精品解析：青海省三江源民族中学2025-2026学年高二第二学期期末考试数学试卷

2025-2026学年第二学期高二年级数学学科期末考试试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 84 B. 112 C. 168 D. 224 【答案】B 【解析】 【详解】. 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】应用导数的运算法则及复合函数的导数求法判断各项的正误. 【详解】A：，正确； B：，正确； C：，错误； D：，正确； 故选：C. 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 【答案】D 【解析】 【分析】根据等差数列的性质，可知，从而可求出结果. 【详解】解：根据题意，可知等差数列中，， 则， 所以. 故选：D. 4. 3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（ ）种 A. 120 B. 24 C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】利用捆绑法可得答案. 【详解】将两名女生当成一个元素和3名男生全排列得种排法， 两名女生排序有种排法， 所以共有种排法. 故选：C. 5. 在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 【答案】C 【解析】 【详解】设从上至下，第层的灯笼数为盏， 由题意可知，数列是首项为，公比为的等比数列， 设该数列的前项和为，则，即，解得. 故共有层塔. 6. 记为正项等比数列的前项和．若，，则（ ） A. 18 B. 10 C. 14 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】根据等比数列的性质得成等比数列，从而得到关于的方程，求解即可. 【详解】因为为等比数列的前项和，且，， 由等比数列的性质可知：成等比数列， 即成等比数列，所以，解得：， 故选：C 7. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 【答案】C 【解析】 【分析】根据二项式系数之和求出，结合二项式系数的特征可求答案. 【详解】因为二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则，解得， 所以二项式的展开式中，最大的二项式系数是，即二项式系数最大的项是第6项． 8. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】因为，所以， 可得，解得，故. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 在处，函数取得极值 D. 在处，函数取得极值 【答案】BC 【解析】 【分析】结合图象，根据导数与单调性、极值的关系依次判断求解. 【详解】对于A，由图象知，当时，， 所以在上单调递减，故A错误； 对于B，当时，， 所以函数在区间上单调递增，故B正确； 对于C，是导函数的一个变号零点， 故当时，函数取得极值，故C正确； 对于D，不是导函数的一个变号零点， 故当时，函数不能取得极值，故D错误. 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为1 C. 存在常数项 D. 的项的系数为80 【答案】AD 【解析】 【详解】A.各项二项式系数之和为，A正确； B.令得各项系数之和为，B错误； C.二项式的通项为 ,令 得，不符合题意，C错误； D.令得，所以的项的系数为,D正确. 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前10项和为216 【答案】ABC 【解析】 【分析】先根据关系式求出通项公式，再根据等差数列求和公式求和即可判定. 【详解】已知， 当时，. 当时，. 得， 化简得，验证时，符合条件， 因此通项公式为. 选项A：，正确. 选项B：通项，正确. 选项C：是首项、公差的等差数列，前项和，正确. 选项D：，当时，时， 前10项和，错误. 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】利用导数的几何意义求出切线斜率，由直线的点斜式方程求解即得. 【详解】对求导得  依题意，可得  故所求切线方程为  ，即. 13. 若，则m=______. 【答案】 【解析】 【分析】直接利用组合数的性质得到x+3x-6=18或x=3x-6,解之即得x的值. 【详解】因为，所以x+3x-6=18或x=3x-6，所以x=3或6. 故答案为3或6 【点睛】（1）本题主要考查组合数的性质，意在考查学生对该知识的掌握水平.(2)如果. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用在上恒成立，再转化为求函数的最值得出结论. 【详解】因为函数在上单调递增，所以在上恒成立， 即在上恒成立, 又在上单调递增，所以， 所以，即实数的取值范围是. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 【答案】（1）；（2），最小值为． 【解析】 【分析】（1）由等差数列通项公式列出方程组，求出，．由此能求出的通项公式． （2）由，．求出．从而当或时，的最小值为． 【详解】（1）∵为等差数列的前n项和，，． ∴， 解得，． ∴的通项公式为． （2）∵，． ∴． 为开口向上的二次函数，对称轴为，又 ∴当或时，的最小值为． 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 【答案】（1）60；（2）91种；（3）120种. 【解析】 【详解】试题分析：（1）根据题意，分别计算“从5名男生中选出2人”和“从4名女生中选出2人”的选法数目，由分步计数原理计算可得答案； （2）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“甲乙都没有入选”的选法数目，即可得答案； （3）用间接法分析：先计算在9人中任选4人的选法数目，再排除其中“只有男生”和“只有女生”的选法数目，即可得答案． 试题解析： (1)； (2)方法1：(间接法) 在9人选4人的选法中，把男甲和女乙都不在内的去掉，就得到符合条件的选法数为： (种)； 方法2：(直接法) 甲在内乙不在内有种，乙在内甲不在内有种，甲、乙都在内有种，所以男生中的甲与女生中的乙至少有1人在内的选法共有： (种). (3)方法1：(间接法) 在9人选4人的选法中，把只有男生和只有女生的情况排除掉，得到选法总数为： (种)； 方法2：(直接法) 分别按含男1，2，3人分类，得到符合条件的选法总数为： (种). 点睛：（1）解排列组合问题要遵循两个原则：①按元素(或位置)的性质进行分类；②按事情发生的过程进行分步．具体地说，解排列组合问题常以元素(或位置)为主体，即先满足特殊元素(或位置)，再考虑其他元素(或位置)． （2）不同元素的分配问题，往往是先分组再分配．在分组时，通常有三种类型：①不均匀分组；②均匀分组；③部分均匀分组．注意各种分组类型中，不同分组方法的求解． 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）是函数的一个极值点，求在区间上的最大值． 【答案】（1）减区间为，增区间为． （2）76 【解析】 【分析】（1）根据导函数的符号判断原函数的单调性即可； （2）根据极值点求出，再根据函数的单调性得到最大值. 【小问1详解】 已知函数，. 当或时，，单调递减. 当时，，单调递增. 因此的单调递减区间为，单调递增区间为. 【小问2详解】 . 是函数的一个极值点，， ，. 令，解得或；令，解得． 可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为， 则是函数的一个极值点，符合题意， 又因为，可知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 函数的极大值为，且， 函数在区间上的最大值为． 18. 设是等差数列的前项和，且，其中，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系可求得. （2）由（1）得的通项公式，再由前n项和的定义写出的表达式，最后通过裂项相消法求出. 【小问1详解】 由题意得，根据等差数列前n项和与通项公式之间的关系， 当时，， 当时，， 又当时，满足的通项公式， 所以数列的通项公式为. 【小问2详解】 由（1）可得，， 所以， 所以数列的前项和 . 所以数列的前项和. 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明不等式恒成立． 【答案】 （1）当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）设函数， 则，可知在上单调递增． 又由，知，在上有唯一实数根，且， 则，即． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增； 所以，结合，知， 所以， 则， 即不等式恒成立． 【解析】 【分析】（1）求出函数导数，讨论的范围结合导数即可得出单调性； （2）构造函数，利用导数可得在上有唯一实数根，且，则可得，即得证. 【详解】（1） 当时，，所以在上单调递增； 当时，令，得到， 所以当时，，单调递增， 当时，，单调递减． 综上所述，当时，在上单调递增； 当时，在上单调递增，在上单调递减． （2）略 【点睛】关键点睛：本题考查不等式恒成立的证明，解题的关键是转化为证明的最小值大于0. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期高二年级数学学科期末考试试卷 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．问答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，本试卷和答题卡一并交回． 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. （ ） A. 84 B. 112 C. 168 D. 224 2. 下列求导运算不正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 已知等差数列中，，则（ ） A. 15 B. 30 C. 45 D. 60 4. 3名男生和2名女生排成一队照相，要求女生相邻，共有排法（ ）种 A. 120 B. 24 C. 48 D. 96 5. 在重大节日里，从古至今我国有悬挂灯笼增加节日气氛的习俗．据文献记载，古代有一座层的塔共挂了盏灯笼，相邻两层中的下一层灯笼数是上一层灯笼数的倍，顶层有盏灯笼，问共有多少层塔？（ ） A. 层 B. 层 C. 层 D. 层 6. 记为正项等比数列的前项和．若，，则（ ） A. 18 B. 10 C. 14 D. 12 7. 若二项式的展开式中，所有的二项式系数之和为1024，则二项式系数最大的项是（ ） A. 第4项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 8. 已知为函数的导函数，若，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求． 9. 已知函数的导函数的图象如图所示，则下列说法正确的是（ ） A. 函数在区间上单调递增 B. 函数在区间上单调递增 C. 在处，函数取得极值 D. 在处，函数取得极值 10. 关于的展开式，下列说法正确的是（ ） A. 各项二项式系数之和为32 B. 各项系数之和为1 C. 存在常数项 D. 的项的系数为80 11. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. 的前项和为 D. 的前10项和为216 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 曲线在点处的切线方程为___________． 13. 若，则m=______. 14. 已知函数在上单调递增，则实数的取值范围是__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15. 记Sn为等差数列的前n项和，已知a9=－4，a10+a12=0. （1）求的通项公式； （2）求Sn，并求Sn的最小值. 16. 从5名男生和4名女生中选出4人去参加座谈会，问： (1)如果4人中男生和女生各选2人，有多少种选法？ (2)如果男生中的甲与女生中的乙至少要有1人在内，有多少种选法？ (3)如果4人中必须既有男生又有女生，有多少种选法？ 17. 已知函数． （1）当时，求的单调区间； （2）是函数的一个极值点，求在区间上的最大值． 18. 设是等差数列的前项和，且，其中，． （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和． 19. 已知函数． （1）讨论函数的单调性； （2）证明不等式恒成立． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $