精品解析：四川省南部中学2025-2026学年八年级下学期期中考试数学试卷

数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 1，2，3 D. 4，5，6 3. 下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等且互相平分 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 5. 如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，，则的值（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 10. 若 ，则 的值是 （ ） A. 2 B. C. D. 11. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 12. 如图，正方形中，，点G在的延长线上，且，连接，，并延长交于M．下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 13. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 14. 如图，矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数为，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为___________． 15. 如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 16. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 17. 已知分别为的两边，且满足，第三边 ​，求的面积________． 18. 已知菱形的周长为，其相邻两内角的度数比为，此菱形的面积为______． 19. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是_____． 20. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（）．过点D作于点F，连接．当t为________时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 计算： （1）； （2） 22. 先化简，再求值：，其中． 23. 某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． （1）请你帮忙计算出的长度________； （2）求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 24. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E （1）求证：是等腰三角形． （2）求线段的长． 25. 菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． （1）菱形的周长为________； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，求的长． 26. 正方形中，E为射线上一点． （1）如图1，F为对角线上一点，过点F作于点E，连接，若，，那么________； （2）如图2，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求线段的长； （3）如图3，E、G分别为的中点，连接和交于点Q，连接，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学期中考试卷 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题（本大题共12个小题，每小题4分，共48分） 1. 下列式子正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据二次根式的性质和二次根式的加减法则，逐一计算各选项即可判断． 【详解】解：A、，故此选项式子错误，不符合题意； B、，故此选项式子错误，不符合题意； C、，故此选项式子错误，不符合题意； D、，故此选项式子正确，符合题意． 2. 以下列各组数为边长，能构成直角三角形的是（ ） A. 1，，2 B. 2，3，4 C. 1，2，3 D. 4，5，6 【答案】A 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理和勾股定理的逆定理，逐个判断选项即可． 【详解】解：A：，， ，能构成直角三角形，符合题意； B：，，，不能构成直角三角形，不符合题意； C：，不满足三角形两边之和大于第三边，不能构成三角形，不符合题意； D：，，，不能构成直角三角形，不符合题意． 3. 下列关于菱形、矩形的说法正确的是（ ） A. 菱形的对角线相等且互相平分 B. 矩形的对角线相等且互相平分 C. 对角线互相垂直的四边形是菱形 D. 对角线相等的四边形是矩形 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形、矩形的性质和判定方法，一一判断即可． 【详解】A. 错误，菱形的对角线互相垂直平分. B. 正确，矩形的对角线相等且互相平分. C. 错误，对角线互相垂直的四边形不一定是菱形. D. 错误，对角线相等的四边形不一定是矩形. 故选B. 【点睛】考查矩形、菱形的判定与性质，熟记菱形和矩形的判定定理和性质定理是解题的关键. 4. 若与最简二次根式能合并，则的值为（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】A 【解析】 【分析】先将化为最简二次根式，根据能合并的最简二次根式是同类二次根式，同类二次根式的被开方数相等，列方程即可求解． 【详解】解：，与最简二次根式能合并， 二者是同类二次根式，被开方数相等， ∴， 解得：． 5. 如图，的顶点的坐标分别是，则点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据“平行四边形的对边平行且相等的性质”得到点的纵坐标与点的纵坐标相等，且，即可得到结果． 【详解】解：在中，，， ， ， 点的纵坐标与点的纵坐标相等， ∵ ． 6. 如图，在长为、宽为、高为的长方体上，有一只蚂蚁准备顺着长方体的表面从顶点A处爬到相对的顶点B处．则蚂蚁爬行的最短路程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了最短路径问题，几何体展开图，勾股定理，解题的关键是掌握分类讨论的思想． 根据长方体展开图，分三种情况进行讨论，利用勾股定理求出每种情况的路程，最后进行比较即可． 【详解】解：①如图所示， 根据勾股定理得； ②如图所示， 根据勾股定理得； ③如图所示， 根据勾股定理得； ∵ ∴最短路程为， 故选：B． 7. 如图，的周长为，且，、相交于点，交于，则的周长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和线段垂直平分线的性质，属于常考题型，熟练掌握平行四边形和线段垂直平分线的性质是解题的关键．根据平行四边形的性质和已知条件可得垂直平分，然后根据线段垂直平分线的性质可知，再结合平行四边形的性质即可求出答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴为的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴． ∴的周长． 故选：C． 8. 如图，在矩形中，对角线与交于点O，点E在边上，连接交于点F．若，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据矩形的性质得到，，，证明是等边三角形，进而求解． 【详解】解：如图， ∵四边形是矩形， ∴，，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 9. 已知，，则的值（ ） A. 4 B. 8 C. 6 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据已知条件求出，再利用完全平方公式对所求代数式因式分解，代入的值计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 10. 若 ，则 的值是 （ ） A. 2 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质及化简，由已知可得，再根据二次根式的性质即可得到，进而得到结果． 【详解】解：∵  ， ∴， ∴ ． 故选：C． 11. 如图，在中，，，，，则的长为（ ） A. 3 B. C. 2 D. 【答案】C 【解析】 【分析】延长到点E，使，连接，证明，得，然后在中，根据勾股定理求出CE的长，即可得出结论． 【详解】解：如图，延长到点E，使，连接， 则， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ． 12. 如图，正方形中，，点G在的延长线上，且，连接，，并延长交于M．下列结论中：①；②；③；④．正确的有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形的判定和性质． 由正方形的性质可知，，则，根据平行线的性质可知，根据等角对等边得到，则，证明，即可得到；根据对顶角相等得到，证明是直角三角形，根据斜边上的中线等于斜边的一半得到，根据等边对等角得到；根据即可得到；证明，得到，若，则，进而可知，即E为定点，不合题意． 【详解】解：∵正方形， ∴，， 即， ∵ ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴ ， ∴是直角三角形， ∵， ∴A为斜边的中点， ∴， ∴，故②错误； ∵， ∴，故③正确； 在和中， ∴， ∴， 若，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， 此时E为定点，题干未给出此条件，故④错误； 故选：B． 二、填空题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分） 13. 如果代数式有意义，那么的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】根据被开方数大于等于，分母不等于列不等式计算即可得解． 本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为；二次根式的被开方数是非负数． 【详解】解：由题意得，且， 解得且． 故答案为：且． 14. 如图，矩形中，，，在数轴上，且点A表示的数为，若以点A为圆心，对角线的长为半径作弧交数轴的正半轴于点M，则点M表示的实数为___________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，实数与数轴，矩形的性质，根据勾股定理求出的长是解题的关键．由矩形的性质得出的长，再根据勾股定理求出的长，即可推出结果． 【详解】解：如图，四边形是矩形， ， 在中，由勾股定理得， ， 以点为圆心，对角线的长为半径作弧，交数轴的正半轴于点， ， 点表示， 点所表示的数为：. 故答案为：. 15. 如图，五边形的一个内角是五边形的外角，则等于___________°． 【答案】288 【解析】 【分析】首先根据邻补角的性质求出  的外角，然后利用多边形的外角和定理，用减去  的外角，即可得到  的度数． 【详解】解：∵， ∴ 的外角为，  ∵ 五边形的外角和为 ， ∴． 16. 如图，为的中位线，点在上，且，若，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线定理，直角三角形的斜边中线定理，解题的关键是掌握相关知识．由中位线定理可得，点为的中点，根据，可得，即可求解． 【详解】解：为的中位线，， ，点为的中点， ，， ， ． 17. 已知分别为的两边，且满足，第三边 ​，求的面积________． 【答案】 【解析】 【分析】根据非负数的性质，求出的值，得到三角形的两边长，再结合第三边长，通过勾股定理的逆定理可证该三角形是直角三角形，利用三角形面积公式计算即可； 本题主要考查了非负数的性质，勾股定理的逆定理，三角形的面积，熟练掌握非负数的性质和勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 解得， 又∵第三边 ​， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 故答案为：． 18. 已知菱形的周长为，其相邻两内角的度数比为，此菱形的面积为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，含度角的直角三角形的性质；根据相邻两内角的度数比为：，可求出一个角，根据周长为，求出菱形的边长，根据直角三角形里角的性质求出高，从而求出面积． 【详解】解：作于点， 其相邻两内角的度数比为：， ， 菱形的周长为， ． ． 菱形的面积为：． 故答案为：． 19. 将矩形ABCD按如图所示的方式折叠得到菱形AECF若BC＝，则BE的长是_____． 【答案】1 【解析】 【分析】由矩形可得∠BCD是直角，由菱形的对角线平分每组对角，再由折叠可得∠BCE＝30°，在直角三角形BCE中，由勾股定理可求出答案． 【详解】解：由折叠得：∠BCE＝∠OCE， ∵四边形ABCD是矩形， ∴∠BCD＝90°， ∵四边形AECF是菱形， ∴∠OCE＝∠OCF， ∴∠BCE＝∠OCE＝∠OCF＝∠BCD＝30°， 在Rt△BCE中，∠BCE＝30°，BC＝， 设，则 根据勾股定理得， 解得：（负值已舍去） ∴BE＝1， 故答案为：1． 【点睛】本题考查矩形的性质、菱形的性质、折叠轴对称的性质以及勾股定理等知识，求出∠BCE＝30°，把问题转化到Rt△BCE中，由特殊的边角关系可求出结果． 20. 如图，在中，，，，点D从点C出发沿方向以的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿方向以的速度向点B匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点D，E运动的时间是ts（）．过点D作于点F，连接．当t为________时，为直角三角形． 【答案】或 【解析】 【分析】先证明四边形是平行四边形，然后分和两种情况，画出图形，根据含角的直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：由题意得：，，， ∵，， ∴， ∵ ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形； 如图所示：当时，则， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 解得：； 如图所示，当时， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴， ∴ ∴， 解得：； 综上所述：当或时，为直角三角形． 三、解答题（本大题共6小题，满分70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 21. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：， ， ， ． 22. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先根据分式的混合运算法则对式子化简，再代入x的值，根据二次根式的运算法则求解即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 23. 某小区计划在临街的拐角建造一块绿地（图中阴影部分），并在绿地中开辟一条小路．下图是施工图纸，，，，，，其中的长度不小心被污染了，但知道比长3m． （1）请你帮忙计算出的长度________； （2）求这片绿地（即四边形）的面积是多少？（小路忽略不计） 【答案】（1）12m （2） 【解析】 【分析】（1）设m，则m，在直角三角形中，根据勾股定理构建方程求解即可； （2）根据勾股定理逆定理可判定是直角三角形，再根据四边形的面积计算求解. 【小问1详解】 解：设m，则m， 在直角三角形中，根据勾股定理可得： ， ∴， 解得， 即的长度是12m； 【小问2详解】 解：在中，，，， ∵， ∴是直角三角形，且， ∴这片绿地（即四边形）的面积. 24. 如图，在矩形中，，，将沿对角线翻折，点C落在点处，交于点E （1）求证：是等腰三角形． （2）求线段的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据矩形的性质以及折叠的性质，证明，得出，即可得证； （2）设，则，在中，根据勾股定理建立方程，解方程，即可求解． 【小问1详解】 证明：在矩形中，，， 由折叠性质得 因为，所以，故 ∴，即是等腰三角形． 【小问2详解】 解：设，则 在中， 即 展开得： 解得： 所以线段的长为 25. 菱形的对角线相交于O，E是的中点，于F，于G，． （1）菱形的周长为________； （2）求证：四边形是矩形； （3）若，求的长． 【答案】（1）； （2）证明：∵四边形是菱形， ∴，即点是的中点， ∵是的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴四边形是矩形； （3）． 【解析】 【分析】（1）先根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，即可求出菱形的周长； （2）先根据菱形的性质可得，再根据三角形的中位线定理可得，证出，然后可证出四边形是平行四边形，最后根据矩形的判定即可得证； （3）根据矩形的性质可得，利用勾股定理求出的长，则可得的长，然后利用勾股定理求出的长，由此即可得． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∵在中，是的中点，， ∴，， ∴菱形的周长为； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵四边形是矩形，，， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 26. 正方形中，E为射线上一点． （1）如图1，F为对角线上一点，过点F作于点E，连接，若，，那么________； （2）如图2，E在延长线上，F为对角线上一点，连接，若，求线段的长； （3）如图3，E、G分别为的中点，连接和交于点Q，连接，求证：． 【答案】（1） （2） （3）证明：在正方形中，， 分别是的中点， ， ， 在和中，， ， ， 在中，， ， 是直角三角形，， 取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，则， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ，即， ， ， 同理，，则， 在中，， 令，则， 在中，， ， 在中，， ， ， 四边形是正方形， 连接， ， ， 在中，， ，， ， ， ， 【解析】 【分析】（1）先根据勾股定理求出，然后证明，然后根据全等三角形的性质证得即可； （2）连接，根据正方形的性质得出，即，根据等腰三角形的性质证得，由内角和为证得从而得到为直角三角形，最后根据勾股定理求得； （3）先证，得，取的中点M，H，连接，交于点F，S，交于点T，再证四边形是矩形，再证是正方形，由平行线分线段成比例定理证得是的中位线，证得到，令，则；通过勾股定理把用x表示出来，从而得到垂直平分，所以，通过勾股定理求得，而，消去即可得出 【小问1详解】 解：在正方形中，， ， ， ，垂足为E， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， 在正方形中，，即 ， 由（1）结论可得， ， ， ， ， ， ，即， ， ，即， ， 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $