第3章 一元一次不等式 单元复习讲义2026—2027 学年浙教版数学八年级上册

该初中数学单元复习讲义以思维导图为核心构建一元一次不等式知识体系，通过概念定义、性质对比表格、解集数轴表示等工具，系统梳理不等式概念、基本性质、解法及不等式组应用，清晰呈现性质3变号规则等重难点，体现知识间的递进逻辑与内在联系，培养学生抽象能力与几何直观的数学眼光。 讲义亮点在于分层练习设计，基础题巩固概念（如不等式解的判断），中等题强化应用（如租车方案问题），优质题拓展思维（如新定义运算），通过解题步骤规范与注意事项提示，培养推理意识与运算能力的数学思维，助力不同层次学生提升，为教师实施精准教学提供系统支持。

第3章 一元一次不等式 思维导图 3.1 认识不等式 1. 不等式的概念 用符号"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）、"≥"（大于等于）、"≠"（不等于）连接而成的数学式子，叫做不等式，这些连接符号统称为不等号。 不等式可以表示现实世界中同类量之间的不等关系，常见的不等关系类型包括：大小比较、范围限制、最值描述、不等约束等。 2 常见不等关系的表述 文字描述 对应不等号 示例 大于、比…大、超过 > a比b大：a>b 小于、比…小、低于 < x低于5：x<5 大于等于、不小于、至少 ≥ x至少为3：x≥3 小于等于、不大于、至多、不超过 ≤ y至多为10：y≤10 不等于、不相等 ≠ a不等于0：a≠0 3. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解是不确定的，一个不等式往往有多个解，所有解组成这个不等式的解的范围，简称解集。 4. 不等式在数轴上的表示 利用数轴可以直观地表示不等式的解集，规则如下： · 确定界点：如果界点包含在解集中（对应不等号为≤或≥），则界点位置画实心点；如果界点不包含在解集中（对应不等号为<或>），则界点位置画空心圆圈。 · 确定方向：大于（>、≥）表示解集在界点的右侧，方向向右画；小于（<、≤）表示解集在界点的左侧，方向向左画。 示例： · x>3：数轴上3的位置画空心圆圈，向右画线表示解集 · x≤-2：数轴上-2的位置画实心点，向左画线表示解集 3.2 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 字母表示：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 字母表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，>。 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 字母表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc，<。 2. 不等式性质与等式性质的对比 对比维度 等式性质 不等式性质 两边加（减）同一个整式 等式仍然成立 不等号方向不变 两边乘（除）同一个正数 等式仍然成立 不等号方向不变 两边乘（除）同一个负数 等式仍然成立 不等号方向改变 两边乘0 结果仍为等式 不等式变为等式0=0 3. 不等式的传递性 如果a>b，b>c，那么a>c，这是不等式的传递性，也是不等式的重要推论，常用于多个量的大小比较和不等式证明。 4. 不等式性质的注意事项 · 应用性质3时，一定要注意改变不等号的方向，这是最容易出错的点； · 当不等式两边乘字母时，需要对字母的正负性分类讨论，不能直接默认不等号方向不变； · 不等式两边不能同时乘0，乘0后不等式会变为等式，失去原有的不等关系。 3.3 一元一次不等式及其解法 1. 一元一次不等式的概念 不等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式满足的条件： · 不等号两边都是整式； · 只含有一个未知数； · 未知数的最高次数为1，且未知数的系数不能为0。 2. 一元一次不等式的解法步骤 解一元一次不等式的一般步骤，每一步的注意事项如下： 1. 去分母：不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；注意：不要漏乘不含分母的项，若分子是多项式，要给分子添括号；如果乘的是负数，要改变不等号方向。 2. 去括号：根据去括号法则去掉不等式中的所有括号；注意：括号前面是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，不要漏乘括号内的项。 3. 移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；注意：移项要变号，不等号方向不变。 4. 合并同类项：分别合并同类项，将不等式化为ax>b或ax<b（a≠0）的最简形式。 5. 系数化为1：不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集；注意：当系数是负数时，根据不等式性质3，一定要改变不等号的方向。 3. 一元一次不等式解集的表示方法 · 代数法：直接用不等号表示，如x<2； · 几何法：利用数轴表示，遵循“实心点包含界点，空心点不包含，大于向右小于向左”的规则。 4. 一元一次不等式的特殊解 在某些问题中，需要求不等式的特殊解，比如整数解、正整数解、非负整数解等，解题步骤一般是：先求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的特殊解。 示例：求不等式2x+1<7的正整数解，先解得x<3，因此正整数解为1、2。 3.4 一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 一元一次不等式组满足的条件： · 组中每个不等式都是一元一次不等式，且只含有同一个未知数； · 不等式的个数至少为两个。 2. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。 求不等式组解集的过程叫做解不等式组。 3. 解一元一次不等式组的步骤 1. 分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 在同一个数轴上分别表示出各个不等式的解集； 3. 找出各个解集的公共部分； 4. 用不等号写出不等式组的解集，若无公共部分则说明不等式组无解。 4. 一元一次不等式组解集的规律（两个不等式组成的不等式组） 设a<b，两个不等式解集的四种情况及规律如下： 不等式组 解集 规律口诀 数轴表示 x>b 同大取大 在b的右侧，公共部分为x>b x<a 同小取小 在a的左侧，公共部分为x<a a<x<b 大小小大中间找 在a和b之间，公共部分为a<x<b 无解 大大小小找不到 a左侧和b右侧没有公共部分 5. 含参数的一元一次不等式组（常见题型结论） 已知不等式组的解集情况，求参数的取值范围，是常见的题型，解题核心是利用数轴分析界点的位置，注意区分“包含界点”和“不包含界点”： · 若不等式组有解，说明两个解集存在公共部分； · 若不等式组无解，说明两个解集没有公共部分； · 若不等式组只有整数解n个，先确定整数解的范围，再据此确定参数的边界范围，验证端点是否满足条件。 6. 列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 1. 审：审题，找出题中的不等关系，抓住“至少”“至多”“不超过”“不少于”等关键词； 2. 设：设出合适的未知数，一般问什么设什么； 3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式（或不等式组）； 4. 解：解不等式（或不等式组），得到解集； 5. 验：检验解集是否符合实际问题的意义，比如未知数代表人数、物品数量时，必须是正整数； 6. 答：根据问题要求写出答案。 【类型一】不等式的定义与解 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】本题根据不等式的定义判断即可，不等式是用不等号（等）连接表示不等关系的式子，逐个统计符合定义的式子个数即可得到答案． 【详解】解：①，用不等号连接，是不等式； ②，用不等号连接，是不等式； ③是等式，不是不等式； ④是代数式，无不等关系，不是不等式； ⑤，用不等号连接，是不等式； ⑥，用不等号连接，是不等式； ∴ 不等式共有4个． 2．在以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】比较各选项的x值和的大小，判断是否满足即可得到结果． 【详解】解：A选项，∵，∴满足不等式，是该不等式的解，故A符合题意； B选项，，不满足，故B不符合题意； C选项，，不满足，故C不符合题意； D选项，，不满足，故D不符合题意． 3．写出不等式的一个解_______（任写一个即可）． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据不等式解的定义，只需写出一个满足的数即可. 【详解】解：不等式的解是所有大于的数，任取一个大于的数，可得符合要求. 【类型二】列不等式(组) 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：速度不超过千米/时， 速度小于等于千米/时， 速度应为正数， 速度大于千米/时， 用不等式表示为． 2．若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据题意求出苹果总数，再表示出最后一人分得的苹果数，根据苹果数非负且最后一人分到的苹果不足5个，列出不等式组即可． 【详解】解：∵若干个苹果分给个小孩，每人分3个余7个， ∴苹果的总数为个． ∵每人分5个时，只有最后1人分不到5个，前个小孩每人都分到5个， ∴前个小孩共分苹果个，最后一人分到的苹果数为． ∵苹果数不能为负数，且最后一人分到的苹果不足5个， ∴． 3．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【答案】 【分析】此题考查了列不等式组，正确表示出不等式是解题关键． 根据题中的不等关系列出不等式组即可． 【详解】解：根据题意得，． 故答案为：． 【类型三】不等式的基本性质 1．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的基本性质，逐项判断即可得出正确选项. 【详解】解：已知， A选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，可得：，故A选项不成立； B选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时加上，不等号方向不变，可得：，即，故B选项一定成立； C选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得：，故C选项不成立； D选项：根据不等式的基本性质，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，可得，故D选项不成立． 2．若，则下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】根据不等式的基本性质判断：∵ ， A、不等式两边同时除以正数，不等号方向不改变，可得，因此A错误； B、不等式两边同时减去，不等号方向不改变，可得，因此B正确； C、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，两边再加得，因此C错误； D、不等式两边同时乘以，不等号方向改变，可得，因此D错误； 故选：B． 3．若，则__________．（填“”或“”） 【答案】 【分析】利用不等式的基本性质即可判断两个式子的大小关系. 【详解】解：∵， ∴ . 【类型四】一元一次不等式的定义与解 1．下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：∵选项A，中不含有未知数，不是一元一次不等式，∴A不符合题意； ∵选项B，中含有两个未知数，是二元不等式，∴B不符合题意； ∵选项C，中未知数的最高次数为2，不是一元一次不等式，∴C不符合题意； ∵选项D，只含有一个未知数，且未知数的最高次数为1，符合一元一次不等式的定义，∴D符合题意． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得不等式的解集，再将解集表示在数轴上即可，注意端点是实心还是空心． 【详解】解：移项、合并同类项，得， 化系数为1，得， 将解集表示在数轴上如图： ． 3．写出一个一元一次不等式，使它的解集为，则这个一元一次不等式可以是____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】根据一元一次不等式的定义，结合给定解集构造不等式，验证解集符合要求即可. 【详解】解：解不等式，移项得，符合题意．（答案不唯一） 【类型五】一元一次不等式组的定义与解 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据一元一次不等式组的定义判断选项，一元一次不等式组需满足：由几个含同一个未知数的一元一次不等式组成，一元一次不等式要求未知数个数为1，未知数次数为1，不等号两边均为整式． 【详解】解：A选项不等式含两个未知数，不符合要求； C选项第一个式子是等式，且未知数次数为2，不符合要求； D选项第二个不等式中是分式，不是整式，不符合要求； B选项两个不等式都只含一个未知数，次数为1，两边都是整式，符合一元一次不等式组的定义． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解得， ∴不等式组的解集为． 在数轴上表示如下： 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【答案】①②④ 【分析】本题主要考查一元一次不等式组的定义，熟练掌握定义并灵活运用是解题的关键．根据一元一次不等式组的定义，含有两个或两个以上的不等式，不等式中的未知数相同，并且未知数的最高次数是一次，对各选项判断后即可得解． 【详解】解：根据一元一次不等式组的定义，①②④都只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，所以都是一元一次不等式组； ③含有两个未知数， ⑤含有一个未知数，但未知数的最高次数是2， 所以③⑤都不是一元一次不等式组． 故答案为：①②④． 【类型六】解一元一次不等式 1．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】； 【分析】按照一元一次不等式的求解步骤计算，再将解集正确标注在数轴上即可． 【详解】解：移项，得 合并同类项，得 不等式两边同时除以，不等号方向改变，得 2．解不等式：，并把解集表示在数轴上． 【答案】；在数轴上表示解集如下： ； 【分析】先利用不等式的性质求得不等式的解集，然后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， ， ， ， ； 在数轴上表示解集略． 3．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【答案】；将其表示在数轴上如图所示： 【分析】依次去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可求解，最后把解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 图略． 【类型七】一元一次不等式(组) 1．解不等式组： 【答案】 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为． 2．求不等式组 的所有整数解的积． 【答案】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，求出不等式组的解集，找出解集中的所有整数，再计算整数解的乘积即可． 【详解】解： 解不等式①，得： 解不等式②，得： 不等式组的解集为 解集中的所有整数为 所有整数解的积为：． 3．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组． 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）解：， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得 系数化为1，得， 这个不等式的解集在数轴上的表示：略； （2）解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组的解集为． 【类型一】不等式中的整数解 1．不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：， 移项得， 合并同类项得， 两边同除以得， 不等式的负整数解为． 2．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 【答案】C 【详解】解： ∵大于的最小整数为， 因此不等式的最小整数解为 ． 3．不等式的所有正整数解之和为________． 【答案】 【分析】先求解该一元一次不等式，得到解集后找出解集中的所有正整数，再计算所有正整数解的和即可． 【详解】解：， 移项得，， 合并同类项得，， 系数化为得，， 为正整数， 的取值为，， 所有正整数解之和为． 【类型二】代数式构造不等式 1．能使代数式的值不小于代数式的值，x可以是（    ） A． B．4 C． D．2 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式的应用，解题的关键是能根据题意得出一元一次不等式．根据题意得出不等式，求出不等式的解集再判断即可． 【详解】解：根据题意得：， 移项得：， 合并同类项得：， 解得． ∴C符合题意 故选C． 2．已知代数式  的值不大于代数式 的值，则的取值为   （     ）. A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意建立不等式，解不等式即可. 【详解】解：由题意，得：-≤， 解得：x≥1. 故选B. 【点睛】本题考查了根据不等式的应用. 3．若代数式的值是非负数，则满足的条件是___________． 【答案】 【分析】本题主要查了解一元一次不等式．根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：∵代数式的值是非负数， ∴， 解得：． 故答案为： 【类型三】一元一次不等式的应用—销售问题 1．立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 【答案】提价前最多销售200本此款立体书 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，解题的关键是根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书，利用总利润=每本的销售利润×销售数量，结合总利润不少于22000元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可得出结论． 【详解】解：设提价前销售m本此款立体书，则提价后销售（）本此款立体书， 依题意得：， 解得：． 答：提价前最多销售200本此款立体书． 2．某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 【答案】(1)个 (2)元 (3)元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，有理数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）理解题意，设当一次购买个零件时，销售单价恰为元，进行列出方程，再进行解方程，即可作答． （2）结合当一次购买个零件时，销售单价恰为元，根据客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． （3）根据当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，且客户一次购买个零件，进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：∵每个成本为元，销售单价为元，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元， 设当一次购买个零件时，销售单价恰为元， 依题意得： 解之得：； 依题意，， ， 故符合题意， 即当一次购买个零件时，销售单价恰为元； （2）解：由（1）得当一次购买个零件时，销售单价恰为元； ∵， 当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是：（元） （3）解：当客户一次购买个零件时， 该厂获得的利润是： 3．为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果的进价为元/千克，乙种水果的进价为元/千克．甲种水果的售价为元/千克，乙种水果的售价为元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共千克，要使总销售利润不低于元，则甲种水果最多购进多少千克？ 【答案】甲种水果最多购进千克 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用．理解题意并列出正确的不等式关系是解题的关键． 根据题意列出不等式并计算即可． 【详解】解：设甲种水果购进a千克，依题意， 得，解得：． 答：甲种水果最多购进千克． 【类型四】一元一次不等式的应用一租车问题 1．某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为元，每辆乙型客车的租金为元，若医院计划租用辆客车，租车的总租金不超过元，那么最多租用甲型客车多少辆？ 【答案】最多租用甲型客车辆． 【分析】本题考查的知识点是一元一次不等式的应用，解题关键是理解题意并得出正确的一元一次不等式． 根据题意得出一元一次不等式后求解即可． 【详解】解：设租用甲型客车辆，则租用乙型客车辆， 依题意得：， 解得：． 又为整数， 的最大值为． 答：最多租用甲型客车辆． 2．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人； (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 【答案】(1)原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人 (2) 该校共有 3 种租车方案： 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用及一元一次不等式的应用，理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． （1）设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人，根据等量关系列出方程即可求解； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆，根据不等关系列出不等式，进而可求解 【详解】（1）解：设租用A种客车x辆，则这次研学一共有人， 根据题意得， 解得：， 人， 答：原计划租用A种客车26辆，这次研学一共有1200人； （2）设租用B种客车y辆，则租用A种客车辆， 根据题意得， 解得：， ∵B种客车不超过7辆， ∴， 又∵y为正整数，y可以为5，6，7， ∴该校共有 3 种租车方案： 方案1：租用5辆B种客车，20辆A种客车； 方案2：租用6辆B种客车，19辆A种客车； 方案3：租用7辆B种客车，18辆A种客车． 3．某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往． (1)若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？ (2)在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？ 【答案】(1)该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车 (2)当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出不等式是解答的关键． （1）设租小型客车辆，则租中型客车辆．根据“租车费用不超过2100元”列不等式求解即可； （2）根据总座位数不少于173列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆． 由题意可得， 解得， 所以， 因为x取整数，所以x可取8，9，10， 所以该校有3种租车方案：租小型客车8辆，中型客车2辆；租小型客车9辆，中型客车1辆；全部租小型客车． （2）解：设租小型客车辆，则租中型客车辆． 依题意，得， 解得，所以． 因为x为整数， 所以x可取8和9， 当时，租车费用：（元）． 当时，租车费用：（元）． 因为， 所以当租小型客车9辆，中型客车1辆时，租车费用最低． 【类型五】一元一次不等式的应用一行程问题 1．小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，根据实际情况，抓住关键词语，弄清不等关系是解题的关键； 由题意可知，到之间为半个小时，即，所以根据时间小于半小时来写出不等式即可． 【详解】解：因为小明在之前赶到了书店， 所以小明到书店的时间为小于半个小时，即小于， 由题意得． 2．甲步行的速度为，先走后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？ 【答案】乙至少需要才能赶上甲 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． 设乙需要才能赶上甲，根据路程=速度时间结合乙行走的路程不少于甲的路程，即可得出关于x的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出结论． 【详解】设乙需要才能赶上甲， 依题意，得：， 解得：． 答：乙至少需要才能赶上甲． 3．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用．设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意，列出不等式，即可求解． 【详解】解：设摩托车的速度为才能保证张老师按时参加会议，根据题意得： ， 解得： ， 答：摩托车的速度至少为才能保证张老师按时参加会议． 【类型六】一元一次不等式的应用一工程问题 1．奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奥体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个工程队完成，已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工天，再由乙队施工天可刚好完成维修工作． (1)求若由甲队单独施工需要多少天； (2)已知甲施工队每天的修建费用为 万元，乙施工队每天的修建费用为万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过万，求甲队最多维修了多少天． 【答案】(1)天 (2)天 【分析】（1）设若由甲队单独施工需要x天，总工作量为“1”，根据题意列出分式方程，解方程并检验即可求解； （2）设甲队维修了y天，根据题意列出不等式，解不等式即可求解． 【详解】（1）解：设若由甲队单独施工需要x天，总工作量为“1”， ， 解得． 经检验，是原方程的解，且符合题意， 答：若由甲队单独施工需要60天． （2）解：设甲队维修了y天， ， 解得． ∴取最大整数为 答：甲队最多维修了天． 【点睛】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程或不等式是解题的关键． 2．现有甲乙两个工程队参加一条道路的改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1800米，先由甲工程队先单独施工若干天，再由乙工程队单独完成剩下的施工任务，若工期不能超过40天，那么甲工程队至少要施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙工程队每天分别施工60米、40米 (2)甲工程队至少施工10天 【分析】（1）设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米，根据题干中两种情况列出方程组，解之即可； （2）设甲工程队施工m天，根据工期不能超过40天，列出不等式，解之即可． 【详解】（1）解：设甲、乙工程队每天分别施工x米、y米， 由题意得：， 解得：， 答：甲、乙工程队每天分别施工60米、40米． （2）设甲工程队施工m天， 由题意得：， 解得：． 答：甲工程队至少施工10天． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式的应用以及二元一次方程组的应用，正确得出等量关系是解题关键． 3．某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． (1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ (2)若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ 【答案】(1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天； (2)40天 【分析】（1）设乙工程队单独完成该工程项目需x天，将整个工程设为“1”，根据两个工程队合做24天恰好完成该工程任务列方程求解即可； （2）设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天，根据总的施工费用不超过22万元，列不等式求解即可； 【详解】（1）解：设乙工程队单独完成该工程项目需x天， 将整个工程设为“1”，则甲、乙工程队的工作效率分别是，， 根据题意，得：， 解得：x＝60， 经检验可知x＝60是所列分式方程的解，且满足题意， ∴， ∴甲工程队单独完成该工程项目需40天， 答：甲、乙两个工程队单独完成该工程项目分别需40天、60天． （2）解：设乙工程队施工m天，则甲工程队施工天， 根据题意得：， ， 解得：， 故乙工程队至少需要施工40天． 【点睛】本题考查了分式方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，根据题中等量关系和不等关系列方程是解题关键． 【类型七】一元一次不等式的应用—方案问题 1．某中学召开运动会，初一某班需要购买运动鞋和短裤，运动鞋每双定价200元，短裤每条定价50元．某商店开展促销活动，可以向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一条短裤； 方案二：运动鞋和短裤都按定价的付款． 现某班要购买运动鞋20双，短裤x条（的整数） (1)若该班按方案一购买，求需付款多少元（用含x代数式表示）； (2)若该班按方案二购买，求需付款多少元（用含x代数式表示）； (3)若你是购买负责人，哪种方案更划算？请通过计算说明理由． 【答案】(1)元； (2)元； (3)当时，两种方案付款一样；当时，选择方案二更划算；当时，选择方案一更划算；理由见解析 【分析】本题主要考查了列代数式及代数式的求值，一元一次方程及不等式的应用，理解题意，列出相应式子是解题关键 （1）根据题意，购买运动鞋双，需付款的短裤为条，再根据运动鞋和短裤的价格，即可得出答案； （2）根据题意，购买运动鞋需付款元，购买运动裤需付款元，相加即可得出答案； （3）利用（1）（2）中代数式建立方程和不等式求解即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 方案一需付款为（元）； （2）解：根据题意可得， 方案二需付款为（元）； （3）解：， 解得：， ∴当时，两种方案付款一样； ， 解得：， ∴当时，选择方案二更划算； ， 解得：， ∴当时，选择方案一更划算． 2．某商店销售某种商品，售价为元/件．五一期间，该商店决定对这种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件该商品（），根据以上信息，回答下列问题． 优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折 优惠方案二：无论多少，一律八折 (1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； (2)请说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 【答案】(1)， (2)当时，选择方案二购买更实惠；当时，两种方案花费相同；时，选择方案一购买更实惠 【分析】本题主要考查一元一次不等式的实际应用，涉及列代数式，理解题意，找准不等关系列出代数式是解决问题的关键． （1）根据题意，列出代数式即可确定答案； （2）根据（1）中的代数式，由题意列出不等式求解，即可得到答案． 【详解】（1）解：优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折，且小红打算到该商店购买件该商品（），根据题意，得：； 优惠方案二：无论多少，一律八折，且小红打算到该商店购买件该商品（），根据题意，得：； （2）解：当时，即，解得； 当时，即，解得； 当时，即，解得； ， 当时，选择方案二购买更实惠；当时，两种方案花费相同；时，选择方案一购买更实惠． 3．某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 【答案】(1)甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件 (2)甲种纪念品当天的销售至少40件 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，解题的关键是正确分析等量关系． （1）设甲为x件，乙为y件，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲 为x件，乙为y件，根据题意列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：设甲为x件，乙为y件， 解得， ∴甲、乙两种纪念品当天分别销售55件，45件； （2）解：设甲 为x件，乙为y件， 解得， 答：甲种纪念品当天的销售至少40件． 【类型八】一元一次不等式的应用—收费问题 1．学校需要印刷试卷，印刷厂有两种收费方式.甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷0.12元，若试卷需要印刷份． (1)按甲种收费方式应收费 元，乙种收费方式应收费 元； (2)印刷多少份时，选择乙种方式更合算？ 【答案】(1)， (2)印刷少于300份时，选择乙种方式合算 【分析】（1）根据甲种收费方式和乙种收费方式解答即可； （2）根据收费方式列出不等式解答即可． 【详解】（1）按甲种收费方式收费：元；按乙种收费方式收费：元． 故答案为：，． （2）解：根据题意得：， 解得， 答：印刷少于300份时，选择乙种方式合算． 【点睛】本题考查的是一元一次不等式的应用，用印刷份数表示出两种收费方式应收费的代数式是解本题的关键． 2．在科技迅速发展的大环境之下，老式电视逐渐被摒弃，取而代之的是智能电视以及一些手机上的视频APP．但一些APP上的部分内容需要开通“VIP”进收费．现有一个APP开通的收费提供了如下的A、B两个套餐： A：开通“VIP”一个月，可看电影1万部以上，收费52.8元； B：开通“VIP”一年，可看电影1万部以上，收费620元． 九（4）班上50个同学都开通了该视频APP的“VIP”，共消费5476元． (1)求购买了该视频APP的B套餐的同学个数； (2)在购买A套餐后，再购买B套餐只需花560元，如果九（4）班上的同学中已购买A套餐后又购买B套餐的人数比从始至终都没有购买B套餐的人少，他们最多会花掉多少钱？ 【答案】(1)购买了该视频APP的B套餐的同学个数为个 (2) 【分析】（1）设购买了该视频APP的B套餐的同学个数为个，则购买了该视频APP的A套餐的同学个数为个，根据题意列出一元一次方程，解方程即可求解； （2）设已购买A套餐后又购买B套餐的人数为人，求得最大整数解，进而根据题意列出算式即可求解． 【详解】（1）解：设购买了该视频APP的B套餐的同学个数为个，则购买了该视频APP的A套餐的同学个数为个，根据题意得， ， 解得：， 答：购买了该视频APP的B套餐的同学个数为个； （2）设已购买A套餐后又购买B套餐的人数为人， 则 解得： ∵为正整数，则当所花钱数最多， ∴（元） 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，根据题意列出方程与不等式是解题的关键． 3．为了宣传流感的防控知识，需印制若干份资料，印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式每份资料收费元，另需收取制版费元．乙种方式每份资料收费元，不需要收取制版费． (1)设印刷的数量为x份，甲种方式的费用为元，乙种方式的费用为元，则______；______． (2)每次需印制100～600（含100和600）份资料，选择哪种印刷方式较合算？ 【答案】(1)， (2)印刷材料：当为时，采用乙方式更合算，当为时，采用甲、乙两种方式一样，当为时，采用甲方式更合算 【分析】（1）根据题意直接列式即可作答； （2）根据题意，分当时、当时、当时三种情况讨论，求出相应的x的值及范围，问题随之得解． 【详解】（1）根据题意，有：，， 故答案为：，； （2）根据题意有：， 当时，可得：， 解得：，即， 当时，可得：， 解得：， 当时，可得：， 解得：，即， 印刷材料： 当为时，采用乙方式更合算， 当为时，采用甲、乙两种方式一样， 当为时，采用甲方式更合算． 【点睛】本题考查列代数式及一元一次不等式的应用，解答本题的关键是明确题意． 【类型九】作差法比较大小 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 【答案】 【分析】根据材料提示的“作差法”与平方数的非负性即可求解． 本题主要考查整式的加减混合运算，作差法比较两个代数式的大小，不等式的性质，掌握以上知识的运用是解题的关键． 【详解】解：由题意，得 ． 因为，， 所以， 所以． 2．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了不等式的性质，整式的加减运算，注意比较两个数大小的方法：若，则；若，则；若，则，另外也考查了非负数的性质． （1）把原式化为，再移项即可得到答案； （2）利用作差法计算，再利用非负数的性质可得答案． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）∵， ∴ ， ∵， ∴， ∴． 3．问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【答案】(1)；(2) 图5的方法用绳最短，图6的方法用绳最长 【分析】(1)根据两个代数式之差大于0，即可做出判断； (2)分别表示出图4的捆绑绳长为L1，图5的捆绑绳长为L2，图6的捆绑绳长为L3，进而表示出它们之间的差，即可得出大小关系． 【详解】(1)() ， 因为， 所以， 所以； (2)设图4的捆绑绳长为L1，则L1， 设图5的捆绑绳长为L2，则L2， 设图6的捆绑绳长为L3，则L3， ∵L1-L2， ∴L1＞L2， ∵L3-L2， ∴L3-L1=， ∵， ∴， ∴L3＞L1． ∴第二种方法用绳最短，第三种方法用绳最长． 【点睛】本题主要考查了整式的混合运算以及不等式的性质，根据已知表示出绳长再利用绳长之差比较是解决问题的关键． 【类型十】一元一次不等式的应用一几何问题 1．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 【答案】(1)a=50-2b，15． (2) 【分析】（1）根据等量关系“围栏的长度为50”可以列出代数式，再将a=20代入所列式子中求出b的值即可； （2）由（1）可得a、b之间的关系式，再用含有b的式子表示a，然后再结合，列出关于b的不等式组，解不等式组求出b的取值范围即可． 【详解】（1）解：由题意得，即a=50-2b 当时，．解得． （2）解：∵，， ∴ 解这个不等式组得：． 答：矩形花园宽的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了列代数式、代数式求值、解不等式组等知识点，审清题意、正确列出不等式组是解答本题的关键． 2．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)当或时，的面积为 (3)当时，的面积大于 【分析】（1）根据，，可以求出点运动的路程，根据点运动速度即可求出需要的时间； （2）当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值；当点在上运动时，，则有，根据三角形的面积公式可得，解方程即可求出的值； （3）当点在上运动时，可得，当点在上运动时，可得，解不等式即可求出的取值范围． 【详解】（1）解：在中，，，， ， 点的运动速度为个单位长度每秒， 点整个运动过程中，共需秒； （2）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：； 综上所述，当或时，的面积为； （3）解：当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当点在上运动时，， 则有， ， 解得：， 当时，的面积大于． 3．有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)当______时，；当______时，： (2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)或 (3)或 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质及三角形内角和定理， （1）根据当时，，当时，，求出结论即可； （2）分两种情况：当时或当时，分别根据三角形内角和定理求出结论即可； （3）分两种情况：当时或当时，分别列不等式解决即可． 【详解】（1）解：中，，， 当时，， 中，，， ， ； 当时，， ； （2）解：当时，，理由如下： 中，，， ， ， ， ， 即； 当时，，理由如下： 中，，， ， ， ， ， 即； 综上所述，或； （3）解：当时，由题意得： ，， ，， ， ， ； 当时，由题意得： ，， ，， ， ， ； 综上所述，的取值范围是或． 【类型一】方程的解构造不等式 1．已知关于的方程的解是非负数，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求出一元一次方程的解，再根据方程的解是非负数可得一个关于的一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】解：， 移项，得， 系数化为1，得， ∵关于的方程的解是非负数， ∴， 解得． 2．若关于的方程的解不小于方程的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先解出两个方程，再列不等式求解即可． 【详解】解方程， 得x=， 解方程， 得x=， 根据题意得≥， 解得：． 【点睛】本题考查了解一元一次方程和解一元一次不等式，掌握运算法则是解题关键． 3．已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为______． 【答案】 【分析】本题结合了解含有未知系数的方程和不等式．分别解出方程的解，根据题意列不等式解答． 【详解】解：由方程， 得， 解方程，得， 依题意，得, 解得 故的最大整数值为， 故答案为：． 【类型二】一元一次不等式的新定义运算 1．对有理数，定义一种运算：．例如：．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解为（     ） A．1 B． C．0 D．2 【答案】A 【分析】根据新定义将不等式转化为常规一元一次不等式，求解后找出符合要求的正整数解. 【详解】解：根据定义 ， ∵， ， ∴ 原不等式化为 ， 移项得 ， 解得 ， 由于正整数是大于的整数，所以小于的正整数只有， 因此不等式的正整数解为1. 2．对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了新定义，以及一元一次不等式组的整数解，弄清题中的新定义是解本题的关键． 利用题中的新定义得出不等式组，解不等式组求出不等式组的解集及整数解，再根据不等式组有3个整数解，确定出的范围即可． 【详解】解：根据题中的新定义得不等式组为： ，解得：， ∵不等式组有3个整数解，即整数解为1，2，3， ∴ 故选：B． 3．对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 【答案】 【分析】本题考查了自定义运算、不等式求解和最值判断，掌握根据定义化简表达式，结合条件筛选整数解是解题的关键． 先根据定义分别化简和，再列出不等式求解，最后结合负整数条件确定的值． 【详解】解：由题意， ， ． ∴． 化简得： ∵为负整数， ∴． 故答案为：． 【类型三】一元一次不等式组的有、无解 1．若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先分别求解各个不等式，再结合不等式组有解的条件，以及原不等式组所有解都是的解的要求，确定的取值范围. 【详解】解：∵ ，解得 ， ∵ ，解得 ， ∵ 不等式组有解，∴ ，此时原不等式组解集为. 再解不等式，解得， ∵ 原不等式组的所有解都是的解， ∴ ， 若，则存在解不满足. 综上可得的取值范围是. 2．已知关于的不等式组：无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查由不等式组解集的情况求参数，利用一元一次不等式组解集“大大小小找不到”的判定规则即可求解． 【详解】∵ 不等式组无解， ∴ 不存在实数同时满足两个不等式， 根据不等式组解集“大大小小找不到”的原则， 可得． 3．已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【答案】 【分析】解不等式①得，根据不等式组无解即两个不等式的解集无公共部分列出关于的不等式，即可求解． 【详解】解：， 解不等式①得， 该不等式组无解，即两个不等式的解集无公共部分， ， 解得． 【类型四】一元一次不等式中的最值问题 1．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 【答案】B 【分析】先根据已知等式将b，c用含a的代数式表示，再代入不等式求出a的取值范围，最后将所求整理为关于a的一次式，结合a的范围计算最大值即可． 【详解】解：，， ，， ， ∴，解得， ， ， ， 即的最大值为41． 2．已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据已知条件用表示，结合不等式得到的取值范围，再将所求代数式化为关于的单变量式子进而求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 把代入得：， 整理得， 把代入得：， ∵随增大而减小， ∴随增大而增大， 当取最大值时，原式取得最大值， 代入得：， 即的最大值为． 3．已知，，是三个非正数，并且满足，，设，设为的最大值，则的值为______． 【答案】 【分析】先解三元一次方程组，用含的代数式表示，再根据，，是三个非正数求出的取值范围，再将含的代数式代入求解即可． 【详解】解：， 得，解得， 将代入①，解得， ∵，，是三个非正数， ∴，即， 解得， ， ， ∴． 【类型五】方程组与不等式结合求解 1．已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先解二元一次方程组，用表示和，根据都是正数得到的取值范围，再结合得到，代入的范围即可求出的取值范围。 【详解】解：解方程组 给第一个方程两边乘得 ， 用第二个方程减去该式得： ， 即 ， 将代入第二个方程， 解得 ， ∵方程组的解都为正数， ∴， 解得 ， ∵， ∴， 代入的范围得 ， 不等式两边同时减得 . 2．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 【答案】 【分析】先解不等式组，根据恰有3个整数解确定m的取值范围，再解方程组，根据方程组有整数解筛选出符合条件的整数m，最后计算所有符合条件的m的和． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组恰好有3个整数解， ∴不等式组的整数解为， ∴， ∴； 得，解得， 由④得， ∵原方程组有整数解， ∴只需要保证x为整数，即可保证原方程组有整数解， ∴是整数， 又∵m为整数， ∴或或， 解得（舍去）或或或（舍去）或（舍去）或， ∴所有符合条件的整数的和为． 3．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【答案】(1) (2)当时，原式；当时，原式 【分析】（1）先求出二元一次方程组的解集，再根据题意列不等式组求解即可； （2）先求出临界点，再分情况作答即可． 【详解】（1）解：， ：， ：，得， 把代入②：， 可得：， 即， 由题意得：， 即， 解得：， ∴； （2）解：当时，；当时，； 当时，原式； 当时，原式． 【类型六】解特殊不等式组 1．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)或 (2) (3)或 【分析】（1）根据绝对值几何意义：表示数轴上数对应的点到原点0的距离；即点到原点距离大于2，数轴上原点左侧小于-2、右侧大于2的区域满足条件． （2）表示数轴上点到定点的距离；距离小于等于，则在往左个单位、往右个单位之间，转化为不含绝对值的一次不等式组求解． （3）根据不同取值分情况解得不等式解集． 【详解】（1）解：由绝对值定义，等价于或， 解集为或． （2）解：根据绝对值不等式规律：，， ， 三边同时加： ， ， 不等式解集为． （3）解：当时，，不成立； 当时，，解得； 当时，，解得， 不等式的解集为或． 2．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 【答案】(1)①；②或 (2)或 【分析】（1）分为两种情况：①当时，②当时，去掉绝对值符号后求出即可； （2）分为两种情况：①当时，②当时，分情况求出即可． 【详解】（1）解：分情况讨论： ①当时， 原方程可化为，解得； ②当时， 原方程可化为：， 解得：， 所以原方程的解为或； （2）解：分情况讨论： ①当时， 解得：； ②当时， 解得：， 所以不等式解集为或． 【点睛】本题考查了含绝对值符号的一元一次方程及一元一次不等式的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想． 3．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【答案】(1)，或 (2)或 (3) (4) 【分析】（1）根据绝对值的几何意义即可求解； （2）根据表示数轴上点与点之间的距离可以将绝对值不等式问题转化为数轴上的距离问题求解； （3）对于形如的不等式：可以理解为数轴上表示的点到表示的点和表示的点的距离之和与的大小关系来求解； （4）首先将不等式变形为要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数从而可以得出关于的不等式，求出的范围即可． 【详解】（1）解：不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离小于或等于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点，因此满足条件的点在和之间（包含端点）所以解集为； 不等式的几何意义是：数轴上点到原点的距离大于，从原点向左、向右各延伸个单位得到点和点距离大于的点在的左侧或的右侧， 所以解集为或． （2）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离大于， 以点为中心向左移动个单位到达，向右移动个单位到达， 点到点的距离大于意味着点在点的左边或者在点的右边， 所以不等式的解集为或． （3）解：不等式的几何意义是：数轴上点到点的距离与到点的距离之和小于， 令， 当时， ， 所以， 当时，， 方程无解， 当时， ， 所以， 所以不等式的解集为， （4）解：将不等式变形为， 要使此不等式对任意实数恒成立则不等式左边的最小值必须大于右边的常数， 表达式的几何意义是数轴上点到点和点的距离之和， 所以当点位于点和点之间时（即）该距离之和取得最小值， 最小值为点和点之间的距离，即， 所以的最小值为， 所以， 解得， 所以的取值范围是． 【点睛】本题考查了绝对值的意义，关键是理解和运用绝对值的几何意义，将代数问题转化为几何问题． 【类型七】一元一次不等式的新定义应用 1．已知不等式（组）和不等式（组）都有解，若不等式（组）的解集中的任何一个值都是不等式（组）的解，则称不等式（组）“覆盖”不等式（组）．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． (1)已知不等式，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式的有 ； ①；②；③；④． (2)已知不等式，不等式，若不等式“覆盖”不等式，求的取值范围； (3)已知关于的不等式“覆盖”不等式组，且含有关于、、的方程组中，若，求的最大值． 【答案】(1)②④ (2) (3)的最大值为 【分析】（1）分别解四个不等式（组），然后根据“覆盖”定义判断即可； （2）先解不等式A和B，然后根据“覆盖”定义列不等式求解即可； （3）先解不等式和不等式组，然后根据“覆盖”定义得到，然后解方程组得，然后表示出，进而求解即可． 【详解】（1）解：解不等式，得， ①，不符合定义； ②，符合定义； ③解得，，不符合定义； ④解得，，符合定义； ∴能“覆盖”不等式的有②④； （2）解：解不等式，得 解不等式，得 ∵不等式“覆盖”不等式 ∴ 解得； （3）解：解，得 解不等式组，得 ∴ 解得 不等式“覆盖”不等式组， ， 解得． 解得， ∴ ∵ ∴ ∴的最大值为． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）分别求出三个不等式的解集，判断与有没有公共整数解即可； （2）求出两个不等式的解集，根据两个不等式不是“云不等式”列出关于m的不等式，即可求解； （3）求出当时，不等式的解集，进而列出关于a的不等式，即可求解． 【详解】（1）解：解不等式，得，与有公共整数解2，是的“云不等式”； 不等式与有公共整数解2，是的“云不等式”； 解不等式，得，与没有公共整数解，不是的“云不等式”； （2）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式不是的“云不等式”， ∴与没有公共整数解， 分两种情况： 当与没有公共解时， 可得， 解得； 当与有公共解，但公共解里没有整数时， 则 ，（为任意一整数） 则 即， 解得：， ∵为整数， ∴不存在，使得，即此种情况不成立； 综上可得，的取值范围为； （3）解：当时，即时，不等式即的解集为， 不等式的解集为， ∵关于的不等式与不等式互为“云不等式”， ∴，即，此时两个不等式至少存在整数解1， ∴． 3．定义：若两个一元一次不等式只有两个相同的整数解，则称这两个一元一次不等式互为“理想不等式”．例如：不等式和不等式的解集分别为和，相同的整数解为和，∴称不等式和不等式互为“理想不等式”． (1)在不等式；中，和不等式互为“理想不等式”的是____．（填序号） (2)若关于的不等式和互为“理想不等式”，求的取值范围． (3)若方程的解是关于的不等式组的一个整数解，且该不等式组中两个不等式互为“理想不等式”，则的取值范围是____． 【答案】(1)②； (2)； (3) 【分析】（1）分别求解两个不等式：①化简得，解集为，与的公共整数解仅有1个，不符合定义；②解集为，与的公共整数解为2、3，共2个，符合“理想不等式”定义； （2）解不等式得；解得．两式公共解集为，由恰好2个整数解（2和3），列不等式，解得； （3）解方程得．解不等式组得解集为，因解集含整数5且仅有2个整数解，分两类讨论：整数解为4、5时，得；整数解为5、6时，得，合并得． 【详解】（1）解：解不等式 解得， 与的公共解集为，整数解只有1个，不符合“两个相同整数解”的定义，故舍去； 解不等式 解得， 与的公共解集为，整数解为、，共2个，符合定义， ∴和不等式互为“理想不等式”的是②； （2）解： 解得， 解得， ∴两个不等式的公共解集为， 由题意得，公共整数解有且只有2个， ∴公共整数解为和， ∴， ∴； （3）解： 解得， ∴是不等式组的一个整数解， ， 解第一个不等式得， 解得， 解第二个不等式得， 解得， ∴不等式组的解集为， 由题意得，不等式组的整数解有且只有2个，且是其中一个整数解， 当整数解为4、5时， 最小整数为4，则， ∴， 最大整数为5，则， ∴， ∴此时b的取值范围为； 当整数解为5、6时， 最小整数为5，则， ∴， 最大整数为6，则， ∴， ∴此时b的取值范围为， ∴b的取值范围为． 【类型八】一元一次不等式的取值范围 1．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)①；②； (2) 【分析】（）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值；由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，再求出，从而得到关于，的方程组求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴，即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：． 2．【阅读材料】： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：①___________（用含y的代数式表示）， ，即． 又． 上式三边先同时乘2，得②___________， 再同时加1，得， 的取值范围是． 【完善材料】 (1)材料中①为___________，②为___________； 【方法应用】 (2)若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】 (3)若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有2n个整数时，则的值为___________． 【答案】(1)①，② (2) (3) 【分析】（1）根据等式的性质和不等式的性质解答即可； （2）根据不等式的性质解答即可； （3）根据整数个数列方程求解得到的值． 【详解】（1）解：∵， 移项得， 因此①为； 已知，将不等式三边同时乘2，得， 因此②为； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，解得； 又∵， ∴， 将不等式三边同时乘3，得， 三边同时加8，得， 即的取值范围是； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， 又∵， ∴， 将不等式三边同时乘3，得， 三边同时减，得， 即的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数， ∴， 解得． 3．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 【答案】(1)① ；；③； (2)； (3)8 【分析】（1）根据材料中的解题思路和不等式的性质来确定①、②、③的值； （2）根据材料中的解题思想，通过消元法、配凑法确定的取值范围； （3）根据已知条件，通过消元表示出，再根据的取值范围内恰有个整数来确定n的值． 【详解】（1）解：解题思想一：“消元” ，（用含y的代数式表示）， ，即， 又∵， ， 解题思想二：“配凑”上式三边先同时乘2，得③， 再同时加1，得， ∴的取值范围是． （2）解：∵， ， ， ， 即， 又∵， ， ， ，即， ∴的取值范围是； （3）解：∵， ， ， ， ， 又∵， ， ， ， ∴的取值范围是， ∵的取值范围内恰有个整数，且是大于3的整数， ． 【类型九】糖水不等式 1．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 【答案】(1)， (2) 证明： ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； (3) 证明：由（2）得，，， ∴， ∴； ∵，，， ∴， ∴； 【分析】（1）糖水的浓度等于糖的质量除以糖水的质量，据此可得第一空的答案；根据糖水变淡可知糖水的浓度变低，据此可得第二空的答案； （2）可求出，再证明即可证明结论； （3）由（2）可得，，，则可证明，根据，，，可证明． 【详解】（1）解：如果加入克水，糖水的浓度变为， 由糖水变淡可得不等式； （2）略 （3）略 2．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 【答案】(1)① ，；② ，． (2)见解析 (3)；说明见解析 (4)见解析 【分析】（1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）利用作差法即可证明； （3）根据题意写出新的分式，再由，得，，代入混合后的浓度化简即可； （4）由现象1得，，，利用不等式的性质进行证明即可． 【详解】（1）解：①由题意得，加入克水，则糖水为克， ∴糖水的浓度为， ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴． ②由题意得，加入克糖，则糖为克，糖水为克， ∴糖水的浓度变为， ∵糖水加糖后会变甜，即糖水的浓度变大， ∴． 故答案为：① ，；② ，． （2）证明：∵， ∵，，则，， ∴，即， ∴． （3）解：由题意得，两杯糖水混合后，则糖为克，糖水为克， ∴浓度可以表示为； 故答案为：； 说明：∵， ∴，， ∴， 即混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． （4）证明：由三角形三边关系得，，， 由现象1的①，假设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖， 加入克水，同①可得不等式， 加入克糖，同②可得不等式， 则， 同理可得， ， 则得， 即． 3．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 【答案】(1) (2) (3) 证明：， ， ， 【分析】本题考查了分式的混合运算，掌握分式的混合运算法则和不等式的性质是解题的关键． （1）根据题意写出新的分式和不等式即可； （2）加入m克糖后，分子分母都变化，此时需要证明不等式的正确性，利用做差法即可； （3）利用（2）的结论来证明即可． 【详解】（1）解：由题意得，加入m克水，糖水为克， ∴糖水的浓度为； ∵糖水加水后会变淡，即糖水的浓度变小， ∴； 故答案为：； （2）解：∵加入克糖，糖水为克，糖为克， ∴糖水的浓度为， ∴； 故答案为：； （3）略 1．（25-26八年级下·贵州毕节·阶段检测）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】①不等式的性质1：不等式的两边都加（或减）同一个数或式子，不等号的方向不变；②不等式的性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；③不等式的性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A、，，此选项错误，不符合题意； B、，，此选项错误，不符合题意； C、，，此选项错误，不符合题意； D、，，，此选项正确，符合题意； 故选：D． 2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题根据一元一次不等式的定义判断各选项即可，熟知一元一次不等式需满足三个条件：是不等式，只含有一个未知数，未知数的最高次数为1且两边为整式． 【详解】解：选项A：是代数式，不是不等式，不符合要求； 选项B：是等式，属于一元一次方程，不是不等式，不符合要求； 选项C：含有和两个未知数，不是一元一次不等式，不符合要求； 选项D：是不等式，只含一个未知数，的次数为1，两边均为整式，符合一元一次不等式的定义． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先求出剩余阅读天数，再根据“按时或提前完成”的要求，得到总阅读页数不低于图书总页数，即可列出不等式． 【详解】解：∵两周总天数为 天，第1天已经阅读， ∴剩余天数为 天， ∵要求按时或提前完成阅读，即总阅读页数不少于图书总页数142页， ∴总阅读页数为第一天阅读页数加上剩余天数阅读总页数，满足不等式： ． 4．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组两个等式相加整理，得到关于的表达式，再结合求出的范围，最后根据为负整数确定的值． 【详解】， 得， 整理得， ， ， 解得， 为负整数， ． 5．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】/ 【分析】先确定两个不等式的解集，再根据不等式组解集的确定规则“同小取小”，判断的取值范围． 【详解】解：已知不等式组中的两个不等式的解集分别为，， 因为不等式组的解集为，根据“同小取小”的原则，可得． 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）新定义运算：，若，则x的取值范围是_____． 【答案】 【详解】解：∵，， ∴， ， ， ． 7．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）若关于的一元一次不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围为______． 【答案】 【分析】先求出不等式组的解集为，然后根据不等式组有且仅有三个整数解进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴原不等式组的解集为， ∵关于的一元一次不等式组有且只有三个整数解， ∴， 解得：． 8．（25-26七年级下·广西梧州·阶段检测）解不等式并在数轴上表示解集． 【答案】，． 【分析】先求出不等式的解集，再画出数轴表示即可； 【详解】去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 画数轴略． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）解不等式组；并写出它的所有整数解． 【答案】，所有整数解为、、0 【详解】解：， 解不等式， 解得：， 解不等式， 解得：， ， 所有整数解为、、0． 10．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 【答案】(1)型机器人单价为80万元，型机器人单价为60万元． (2)共有3种采购方案，分别为：方案1，购买型机器人3台，型机器人12台；方案2，购买型机器人4台，型机器人11台；方案3，购买型机器人5台，型机器人10台． 最省钱的采购方案为购买型机器人3台，型机器人12台． 【分析】（1）设A型智能机器人的单价为万元，B型智能机器人的单价为万元．根据台数和总费用列方程组，解方程组即可得到答案； （2）设购进A型台，B型 台，根据需要费用不超过1000万元，每天搬运货物不低于825吨列出不等式，解不等式组即可得到答案． 【详解】（1）解：设A型号智能机器人每台为x万元，B型号智能机器人每台为y万元． 由题意得，， 解得； 型号智能机器人每台分别为80万元，B型号智能机器人每台为60万元． （2）设A型号智能机器人购买m台，则B型号智能机器人购买 台． 由题意得，， 解得：． 为正整数， 可以为3，4，5，共有3种采购方案． 方案一：购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为（万元）； 方案二：购买A型机器人4台，购买B型机器人11台，费用为（万元）； 方案三：购买A型机器人5台，购买B型机器人10台，费用为（万元）， ∵， ∴最省钱的是购买A型机器人3台，购买B型机器人12台，费用为960万元． 1．（25-26七年级下·北京石景山·期中）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先求得不等式的解集，然后将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解得， 解集在数轴上表示如下： 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】按语句顺序确定运算顺序，再根据非正数的定义列出不等式即可． 【详解】解：先表示x与5的差，得， 再表示差的一半，得， ∵非正数是小于等于0的数， ∴列出不等式为． 3．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由题中运算程序列出第次和第次运行结果满足的不等式求解即可． 【详解】解：由题意可知，运行第次结果满足，解得， 由于第次运行的结果为，则第次运行结果满足，解得， 综上所述，的取值范围为． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）对于任意实数m，n定义一种新运算：，例如：．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据新运算定义化简不等式组，求出的解集，再根据不等式组恰好有两个整数解，确定的取值范围． 【详解】解：根据新运算定义 ，得， 原不等式组可化为， 解不等式，得， 解不等式，得， ∴不等式组的解集为． ∵不等式组恰好有两个整数解， ∴两个整数解为和， ∴， ∴ 解得． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知，则________（填“”“”或“”）． 【答案】< 【详解】解：， 不等式两边同时乘以，不等号方向改变，得， 不等式两边同时加上，不等号方向不变，得． 6．（25-26八年级下·山西太原·期中）某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 【答案】 【分析】设商品打折，根据利润率不低于，列出对应不等式即可． 【详解】解：设该商品打折， 由题意得： ． 7．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 【答案】且 【分析】先解分式方程，再结合解为非负数和分母不为零的条件，列不等式组求解即可． 【详解】解：， 方程两边同乘最简公分母，得： 解得：， ∵分式方程的解为非负数， ∴， 解得：且． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）解不等式及不等式组： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组：． 【答案】(1)，数轴见解析 (2) 【详解】（1）解： 解得 ∴不等式的解集为， 数轴表示为： （2）解： 由①得， 由②得，， ∴原不等式组的解集为． 9．（25-26七年级下·北京石景山·期中）对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． (1)请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； (2)若和是“关联”的，求a的最小整数值； (3)若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 【答案】(1) 解：是，理由如下： 解不等式，得； 解不等式，得； ∴同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有1个整数， ∴不等式和是“关联”的； (2) (3) 【分析】（1）求得这两个不等式的解集，然后按照定义判断即可； （2）先求得这两个不等式的公共解集，然后根据定义可知公共解集有且仅有3个整数，得到关于的不等式组，即可解答； （3）先求得这两个不等式的解集，再根据这两个不等式的解集有公共部分得到的取值范围，然后根据为整数，分别代入计算即可解答． 【详解】（1）略 （2）解：解不等式，得， ∵和是“关联”的， ∴满足这两个不等式的x的值中，有且仅有3个整数，分别为、、， ∴，解得：， ∴a的最小整数值为； （3）解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式和是“关联”的，即这两个不等式的解集有公共部分， ∴，解得， ∴，且为整数， 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，不符合题意； 当时，，此时是“关联”的，符合题意； ∴的值为3． 10．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 【答案】(1)或， (2) (3)或 【分析】（1）仿照题干的解法解得即可； （2）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可； （3）原式变形为，再仿照题干的解法解得即可． 【详解】（1）解：令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于4， ∴的解集为或； 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于3，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于3， ∴的解集为； （2）解：， ∴， 令， ∴， 解得：或1； 画出数轴如下：    点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数到的绝对值大于4，点A和点B之间的点表示的数到的绝对值小于4， ∴的解集为； （3）解：， ∴， ∴， 令，解得：， 画数轴如下：   ； 点A的左边的点表示的数和点B的右边的点表示的数的绝对值大于15，点A和点B之间的点表示的数的绝对值小于15， ∴的解集为或， 即的解集为或． 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】一元一次不等式组有解，说明两个不等式的解集存在公共部分，据此判断的取值范围． 【详解】解：∵关于的一元一次不等式组有解， ∴需要两个不等式的解集存在公共部分，即存在同时满足和， ∴． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）A、B、C三人去公园玩跷跷板，根据以下两个示意图可以判断三人体重的大小关系是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】观察图形，可得出，进而可判断出三人体重的大小关系． 【详解】解：根据题意，可得， ∴． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】先分别求解不等式组中的两个不等式，得到含的解集，再对照已知解集求出的值，最后计算即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， ∵不等式组的解集为， ∴，， 解得，， ∴． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）由，，三个数字组成的进制数记作，．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据进制的定义将等式两边展开，化简得到关于的表达式，利用6进制每位数字小于6的性质求出的值，再代入选项验证得到正确结果． 【详解】解：根据进制定义，可得， ∵ ∴ 化简得，即， 可得 又∵，代入得 ∵是6进制数，各位数字满足，，为正整数 ∴， 解得， 即 ∵是整数， ∴ 代入得， 验证得，符合条件． 代入选项验证：A．，，，错误； B．，，，错误； C．，，，正确； D．，，，错误． 5．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 【答案】 【分析】先对不等式变形求出的取值范围，再结合为正整数的条件，找出符合条件的的最大值． 【详解】解：， ， 为正整数， 符合条件的的最大值为． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）一元一次不等式的解集为，则的取值范围为________． 【答案】 【分析】根据不等式变形后不等号方向改变，结合不等式基本性质即可求解. 【详解】解： 一元一次不等式 的解集为 ，不等式两边同时除以后，不等号方向发生改变， ，解得 . 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，则的取值范围是______________________． 【答案】 【分析】先解二元一次方程组得到，关于的表达式，再根据求出的初步范围，接着分别解不等式组中的两个不等式，结合不等式组无解的条件求出的另一范围，最后综合得到的取值范围． 【详解】解方程组 两式相加得，解得 将代入，得 即方程组的解为 方程组的解满足 ，解得 解不等式组 解不等式，移项得，系数化为得 解不等式，移项得，系数化为得 关于的不等式组无解 ，解得 综上可得的取值范围是． 8．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 【答案】(1)型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元 (2)①最多可以购进型泳衣20件； ②购进方案为：方案一，购进型泳衣19件，型泳衣31件；方案二，购进型泳衣20件，型泳衣30件 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的求解： （1）设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元，根据“单价数量总价”来列方程组求解； （2）设购进型泳衣件，则购进型泳衣件：①根据题意列不等式求解；②根据题意列不等式，再结合①，求解出型泳衣可能的数量，再分别计算出不同数量下的型泳衣的数量即可； 【详解】（1）解：设型泳衣销售单价为元，型泳衣销售单价为元， 由题意得， ，     解得：；     答：型泳衣销售单价为100元，型泳衣销售单价为75元； （2）解：设购进型泳衣件，则购进型泳衣件， ①由题意得： ，     解得：；     答：最多可以购进型泳衣20件； ②由题意得： ， 解得：， ∴，     ∵为整数， ∴的值为，     ∴或； 答：购进方案为：方案一：购进型泳衣19件，型泳衣31件； 方案二：购进型泳衣20件，型泳衣30件． 9．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据运算程序列不等式求出的取值范围； （2）根据运算程序列不等式组求出的取值范围． 【详解】（1）解：根据题意可得：， 解得：； （2）解：根据题意可得：， 解得：． 10．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）定义：若一个不等式（组）有解且解集为（）则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． (1)已知关于的不等式组：，则不等式组的解集中点值为__________；若不等式：，则不等式对于不等式组__________（填是或不是）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为5，求的取值范围． 【答案】(1)，不是 (2) (3)或 【分析】（1）先解不等式组得到解集，代入计算得到中点值为，再判断该中点值是否满足不等式，即可确定是否中点包含． （2）先分别解不等式组和，得到两者的解集，计算的解集中点值，因为对中点包含，所以该中点值要满足的解集，同时先保证有解，联立得到关于的不等式组，求解即可． （3）先求出不等式组的解集，计算其解集中点值，再解不等式组得到解集，因为对中点包含，所以的中点值满足的解集，得到和的关系，再根据所有符合要求的整数之和为5，确定整数的可能取值，进而推导的取值范围． 【详解】（1）解：解不等式组：，得， 的中点值为， 不在范围内， 不等式对于不等式组不是中点包含； （2）解：对于不等式组中点包含， 不等式组和不等式组有解， 解不等式组：，得， 不等式组：，得， ， 解得：， 当时，不等式组的解集为，不等式组的解集为， 的中点值为， 对于不等式组中点包含， ， 解得：， 又， ． （3）解：解不等式组得，，解不等式组得，， 的中点值为， 不等式组对于不等式组中点包含， ， 解得：， 所有符合要求的整数之和为5， 整数可取2，3，或整数可取、0、1、2、3． 或． 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 一元一次不等式 思维导图 3.1 认识不等式 1. 不等式的概念 用符号"<"（小于）、">"（大于）、"≤"（小于等于）、"≥"（大于等于）、"≠"（不等于）连接而成的数学式子，叫做不等式，这些连接符号统称为不等号。 不等式可以表示现实世界中同类量之间的不等关系，常见的不等关系类型包括：大小比较、范围限制、最值描述、不等约束等。 2 常见不等关系的表述 文字描述 对应不等号 示例 大于、比…大、超过 > a比b大：a>b 小于、比…小、低于 < x低于5：x<5 大于等于、不小于、至少 ≥ x至少为3：x≥3 小于等于、不大于、至多、不超过 ≤ y至多为10：y≤10 不等于、不相等 ≠ a不等于0：a≠0 3. 不等式的解 能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。 不等式的解是不确定的，一个不等式往往有多个解，所有解组成这个不等式的解的范围，简称解集。 4. 不等式在数轴上的表示 利用数轴可以直观地表示不等式的解集，规则如下： · 确定界点：如果界点包含在解集中（对应不等号为≤或≥），则界点位置画实心点；如果界点不包含在解集中（对应不等号为<或>），则界点位置画空心圆圈。 · 确定方向：大于（>、≥）表示解集在界点的右侧，方向向右画；小于（<、≤）表示解集在界点的左侧，方向向左画。 示例： · x>3：数轴上3的位置画空心圆圈，向右画线表示解集 · x≤-2：数轴上-2的位置画实心点，向左画线表示解集 3.2 不等式的基本性质 1. 不等式的基本性质 性质1：不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 字母表示：如果a>b，那么a+c>b+c，a-c>b-c。 性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 字母表示：如果a>b，且c>0，那么ac>bc，>。 性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 字母表示：如果a>b，且c<0，那么ac<bc，<。 2. 不等式性质与等式性质的对比 对比维度 等式性质 不等式性质 两边加（减）同一个整式 等式仍然成立 不等号方向不变 两边乘（除）同一个正数 等式仍然成立 不等号方向不变 两边乘（除）同一个负数 等式仍然成立 不等号方向改变 两边乘0 结果仍为等式 不等式变为等式0=0 3. 不等式的传递性 如果a>b，b>c，那么a>c，这是不等式的传递性，也是不等式的重要推论，常用于多个量的大小比较和不等式证明。 4. 不等式性质的注意事项 · 应用性质3时，一定要注意改变不等号的方向，这是最容易出错的点； · 当不等式两边乘字母时，需要对字母的正负性分类讨论，不能直接默认不等号方向不变； · 不等式两边不能同时乘0，乘0后不等式会变为等式，失去原有的不等关系。 3.3 一元一次不等式及其解法 1. 一元一次不等式的概念 不等号两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，这样的不等式叫做一元一次不等式。 一元一次不等式满足的条件： · 不等号两边都是整式； · 只含有一个未知数； · 未知数的最高次数为1，且未知数的系数不能为0。 2. 一元一次不等式的解法步骤 解一元一次不等式的一般步骤，每一步的注意事项如下： 1. 去分母：不等式两边同时乘所有分母的最小公倍数；注意：不要漏乘不含分母的项，若分子是多项式，要给分子添括号；如果乘的是负数，要改变不等号方向。 2. 去括号：根据去括号法则去掉不等式中的所有括号；注意：括号前面是负号时，去括号后括号内每一项都要变号，不要漏乘括号内的项。 3. 移项：把含有未知数的项移到不等式的一边，常数项移到另一边；注意：移项要变号，不等号方向不变。 4. 合并同类项：分别合并同类项，将不等式化为ax>b或ax<b（a≠0）的最简形式。 5. 系数化为1：不等式两边同时除以未知数的系数，得到不等式的解集；注意：当系数是负数时，根据不等式性质3，一定要改变不等号的方向。 3. 一元一次不等式解集的表示方法 · 代数法：直接用不等号表示，如x<2； · 几何法：利用数轴表示，遵循“实心点包含界点，空心点不包含，大于向右小于向左”的规则。 4. 一元一次不等式的特殊解 在某些问题中，需要求不等式的特殊解，比如整数解、正整数解、非负整数解等，解题步骤一般是：先求出不等式的解集，再在解集范围内找出符合条件的特殊解。 示例：求不等式2x+1<7的正整数解，先解得x<3，因此正整数解为1、2。 3.4 一元一次不等式组 1. 一元一次不等式组的概念 由几个含有同一个未知数的一元一次不等式组成的不等式组，叫做一元一次不等式组。 一元一次不等式组满足的条件： · 组中每个不等式都是一元一次不等式，且只含有同一个未知数； · 不等式的个数至少为两个。 2. 一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集；如果各个不等式的解集没有公共部分，那么这个不等式组无解。 求不等式组解集的过程叫做解不等式组。 3. 解一元一次不等式组的步骤 1. 分别求出不等式组中每个一元一次不等式的解集； 2. 在同一个数轴上分别表示出各个不等式的解集； 3. 找出各个解集的公共部分； 4. 用不等号写出不等式组的解集，若无公共部分则说明不等式组无解。 4. 一元一次不等式组解集的规律（两个不等式组成的不等式组） 设a<b，两个不等式解集的四种情况及规律如下： 不等式组 解集 规律口诀 数轴表示 x>b 同大取大 在b的右侧，公共部分为x>b x<a 同小取小 在a的左侧，公共部分为x<a a<x<b 大小小大中间找 在a和b之间，公共部分为a<x<b 无解 大大小小找不到 a左侧和b右侧没有公共部分 5. 含参数的一元一次不等式组（常见题型结论） 已知不等式组的解集情况，求参数的取值范围，是常见的题型，解题核心是利用数轴分析界点的位置，注意区分“包含界点”和“不包含界点”： · 若不等式组有解，说明两个解集存在公共部分； · 若不等式组无解，说明两个解集没有公共部分； · 若不等式组只有整数解n个，先确定整数解的范围，再据此确定参数的边界范围，验证端点是否满足条件。 6. 列一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤 1. 审：审题，找出题中的不等关系，抓住“至少”“至多”“不超过”“不少于”等关键词； 2. 设：设出合适的未知数，一般问什么设什么； 3. 列：根据不等关系列出一元一次不等式（或不等式组）； 4. 解：解不等式（或不等式组），得到解集； 5. 验：检验解集是否符合实际问题的意义，比如未知数代表人数、物品数量时，必须是正整数； 6. 答：根据问题要求写出答案。 【类型一】不等式的定义与解 1．下列数学表达式中：①，②，③，④，⑤，⑥，不等式有（     ） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．在以下各数中，是不等式的解的是（     ） A． B． C． D． 3．写出不等式的一个解_______（任写一个即可）． 【类型二】列不等式(组) 1．交通法规人人遵守，文明城市处处安全．在某路段上有如图所示的标志，表示车辆速度不超过千米/时，则限速标志允许的车速（千米/时）的范围表示为（     ） A． B． C． D． 2．若干个苹果分给x个小孩，如果每人分3个，那么余7个；如果每人分5个，那么最后一人分到的苹果不足5个，则x满足的不等式组为（     ） A． B． C． D． 3．“与的积是非负数，且与的和不小于6”用不等式（组）表示为___________． 【类型三】不等式的基本性质 1．已知，则下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．若，则下列变形正确的是（     ） A． B． C． D． 3．若，则__________．（填“”或“”） 【类型四】一元一次不等式的定义与解 1．下列选项中是一元一次不等式的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式的解集在数轴上表示正确的是（     ） A． B． C． D． 3．写出一个一元一次不等式，使它的解集为，则这个一元一次不等式可以是____________． 【类型五】一元一次不等式组的定义与解 1．下列各式中，是一元一次不等式组的是（    ） A． B． C． D． 2．不等式组的解集在数轴上表示正确的是（    ） A． B． C． D． 3．下列不等式组中，是一元一次不等式组的有________．（填序号） ①    ②    ③   ④    ⑤ 【类型六】解一元一次不等式 1．解不等式，并将解集表示在数轴上． 2．解不等式：，并把解集表示在数轴上． 3．解不等式，并将解集表示在数轴上． 【类型七】一元一次不等式(组) 1．解不等式组： 2．求不等式组 的所有整数解的积． 3．按要求完成下列各题： (1)解不等式，并把解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组． 【类型一】不等式中的整数解 1．不等式的负整数解可能是（     ） A． B． C． D． 2．不等式的最小整数解为（     ） A．6 B．5 C．4 D．3 3．不等式的所有正整数解之和为________． 【类型二】代数式构造不等式 1．能使代数式的值不小于代数式的值，x可以是（    ） A． B．4 C． D．2 2．已知代数式  的值不大于代数式 的值，则的取值为   （     ）. A． B． C． D． 3．若代数式的值是非负数，则满足的条件是___________． 【类型三】一元一次不等式的应用—销售问题 1．立体书兼具了传统书的内容和形式，也拥有玩具的趣味和功能．某工厂生产了一款立体书，按标价销售此立体书，每本可获利30元．该工厂原计划按标价销售这款立体书共600本，销售一部分后发现生意火爆，于是将每本立体书提价10元，很快全部销售完，最后发现总利润不低于22000元，求提价前最多销售多少本此款立体书？ 2．某厂生产一种零件，每个成本为元，销售单价为元．该厂为鼓励客户购买这种零件，决定当一次购买零件数超过个时，每多购买一个，全部零件的销售单价均降低元，但不能低于元． (1)当一次购买多少个零件时，销售单价恰为元？ (2)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？ (3)当客户一次购买个零件时，该厂获得的利润是多少？利润售价成本 3．为迎接端午节水果销售旺季，某商家计划购进甲、乙两种水果进行销售，甲种水果的进价为元/千克，乙种水果的进价为元/千克．甲种水果的售价为元/千克，乙种水果的售价为元/千克，该商家购进甲、乙两种水果共千克，要使总销售利润不低于元，则甲种水果最多购进多少千克？ 【类型四】一元一次不等式的应用一租车问题 1．某医院准备派遣医护人员协助西安市抗击疫情，现有甲、乙两种型号的客车可供租用，已知每辆甲型客车的租金为元，每辆乙型客车的租金为元，若医院计划租用辆客车，租车的总租金不超过元，那么最多租用甲型客车多少辆？ 2．某中学组织学生研学，原计划租用可坐乘客45人的A种客车若干辆，则有30人没有座位；若租用可坐乘客60人的B种客车，则可少租6辆，且恰好坐满． (1)求原计划租用A种客车多少辆，这次研学去了多少人； (2)若该校计划租用A、B两种客车共25辆，要求B种客车不超过7辆，且每人都有座位，则有哪几种租车方案？ 3．某中学组织七年级师生参加研学实践活动（活动为期1天）．在这次活动中，学校打算与公交公司合作租车出行，公交公司提供了两种客车：第一种为可以乘坐17名乘客的小型客车，租金为200元/辆，第二种为可以乘坐20名乘客的中型客车，租金为250元/辆．学校计划租10辆客车前往． (1)若要保证租车费用不超过2100元，请问学校有哪几种租车方案？ (2)在（1）的条件下，若七年级师生共有173人，问哪种租车方案最省钱？ 【类型五】一元一次不等式的应用一行程问题 1．小明家距新华书店．他于星期日上午从家里出发，骑车前往书店购书，先以的速度行驶了后，又以的速度继续行驶，结果在之前赶到了书店．请列出相应的不等式． 2．甲步行的速度为，先走后，乙从甲的出发地沿同路追赶甲，乙步行的速度最快为，问乙至少需要多少时间才能赶上甲？ 3．张老师和学生们一起步行去植树，他们步行的速度是．出发后，学校打电话通知张老师在内（含）返校开会，并让张老师在原地等候，学校立即派人骑摩托车去接他，那么摩托车的速度至少为多少才能保证张老师按时参加会议？ 【类型六】一元一次不等式的应用一工程问题 1．奥体中心体育场是我市重要的城市名片和地标建筑，见证了重庆体育的灿烂发展，其重要性不言而喻．经过前期周密的准备，重庆市奥体中心体育场顶棚维修改造工程近期开工．现安排甲、乙两个工程队完成，已知由乙队单独施工所需时间为由甲队单独施工所需时间的倍．若甲队先施工天，再由乙队施工天可刚好完成维修工作． (1)求若由甲队单独施工需要多少天； (2)已知甲施工队每天的修建费用为 万元，乙施工队每天的修建费用为万元，乙队先施工若干天，后由甲、乙两队共同施工完成，此项目所需总费用不超过万，求甲队最多维修了多少天． 2．现有甲乙两个工程队参加一条道路的改造施工，受条件限制，每天只能由一个工程队施工．若甲工程队先单独施工3天，再由乙工程队单独施工5天，则可以完成380米施工任务；若甲工程队先单独施工2天，再由乙工程队单独施工4天，则可以完成280米的施工任务． (1)求甲、乙两个工程队平均每天分别能完成多少米施工任务？ (2)要改造的道路全长1800米，先由甲工程队先单独施工若干天，再由乙工程队单独完成剩下的施工任务，若工期不能超过40天，那么甲工程队至少要施工多少天？ 3．某工程项目拟由甲、乙两个工程队共同完成．已知甲工程队的工作效率是乙工程队工作效率的1.5倍，且两个工程队合做24天恰好完成该工程任务． (1)甲、乙两个工程队单独完成该工程项目各需多少天？ (2)若甲、乙两个工程队每天的施工费用分别为0.6万元和0.35万元，要使该工程项目总的施工费用不超过22万元，则乙工程队至少需要施工多少天？ 【类型七】一元一次不等式的应用—方案问题 1．某中学召开运动会，初一某班需要购买运动鞋和短裤，运动鞋每双定价200元，短裤每条定价50元．某商店开展促销活动，可以向客户提供两种优惠方案： 方案一：买一双运动鞋送一条短裤； 方案二：运动鞋和短裤都按定价的付款． 现某班要购买运动鞋20双，短裤x条（的整数） (1)若该班按方案一购买，求需付款多少元（用含x代数式表示）； (2)若该班按方案二购买，求需付款多少元（用含x代数式表示）； (3)若你是购买负责人，哪种方案更划算？请通过计算说明理由． 2．某商店销售某种商品，售价为元/件．五一期间，该商店决定对这种商品进行促销活动，如下所示，若小红打算到该商店购买件该商品（），根据以上信息，回答下列问题． 优惠方案一：商品超过15件后，超出部分五折；否则不打折 优惠方案二：无论多少，一律八折 (1)分别用含的代数式表示按照方案一和方案二所需的费用（元）和（元）； (2)请说明选择哪种方案购买更实惠（两种优惠方案不能同时享受）？ 3．某商家在线上销售甲、乙两种纪念品．为了吸引顾客，该商家推出两种促销方案A和B，且每天只能选择其中一种方案进行销售．方案A，B分别对应的甲、乙两种纪念品的单件利润（单位：元）如表： 甲纪念品单件利润 乙纪念品单件利润 方案A 10 18 方案B 16 14 该商家每天限量销售甲、乙两种纪念品共100件，且当天全部售完． (1)某天采用方案A销售，当天销售甲、乙两种纪念品所获得的利润共1360元，求甲、乙两种纪念品当天分别销售多少件？ (2)某天销售甲、乙两种纪念品，要使采用方案B当天所获得的利润不低于采用方案A当天所获得的利润，求甲种纪念品当天的销量至少是多少件？ 【类型八】一元一次不等式的应用—收费问题 1．学校需要印刷试卷，印刷厂有两种收费方式.甲种方式：收制版费6元，每印一份收印刷费0.1元；乙种方式：不收制版费，每印一份收印刷0.12元，若试卷需要印刷份． (1)按甲种收费方式应收费 元，乙种收费方式应收费 元； (2)印刷多少份时，选择乙种方式更合算？ 2．在科技迅速发展的大环境之下，老式电视逐渐被摒弃，取而代之的是智能电视以及一些手机上的视频APP．但一些APP上的部分内容需要开通“VIP”进收费．现有一个APP开通的收费提供了如下的A、B两个套餐： A：开通“VIP”一个月，可看电影1万部以上，收费52.8元； B：开通“VIP”一年，可看电影1万部以上，收费620元． 九（4）班上50个同学都开通了该视频APP的“VIP”，共消费5476元． (1)求购买了该视频APP的B套餐的同学个数； (2)在购买A套餐后，再购买B套餐只需花560元，如果九（4）班上的同学中已购买A套餐后又购买B套餐的人数比从始至终都没有购买B套餐的人少，他们最多会花掉多少钱？ 3．为了宣传流感的防控知识，需印制若干份资料，印刷厂有甲、乙两种收费方式，甲种方式每份资料收费元，另需收取制版费元．乙种方式每份资料收费元，不需要收取制版费． (1)设印刷的数量为x份，甲种方式的费用为元，乙种方式的费用为元，则______；______． (2)每次需印制100～600（含100和600）份资料，选择哪种印刷方式较合算？ 【类型九】作差法比较大小 1．根据等式和不等式的基本性质，我们可以得到比较两数大小的方法： ①若，则； ②若，则； ③若，则． 这种比较大小的方法称为作差法，请运用这种方法比较与的大小． 2．根据等式和不等式的性质，可以得到：若，则 ；若，则b；若，则．这是利用“作差法”比较两个数或两个代数式的值的大小． (1)若 则 （填“>”“=”或“<”）． (2)已知 ，试比较A，B的大小． 3．问题提出： 我们在分析解决某些数学问题时，经常要比较两个数或代数式的大小，而解决问题的策略一般要进行一定的转化,其中“作差法”就是常用的方法之一，所谓“作差法”：就是通过作差、变形，并利用差的符号来确定它们的大小，要比较代数式、的大小，只要作出它们的差，若，则．若，则．若，则． 问题解决： 如图，试比较图①、图②两个矩形的周长、的大小； 主图形得：；，， ∵，∴，则； 类比应用： （1）用材料介绍的“作差法”比较与的大小； 联系拓展： （2）小刚在超市里买了一些物品，用一个长方体的箱子“打包”，这个箱子的尺寸如图3所示（其中），售货员分别可按图4、图5、图6三种方法进行捆绑，问哪种方法用绳最短？哪种方法用绳最长？请说明理由． 【类型十】一元一次不等式的应用一几何问题 1．如图，“开心”农场准备用的护栏围成一块靠墙的长方形花园，设长方形花园的长为，宽为． (1)写出用表示的式子______．当时，求的值； (2)受场地条件的限制，的取值范围为，求的取值范围． 2．如图，在中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止．设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需____秒； (2)当的面积为时，求的值； (3)当的面积大于时，求的取值范围． 3．有一副三角尺，其中中，，；中，，．将这副直角三角尺按如图①放置．此时边与在同一直线上，且三角尺的顶点落在边的中点处．若将三角尺绕点按逆时针方向旋转，旋转角为． (1)当______时，；当______时，： (2)如图②，设边所在直线与边所在直线交于点，边所在直线与边所在直线交于点，记，．在整个旋转过程中，请探究与的数量关系，并说明理由； (3)在（2）的条件下，若，直接写出的取值范围． 【类型一】方程的解构造不等式 1．已知关于的方程的解是非负数，则k的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．若关于的方程的解不小于方程的解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 3．已知关于的方程的解不小于方程的解，则的最大整数值为______． 【类型二】一元一次不等式的新定义运算 1．对有理数，定义一种运算：．例如：．请根据上述的定义解决问题：若不等式，则不等式的正整数解为（     ） A．1 B． C．0 D．2 2．对于任意实数a，b，定义一种新运算：．例如，，请根据上述定义解答如下问题：若关于x的不等式组有3个整数解，则m的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．对于三个实数a，b，c，定义，定义为a，b，c中最大的数．例如：，，．若，则负整数a的值是________． 【类型三】一元一次不等式组的有、无解 1．若关于x的不等式组有解，并且它的所有解都是不等式的解，则a的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．已知关于的不等式组：无解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 3．已知关于x的一元一次不等式组无解，则m的取值范围是________． 【类型四】一元一次不等式中的最值问题 1．已知实数，，满足，．若，则的最大值为（     ） A．40 B．41 C．48 D．50 2．已知，为实数，且，，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 3．已知，，是三个非正数，并且满足，，设，设为的最大值，则的值为______． 【类型五】方程组与不等式结合求解 1．已知关于、的方程组的解都为正数，且满足，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 2．若关于的不等式组恰有个整数解，且关于，的方程组也有整数解，则所有符合条件的整数的和为________． 3．已知关于x、y的二元一次方程组 (1)若方程组的解满足，，求实数k的取值范围； (2)在（1）所求k的取值范围内，化简代数式． 【类型六】解特殊不等式组 1．如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们就把这个不等式叫作绝对值不等式．数轴是一个工具，它能很好地帮助我们解决这个问题． 例如求和的解集问题，就可以利用数轴来探究：根据绝对值的意义， 的解集为． 的解集为．或． 根据以上探究，回答下列问题： (1)填空：不等式的解集为 ； (2)解不等式； (3)求不等式的解集． 2．先阅读下面是的解题过程，然后回答下列问题． 例：解绝对值方程：． 解：分情况讨论：①当时，原方程可化为，解得； ②当时，原方程可化为，解得． 所以原方程的解为或． 根据材料，解下列绝对值方程： (1)理解应用：； (2)拓展应用：不等式的解集为______． 3．【阅读材料】 我们知道的几何意义是在数轴上的数对应的点与原点的距离即．也就是说表示在数轴上的数与数0对应的点之间的距离．这个结论可以推广为表示在数轴上的数与数对应的点之间的距离． 例1：若则表示到原点距离小于3的数；从如图1所示的数轴上看：大于而小于3的数它们到原点距离小于3，所以的解集是； 若则表示到原点距离大于3的数；从如图2所示的数轴上看：小于的数和大于3的数它们到原点距离大于3，所以的解集是或． 例2：那么式子可理解为：数轴上表示这个数的点到表示1这个数的点的距离．于是解不等式则是要在数轴上找出到1的距离小于等于2的所有点；观察数轴可以看出，在数轴上到1距离小于等于2的点对应的数都在和3之间（包含和3两个点）这样我们就可以得到不等式的解集为：； 【解决问题】 (1)不等式的解集为_________；不等式的解集为________． (2)求不等式的解集； (3)求不等式的解集； (4)不论取所有的数都有恒成立求的取值范围． 【类型七】一元一次不等式的新定义应用 1．已知不等式（组）和不等式（组）都有解，若不等式（组）的解集中的任何一个值都是不等式（组）的解，则称不等式（组）“覆盖”不等式（组）．例如：不等式的解集是，不等式的解集是，因此不等式覆盖不等式． (1)已知不等式，则以下不等式（组）能“覆盖”不等式的有 ； ①；②；③；④． (2)已知不等式，不等式，若不等式“覆盖”不等式，求的取值范围； (3)已知关于的不等式“覆盖”不等式组，且含有关于、、的方程组中，若，求的最大值． 2．我们定义：如果两个一元一次不等式有公共整数解，那么称这两个不等式互为“云不等式”，其中一个不等式称为另一个不等式的“云不等式”． (1)在不等式：，，中，不等式 的“云不等式”是 （填序号）； (2)若关于的不等式不是的“云不等式”，求的取值范围； (3)若，关于的不等式与不等式互为“云不等式”，求的取值范围． 3．定义：若两个一元一次不等式只有两个相同的整数解，则称这两个一元一次不等式互为“理想不等式”．例如：不等式和不等式的解集分别为和，相同的整数解为和，∴称不等式和不等式互为“理想不等式”． (1)在不等式；中，和不等式互为“理想不等式”的是____．（填序号） (2)若关于的不等式和互为“理想不等式”，求的取值范围． (3)若方程的解是关于的不等式组的一个整数解，且该不等式组中两个不等式互为“理想不等式”，则的取值范围是____． 【类型八】一元一次不等式的取值范围 1．阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴，即， 得，∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， ①试确定y的取值范围； ②试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 2．【阅读材料】： 解答“已知，且，试确定的取值范围”有如下解法： 解：①___________（用含y的代数式表示）， ，即． 又． 上式三边先同时乘2，得②___________， 再同时加1，得， 的取值范围是． 【完善材料】 (1)材料中①为___________，②为___________； 【方法应用】 (2)若，且，试确定的取值范围； 【拓展提升】 (3)若（是大于3的整数），且，当的取值范围内恰有2n个整数时，则的值为___________． 3．【阅读材料】： 解答“已知，且，，试确定的取值范围”有如下解法： 解题思想一：“消元” ， ① （用含的代数式表示）， ． ，，即 ② ． 又，． 解题思想二：“配凑” 上式三边先同时乘2，得 ③ ， 再同时加1，得， 的取值范围是． (1)【完善材料】材料中①为________，②为________，③为________； (2)【方法应用】若，且，，请确定的取值范围； (3)【拓展提升】若（是大于3的整数），且，，当的取值范围内恰有16个整数时，则的值为_____________． 【类型九】糖水不等式 1．【综合实践】分式与糖水浓度 在生活中，有这样的一种现象：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜．用数学知识解释：设原来的糖水总质量是a克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入克水，糖水的浓度变为__________，由糖水变淡可得不等式__________； ②如果加入克糖，糖水的浓度变为，由糖水变甜可得不等式． (1)【任务1】直接写出①“__________”处的内容： (2)【任务2】证明②中的不等式： (3)【任务3】请运用以上的结论证明： 若是三边的长，则． 2．请仔细阅读下面的材料，并完成相应任务， 分式与糖水浓度 在生活中，有这样司空见惯的现象： 现象1：一杯糖水，向其中加入一点水，糖水变淡；向其中加入一点糖，糖水变甜． 用数学知识解释：设原来的糖水总质量是克，其中含有克糖，则糖水的浓度为． ①如果加入m克水，糖水的浓度变为______，因为糖水变淡，可以得到不等式______； ②如果加入n克糖，糖水的浓度变为______，因为糖水变甜，可以得到不等式______． 现象2：两杯浓度相同的糖水混合，糖水甜度不变． 在两个杯子中分别盛有克，克糖水，分别含糖克，克．它们浓度相同，则，将两杯糖水混合后，浓度可以表示为______，（用含有，，，的式子表示）请你用数学知识说明混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同． (1)任务1：直接写出现象1中“______”处的内容； (2)任务2：证明现象1中②的不等式；（提示：若，则） (3)任务3：直接写出现象2中“______”处的内容，并用数学知识说明“混合后糖水的浓度与原小杯糖水的浓度相同”的道理； (4)任务4：请运用现象1的结论证明：若，，是三边的长，则． 3．数学来源于生活，生活中处处有数学，用我们平时喝的糖水做“糖水实验”也能验证些数学结论． (1)糖水实验 现有克糖水，其中含有克糖（），则糖水的浓度（即糖的质量与糖水的质量比）为，加入克水，则糖水的浓度为，生活经验告诉我们，糖水加水后会变淡．由此可以写出一个不等式___________，我们趣称为“糖水不等式”． (2)糖水实验二： 将“糖水实验一”中的“加入克水”改为“加入克糖”，根据生活经验，请你写出个新的糖水不等式___________． (3)请结合（2）探究得到的结论尝试证明：设、、是三边的长，求证： 1．（25-26八年级下·贵州毕节·阶段检测）已知，下列不等式一定成立的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）下列各式中，是一元一次不等式的是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·安徽芜湖·阶段检测）小冉计划在两周内阅读完一本正文有142页的数学科普图书（每周阅读7天）．如果第1天只阅读了6页，为了按时或提前完成，那么她在剩余天数内平均每天至少要阅读多少页？设小冉在剩余天数内平均每天要阅读页，根据题意可列不等式为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）已知关于，的方程组为且，若为负整数，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·云南曲靖·阶段检测）关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 6．（25-26七年级下·河南周口·阶段检测）新定义运算：，若，则x的取值范围是_____． 7．（25-26七年级下·河北廊坊·阶段检测）若关于的一元一次不等式组有且只有三个整数解，则的取值范围为______． 8．（25-26七年级下·广西梧州·阶段检测）解不等式并在数轴上表示解集． 9．（25-26七年级下·江苏宿迁·阶段检测）解不等式组；并写出它的所有整数解． 10．（25-26七年级下·辽宁葫芦岛·阶段检测）随着人工智能与互联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某企业使用、B两种型号的机器人搬运货物．相关信息如下：若买3台型机器人、4台B型机器人，共需480万元；若买4台型机器人、3台B型机器人，共需500万元．型机器人每天可以搬运货物75吨； 型机器人每天可以搬运货物50吨． (1)求、 两种型号机器人的单价； (2)该企业计划用不超过1000万元购买、 两种型号机器人共15台，且每天搬运货物不低于825吨，请通过计算，说明该企业有哪几种采购方案，并选出最省钱的采购方案． 1．（25-26七年级下·北京石景山·期中）不等式的解集在数轴上表示为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期中）“x与5的差的一半是非正数”，用不等式可表示为（   ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级下·贵州六盘水·期中）如图，是一位同学在编程课上设计的一个运算程序，按此程序进行运算，程序运行到“判断结果是否大于”为一次运行．若该程序运行了次便停止，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 4．（25-26八年级下·陕西咸阳·期中）对于任意实数m，n定义一种新运算：，例如：．若关于的不等式组恰好有两个整数解，则的取值范围是（     ） A． B． C． D． 5．（25-26八年级下·陕西汉中·期中）已知，则________（填“”“”或“”）． 6．（25-26八年级下·山西太原·期中）某种商品的进价为元，标价元销售，商店准备打折销售，但要保持利润率不低于，设打折，则满足的不等式为____． 7．（25-26八年级下·四川遂宁·期中）已知关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围_____． 8．（25-26七年级下·河南新乡·期中）解不等式及不等式组： (1)解不等式：，并把解集在数轴上表示出来； (2)解不等式组：． 9．（25-26七年级下·北京石景山·期中）对于两个关于x的不等式，同时满足这两个不等式的x的值中，有且仅有k个整数，则称这两个不等式“关联”，例如不等式和不等式是“关联”的． (1)请判断不等式和是否是“关联”的，并说明理由； (2)若和是“关联”的，求a的最小整数值； (3)若不等式和是“关联”的，直接写出b的值． 10．（25-26八年级下·广东河源·期中）【阅读理解】 小明在课外小组活动时遇到这样一个问题：如果一个不等式中含有绝对值，并且绝对值符号中含有未知数，我们把这个不等式叫作绝对值不等式，求绝对值不等式的解集．小明同学的思路如下：先根据绝对值的定义，求出恰好是3时的值，并在数轴上表示为点，如图所示．    观察数轴发现，以点，为分界点把数轴分为三部分：点左边的点表示的数的绝对值大于3；点，之间的点（不包括点，）表示的数的绝对值小于3；点右边的点表示的数的绝对值大于3． 因此，小明得出结论：绝对值不等式的解集为或． 【迁移应用】 (1)的解集是________，的解集是_________； (2)求绝对值不等式的解集； (3)直接写出不等式的解集． 1．（25-26七年级下·云南曲靖·期末）若关于的一元一次不等式组有解，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 2．（25-26七年级下·吉林长春·期末）A、B、C三人去公园玩跷跷板，根据以下两个示意图可以判断三人体重的大小关系是（     ） A． B． C． D． 3．（25-26七年级下·吉林长春·期末）若关于的不等式组的解集为，则的值是（    ） A．1 B． C．3 D． 4．（25-26七年级下·湖北武汉·期末）由，，三个数字组成的进制数记作，．若，且．则以下关系中正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26七年级下·河北唐山·期末）已知为正整数，且满足，则符合条件的最大值为________． 6．（25-26八年级下·陕西西安·期末）一元一次不等式的解集为，则的取值范围为________． 7．（25-26七年级下·内蒙古呼和浩特·期末）已知关于，的二元一次方程组的解满足，且关于的不等式组无解，则的取值范围是______________________． 8．（25-26七年级下·四川资阳·期末）炎热的夏天里，人们喜欢去游泳馆游泳。某游泳馆销售A、B两种型号的泳衣，进价分别为70元、50元，如下表是近两天的销售情况： 销售量/件 销售收入/元 A型泳衣 B型泳衣 第一天 3 4 600 第二天 6 5 975 (1)求A，B两种型号泳衣的销售单价； (2)若购进A，B两种型号的泳衣共50件，且总进价不超过2900元． ①最多可以购进A型号泳衣多少件？ ②为使这50件泳衣完全销售后的总利润超过1340元，应如何进货？请给出相应的进货方案． 9．（25-26七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）按照如下程序操作，规定：从“输入一个值”到“结果是否大于”为一次程序操作．如果结果得到的数小于或等于，则用得到的这个数进行下一次操作． (1)如果程序操作进行一次就停止了，那么输入的的取值范围是多少？ (2)如果程序操作进行了两次才停止，那么输入的的取值范围是多少？ 10．（25-26七年级下·湖南益阳·期末）定义：若一个不等式（组）有解且解集为（）则称为的解集中点值，若的解集中点值是不等式（组）的解（即中点值满足不等式组），则称不等式（组）对于不等式（组）中点包含． (1)已知关于的不等式组：，则不等式组的解集中点值为__________；若不等式：，则不等式对于不等式组__________（填是或不是）中点包含． (2)已知关于的不等式组：和不等式组：，若对于不等式组中点包含，求的取值范围． (3)关于的不等式组：和不等式组：，若不等式组对于不等式组中点包含，且所有符合要求的整数之和为5，求的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 $