)·ax是指数函数，则f(x)在定义域内(　　) A．为增函数 B．为减函数 C．先增后减 D．先减后增 解析：选A．由指数函数的定义知2a－5＝1，解得a＝3，所以f(x)＝3x，所以f(x)在定义域内为增函数． 2.（2026·安徽·模拟预测）若为偶函数，则=（     ） A．4 B．3 C． D．2 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】函数奇偶性的应用、求分段函数解析式或求函数的值、指数幂的运算 【详解】∵为偶函数，∴， 又， ∴. 3.化简（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.7 【知识点】根式的化简求值 【分析】根据根式运算求得正确答案. 【详解】因为有意义，所以，所以， 所以． 4.（25-26高二下·山东临沂·期末）函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】判断指数型函数的图象形状、函数图像的识别 【分析】先求出函数的定义域，结合函数表达式，通过符号先判断选项C错误；结合指数的增长远快于，可判断选项B和D错误. 【详解】由题可知，函数的定义域为， 则当时，，，所以；当时，，，所以，则选项C错误； 又当时，指数的增长远快于，所以当时，，则选项B和选项D错误. 5.（25-26高一上·陕西西安·阶段检测）已知函数（，且）的图象如图所示，则下列选项正确的是（    ） A． B． C． D．的图象不经过第四象限 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围、指数函数图像应用 【分析】根据指数函数图象性质可知，对选项逐一判断可得出结论. 【详解】对于A，根据图象为单调递减的，可知，即A错误； 对于B，由函数图象与轴交点在负半轴上，即可得，可得，因此B错误； 对于C，根据已有分析可知，所以，即C错误； 对于D，由可知函数的图象单调递增，且与轴交点在正半轴上， 因此可知函数的图象不经过第四象限. 故选：D 6．（25-26高二下·黑龙江·期末）已知函数（且）的图象恒过定点，且点在直线（，）上，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.65 【知识点】指数型函数图象过定点问题、基本不等式求和的最小值、基本不等式“1”的妙用求最值、条件等式求最值 【分析】由函数（且）的图象恒过定点可知函数恒过定点，代入直线可得，由于，，再利用均值不等式求出的最小值. 【详解】因为函数（且）的图象恒过定点，所以函数恒过定点，因为点在直线上，所以， 因为，， 所以，， 当且仅当即时取等号. 7．（2026·安徽淮北·模拟预测）已知函数，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【详解】已知，则， 所以，所以. 因为，所以. 8.（2026·湖南邵阳·模拟预测）定义一种运算，则函数的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.75 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、分段函数的值域或最值、求指数函数在区间内的值域 【详解】当时，，， 因为在上是单调递增函数，所以，即； 当时，，， 因为在上是单调递减函数，所以，即； 综上可知，的值域为.故选项C正确. 9.（2026·河南开封·模拟预测）已知，且，若函数的值域为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.6 【知识点】根据指数函数的值域或最值求参数（定义域）、根据分段函数的值域（最值）求参数 【分析】根据指数函数的单调性结合已知函数值域列出不等式计算即可. 【详解】若，则在单调递减，即，， 当时，在单调递增，则， 此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递增，则， 要使函数的值域为，则，解得：， 若，则，此时函数的值域为，不符合题意； 若，则在单调递增，即，， 当时，在单调递减， 则，，此时两部分值域的并集不为，不符合题意； 综上，若函数的值域为，则的取值范围是 10.（2026·陕西安康·一模）已知，则（    ） A．2026 B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】指数幂的运算、指数幂的化简、求值 【分析】根据同构可得，故可得正确的选项. 【详解】由可得， 由可得，故， 设， 因为均为上的减函数，故为上的减函数， 而，故， 故即，故. 故选：B 11.（多选 25-26高一上·江苏连云港·期末）设，为实数，，.已知函数的图象如图所示，则（   ）    A． B． C． D． 【答案】BD 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】根据单调性、当时，判断. 【详解】因为函数为递减函数，所以，故B正确；A错误； 当时，，得，故D正确，C错误. 故选：BD 12.（多选 24-25高一上·山西阳泉·期末）已知函数恒过定点，则函数的图象经过（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】ACD 【难度】0.82 【知识点】指数型函数图象过定点问题、幂函数图象的判断及应用 【分析】利用求出函数的定点，再代入得到解析式，根据函数图像确定正确选项. 【详解】时，，所以恒过定点，即， 代入得，的图像经过第一、三、四象限. 13．（2024·贵州毕节·二模）（多选）已知，则下列式子中正确的有（ ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【解析】由已知可得 ， 所以 , 故A错误; 所以, 故B正确; 由 , 当且仅当 , 即 时取等号, 显然取不到，所以, 故C正确; ,当且仅当, 即 时取等号, 显然取不到所以，故D正确；故选：BCD. 14.（2026·陕西安康·三模）若，则___________．（用m，n表示） 【答案】 【难度】0.85 【知识点】指数幂的化简、求值 【分析】由条件结合指数幂的运算性质可得，结合关系可得结论. 【详解】因为，所以， 所以． 15.函数的图像不经过第二象限，则实数的取值范围是______. 【答案】 【难度】0.85 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【分析】先判断指数型函数的单调性，依题意可得当时即可. 【详解】因为在定义域R上单调递增， 又的图像不经过第二象限， 所以当时，解得， 所以实数的取值范围为. 故答案为： 16.（2026高三·全国·专题练习）已知，且，若函数与的图像有两个交点，则实数的取值范围是________． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据指数型函数图象判断参数的范围 【详解】①当时，作出函数的图像如图（1）． 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，所以． ②当时，作出函数的图像如图（2）， 若直线与函数的图像有两个交点， 则由图像可知，此时无解． 所以实数的取值范围是． 17.已知函数（，且）． (1)若的图象经过点和，求的解析式 (2)若，函数，若在区间上的最大值为，最小值为，若，求实数的值 【答案】(1) (2) 【难度】0.65 【知识点】利用函数单调性求最值或值域、根据指数函数的最值求参数、求指数函数解析式 【分析】（1）待定系数法求解函数解析式； （2）因为，所以为增函数，从而可得最大、最小值，进而求解. 【详解】（1），， 解得，， 所以. （2）函数， 因为，所以为增函数， 则在区间上的最大值为， 最小值为， 则， 解得. 18.已知函数（ 且 ）是偶函数. (1)求实数的值； (2)若 ，且对于 ，不等式 恒成立，求整数的取值集合． 【答案】(1)1 (2) 【难度】0.52 【知识点】函数奇偶性的应用、判断指数型复合函数的单调性、函数不等式恒成立问题、由奇偶性求参数、一元二次不等式在实数集上恒成立问题 【分析】（1）利用偶函数满足，求解的值； （2）利用函数的奇偶性和单调性，将不等式恒成立转化为关于整数的条件求解. 【详解】（1）因为 是偶函数，根据偶函数满足， 得，即， 整理得，即， 因为, 不恒为 0，所以必须 ，所以； （2）由（1）知 ，则 因为 ，，故 是奇函数， 而 单调递增， 单调递减， 故 单调递增，因此 在上单调递增， 不等式 可化为， 即， 因为单调递增，所以，， 只需左边的最小值大于右边即可，令 ， 这是开口向上的二次函数，其最小值为 因此，整理得，即， 解得，又 为整数，故的值为， 整数的取值集合是. 19.已知定义域为R的函数f(x)＝是奇函数． (1)求a，b的值； (2)若对任意的t∈R，不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0恒成立，求k的取值范围． 解：(1)因为f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0， 即＝0，解得b＝1，所以f(x)＝. 又由f(1)＝－f(－1)知＝－，解得a＝2. (2)由(1)知f(x)＝＝－＋， 由上式易知f(x)在R上为减函数，又因为f(x)是奇函数，从而不等式f(t2－2t)＋f(2t2－k)<0等价于f(t2－2t)<－f(2t2－k)＝f(－2t2＋k)．因为f(x)是R上的减函数，由上式推得t2－2t>－2t2＋k. 即对一切t∈R有3t2－2t－k>0，从而Δ＝4＋12k<0，解得k<－.故k的取值范围为. 20.（25-26高二下·上海·期末）已知函数为定义在上的偶函数，其中． (1)求实数的值； (2)设，若任意的，总存在，使得，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【难度】0.52 【知识点】函数不等式恒成立问题、函数不等式能成立（有解）问题、由奇偶性求参数、求指数函数在区间内的值域 【分析】（1）利用偶函数的性质有求参数值，注意验证是否满足题设； （2）问题化为在上恒成立，令，进一步化为在上恒成立，利用单调性求出右侧的最小值，即可得. 【详解】（1）由为偶函数，得，即，解得， 当时，，且对于任意的，都有， 经此检验知，当为偶函数时，的值为； （2）由，等号当且仅当时成立， 问题转化为不等式对于恒成立， 即对于恒成立， 令，由，且， 代入可知对于恒成立， ， 由于函数在上严格增，当时取最小值为0， 因此，实数的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $