2.6 指数与指数函数讲义-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习讲义聚焦指数与指数函数核心考点，涵盖根式、分数指数幂运算、指数函数图像性质及单调性应用，按“概念-性质-应用”逻辑梳理知识体系。通过双基自测明考向，核心梳理固基础，题型突破练方法，限时训练提能力，系统构建从基础到综合的复习路径。 讲义突出数学思维与数学语言培养，题型突破环节通过指数式大小比较、复合函数单调性分析等典型例题，引导学生抽象数学模型，发展逻辑推理能力。设置分层限时训练，结合2025-2026模拟真题，强化运算化简与数形结合，助力学生高效突破高频考点，为教师把控复习节奏提供精准指导。

第二章 函 数 §2.6　指数与指数函数 【高考考向预测】 近三年高考指数与指数函数考查频次较高，常以小题形式出现，也常融入函数综合题型，重点考查指数式运算、指数函数图像性质、单调性应用及大小比较，多与对数函数、不等式结合命题；预测2027 年仍保持常态化高频考查，侧重指数函数图像变换、复合函数单调性分析以及结合实际情境比较数值大小，强化运算化简与数形结合思想，题型基础灵活，侧重知识综合运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=-4. (　 　) (2)2a·2b=2ab. (　 　) (3)函数y=ax与y=a-x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (　 　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n. (　 　) 【答案】（1）×（2）×（3）√（4）× 2.给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A.y=x4 B.y=xx C.y=πx D.y=-4x 【答案】C 【解析】因为指数函数的形式为y=ax(a>0且a≠1)，所以y=πx是指数函数，即C正确；而A，B，D中的函数都不满足要求，故A，B，D错误. 3.(2025·中山模拟)将·化成分数指数幂的形式是(　　) A. B. C. D. 【答案】A 【解析】·=·=·=. 4.已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=1，=2，=2，=2，=2，…，=2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数：　　　　　　.  【答案】f(x)=2x(答案不唯一) 【解析】例如f(x)=2x，则f(x)的定义域为R，f(0)=1，且==2，所以f(x)=2x符合题意. 【核心梳理●明考点】 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 1.掌握指数函数图象的三个特点 (1)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 2.谨防一个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　指数运算 例1　(1)计算：++×[(-2)4=　　　　.  【答案】+19 【解析】原式=+-1+×23 =2+-1+×8 =+1+×8=+19. (2)若+=3，则=　　　　.  【答案】 【解析】由+=3， 等号两边平方得a+a-1=7， 等号两边再平方可得a2+a-2=47， 所以==. 【思维升华】(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意： ①必须同底数幂相乘，指数才能相加. ②运算的先后顺序. (2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数. 【跟踪训练】1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.= B.=a C.=36 D.=- 【答案】ABC 【解析】对于A，==，故A正确； 对于B，=|a|=a，故B正确； 对于C，==62=36，故C正确； 对于D，==，故D错误. (2)计算：0.12-+[(-2)2+(×)6=　　　　　.  【答案】75 【解析】0.12-+[(-2)2+(×)6 =-1+2+× =2+1+8×9=75. 题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 【答案】BD 【解析】观察图象得，函数f(x)=ax-b是减函数， 因此0<a<1， 设图象与y轴交点的纵坐标为y0， 则0<y0<1， 又y0=f(0)=1-b， 于是得0<1-b<1，解得0<b<1， 所以0<a<1，0<b<1. (2)(多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 【答案】ACD 【解析】如图所示， 当=>1时， 则a<b<0； 当==1时， 则a=b=0； 当0<=<1时，0<b<a. 【思维升华】对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换得到.特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论. 【跟踪训练】2　(1)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【答案】B 【解析】由已知条件得当x=2时，f(2)=2，则函数f(x)的图象恒过点(2，2)， 即m=2，n=2，此时g(x)=2x-2， 由于g(x)的图象由y=2x的图象向下平移2个单位长度得到，且过点(0，-1)， 由此可知g(x)的图象不经过第二象限. (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是　　　　.  【答案】(0，2) 【解析】在同一平面直角坐标系中画出y=|2x-2|与y=b的图象，如图所示. ∴当0<b<2时，两函数图象有两个交点，从而函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点. ∴实数b的取值范围是(0，2). 题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3　(2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 【答案】A 【解析】因为函数y=1.1x单调递增，所以1=1.10<1.10.2<1.10.3，故1<b<c， 又函数y=0.3x单调递减，所以a=0.30.2<0.30=1，所以a<b<c. 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4　(2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  【答案】(-∞，0] 【解析】原不等式等价于2--≤0， 令f(x)=2--，则f(0)=0， 所以f(x)≤f(0)， 因为y=和y=在R上单调递减，所以函数f(x)在R上单调递增， 所以x≤0， 所以原不等式的解集为(-∞，0]. 命题点3　指数函数性质的综合应用 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 【解析】(1)由f(x)是定义在R上的奇函数， 得f(0)===0， 解得a=1，经检验，a=1符合题意， 所以a=1. (2)函数f(x)在R上是减函数，理由如下. 由(1)知f(x)==-1， 因为函数y=ex+1在R上单调递增， 所以函数y=在R上单调递减， 所以函数f(x)=-1在R上单调递减， 即函数f(x)在R上是减函数. (3)由f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0， 得f(m·3x)>-f(3x-9x-2)=f(9x-3x+2)， 由(2)知，f(x)是R上的减函数， 则m·3x<9x-3x+2， 即m<=3x+-1， 依题意，m<3x+-1对任意的x≥0恒成立， 而3x≥1，则3x+-1≥2-1=2-1，当且仅当3x=，即3x=时取等号， 因此m<2-1， 所以实数m的取值范围是(-∞，2-1). 【思维升华】(1)利用指数函数的性质比较大小或解方程、不等式，最重要的是“同底”原则，比较大小还可以借助中间量. (2)求解与指数函数有关的复合函数问题，要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，要借助“同增异减”这一性质分析判断. 【跟踪训练】3　(1)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B. C.∪(1，+∞) D. 【答案】B 【解析】设t=ax2-2x+1，则y=at， 由复合函数的单调性可知当a>1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递增， 所以只需≤0，则a<0，与a>1矛盾； 当0<a<1时，需满足t=ax2-2x+1在区间[0，2]上单调递减， 所以只需≥2，解得0<a≤. 故实数a的取值范围是. (2)若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　.  【答案】(4，+∞) 【解析】令t=2x，∴t>0， 原方程可化为t2-at+a=0， 依题意该方程有两个不相等的正实数根， ∴解得a>4. 故实数a的取值范围是(4，+∞). 抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)-f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(-x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x+T确定周期性. (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f. (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)=kx(k≠0)，对应f(x±y)=f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)=xa，对应f(xy)=f(x)f(y)或f=； ③指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对应f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=； ④对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)=f(x)+f(y)或f=f(x)-f(y)或f(xn)=nf(x)； ⑤正弦函数f(x)=sin x，对应f(x+y)f(x-y)=[f(x)］2-[f(y)］2，来源于sin 2α-sin 2β=sin(α+β)·sin(α-β)； ⑥余弦函数f(x)=cos x，对应f(x)+f(y)=2ff，来源于cos α+cos β=2cos ·cos ； ⑦正切函数f(x)=tan x，对应f(x±y)=，来源于tan(α±β)=. 典例　(多选)(2026·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②当x>0时，f(x)>1；③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y).则下列结论错误的是(　　) A.f(0)=1或f(0)=0 B.f(x)在[0，+∞)上单调递减 C.不等式f(x)<的解集为(-2，2) D.f(x)至少有一个零点 【答案】ABD 【解析】方法一　对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)， 令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)， 又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，A错误； 对于B，∀x1，x2∈[0，+∞)，且x1<x2， 则f(x1)-f(x2)=f(x1)-f(x1+x2-x1) =f(x1)-f(x1)f(x2-x1) =f(x1)[1-f(x2-x1)］， ∵0≤x1<x2，∴f(x1)≥1，x2-x1>0， ∴f(x2-x1)>1，1-f(x2-x1)<0， ∴f(x1)-f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)， ∴f(x)在[0，+∞)上单调递增，B错误； 对于C，∵f(4)=f(2+2)=f(2)f(2)，f(2)>1， ∴不等式f(x)<等价于f(x)<f(2)， 又f(x)在[0，+∞)上单调递增，且由条件①得f(x)是偶函数， ∴|x|<2，∴不等式f(x)<的解集为(-2，2)，C正确； 对于D，由当x>0时，f(x)>1，f(0)=1，且f(x)是偶函数， 故f(x)的值域为[1，+∞)，所以f(x)没有零点，D错误. 方法二　对于A，由条件③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)， 令x=0，y=1，得f(1)=f(0)f(1)， 又由条件②得f(1)>1，∴f(0)=1，故A错误； 对于B，D，由当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y)知， 当x≥0时，函数f(x)=ax(a>1)满足②③， 此时，f(x)在[0，+∞)上单调递增，f(x)在[0，+∞)上的值域为[1，+∞)，所以f(x)在[0，+∞)上无零点，又f(x)为偶函数，所以f(x)无零点，故B，D错误； C解析同方法一. 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　) A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] 【答案】C 【解析】由题意x∈[-1，2]，所以|x|∈[0，2]，y=3|x|-1∈[0，8]. 2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 【答案】A 【解析】由指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，得解得a=b=2， 所以==. 3.(2025·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 【答案】D 【解析】依题意，函数y=在(0，+∞)上单调递增，函数y=在R上单调递减， 则>>， 即a，b，c的大小关系为a>c>b. 4.(2025·乌鲁木齐模拟)函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 【答案】D 【解析】当a>1时，0<<1，函数y=ax-单调递增， 且图象由y=ax(a>1)的图象向下平移个单位长度得到，故A，B错误； 当0<a<1时，>1，函数y=ax-单调递减， 且图象由y=ax(0<a<1)的图象向下平移个单位长度得到，故D正确，C错误. 5.(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 【答案】C 【解析】因为函数y=a+b的图象经过原点，所以a+b=0， 即a+b=0，又该函数图象无限接近直线y=2，且不与该直线相交， 所以b=2，则a=-2， 所以ab=-4. 6.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0，a≠1)在[-1，1]上的最大值为，则a等于(　　) A.或3 B.或2 C.3 D.2 【答案】A 【解析】因为f(x)是奇函数，且定义域是R， 所以f(0)=a0+b·a0=1+b=0， 解得b=-1， 经检验，b=-1符合题意，所以f(x)=ax-a-x， 当a>1时，函数f(x)=ax-a-x在[-1，1]上单调递增， 所以f(x)max=f(1)=a-a-1=， 整理得3a2-8a-3=0， 解得a=3或a=-(舍去)，所以a=3； 当0<a<1时，函数f(x)=ax-a-x在[-1，1]上单调递减， 所以f(x)max=f(-1)=a-1-a=， 整理得3a2+8a-3=0， 解得a=或a=-3(舍去)，所以a=， 综上，a=或a=3. 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列各式正确的是(　　) A.若2a=，则8a= B.若am=3，an=4，则=24 C.若a>0，则= D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1 【答案】ABD 【解析】对于A，因为2a=，所以8a=23a=(2a)3=，A正确； 对于B，=am·=3·(an=3×=3×(22=3×23=3×8=24，B正确； 对于C，===，C错误； 对于D，4÷=4××=-6ab-1，D正确. 8.下列是真命题的是 (　　) A.函数f(x)=+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，1) B.函数y=的值域为(0，2] C.函数f(x)=-为奇函数 D.若存在x∈(-∞，0]满足x2-3x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是(-∞，1) 【答案】BCD 【解析】对于A，令x-1=0，则x=1，当x=1时，f(1)=a0+1=2，所以函数f(x)的图象恒过定点(1，2)，故A错误； 对于B，令u=x2-1，所以u≥-1，又y=为减函数，所以y=∈(0，2]，即y=的值域为(0，2]，B正确； 对于C，因为函数f(x)=-的定义域为R，关于原点对称，且f(-x)=-=-，则f(-x)+f(x)=0，所以函数f(x)=-为奇函数，故C正确； 对于D，依题意，存在x∈(-∞，0]满足a<-x2+3x，令f(x)=-x2+3x，x∈(-∞，0]， 因为y=-x2与y=3x在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)在(-∞，0]上单调递增，所以f(x)max=f(0)=1，所以a<1，即a的取值范围是(-∞，1)，D正确. 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.计算：3π0+×-=　　　　.  【答案】 【解析】原式=3+×-3 =× =×=×=. 10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  【答案】 【解析】y=|ax-1|的图象由y=ax的图象向下平移一个单位长度，再将x轴下方的图象翻折到x轴上方得到，分a>1和0<a<1两种情况分别作图，如图所示， 当a>1时，2a>2，显然不符合题意； 当0<a<1时，要使直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则0<2a<1，即0<a<. 综上，实数a的取值范围是. 四、解答题(共27分) 11.(13分)(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分) 【解析】(1)当a=-2时，f(x)=的定义域为R， 令t=-2x2-4x+3=-2(x+1)2+5≤5， 因为t=-2x2-4x+3在(-∞，-1)上单调递增，在(-1，+∞)上单调递减， 且y=在t∈(-∞，5]上单调递减， 所以f(x)在(-∞，-1)上单调递减，在(-1，+∞)上单调递增， 即f(x)的单调递增区间是(-1，+∞)，单调递减区间是(-∞，-1). (2)令g(x)=ax2-4x+3，f(x)=， 由于f(x)有最大值3，所以g(x)应有最小值-1， 因此必有 解得a=1，即当f(x)有最大值3时，a的值为1. 12.(14分)(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R. (1)求实数k的值；(6分) (2)若不等式f(x)≤-8有实数解，求实数a的取值范围.(8分) 【解析】(1)令t=2x>0，g(t)=t2+2kt+1，t>0，则g(t)的图象开口向上，且对称轴为直线t=-k， 当-k≤0，即k≥0时，g(t)在(0，+∞)上单调递增， 由t=2x单调递增可知f(x)单调递增，此时f(x)无最值，不满足题意； 当-k>0，即k<0时，g(t)在(0，-k)上单调递减，在(-k，+∞)上单调递增， 所以f(x)min=g(t)min=g(-k)=-k2+1=-3， 可得k=-2(正值舍去). (2)由题意及(1)知f(x)=22x-4·2x+1≤-8有解， 即≥2x+-4有解， 而2x+-4≥2-4=2， 当且仅当2x=3，即x=log23时取等号， 故只需≥2，解得0<a≤. 故实数a的取值范围为. [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定 【答案】A 【解析】由于a>2，所以17b=8a+15a>82+152=172，因此b>2， 又因为17b-a=+<+=1，即b-a<0，故2<b<a. 14.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 【答案】AB 【解析】因为y=f(x)=， 则f(-x)==|2x+a|， 由题意得f(x)=与f(-x)=|2x+a|在区间[1，2 025]上单调性相同. 若单调递增，则在区间[1，2 025]上恒成立，即所以-2≤a≤-； 若单调递减，则在区间[1，2 025]上恒成立，即无解， 综上，实数a的取值范围是，所以A，B选项符合题意. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 函 数 §2.6　指数与指数函数 【高考考向预测】 近三年高考指数与指数函数考查频次较高，常以小题形式出现，也常融入函数综合题型，重点考查指数式运算、指数函数图像性质、单调性应用及大小比较，多与对数函数、不等式结合命题；预测2027 年仍保持常态化高频考查，侧重指数函数图像变换、复合函数单调性分析以及结合实际情境比较数值大小，强化运算化简与数形结合思想，题型基础灵活，侧重知识综合运用。 【双基自测●明考向】 1.判断下列结论是否正确.(请在括号中打“√”或“×”) (1)=-4. (　 　) (2)2a·2b=2ab. (　 　) (3)函数y=ax与y=a-x(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称. (　 　) (4)若am<an(a>0，且a≠1)，则m<n. (　 　) 2.给出下列函数，其中为指数函数的是(　　) A.y=x4 B.y=xx C.y=πx D.y=-4x 3.(2025·中山模拟)将·化成分数指数幂的形式是(　　) A. B. C. D. 4.已知函数f(x)的定义域为R，f(0)=1，=2，=2，=2，=2，…，=2(n∈N*).写出满足上述条件的一个函数：　　　　　　.  【核心梳理●明考点】 1.根式 (1)一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数. (3)()n=a. 当n为奇数时，=a， 当n为偶数时，=|a|= 2.分数指数幂 正数的正分数指数幂：=(a>0，m，n∈N*，n>1). 正数的负分数指数幂：==(a>0，m，n∈N*，n>1). 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. 3.指数幂的运算性质 aras=ar+s；(ar)s=ars；(ab)r=arbr(a>0，b>0，r，s∈R). 4.指数函数及其性质 (1)概念：一般地，函数y=ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R. (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，+∞) 性质 过定点(0，1)，即x=0时，y=1 当x>0时，y>1；当x<0时， 0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时， 0<y<1 增函数 减函数 1.掌握指数函数图象的三个特点 (1)指数函数y=ax(a>0，且a≠1)的图象恒过点(0，1)，(1，a)，，依据这三点的坐标可得到指数函数的大致图象. (2)任意两个指数函数的图象都是相交的，底数互为倒数的两个指数函数的图象关于y轴对称. (3)指数函数在同一平面直角坐标系中的图象的相对位置与底数的大小关系如图所示，其中0<c<d<1<a<b. 2.谨防一个失误点 讨论指数函数的单调性及值域问题时，当指数函数的底数a的大小不确定时，需分a>1和0<a<1两种情况进行讨论. 【题型突破●明方向】 题型一　指数运算 例1　(1)计算：++×[(-2)4=　　　　.  (2)若+=3，则=　　　　.  【跟踪训练】1　(1)(多选)下列各式正确的是(式中字母均是正数)(　　) A.= B.=a C.=36 D.=- (2)计算：0.12-+[(-2)2+(×)6=　　　　　.  题型二　指数函数的图象及应用 例2　(1)(多选)已知函数f(x)=ax-b(a>0，且a≠1，b≠0)的图象如图所示，则(　　) A.a>1 B.0<a<1 C.b>1 D.0<b<1 (2)(多选)(2025·淮安模拟)已知实数a，b满足等式=，则下列关系式中可能成立的是(　　) A.0<b<a B.b<a<0 C.a=b D.a<b<0 【跟踪训练】2　(1)已知函数f(x)=ax-2+1(a>0，a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)=mx-n的图象不经过(　　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 (2)若函数f(x)=|2x-2|-b有两个零点，则实数b的取值范围是　　　　.  题型三　指数函数的性质及应用 命题点1　比较指数式的大小 例3　(2026·大同模拟)设a=0.30.2，b=1.10.2，c=1.10.3，则(　　) A.a<b<c B.a<c<b C.b<c<a D.c<a<b 命题点2　解简单的指数方程或不等式 例4　(2025·大连期末)不等式2·10x-3x-6x≤0的解集为　　　　　　.  命题点3　指数函数性质的综合应用 例5　(2025·合肥期末)已知定义域为R的函数f(x)=是奇函数. (1)求实数a的值； (2)判断函数f(x)的单调性，并说明理由； (3)若不等式f(m·3x)+f(3x-9x-2)>0对任意的x≥0恒成立，求实数m的取值范围. 【跟踪训练】3　(1)已知函数f(x)=(a>0且a≠1)在区间[0，2]上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A.(1，+∞) B. C.∪(1，+∞) D. (2)若关于x的方程4x-a·2x+a=0有两个不相等的实数根，则实数a的取值范围是　　　　　　.  抽象函数 抽象函数主要研究赋值求值、证明函数的性质、解不等式等，一般通过代入特殊值求值、通过f(x1)-f(x2)的变换判定单调性、出现f(x)及f(-x)判定抽象函数的奇偶性、换x为x+T确定周期性. (1)判断抽象函数单调性的方法 ①若给出的是“和型”抽象函数f(x+y)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f((x2-x1)+x1)-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f((x1-x2)+x2)； ②若给出的是“积型”抽象函数f(xy)=…，判断符号时要变形为f(x2)-f(x1)=f-f(x1)或f(x2)-f(x1)=f(x2)-f. (2)常见的抽象函数模型 ①正比例函数f(x)=kx(k≠0)，对应f(x±y)=f(x)±f(y)； ②幂函数f(x)=xa，对应f(xy)=f(x)f(y)或f=； ③指数函数f(x)=ax(a>0，且a≠1)，对应f(x+y)=f(x)f(y)或f(x-y)=； ④对数函数f(x)=logax(a>0，且a≠1)，对应f(xy)=f(x)+f(y)或f=f(x)-f(y)或f(xn)=nf(x)； ⑤正弦函数f(x)=sin x，对应f(x+y)f(x-y)=[f(x)］2-[f(y)］2，来源于sin 2α-sin 2β=sin(α+β)·sin(α-β)； ⑥余弦函数f(x)=cos x，对应f(x)+f(y)=2ff，来源于cos α+cos β=2cos ·cos ； ⑦正切函数f(x)=tan x，对应f(x±y)=，来源于tan(α±β)=. 典例　(多选)(2026·南通模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足：①f(x)是偶函数；②当x>0时，f(x)>1；③当x≥0，y≥0时，f(x+y)=f(x)f(y).则下列结论错误的是(　　) A.f(0)=1或f(0)=0 B.f(x)在[0，+∞)上单调递减 C.不等式f(x)<的解集为(-2，2) D.f(x)至少有一个零点 【限时训练】 （30分钟） 一、单项选择题(每小题5分，共30分) 1.函数y=3|x|-1的定义域为[-1，2]，则其值域为(　　) A.[2，8] B.[1，8] C.[0，8] D.[-1，8] 2.已知指数函数f(x)=(a-1)bx的图象经过点，则等于(　　) A. B. C.2 D.4 3.(2025·汕头期末)设a=，b=，c=，则a，b，c的大小关系为(　　) A.c>a>b B.a>b>c C.b>a>c D.a>c>b 4.(2025·乌鲁木齐模拟)函数y=ax-(a>0且a≠1)的图象可能是(　　) 5.(2026·哈尔滨模拟)已知函数y=a+b的图象经过原点，且无限接近直线y=2，但又不与该直线相交，则ab等于(　　) A.-1 B.-2 C.-4 D.-9 6.已知奇函数f(x)=ax+b·a-x(a>0，a≠1)在[-1，1]上的最大值为，则a等于(　　) A.或3 B.或2 C.3 D.2 二、多项选择题(每小题6分，共12分) 7.下列各式正确的是(　　) A.若2a=，则8a= B.若am=3，an=4，则=24 C.若a>0，则= D.若a>0，b>0，则4÷=-6ab-1 8.下列是真命题的是 (　　) A.函数f(x)=+1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点(1，1) B.函数y=的值域为(0，2] C.函数f(x)=-为奇函数 D.若存在x∈(-∞，0]满足x2-3x+a<0(a∈R)，则a的取值范围是(-∞，1) 三、填空题(每小题5分，共10分) 9.计算：3π0+×-=　　　　.  10.已知函数f(x)=|ax-1|(a>0，且a≠1)，若直线y=2a与函数f(x)的图象有两个公共点，则实数a的取值范围是　　　　　　　　.  四、解答题(共27分) 11.(13分)(2026·莆田模拟)已知函数f(x)=(a∈R). (1)若a=-2，求f(x)的单调区间；(6分) (2)若f(x)有最大值3，求a的值.(7分) 12.(14分)(2025·南通模拟)已知函数f(x)=22x+2k·2x+1的最小值为-3，k∈R. (1)求实数k的值；(6分) (2)若不等式f(x)≤-8有实数解，求实数a的取值范围.(8分) [13题5分，14题6分，共11分] 13.(2025·成都模拟)已知a>2，8a+15a=17b，则(　　) A.a>b>2 B.a>2>b C.b>a>2 D.b>2，但a和b的大小关系无法确定 14.(多选)函数y=f(x)和y=f(-x)，若两函数在区间[m，n]上的单调性相同，则把区间[m，n]叫做y=f(x)的“稳定区间”，已知区间[1，2 025]为函数y=的“稳定区间”，则实数a的可能取值是(　　) A.- B.- C.0 D. 第 1 页 共 14 页 学科网（北京）股份有限公司 $