精品解析：贵州省贵阳市乌当区 中央民族大学附属中学贵阳学校2025-2026学年下学期八年级数学期中试卷

2025——2026学年度第二学期八年级期中试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，共25道小题，满分150分．考试时长120分钟。考试形式为闭卷． 2.请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 5. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 9. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 11. 如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 12. 如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③ 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 14. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 三、（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列小题． （1）解不等式：． （2）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：________， 由不等式②得：________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为________． 18. 如图，在与中，，，求证：． 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示: （1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 20. 如图，中，，，平分，若，求的长． 21. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 22. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 24. 如图，在中，，垂直平分． （1）如果，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 25. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025——2026学年度第二学期八年级期中试卷 数学 同学你好！答题前请认真阅读以下内容： 1.全卷共6页，共25道小题，满分150分．考试时长120分钟。考试形式为闭卷． 2.请在答题卡相应位置作答，在试题卷上答题无效． 一、选择题（每小题3分，共36分.每小题均有A、B、C、D四个选项，其中只有一个选项正确，请用2B铅笔在答题卡相应位置填涂） 1. 中国“二十四节气”已被正式列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作品录，下列四幅作品分别代表“立春”“谷雨”“白露”“大雪”，其中是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的概念：如果一个图形绕着某个定点旋转后能与原图重合，这样的图形叫做中心对称图形．解题关键是熟记中心对称图形的概念．根据中心对称图形的概念即可求解． 【详解】解：A、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、选项中的图形不是中心对称图形，故本选项不符合题意； D、选项中的图形是中心对称图形，故本选项符合题意． 故选：D． 2. 若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题关键．根据不等式的基本性质逐项判断即可得． 【详解】解：A．∵， ∴，则此项错误，不符题意； B．∵， ∴，则此项错误，不符题意； C．∵， ∴，则此项错误，不符合题意； D．∵， ∴，则此项正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，将含的直角三角板绕着点A顺时针旋转到处（点C，A，D在一条直线上），则这次旋转的旋转角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转角的求解，根据旋转角的定义，两对应边的夹角就是旋转角，据此即可求解． 【详解】解：根据题意：旋转角是． 故选：C． 4. 在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变换-平移变换，根据点的坐标平移规则：左减右加，上加下减求解即可． 【详解】解：在平面直角坐标系中，将点向上平移2个单位长度后得到点的坐标为，即， 故选：D． 5. 将一个含角的三角尺和直尺如图放置，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了对顶角的性质，三角形内角和定理．根据对顶角相等和三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：如图所示， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 6. 不等式的解集在数轴上表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：不等式在数轴上表示如下： 7. 在中，用尺规作图，分别以点A和C为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N．作直线交于点D，交于点E，连接．则下列结论不一定正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用线段的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】由作图可知，垂直平分线段， ∴，，， 故选项B，C，D正确， 故选：A． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，正确掌握线段垂直平分线的性质是解题关键． 8. 如图，将沿着射线平移到．若，则平移的距离为（ ） A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 【答案】A 【解析】 【分析】利用平移性质，确定对应点，通过线段长度计算平移距离．本题主要考查平移的性质，熟练掌握平移中对应点间的距离为平移距离是解题的关键． 【详解】解：∵沿射线平移得到， ∴点与点是对应点．平移的距离为的长度， 又∵，， ∴． 故选：． 9. 已知在平面直角坐标系中，一次函数与的图象如图所示，若，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系，解题的关键是正确理解函数图象．根据函数图象，结合一次函数与一元一次不等式的关系，即可得时，的取值范围． 【详解】解：由图像可知，一次函数与的图象交于点， 当时，， 故选：． 10. 如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点．已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质，作角平分线；根据角平分线的尺规作图可得平分．作，再根据角平分线的性质可得，再利用三角形的面积公式求解即可． 【详解】解：过点E作，如图所示： 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：A． 11. 如果不等式组恰有2个整数解，则a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式组的整数解，解不等式组应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 首先解不等式组求得不等式组的解集，然后根据不等式组恰有2个整数解，即可确定整数解，然后得到关于a的不等式求解即可． 【详解】解：解不等式组得：， ∵恰好有2个整数解， ∴整数解是2，1， ∴． 故选：D． 12. 如图，点是的中点，，，平分，下列结论：①；②；③；④．四个结论中成立的是（ ） A. ①②④ B. ①②③ C. ②③④ D. ①③ 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等．也考查了三角形全等的判定与性质．过作于，证，得到，，；而点是的中点，得到，则可证得，得到，，也可得到，，即可判断出正确的结论． 【详解】解：过作于，如图， ，平分， ，， 在和中， ， ， ，，； 而点是的中点， ，所以③错误，不符合题意； ， ，，所以②正确，符合题意； ，所以④正确，符合题意； ，所以①正确，符合题意； 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共16分） 13. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、一元一次不等式的应用，熟练掌握二次根式的被开方数的非负性是解题关键．根据二次根式的被开方数的非负性建立不等式，解不等式即可得． 【详解】解：∵式子在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 如图，由绕点A逆时针旋转得到，若，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，解题的关键是理解对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，旋转前、后的图形全等．旋转之后得出，再根据角的和差即可得出答案． 【详解】解：由绕点A逆时针旋转得到， ， 故答案为：． 15. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 16. 如图，是边长为的等边三角形，点为高上的动点．连接，将绕点顺时针旋转得到．连接，，，则周长的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】根据题意，证明，进而得出点在射线上运动，作点关于的对称点，连接，设交于点，则，则当三点共线时，取得最小值，即，进而求得，即可求解． 【详解】解：∵为高上的动点． ∴ ∵将绕点顺时针旋转得到．是边长为的等边三角形， ∴ ∴ ∴， ∴点在射线上运动， 如图所示， 作点关于的对称点，连接，设交于点，则 在中，，则， 则当三点共线时，取得最小值，即 ∵，， ∴ ∴ 在中，, ∴周长的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了轴对称求线段和的最值问题，等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，熟练掌握等边三角形的性质与判定以及轴对称的性质是解题的关键． 三、（本大题共9题，共98分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 按要求完成下列小题． （1）解不等式：． （2）解一元一次不等式组，并在数轴上表示． 解：由不等式①得：________， 由不等式②得：________， 在数轴上表示为： 所以，原不等式组的解集为________． 【答案】（1） （2）；；； 【解析】 【小问1详解】 解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得； 【小问2详解】 略 18. 如图，在与中，，，求证：． 【答案】 证明：在与中，， ， ∴， ∴ 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握直角三角形中斜边直角边判定三角形全等是解题的关键． 根据直角三角形中斜边直角边判定，由全等三角形的性质即可求解． 【详解】略 19. 在平面直角坐标系中的位置如图所示: （1）画出关于原点对称的,并写出点的坐标； （2）将绕点顺时针旋转得到,画出旋转后的． 【答案】（1）如图： , （2）如图， ． 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中关于原点对称点坐标求法,画旋转图形． （1）根据题意知,,,关于原点对称点坐标均互为相反数,先求出,,,最后连接三点即是所得图形及点的坐标； （2）先求出点绕点旋转后的点,同理求出,最后连接三个点即可得到. 【小问1详解】 解:∵,,, ∴关于原点对称的点为:,,, 将三点连接,如下图所示: , ∴； 【小问2详解】 解:∵,,, ∴将三点绕点B旋转后的坐标为,, 将三点连接,如下图所示: ． 20. 如图，中，，，平分，若，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】根据角平分线的定义求得，可得的直角边是斜边长度的一半；然后由三角形的外角定理知，可得，根据等角对等边可知，根据可得结论． 【详解】解：∵中，，，平分， ∴，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴的长为． 【点睛】本题考查角平分线的定义，含角的直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，三角形外角的性质．解题的关键是掌握：在直角三角形中，角所对的直角边等于斜边的一半． 21. 已知直线经过点，． （1）求直线的解析式； （2）若直线与直线相交于点C，求点C的坐标； （3）根据图象，写出关于x的不等式的解集． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】此题主要考查了待定系数法求一次函数解析式，以及一次函数的交点，一次函数与一元一次不等式的关系，关键是正确从函数图象中获得正确信息． （1）利用待定系数法把点A，点B代入可得关于k、b得方程组，再解方程组即可； （2）联立两个函数解析式，再解方程组即可； （3）根据C点坐标可直接得到答案． 【小问1详解】 直线经过点，， ， 解得， 直线的解析式为：； 【小问2详解】 若直线与直线相交于点C， ． 解得， 点； 【小问3详解】 由（2）得， 根据图象可得不等式的解集为：． 22. 如图，在和中，，，． （1）求证：． （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：， ， ， ，， ， ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形性质和判定，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． （1）根据角的运算得到，证明，利用全等三角形性质求解，即可解题； （2）利用全等三角形性质得到，再结合三角形内角和定理，以及“”字形得到，最后进行等量代换求解，即可解题． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ， 记交于点， 有， ， ，， ． 23. 近年来光伏建筑一体化广受关注．某社区拟修建A，B两种光伏车棚．已知修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元． （1）求修建每个A种，B种光伏车棚分别需投资多少万元？ （2）若修建A，B两种光伏车棚共20个，要求修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，问修建多少个A种光伏车棚时，可使投资总额最少？最少投资总额为多少万元？ 【答案】（1）修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元 （2）修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，不等式的应用，一次函数的应用，解题的关键是根据等量关系列出方程，根据不等关系列出不等式． （1）设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据修建2个A种光伏车棚和1个B种光伏车棚共需投资8万元，修建5个A种光伏车棚和3个B种光伏车棚共需投资21万元列出方程组，解方程组即可； （2）设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，先根据修建的A种光伏车棚的数量不少于修建的B种光伏车棚数量的2倍，列出不等式，求出m的范围，然后W关于m的关系式，根据一次函数的性质求出结果即可． 【小问1详解】 解：设修建一个种光伏车棚需投资万元，修建一个种光伏车棚需投资万元，根据题意，得， 解得 答：修建一个种光伏车棚需投资3万元，修建一个种光伏车棚需投资2万元． 【小问2详解】 解：设修建种光伏车棚个，则修建种光伏车棚个，修建种和种光伏车棚共投资万元，根据题意，得， 解得， ， ， 随的增大而增大， 当时，取得最小值，此时（万元）， 答：修建种光伏车棚14个时，投资总额最少，最少投资总额为54万元． 24. 如图，在中，，垂直平分． （1）如果，，试求的周长； （2）如果，求的度数． 【答案】（1）14cm；（2）∠B=35°． 【解析】 【分析】（1）由AB的垂直平分线DE交AB、BC于E、D，可得AD=BD，继而可得△ACD的周长=AC+BC； （2）由∠CAD：∠BAD=4：7，可设∠CAD=4x，∠BAD=7x，继而可得方程4x+7x+7x=90°，解此方程即可求得答案． 【详解】解：（1）∵AB的垂直平分线是DE， ∴AD=BD， ∵AC=6cm，BC=8cm， ∴△ACD的周长为：AC+CD+AD=AC+BD+CD=AC+BC=14（cm）； （2）∵∠CAD：∠BAD=4：7， ∴设∠CAD=4x，∠BAD=7x， ∵AD=BD， ∴∠B=∠BAD=7x， ∵Rt△ABC中，∠C=90°， ∴∠CAD+∠BAD+∠B=90°， ∴4x+7x+7x=90°， 解得：x=5°， ∴∠B=35°． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线的性质以及等腰三角形的性质．此题难度适中，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 25. 已知和都是等腰直角三角形，． （1）如图1，连接AM，BN，求证：； （2）将绕点O顺时针旋转． ①如图2，当点M恰好在AB边上时，求证：； ②当点A，M，N在同一条直线上时，若，，请直接写出线段AM的长． 【答案】（1）见解析 （2）①见解析；②或 【解析】 【分析】（1）通过代换得对应角相等，再根据等腰直角三角形的性质得对应边相等，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，即可得到AM=BN； （2）①连接BN，根据等腰直角三角形的性质，利用“SAS”证明△AOM≌△BON，得对应角相等，对应边相等，从而可证∠MBN=90°，再根据勾股定理，结合线段相等进行代换，即可证明结论成立； ②分点N在线段AM上和点M在线段AN上两种情况讨论，连接BN，设BN=x，根据勾股定理列出方程，求出x的值，即可得到BN的长，BN的长就是AM的长． 【小问1详解】 证明：∵∠AOB=∠MON=90°， ∴∠AOB+∠AON=∠MON+∠AON， 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB，OM=ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴AM=BN； 【小问2详解】 ①证明：连接BN， ∵∠AOB=∠MON=90°， ∴∠AOB-∠BOM=∠MON-∠BOM， 即∠AOM=∠BON， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形， ∴OA=OB，OM=ON， ∴△AOM≌△BON（SAS）， ∴∠MAO=∠NBO=45°，AM=BN， ∴∠MBN=90°， ∴MB2+BN2=MN2， ∵△MON是等腰直角三角形， ∴MN2=2ON2， ∴AM2+BM2=2OM2； ②如图3，当点N在线段AM上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6，AB=8， ∴， 解得：或（舍）， ∴AM=BN=； 如图4，当点M在线段AN上时，连接BN，设BN=x， 由（1）可知△AOM≌△BON，可得AM=BN且AM⊥BN， 在Rt△ABN中，AN2+BN2=AB2， ∵△AOB和△MON都是等腰直角三角形，OA=，OM=， ∴MN=6，AB=8， ∴， 解得：（舍）或， ∴AM=BN=； 综上所述，线段AM的长为或． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，图形的旋转，勾股定理等知识点，抓住图形旋转中不变的量，巧妙构造直角三角形是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $