精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年八年级下学期期中数学试题

高坪中学2025年八年级（下）期中教学质量监测数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前考生在答题卡上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答． 一．单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义即可求出答案． 【详解】解：（A）原式=，故A不选； （B）原式==，故B不选； （C）当a＜0时，无意义，故C不选； 故选D． 【点睛】本题考查最简二次根式，解题的关键是正确理解最简二次根式，本题属于基础题型． 2. 下列各数中，能与8，15组成一组勾股数的是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数的定义：满足的三个正整数，称为勾股数，根据定义即可求解． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，不符合题意； C、，不符合题意； D、，符合题意， 故选：D． 3. 下列各曲线不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在一个变化过程中，有两个变量x，y，对于x的每一个值，y都有唯一的值与其对应，则x叫自变量，y是x的函数．在坐标系中，对于x的取值范围内的任意一点，通过这点作x轴的垂线，则垂线与图形只有一个交点．根据定义即可判断． 【详解】解：A、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； B、对x的一个值y的值不是唯一的，因而不能表示y是x的函数，故此选项符合题意； C、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意； D、对x的一个值y有唯一值与之对应，因此能表示y是x的函数，故此选项不符合题意． 4. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质，菱形的性质，根据正方形和菱形的性质解题即可． 【详解】解：A、菱形和正方形的对角线都互相平分，不符合题意； B、正方形的对角线都相等，菱形的对角线不一定相等，符合题意； C、正方形与菱形的对角线都互相垂直，不符合题意； D、菱形和正方形的一条对角线都平分一组对角，不符合题意； 故选：B． 5. 如图，折线 描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系． 根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 汽车一共行驶了 B. 汽车出发后前3小时的平均速度为 C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时 D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了函数图象、速度，路程、时间三者关系，根据函数图象的纵横坐标的意义，结合图象的起点，折点，终点，进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：依题意， ∵一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系 ∴汽车出发到距离起点的后再返回出发点，故汽车一共行驶了，故A选项是错误的； ∴汽车出发后前3小时的平均速度为，故B选项是错误的； ∴，汽车在整个行驶过程中停留了0.5小时，故C选项是错误的； ∴汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是，故D选项是正确的； 故选：D 6. 如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用三角形中位线定理求出的长，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出的长，最后利用求解． 【详解】解：，分别是，边上的中点， 是的中位线， ， ， 是直角三角形， 是的中点， ， ． 7. 已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 随的增大而减小 【答案】A 【解析】 【分析】根据直线经过第一、二、四象限得到，，逐项进行判断即可． 【详解】解：∵直线经过第一、二、四象限． ∴，，随的增大而减小，故D正确． ∵，． ∴，故B正确． ∴，故C正确． ∴． ∵随的增大而减小． ∴，故A错误． 8. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】连接，过点E作，可得，，再证明，可得是等边三角形，从而得，进而即可求解． 【详解】解：连接，过点E作， ∵，， ∴ ∴ ∴， ∵在菱形中， ∴， ∴和均为等边三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，即：， ∴是等边三角形， ∵的周长为， ∴， ∴， ∴． 9. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点C作于点H，根据勾股定理求出，再由的面积求出．连接，证明四边形是矩形，得到，因此当取得最小值时，取得最小值，根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：过点C作于点H， ∵在中，，，， ∴， ∵，或， ∴，即， ∴． 连接， ∵，， ∴， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当取得最小值时，取得最小值， ∵根据垂线段最短可得，当时，取得最小值，此时点D与点H重合，， ∴的最小值为． 10. a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，能熟记勾股定理的逆定理的内容是解此题的关键，注意：如果一个三角形的三边、、满足，那么这个三角形是直角三角形．先求出两小边的平方和，再求出最长边的平方，看看是否相等即可．根据勾股定理的逆定理和三角形的三边关系进行逐个分析即可． 【详解】解：，，是的三边，且，是斜边上的高， ①，不符合三角形的两边之和大于第三边； ∴不能组成三角形，故①错误； ②∵，， 又、、能组成三角形， ， ∴， ， ，，组成三角形（这里明显是最长边）； ，，能组成三角形，故②正确； ③，（直角三角形面积两直角边乘积的一半斜边和斜边上的高乘积的一半）， ， ， ， ， ， ， 、、能组成直角三角形，故③正确； ④， 能组成直角三角形，故④正确， 综上分析可知，正确的结论有3个． 故选：C． 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接写在答题卡上对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，二次根式有意义的条件， 根据分式有意义和二次根式有意义的条件可得，求出解集即可． 【详解】解：∵函数有意义， ∴分母，且被开方数，但分母不为零，故， 即， 解得． 故答案为：． 12. 已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 【答案】 【解析】 【分析】利用化去根号内的分母的方法，结合二次根式性质化简即可． 【详解】解：∵，， ∴． 13. 如图，已知，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用平行四边形对角线互相平分，即对角线中点坐标相同，设出点坐标列方程求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形， ∴对角线与互相平分，即中点坐标与中点坐标相同， ∴，， ∴，， ∴点D的坐标为． 14. 如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段_______． 【答案】 【解析】 【分析】由矩形得到，，，从而根据勾股定理求出，根据，得到的长，且，根据平行线的性质及对顶角相等可得出，从而根据等角对等边即可求解． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴，． ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴． 15. 已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 【答案】 或 【解析】 【分析】本题根据一次函数的增减性，对一次项系数分大于0和小于0两种情况讨论，结合给定区间内y的最大值为5，分别计算得到k的值，排除一次项系数为0的不符合情况即可． 【详解】解：已知一次函数为，自变量范围为，y的最大值为． 当，即时，随的增大而增大， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时， 随的增大而减小， ∴时，取得最大值， 代入得， 解得； 当，即时，， 不符合最大值为，舍去． 故的值为或． 16. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 【答案】5 【解析】 【分析】先根据正方形的性质证明，可得，再根据直角三角形的性质得，然后在延长线上截取，连接，根据“边角边”证明，可得，接下来说明当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半，最后根据勾股定理解答即可． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴． 又∵， ∴， ∴， ∴． ∵点M是的中点， ∴， 如图所示，在延长线上截取，连接， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴当H、D、F三点共线时，有最小值，即此时有最小值，最小值即为的长的一半， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得． ∴的最小值为5． 三．解答题（本大题共9个小题，共86分．请把答案直接写在答题卡上对应题的空白处．注意：在试题卷上作答无效） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解： ． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】；． 【解析】 【详解】解： ． 当时，原式． 19. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：， ，即． 四边形是平行四边形， ，． ． 在和中 ，． ． 四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】先证，则，，可得，可证四边形是平行四边形． 【详解】略 20. 如图，在中，．点是延长线上的点，连接． （1）若，，．求的长； （2）若平分，，，直接写出的长． 【答案】（1）4 （2）18 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，角平分线的性质，全等三角形的判定及性质等．掌握角平分线的性质，全等三角形的判定及性质，能熟练利用勾股定理进行求解是解题的关键． （1）由勾股定理得，，即可求解； （2）过作交于，由角平分线的性质得，由勾股定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解； 【小问1详解】 解：， ， ， ； 【小问2详解】 解：过作交于， ， ，， ， 平分，， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， 解得：． 故的长为． 21. 如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、解方程组以及割补法求面积： （1）利用待定系数法求解析式，联立两直线的解析式解方程组即可得到交点； （2）先求出点的坐标，再确定的长，的面积减去的面积即为的面积． 【小问1详解】 解：设直线的解析式为， 把点和点代入， 得， 解得：， 直线的解析式为． ，相交于点， ， 解得：， ． 【小问2详解】 解：当时， ， 解得：， ， ， ． 22. 如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）． 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质，矩形的判定与性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键是． （）由平行四边形的性质得出，，再由得出，从而证明四边形是平行四边形，然后根据矩形的判定方法即可求证； （）由（）得：四边形是矩形，则，，再由平行线的性质及等腰三角形的判定得出，然后由勾股定理即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：由（）得：四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23. 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ 【答案】（1）a=260； （2）真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； （3）每件最多降价8元． 【解析】 【分析】（1）根据题意列出一元一次方程求解即可； （2）设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件，根据题意列出不等式得出x≤100；设总利润为y，由题意得出函数关系式，然后利用一次函数的性质求解即可得出； （3）设降价z元，根据题意列出不等式求解即可． 【小问1详解】 解：根据表格数据可得： 50a+25×80=15000， 解得：a=260； 【小问2详解】 解：设真丝衬衣件数进货x件，则真丝围巾进货(300-x)件， 根据题意可得：300-x≥2x， 解得：x≤100； 设总利润为y， 根据题意可得y=(300-260)x+(100-80)(300-x)=20x+6000， ∵20>0， ∴y随x的增大而增大， 当x=100时，y最大为：20×100+6000=8000元， 此时方案为：真丝衬衣件数进货100件，真丝围巾进货200件，最大利润为8000元； 【小问3详解】 设降价z元， 根据题意可得（100-80）+100×（300-260）+100×（100-80-z）≥8000×90%， 解得：z≤8， ∴每件最多降价8元． 【点睛】题目主要考查一元一次方程及不等式的应用，一次函数的应用，理解题意，列出相应方程不等式是解题关键． 24. 如图，在边长是的正方形中，点在上，连接，分别过点，作的垂线，垂足分别是，，点是对角线的中点，连接，． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积是，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）是等腰直角三角形，理由如下： 如图，连接， ∵点是正方形对角线的中点，， ∴， ∴， ∴， 由（1）可知，， ∴，， ∴， 即， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴是等腰直角三角形； （3）（） 【解析】 【分析】（1）根据正方形的性质，以及同角的余角相等证明，得到． （2）连接，通过证明，得到，继而得到，得证是等腰直角三角形． （3）根据，得到，继而得到，利用勾股定理和三角形等面积法，得到，，继而通过计算的面积得到关于的函数解析式． 【小问1详解】 略； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：如图，连接， 由（2）可知，， ∴， ∴， ∵正方形的边长是， ∴， ∴在中，， ∴， ∵的面积是， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴在中，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵点在线段上运动（不包括端点）， ∴， ∴关于的函数解析式为（）． 25. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）是直线上一点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当点在线段上时，点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2），或 （3）存在，，或 【解析】 【分析】（1）求出点的坐标，再利用待定系数法即可得到答案； （2）设，由，根据当点在直线右侧，当点在直线左侧，分两种情况讨论，利用与的关系列方程，即可得到答案； （3）利用待定系数法解出直线的解析式，设，，根据当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，当为平行四边形的对角线时，分情况讨论，解得点的坐标． 【小问1详解】 解：∵直线与轴交于点，与轴交于点， ∴令，则，解得：， ∴， 令，则， ∴， 设直线的解析式为， ∴代入点，，得：，解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵为直线上一点， 设， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在直线右侧时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图，当点在直线左侧时， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ∴点的坐标为，或； 【小问3详解】 解：存在点，使以点为顶点的四边形为平行四边形，理由如下： 由（2）可知，当点在线段上时，点， 设直线的解析式为， ∴代入点，，得：，解得， ∴直线的解析式为， 设，， 如图，当为平行四边形的对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴可列方程：，解得， ∴； 如图，当为平行四边形的对角线时， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴可列方程：，解得， ∴； 如图，当为平行四边形的对角线时，过点作于点， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点坐标为，或． 【点睛】本题是考查一次函数的综合题，涉及待定系数法、三角形面积、平行四边形的判定与性质等知识点，学会用分类讨论的思想，学会添加辅助线，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高坪中学2025年八年级（下）期中教学质量监测数学试卷 （考试时间：120分钟 总分：150分） 注意事项： 1．答题前考生在答题卡上务必将自己的姓名、学校、班级、考号填写清楚，并贴好条形码，请认真核准条形码上考号、姓名和科目． 2．解答选择题时，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 3．解答填空题、解答题时，请在答题卡上各题的答题区域内作答． 一．单选题（本大题共10个小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．注意：在试题卷上作答无效） 1. 下列二次根式中，是最简二次根式的是（　　） A. B. C. D. 2. 下列各数中，能与8，15组成一组勾股数的是（　　） A. 6 B. 8 C. 10 D. 17 3. 下列各曲线不能表示是的函数的是（ ） A. B. C. D. 4. 下列性质中正方形具有而菱形没有的是（ ） A. 对角线互相平分 B. 对角线相等 C. 对角线互相垂直 D. 一条对角线平分一组对角 5. 如图，折线 描述了一辆新能源汽车在某一直线公路上的行驶过程中，汽车离出发地的距离 和行驶时间 之间的函数关系． 根据图中提供的信息，给出下列说法，其中正确的是（ ） A. 汽车一共行驶了 B. 汽车出发后前3小时的平均速度为 C. 汽车在整个行驶过程中停留了2小时 D. 汽车出发后3小时至4.5小时之间的平均速度是 6. 如图，在中，，分别是，边上的中点，在上，，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知直线经过第一、二、四象限，且点和都在该直线上，则下列说法错误的是（ ） A. B. C. D. 随的增大而减小 8. 如图，在菱形中，，点，分别在边，上，，的周长为，则的长为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，，，点是边上的一个动点（不与点，重合），过点分别作于点，于点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 10. a，b，c为直角三角形的三边，且c为斜边，h为斜边上的高．有下列说法： ①能组成三角形；②能组成三角形； ③能组成直角三角形；④能组成直角三角形 其中正确结论的个数是（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二．填空题（本大题共6个小题，每小题4分，共24分．请把答案直接写在答题卡上对应题中横线上．注意：在试题卷上作答无效） 11. 函数中，自变量的取值范围是___________． 12. 已知，当，时，，则当，时，化简_______（直接写化简结果）． 13. 如图，已知，，，且四边形是平行四边形，则点的坐标是_______． 14. 如图，在矩形中，，，点在对角线上，且，连接并延长，与边交于点，则线段_______． 15. 已知一次函数，当时，有最大值，则_______． 16. 如图，在边长为6的正方形中，点E，F分别是边上的动点，且满足，与交于点O，点M是的中点，G是边上的点，，则的最小值是_______. 三．解答题（本大题共9个小题，共86分．请把答案直接写在答题卡上对应题的空白处．注意：在试题卷上作答无效） 17. 计算： 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，，求证：四边形是平行四边形． 20. 如图，在中，．点是延长线上的点，连接． （1）若，，．求的长； （2）若平分，，，直接写出的长． 21. 如图，直线经过点和点，直线：与轴交于点，两直线，相交于点． （1）求直线的解析式和点的坐标； （2）求的面积． 22. 如图，在中，对角线，延长到点，使得，连接交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若平分，求的长． 23. 南充市被誉为中国绸都，本地某电商销售真丝衬衣和真丝围巾两种产品，它们的进价和售价如下表用15000元可购进真丝衬衣50件和真丝围巾25件．（利润＝售价－进价） 种类 真丝衬衣 真丝围巾 进价（元/件） a 80 售价（元/件） 300 100 （1）求真丝衬衣进价a的值． （2）若该电商计划购进真丝衬衣和真丝围巾两种商品共300件，据市场销售分析，真丝围巾进货件数不低于真丝衬衣件数的2倍．如何进货才能使本次销售获得的利润最大？最大利润是多少元？ （3）按（2）中最大利润方案进货与销售，在实际销售过程中，当真丝围巾销量达到一半时，为促销并保证销售利润不低于原来最大利润的90%，衬衣售价不变，余下围巾降价销售，每件最多降价多少元？ 24. 如图，在边长是的正方形中，点在上，连接，分别过点，作的垂线，垂足分别是，，点是对角线的中点，连接，． （1）求证：； （2）请判断的形状，并说明理由； （3）若点在线段上运动（不包括端点），设，的面积是，求关于的函数解析式，并写出的取值范围． 25. 如图在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，与轴交于点，过点的直线交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）是直线上一点，当时，求点的坐标； （3）在（2）的条件下，当点在线段上时，点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以点，，，为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $