精品解析：内蒙古自治区包头市青山区2025-2026学年度第二学期八年级期末教学质量监测试卷 数学

2025-2026学年度第二学期八年级期末教学质量监测试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 包头剪纸，是西口文化的延续，吸收了北方游牧和中原农耕两种截然不同的文化，具有别样的塞上风情．以下剪纸图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称图形：把一个图形绕着某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形．据此逐项判断即可． 【详解】解：A中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C中图案既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意； D中图案是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据数轴可得不等式的解集，注意实心表示可以取等于，空心表示不能取等于． 【详解】解：由数轴可得，这个不等式组的解集为． 3. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】因式分解是把一个多项式变形为几个整式乘积的形式的过程，根据因式分解的定义，即可求解． 【详解】解：A. 左边是单项式，不是多项式，不属于因式分解； B. 变形是整式乘法，是从积到多项式的转化，不属于因式分解； C. 是将多项式化为整式的积的形式，属于因式分解； D. 右边是和的形式，不是几个整式的积的形式，不属于因式分解. 4. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行四边形对角线的性质，可得，，且，可推出，由此计算出的数值．将的数值与的长度相加，即可得到的周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴． ∴的周长为． 5. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据“时间=路程÷速度”统一单位后，利用两者的时间差关系列方程即可． 【详解】解：∵设外卖员配送速度为，则无人机速度为， 可得外卖员用时为小时，无人机用时为小时， ∵24分钟小时，无人机比外卖员早到小时，即外卖员用时比无人机多小时， ∴ 可列方程为． 6. 如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】B 【解析】 【分析】若，阴影部分面积为，根据三角形的面积公式可得的长，再根据线段的和差关系可得的长，然后根据平移的性质可得，据此求得的长． 【详解】解：，阴影部分面积为， ， ， ． 7. 某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第m天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为)，对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求得的值，结合函数图象，即可求解． 【详解】解：∵在上， ∴ 解得： 根据函数图象可得，当时， 溶解氧浓度不低于污染物浓度. 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形的面积，勾股定理，三角形中位线，垂线段最短等知识点，根据垂线段最短确定出的位置是解答本题的关键． 根据已知条件判断出是的中位线，得到，当时，的值最小，根据勾股定理和等面积法求出，即可得解． 【详解】如图，连接， 点、分别是、的中点， 是的中位线， ， 当时，的值最小，此时的值也就最小， 由勾股定理得：， ， ， ． 故选:． 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 不等式的解集是________ 【答案】 【解析】 【分析】通过移项解一元一次不等式，注意不等式两边同乘负数时不等号方向改变. 【详解】解：∵ ， 移项得. 不等式两边同时乘，不等号方向改变， ∴ . 10. 《红楼梦》是我国四大名著之一．如图是《红楼梦》的八边形彩色金币，将其抽象为正八边形，延长至点P，则的度数为__________． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据正n边形的外角等于，解答即可； 【详解】解：根据题意，得； 11. 如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是______米． 【答案】 【解析】 【分析】过B点作于点D，利用含角的直角三角形的性质求出，再利用勾股定理即可求解． 【详解】过B点作于点D，如图， 根据题意有：，， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴（米）， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，含角的直角三角形的性质以及勾股定理等知识，掌握含角的直角三角形的性质，是解答本题的关键． 12. 定义：若一个三角形中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为倍角三角形．如图，在中，，、分别是、上的点，，沿折叠，点的对应点恰好落在上．若是倍角三角形，则________． 【答案】或 【解析】 【详解】解：如图：连接 ，由题意可知 关于轴对称， ， ， 是倍角三角形， 它有一个内角是另一个内角的倍， 当时， 当时，则 综上所述或． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 按要求完成下列各题： （1）分解因式：； （2）计算：； （3）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】（1） （2） （3），在数轴上表示为： 【解析】 【分析】（1）先提取公因式，然后根据平方差公式进行因式分解即可； （2）先算乘方，然后计算乘除即可； （3）分别求出两个不等式的解集，然后取它们的公共部分，最后在数轴上表示即可. 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为， 在数轴上表示解集：略. 14. 先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值、分式有意义的条件，熟练掌握分式的运算法则是解题关键．先计算括号内的分式减法，再计算分式的除法，然后根据分式有意义的条件选择代入计算即可得． 【详解】解：原式 ． ∵，即， ∴选择代入得：原式． 15. 如图，在平面直角坐标系中，和的顶点坐标都是整数，已知点，． （1）将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，其中点分别与点A，B，C对应，请在图中画出； （2）将绕D点逆时针旋转，得到，其中点分别与点E，F对应，请在图中画出； （3）与关于平面内某一点成中心对称，请在图中画出对称中心M，并写出点M的坐标． 【答案】（1）如图，即为所求， （2）如图，即为所求， （3）如图，点M即为所求， 点M的坐标为. 【解析】 【分析】（1）先作出点A，B，C平移后的点，，，再顺次连接成三角形即可； （2）先作出点E，F绕点逆时针旋转后的点，，再顺次连接成三角形即可； （3）利用关于一点对称的图形对应点相交于一点，进而连接各对应点得出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 16. 综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 【答案】（1）乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元 （2）共有三种购买方案，最低费用是5780元 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程解决实际问题，列一元一次不等式组解决方案问题，解题的关键是准确找出等量关系和不等关系． （1）假设出两种型号“文房四宝”的价格，根据数量找出等量关系，列出方程求解即可； （2）假设出两种型号“文房四宝”的数量，根据不等关系列出不等式组，确定取值，然后制定方案求出花费的钱数即可． 【小问1详解】 解：设乙型号的“文房四宝”每套的价格为元，则甲型号的每套为元，根据题意得， 解得， 经检验，是原分式方程的根，并符合题意， 此时，， 所以，乙型号的“文房四宝”每套的价格为50元，甲型号的每套为80元； 【小问2详解】 解：设购买甲型号“文房四宝”套，则乙型号为套，根据题意得， 解得， ∵取值为正整数， ∴可取26,27,28， 所以有以下三种购买方案： 方案一：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； 方案二：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； 方案三：当时，即购买甲套，乙套， 此时费用为（元）； ∵ ∴共有三种购买方案，且方案一最省钱，最低费用是5780元． 17. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 【答案】（1） （2） （3）是等腰三角形 【解析】 【分析】（1）根据题意，先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再利用平方差公式分解因式即可； （2）首先利用“配方法”将变形为，然后得到最小值为，根据题意得到，进而求解即可； （3）首先利用“配方法”将变形为，得到，，，求出，，即可得出结论． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：∵ ∵ ∴ ∴的最小值为 ∵多项式有最小值为1， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：∵ ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰三角形． 18. 小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，． （1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______． （2）①证明； ②证明四边形是平行四边形． （3）当，时，直接写出的度数． 【答案】（1）补全图形见解析；相等； （2）①见解析；②见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）过点E作的垂线并延长，取，则点G是点E关于的对称点，可补全图形，可得是线段的垂直平分线，根据垂直平分线的性质即可求解． （2）①根据是等边三角形得，根据三角形的外角关系 可得，利用即可求证结论；②利用全等三角形的性质及平行线的判定可得可得，且，进而可求证结论． （3）连接，利用等边三角形的判定可得是等边三角形，在利用勾股定理的逆定理可得是等腰直角三角形，进而可求得，在根据即可求解． 【小问1详解】 解：过点E作的垂线并延长，取，则点G是点A关于的对称点， 补全图形如图所示： 点E和点G关于对称， 是线段的垂直平分线， ，， ∴， 是边等三角形， ， ， 故答案为：相等，． 【小问2详解】 ①，， ， 是边等三角形， ， 在和中， ， ． ②， ，， ， ， ，， ， ， 又， 四边形是平行四边形． 【小问3详解】 连接，如图所示： ，， 等边三角形， ， 是边等三角形， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 在中，， ， ， 是等腰直角三角形， ， 又， ， ， ． 【点睛】本题考查了几何变换——轴对称、全等三角形的判定及性质、轴对称的性质、等腰直角三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质、平行四边形的判定及性质，熟练掌握基础知识，根据轴对称的性质作出图形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期八年级期末教学质量监测试卷 数学 注意事项：1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题：本大题共有8小题，每小题3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑． 1. 包头剪纸，是西口文化的延续，吸收了北方游牧和中原农耕两种截然不同的文化，具有别样的塞上风情．以下剪纸图案既是轴对称图形也是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 一个不等式组中的两个不等式的解集在数轴上的表示如图所示，则这个不等式组的解集为（ ） A. B. C. D. 3. 下列等式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，□的对角线相交于点，且，则的周长是（     ） A. 5 B. 7 C. 10 D. 11 5. 无人机送外卖已在多个城市进入常态化运营阶段．某一外卖订单，若由外卖员骑行配送，路程为；若由无人机飞行配送，路程为．已知无人机速度是外卖员速度的倍，且无人机比外卖员早到分钟．设外卖员配送速度为，根据题意可列方程为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，向右平移后得到，点B，E，C，F在同一直线上，分别交，于点E，M，若，，阴影部分面积为，则的长为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 7. 某湿地修复项目中，研究人员需监测两种水质指标--溶解氧浓度（单位：mg/L）和污染物浓度（单位：mg/L）随时间x（天）的变化．如图所示，溶解氧浓度由直线描述，污染物浓度由直线描述．已知在第m天时，溶解氧浓度与污染物浓度相等（均为)，对应交点．当溶解氧浓度不低于污染物浓度时，水质有较强的修复能力，此时x范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，，，点在边上，点为边上的动点，点、分别为的中点，则的最小值是（　　） A. 2 B. 2.5 C. 2.4 D. 1.2 二、填空题：本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上． 9. 不等式的解集是________ 10. 《红楼梦》是我国四大名著之一．如图是《红楼梦》的八边形彩色金币，将其抽象为正八边形，延长至点P，则的度数为__________． 11. 如图，太原方特大摆锤的长度为米，当大摆锤绕点O顺时针旋转到时，点B到的距离是______米． 12. 定义：若一个三角形中一个内角是另一个内角的2倍，则称这个三角形为倍角三角形．如图，在中，，、分别是、上的点，，沿折叠，点的对应点恰好落在上．若是倍角三角形，则________． 三、解答题：本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置． 13. 按要求完成下列各题： （1）分解因式：； （2）计算：； （3）解不等式组：，并把它的解集在数轴上表示出来． 14. 先化简，再从中选择一个合适的数作为的值代入求值． 15. 如图，在平面直角坐标系中，和的顶点坐标都是整数，已知点，． （1）将先向左平移4个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到，其中点分别与点A，B，C对应，请在图中画出； （2）将绕D点逆时针旋转，得到，其中点分别与点E，F对应，请在图中画出； （3）与关于平面内某一点成中心对称，请在图中画出对称中心M，并写出点M的坐标． 16. 综合与实践 “文房四宝”是中国传统的书法绘画工具，即笔、墨、纸、砚．文房四宝之名起源于南北朝时期．某校为了落实“双减”政策，丰富学生的课后服务活动，开设了书法社团，计划为学生购买甲、乙两种型号的“文房四宝”．经过调查，得知每套甲型号“文房四宝”的价格比每套乙型号的价格贵30元，用640元购买甲型号“文房四宝”的数量和用400元购买乙型号“文房四宝”的数量相同． （1）求甲、乙这两种型号的“文房四宝”每套的价格． （2）若该校需购进甲、乙两种型号“文房四宝”共100套，总费用不超过5840元，并且要求购进乙型号“文房四宝”的数量少于甲型号“文房四宝”数量的3倍，请问共有几种购买方案？最低费用是多少？ 17. 阅读与思考 阅读材料：我们把多项式及叫做完全平方式．如果一个多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，不仅可以将一个看似不能分解的多项式分解因式，还能解决一些求代数式的最大值，最小值的问题． 例如：分解因式． ． 又例如：求代数式的最小值． ∵． 又∵， ∴当时，有最小值，最小值是． 根据阅读材料，利用“配方法”，解答下列问题． （1）分解因式：______． （2）若多项式的最小值为1，求出k的值． （3）已知a，b，c是的三边长，且满足，试判断的形状． 18. 小宇将一个含的三角板绕着等边中边上的一点E旋转，如图所示，三角板短直角边、斜边分别与边、交于点D、点F，当时，得到图1，作点E关于的对称点G，连接，． （1）请在图1中补全图形，则与的数量关系是______，的度数为______． （2）①证明； ②证明四边形是平行四边形． （3）当，时，直接写出的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $