15.1.2 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 教案 2026-2027学年人教版数学八年级上册

该教案聚焦线段垂直平分线的性质、判定及互逆命题与定理，通过商场选址情境导入，引导学生从找中点到发现垂直平分线上多点满足条件，衔接轴对称、全等三角形旧知，搭建“情境—猜想—证明—应用”的学习支架。 特色在于“猜想—证明—归纳—应用”探究模式，结合“对顶角相等”等反例突破互逆命题难点，培养数学眼光（发现现实问题）、逻辑推理（全等证明）、数学语言（符号表达），助力学生形成严谨思维，为教师提供分层练习与清晰流程，提升教学效率。

教案：15.1.2 线段的垂直平分线 —— 课时1 线段的垂直平分线的性质与判定 课题 15.1.2 线段的垂直平分线（课时1） 课型 新授课 课时 1课时（45分钟） 教材版本 人教版八年级上册 教学方法 启发式教学、合作探究、讲练结合 教学用具 多媒体课件、直尺、圆规 教材分析 本节内容是人教版八年级上册第十五章"轴对称"中"15.1.2 线段的垂直平分线"的第一课时，主要学习线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，以及互逆命题和互逆定理的概念。本节内容是在学生已经学习了轴对称和轴对称图形的概念、线段垂直平分线的定义及画法的基础上进行的，是轴对称性质的重要应用和深化。线段的垂直平分线的性质与判定是几何中证明线段相等、判断点与线段位置关系的重要工具，也是后续学习角平分线、等腰三角形等知识的基础。本节内容将数学知识的学习与逻辑推理能力的培养有机结合，体现了从特殊到一般、从具体到抽象的数学思维方法。 学情分析 八年级学生已经具备了一定的几何直观能力和逻辑推理能力，能够进行简单的几何证明。在知识储备上，学生已经学习了全等三角形的判定和性质、轴对称的基本概念以及线段垂直平分线的定义，为学习本节内容奠定了基础。但是，学生对于"性质定理"与"判定定理"的区分、"互逆命题"与"互逆定理"的关系理解可能存在困难，特别是对"原命题成立时，逆命题不一定成立"这一结论的理解需要借助具体实例。此外，学生从"合情推理"向"演绎推理"的过渡还需要进一步引导和训练。 一、教材分析 本节内容是"15.1.2 线段的垂直平分线"的第一课时，在整个第十五章"轴对称"中起着承上启下的关键作用。在此之前，学生已经学习了轴对称和轴对称图形的基本概念，了解了线段垂直平分线的定义，并掌握了用尺规作线段的垂直平分线的方法。本节内容在此基础上，进一步研究线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，将直观的几何认识提升到逻辑推理的高度。 线段的垂直平分线的性质定理——"线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等"，是几何中证明线段相等的重要依据之一。判定定理作为性质定理的逆命题，给出了判断一个点是否在线段垂直平分线上的方法。本节课还引入了"互逆命题"与"互逆定理"的概念，这是学生第一次系统学习命题之间的关系，对于培养学生的逻辑思维能力和数学语言表达能力具有重要意义。 在教材编排上，本节采用"情境导入—猜想—证明—归纳—应用"的探究模式，引导学生经历完整的数学发现过程。通过性质和判定两个定理的对应学习，帮助学生建立"条件与结论互换"的思维习惯，为后续学习角平分线、等腰三角形等几何知识以及反证法等逻辑方法奠定基础。 二、学情分析 从知识基础上看，八年级学生已经学习了全等三角形的判定方法（SSS、SAS、ASA、AAS、HL），掌握了证明线段相等和角相等的基本方法，具备了一定的几何推理能力。同时，学生在前面已经学习了轴对称的相关概念，对线段垂直平分线有直观的认识，为本节课的学习提供了必要的知识储备。 从能力水平上看，学生正处于从"合情推理"向"演绎推理"过渡的关键时期。他们能够根据图形直观地提出猜想，但在将猜想转化为严格的逻辑证明时，常常感到困难，尤其是在添加辅助线、选择证明方法等方面需要教师的引导。此外，学生对于"互逆命题"的概念较为陌生，容易混淆"原命题"与"逆命题"的关系，需要借助具体实例加以辨析。 从学习心理上看，八年级学生好奇心强，乐于探究，通过情境导入和动手操作能够有效激发学习兴趣。但部分学生对几何证明存在畏难情绪，教学中应注意梯度设计，由浅入深，让不同层次的学生都能获得成功的体验。 三、核心素养目标 1. 【数学抽象】通过线段垂直平分线性质与判定的探究过程，体会从具体图形中抽象出一般规律的方法，感受数学命题的结构特征（条件与结论），发展数学抽象素养。 2. 【逻辑推理】经历"猜想—证明—归纳—应用"的完整过程，能够运用全等三角形的知识证明线段的垂直平分线的性质定理和判定定理，培养演绎推理能力；理解互逆命题与互逆定理的概念，能够判断一个命题的逆命题是否成立，发展逻辑推理素养。 3. 【直观想象】通过观察图形、动手操作和几何画板演示，直观感受线段垂直平分线上的点的特征，发展空间观念和几何直观素养。 4. 【数学运算】能够运用线段垂直平分线的性质定理和判定定理解决相关的计算和证明问题，在具体情境中合理选择判定方法，提高运算求解能力和数学应用意识。 四、教学重难点 教学重点：线段垂直平分线的性质定理和判定定理的理解及其应用，互逆命题与互逆定理的概念辨析。 教学难点：线段垂直平分线的判定定理的证明方法（构造全等三角形），互逆命题与互逆定理的区别与联系，理解"原命题成立时，逆命题不一定成立"。 五、教学过程 环节一：情境导入（约3分钟） 【教师活动】展示图片：公园附近有两个小区A和B，现在要建一座商场，要求商场到两个小区的距离相等。请同学们思考：商场应该建在哪里才能符合要求？ 情境导入示意图 【学生活动】观察图片，独立思考问题。部分学生可能会想到连接AB，取中点；也有学生可能会想到在AB的垂直平分线上找点。 【教师活动】追问：连接AB取中点，商场建在中点处，到两个小区的距离确实相等。但商场是否只能建在中点处？有没有其他位置也满足条件？请同学们再思考。 【学生活动】小组讨论，发现满足条件的点不止一个，这些点似乎都在线段AB的垂直平分线上。 【过渡语】同学们观察得很仔细！满足"到A、B两个小区距离相等"的点似乎都分布在线段AB的垂直平分线上。那么，是否线段垂直平分线上的任意一点到线段两个端点的距离都相等呢？反过来，到线段两个端点距离相等的点是否一定在线段的垂直平分线上呢？带着这些问题，让我们进入今天的学习。 【设计意图】通过生活中的实际问题创设情境，激发学生的好奇心和探究欲望。学生从"找中点"到"发现多个点"的思维转变，自然引出线段垂直平分线的性质与判定问题，为后续探究做好铺垫。 环节二：探究一——线段的垂直平分线的性质（约12分钟） 【过渡语】我们先来研究第一个问题：线段垂直平分线上的点具有什么性质？请同学们观察图形，提出你的猜想。 1. 猜想 【教师活动】展示线段AB及其垂直平分线l，在l上任取一点P，连接PA、PB。请同学们观察PA和PB的长度关系，提出猜想。 【学生活动】观察图形，通过测量或直观感受，提出猜想：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 【教师活动】肯定学生的猜想，并追问：这个猜想是否一定成立？如何用数学语言表达这个猜想？ 【学生活动】尝试用数学语言表述：已知点P在直线l上，且直线l垂直平分线段AB，求证PA = PB。 2. 证明 【教师活动】引导分析：要证明PA = PB，可以证明△PAC和△PBC全等（其中C为l与AB的交点），请同学们写出证明过程。 【学生活动】独立完成证明，同桌交流。 证明：设直线l与线段AB交于点C。∵ l是线段AB的垂直平分线，∴ AC = BC，∠PCA = ∠PCB = 90°。在△PAC和△PBC中，AC = BC，∠PCA = ∠PCB = 90°，PC = PC（公共边），∴ △PAC ≌ △PBC（SAS）。∴ PA = PB。 【教师活动】点评学生的证明过程，强调证明的规范性和逻辑性。指出证明的关键是构造以PC为公共边的两个直角三角形，利用SAS判定全等。 3. 归纳性质定理 【知识点】线段的垂直平分线的性质定理：线段垂直平分线上的点与这条线段两个端点的距离相等。 【教师活动】引导学生用符号语言表示性质定理，并板书。 用线段的垂直平分线的性质可以直接证明线段相等，这是证明线段相等的一种重要方法。 【设计意图】通过"猜想—证明—归纳"的探究过程，让学生经历数学定理的发现过程，培养演绎推理能力。SAS全等判定是证明性质定理的关键，此处复习了全等三角形的知识，体现了知识的连贯性。 解题思路：当题目中出现"到线段两端距离相等"的条件时，可以转化为"点在垂直平分线上"来思考，这是几何证明中的重要转化策略。 环节三：探究二——线段的垂直平分线的判定（约10分钟） 【过渡语】刚才我们学习了线段垂直平分线的性质定理，知道了"线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等"。那么，同学们有没有想过，把这个命题的条件和结论交换一下，会得到什么新命题呢？ 1. 交换条件和结论 【教师活动】引导：性质定理的条件是"点在线段垂直平分线上"，结论是"点到线段两端距离相等"。如果交换条件和结论，得到的新命题是什么？ 【学生活动】思考后回答：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 【教师活动】追问：这个命题是真命题吗？如果是，我们该如何证明？请同学们先独立思考，再小组讨论。 2. 猜想与证明 【学生活动】小组讨论，尝试构造证明方法。部分学生可能会想到过点P作AB的垂线，证明垂足是AB的中点；也有学生会想到取AB的中点C，连接PC，证明PC ⊥ AB。 【教师活动】引导分析：已知PA = PB，要证点P在AB的垂直平分线上。可以取AB的中点C，连接PC，然后证明PC ⊥ AB。也就是证明△PAC ≌ △PBC。 已知：点P满足PA = PB。求证：点P在线段AB的垂直平分线上。 证明：取AB的中点C，连接PC。在△PAC和△PBC中，PA = PB（已知），AC = BC（C为AB中点），PC = PC（公共边），∴ △PAC ≌ △PBC（SSS）。∴ ∠PCA = ∠PCB。又∵ ∠PCA + ∠PCB = 180°，∴ ∠PCA = ∠PCB = 90°。∴ PC ⊥ AB。又∵ C为AB中点，∴ 直线PC是线段AB的垂直平分线，即点P在线段AB的垂直平分线上。 【教师活动】点评证明过程，强调证明的关键是构造辅助线——取AB的中点C，利用SSS证明全等，再推出垂直关系。 3. 归纳判定定理 【知识点】线段的垂直平分线的判定定理：与线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 判定定理的作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上。只需证明该点到线段两个端点的距离相等即可。 4. 回到情境问题 【教师活动】回到课前的情境问题：商场到两个小区的距离相等，商场应该建在哪里？现在你能给出完整的答案了吗？ 情境问题解决示意图 【学生活动】回答：商场应该建在两个小区A、B连线的垂直平分线上。因为垂直平分线上的任意一点到A、B的距离都相等，所以商场可以建在垂直平分线上的任意合适位置。 【教师活动】总结：满足条件的点有无数个，它们都在线段AB的垂直平分线上。因此，线段的垂直平分线可以看作是与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合。 5. 性质与判定的关系总结 【知识点】线段的垂直平分线可以看作"与这条线段两个端点距离相等的所有点的集合"。 性质定理（从左到右）：已知点在垂直平分线上，推出距离相等。判定定理（从右到左）：已知距离相等，推出点在垂直平分线上。两个定理互为逆定理。 理解要点：性质定理和判定定理是"互逆"的关系，条件与结论互为交换。在解题时，要根据已知条件灵活选择使用哪个定理——知道"点在垂直平分线上"用性质，知道"距离相等"用判定。 【设计意图】通过回到情境问题，让学生体会数学知识来源于生活又服务于生活。将性质定理和判定定理统一为"等价关系"，帮助学生建立完整的知识结构，为理解"互逆定理"做铺垫。 环节四：探究三——互逆命题与互逆定理（约10分钟） 【过渡语】通过前面的学习，我们发现线段垂直平分线的性质定理和判定定理的条件和结论正好相反。在数学中，我们把具有这种关系的两个命题叫作互逆命题。那么，互逆命题究竟是什么意思？是不是所有互逆命题都同时成立呢？让我们一起来探究。 1. 互逆命题的定义 【教师活动】引导分析：请同学们观察性质定理和判定定理，它们的题设和结论有什么关系？ 【学生活动】对比两个命题，发现性质定理的题设是判定定理的结论，性质定理的结论是判定定理的题设。两个命题的题设和结论正好相反。 【教师活动】追问：我们还学过其他具有类似关系的命题吗？请举例说明。 【学生活动】举例：①"两直线平行，内错角相等"与"内错角相等，两直线平行"；②"对顶角相等"与"相等的角是对顶角"；③"等边对等角"与"等角对等边"。 【知识点】互逆命题：如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，那么这两个命题叫作互逆命题。如果把其中一个叫作原命题，那么另一个叫作它的逆命题。 任何一个命题都有逆命题。只要将原命题的题设和结论交换位置，就可以得到它的逆命题。 2. 思考讨论：原命题成立时，逆命题一定成立吗？ 【教师活动】提出问题：如果原命题成立，那么它的逆命题也一定成立吗？请同学们举例说明。 【学生活动】分组讨论，各举出原命题成立且逆命题也成立的例子，以及原命题成立但逆命题不成立的例子。 举例1：原命题"两直线平行，内错角相等"成立，逆命题"内错角相等，两直线平行"也成立。 举例2：原命题"对顶角相等"成立，但逆命题"相等的角是对顶角"不成立（如等腰三角形的两个底角相等，但它们不是对顶角）。 举例3：原命题"全等三角形的对应角相等"成立，但逆命题"对应角相等的两个三角形全等"不成立（如大小不同的相似三角形，对应角相等但不全等）。 【教师活动】总结：一般地，原命题成立时，它的逆命题可能成立，也可能不成立。因此，我们不能想当然地认为逆命题一定成立，必须经过严格的证明才能确认。 易错提示：原命题成立，不能推出逆命题一定成立。例如"对顶角相等"的原命题正确，但逆命题"相等的角是对顶角"是错误的。判断逆命题是否成立，必须经过严格的证明或举出反例。 3. 互逆定理的定义 【教师活动】引导：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理。这两个定理之间是什么关系？ 【学生活动】回答：这两个定理互为逆定理，其中一个叫作另一个的逆定理。 【知识点】互逆定理：如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理叫作互逆定理，其中一个定理叫作另一个定理的逆定理。 【教师活动】举例说明：线段垂直平分线的性质定理和判定定理是互逆定理；"两直线平行，内错角相等"和"内错角相等，两直线平行"也是互逆定理。 注意：不是所有的定理都有逆定理。只有当一个定理的逆命题也是真命题（即经过证明成立的定理）时，才存在逆定理。 判断技巧：判断两个定理是否互逆，关键看两点：①一个定理的题设是否是另一个定理的结论，反之亦然；②两个命题是否都是真命题（经过证明）。只有同时满足这两个条件，才能称为互逆定理。 4. 练习 【教师活动】练习：写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立。 （1）两直线平行，同位角相等。 【学生活动】逆命题：同位角相等，两直线平行。判断：成立（真命题）。 （2）如果两个实数相等，那么它们的绝对值相等。 【学生活动】逆命题：如果两个实数的绝对值相等，那么这两个实数相等。判断：不成立（假命题），反例：|2| = |-2|，但2 ≠ -2。 （3）全等三角形的对应角相等。 【学生活动】逆命题：对应角相等的三角形全等。判断：不成立（假命题），反例：两个大小不同的等边三角形，对应角都是60°，但它们不全等。 【教师活动】点评练习，强调：写逆命题时只需交换题设和结论，判断逆命题是否成立要经过证明或举反例。 【设计意图】通过具体举例和反例，帮助学生理解"原命题成立时，逆命题不一定成立"这一重要结论。练习的选择涵盖了逆命题成立和不成立两种情形，有助于学生全面理解互逆命题和互逆定理的关系。 环节五：课堂练习（约7分钟） 【过渡语】通过前面的学习，我们掌握了线段垂直平分线的性质定理、判定定理以及互逆命题与互逆定理的概念。接下来，让我们通过练习来巩固所学知识。 练习1 【教师活动】出示练习1，请同学们独立完成。 练习1示意图 如图，DE 是线段 AB 的垂直平分线，下列结论一定成立的是（ ） A.ED = CD B.AE = AC C.AD = BD D.BD = AC 【学生活动】认真审题，运用线段垂直平分线的性质定理或判定定理进行分析，独立完成练习1。 【教师活动】答案：C 练习2 【教师活动】出示练习2：如图，点D在△ABC的边BC上，且BC = BD + AD，则点D在____的垂直平分线上。 A B C D 练习2示意图 【学生活动】分析：由BC = BD + AD，且BC = BD + CD，可得AD = CD。因此点D到A、C的距离相等，所以点D在线段AC的垂直平分线上。 【教师活动】讲评练习2，强调：当题目中出现线段的和差关系时，要善于转化为线段相等关系，进而运用垂直平分线的判定定理。 答案：点D在线段AC的垂直平分线上。 练习3 【教师活动】写出下列命题的逆命题，并判断这些逆命题是否成立。 （1）两直线平行，内错角相等。 【学生活动】逆命题：内错角相等，两直线平行。判断：成立（真命题）。 （2）若a = b，则a² = b²。 【学生活动】逆命题：若a² = b²，则a = b。判断：不成立（假命题），反例：(-2)² = 2²，但-2 ≠ 2。 （3）如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余。 【学生活动】逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余，那么这个三角形是直角三角形。判断：成立（真命题）。 【教师活动】讲评练习3，再次强调：写逆命题只需交换题设和结论，判断逆命题是否成立要经过严格证明或举反例。 【设计意图】练习设计层次分明，练习1、2巩固线段垂直平分线性质与判定的应用，练习3巩固互逆命题的理解。通过独立练习和教师讲评相结合的方式，及时反馈，查漏补缺。 解题思路：在涉及线段垂直平分线的证明题中，首先判断已知条件与"垂直平分线"和"距离相等"的关系：若已知点在垂直平分线上，运用性质定理推出距离相等；若已知距离相等，运用判定定理推出点在垂直平分线上。 环节六：课堂小结（约3分钟） 【教师活动】引导回顾：本节课我们学习了哪些知识？请同学们从"知识内容"和"思想方法"两个维度进行总结。 【学生活动】回顾本节课的学习内容，尝试用自己的语言进行总结。 知识内容：①线段垂直平分线的性质定理——线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等；②线段垂直平分线的判定定理——到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上；③互逆命题与互逆定理的概念。 思想方法：①"猜想—证明—归纳—应用"的探究方法；②命题的"条件与结论互换"的思维方式；③转化的思想（距离相等与点在垂直平分线上的相互转化）。 【教师活动】补充总结，梳理知识框架，强调性质定理和判定定理是互逆定理，线段的垂直平分线可以看作到线段两端距离相等的所有点的集合。 【设计意图】通过学生自主总结和教师补充完善，帮助学生构建完整的知识网络，形成系统的认知结构。从知识和思想方法两个维度进行总结，体现数学学习的深层价值。 六、板书设计 15.1.2 线段的垂直平分线（课时1） 一、性质定理 线段垂直平分线上的点 到线段两端距离相等 （SAS全等证明） 二、例题1 AB = AC, BD = CD → AE⊥BC 三、判定定理 到线段两端距离相等的点 在线段的垂直平分线上 （SSS全等证明） 四、互逆命题与互逆定理 题设↔结论 互换 原命题成立 ≠ 逆命题成立 五、总结 点在线段垂直平分线上 ↔ PA = PB（互逆定理） 七、教学反思 1. 本节课以"情境导入—猜想—证明—归纳—应用"为主线，引导学生经历了完整的数学探究过程。从公园商场选址的实际问题出发，激发了学生的学习兴趣，使抽象的几何定理变得生动具体。在情境问题解决环节，学生能够将所学知识应用于实际，体会到了数学的应用价值。 2. 在性质定理和判定定理的证明过程中，注重引导学生分析证明思路，特别是辅助线的添加方法。性质定理的证明通过构造以垂足为公共顶点的两个直角三角形，利用SAS判定全等；判定定理的证明通过取中点构造辅助线，利用SSS判定全等。两种证明方法互为补充，帮助学生体会辅助线在几何证明中的重要作用。 3. 互逆命题与互逆定理是本节课的教学难点。教学中通过"对顶角相等"和"相等的角是对顶角"等典型反例，帮助学生深刻理解"原命题成立时，逆命题不一定成立"这一关键结论。练习3和练习4中安排了多种类型的命题，覆盖了逆命题成立和不成立两种情形，有利于学生全面掌握。 4. 例题1的设计巧妙地将性质定理和判定定理综合运用，体现了"两点确定一条直线"的思想。在教学中，部分学生可能对"AB=AC得出点A在BC的垂直平分线上"这一转化感到困难，需要教师多做引导，帮助学生建立"距离相等"与"点在垂直平分线上"之间的等价关系。 5. 课堂练习环节设计层次分明，练习1和练习2侧重基础巩固，练习4侧重互逆命题的理解。从课堂反馈来看，大部分学生能够较好地掌握线段垂直平分线的性质与判定，但在互逆命题的判断上，仍有少数学生容易混淆，需要后续教学中持续强化。 6. 在课堂小结环节，引导学生从"知识内容"和"思想方法"两个维度进行总结，帮助学生不仅掌握了具体的数学知识，更领悟了数学研究的一般方法——从特殊到一般、从具体到抽象、从猜想到证明。这种总结方式有助于培养学生的数学思维品质和自主学习能力。 学科网（北京）股份有限公司 $