专题4.1 平面直角坐标系（高效培优讲义）数学浙教版2024八年级上册

专题4.1 平面直角坐标系 教学目标 1.理解平面直角坐标系的概念，明确原点、x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、坐标轴、象限等相关概念的含义及表示方法. 2.掌握平面直角坐标系的画法，能规范画出平面直角坐标系（标注原点、正方向、单位长度及坐标轴名称）. 3.掌握各象限内点的坐标特征以及 x 轴、y 轴上点的坐标特点，并能运用这些特征判断点的位置或解决简单问题. 教学重难点 1.重点 (1)平面直角坐标系的概念及相关要素（原点、坐标轴、象限）的理解与识别。 (2)平面内点与有序实数对之间的一一对应关系，能准确写出点的坐标和根据坐标确定点的位置。 (3)各象限内点的坐标符号特征及坐标轴上点的坐标特点。 2.难点 （1）理解 “有序实数对” 中 “有序” 的含义，区分点的横、纵坐标，避免混淆坐标的顺序。 （2）从一维数轴到二维平面直角坐标系的认知过渡，建立平面空间观念，理解坐标系是 “两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形”。 （3）灵活运用点的坐标特征解决实际问题（如根据点的坐标判断点的位置、求平面内两点间的距离雏形、建立合适的坐标系表示实际位置等） 理解平面内点与有序实数对的 “一一对应” 关系，体会数形结合思想的本质（用 “数” 表示 “形” 的位置）。 知识点01 确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 【即学即练】 1．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ） A．目标A B．目标E C．目标C D．目标F 知识点02 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 【即学即练】 1．点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A． B． C．2 D．4 3．若点在x轴上，则m的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 4．若点在第二、四象限的角平分线上，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 5．学习了“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”之后，小梦对枫叶很感兴趣，于是小梦研学活动时捡了一片枫叶，如图，将该片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 6．点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 知识点03 坐标与图形变化 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 知识点04 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中， (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 题型01 确定位置的方法 【典例1】小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 【变式1】元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 【变式2】如图，在正方形网格中，点分别用数对表示，在图中确定点C，连接，得到以A为直角顶点的等腰直角三角形，则表示点C的数对是（   ） A． B． C． D． 【变式3】◆的位置用数对表示，那么数对表示是（    ）的位置． A．▲ B．★ C．● D．■ 题型02 判断点所在象限 【典例2】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【变式1】点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式2】点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式3】下列哪个点是在第二象限（   ） A． B． C． D． 题型03 象限内点坐标的特征 【典例3】在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式1】如果点在第一象限，且该点到轴和轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．或1 【变式2】在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式3】若点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 题型04 坐标轴上的点的坐标特征 【典例4】若点在x轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【变式1】已知点在y轴上，则a的值为（   ） A．4 B．5 C． D． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式3】在平面直角坐标系中，若点是y轴上一点．则a的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 题型05 象限角平分线的点的坐标特征 【典例5】若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【变式1】在平面直角坐标系中，点在第二、四象限的角平分线上，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【变式2】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式3】如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 题型06 点坐标的实际意义 【典例6】在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【变式1】2025年成都市石室天府中学体育节暨“协力竞逐，绿茵筑梦”初二足球联赛近期火热开赛．如图是某场比赛运动员某一时刻的站位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的站位如下图所示，若小亮的位置表示为，小李的位置表示为，则小东的位置可以表示为（   ） A． B． C． D． 【变式2】五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图，若白棋的位置记为，黑棋的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（    ） A． B． C． D． 【变式3】中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（    ） A． B． C． D． 题型07 关于直线对称的点的坐标特征 【典例7】在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式1】点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【变式2】若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则 ． 题型08 点的平移 【典例8】若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【变式1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【变式2】已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 【变式3】在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 题型09 中点坐标 【典例9】已知点与点关于点对称，则 ． 【变式1】点和点的中点坐标为 ． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是(   ) A． B． C． D． 2．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．电影院8排22号 C．枣庄市青檀路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 4．在如图所示的象棋盘上，若“帅”和“相”所在的坐标分别是和，则“炮”的坐标是（   ） A． B． C． D． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是.则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 6．平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则 ． 7．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ． 8．已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 9．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 11．已知点是平面直角坐标系中的一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 12．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题4.1 平面直角坐标系 教学目标 1.理解平面直角坐标系的概念，明确原点、x 轴（横轴）、y 轴（纵轴）、坐标轴、象限等相关概念的含义及表示方法. 2.掌握平面直角坐标系的画法，能规范画出平面直角坐标系（标注原点、正方向、单位长度及坐标轴名称）. 3.掌握各象限内点的坐标特征以及 x 轴、y 轴上点的坐标特点，并能运用这些特征判断点的位置或解决简单问题. 教学重难点 1.重点 (1)平面直角坐标系的概念及相关要素（原点、坐标轴、象限）的理解与识别。 (2)平面内点与有序实数对之间的一一对应关系，能准确写出点的坐标和根据坐标确定点的位置。 (3)各象限内点的坐标符号特征及坐标轴上点的坐标特点。 2.难点 （1）理解 “有序实数对” 中 “有序” 的含义，区分点的横、纵坐标，避免混淆坐标的顺序。 （2）从一维数轴到二维平面直角坐标系的认知过渡，建立平面空间观念，理解坐标系是 “两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形”。 （3）灵活运用点的坐标特征解决实际问题（如根据点的坐标判断点的位置、求平面内两点间的距离雏形、建立合适的坐标系表示实际位置等） 理解平面内点与有序实数对的 “一一对应” 关系，体会数形结合思想的本质（用 “数” 表示 “形” 的位置）。 知识点01 确定位置 坐标：是以点O为原点，作为参考点，来定位平面内某一点的具体位置，表示方法为：A（X，Y)。 【即学即练】 1．如图是雷达探测到的6个目标，若目标B用表示，目标D用表示，则表示为的目标是（    ） A．目标A B．目标E C．目标C D．目标F 【答案】C 【分析】本题考查平面内点的位置的确定，掌握相关知识是解决问题的关键．按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在方向的度数，依次判断即可． 【详解】解：按已知可得，表示一个点，横坐标是自内向外的环数，纵坐标是所在方向的度数， 故表示点C． 故选：C． 知识点02 平面直角坐标系 1.平面直角坐标系有两个坐标轴，其中横轴为x轴(x-axis)，取向右方向为正方向；纵轴为y轴（y-axis)，取向上为正方向。坐标系所在平面叫做坐标平面，两坐标轴的公共原点叫做平面直角坐标系的原点。 2. x轴y轴将坐标平面分成了四个象限（quadrant），右上方的部分叫做第一象限，其他三个部分按逆时针方向依次叫做第二象限、第三象限和第四象限。 3. 点坐标 （1）x轴上的点的纵坐标为零；y轴上的点的横坐标为零。 （2）在任意的两点中，如果两点的横坐标相同，则两点的连线平行于纵轴（两点的横坐标不为零）；如果两点的纵坐标相同，则两点的连线平行于横轴（两点的纵坐标不为零）。 （3）点到轴及原点的距离： 点到x轴的距离为|y|； 点到y轴的距离为|x|；点到原点的距离为x的平方加y的平方的算术平方根。 4. 象限 第一、三象限角平分线上的点横、纵坐标相等；第二、四象限角平分线上的点横、纵坐标互为相反数 5.坐标与图形性质 （1） 一三象限角平分线上的点横纵坐标相等。 （2）二四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数。 （3）一点上下平移，横坐标不变，即平行于y轴的直线上的点横坐标相同。 （4）y轴上的点，横坐标都为0。 （5）x轴上的点，纵坐标都为0。 6.关于x、y轴、原点对称的点坐标 （1）与x轴做轴对称变换时，x不变，y变为相反数。 （2）与y轴做轴对称变换时，y不变，x变为相反数。 （3）与原点做轴对称变换时，y与x都变为相反数。 【即学即练】 1．点所在的象限是（    ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号特征，解决本题的关键是掌握平面直角坐标系中各个象限内点的坐标的符号：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．根据点在横坐标小于0，纵坐标大于0，即可解答． 【详解】解：点的横坐标小于0，纵坐标大于0，点所在的象限是第二象限． 故选：B． 2．若点在第三象限，则整数m的值为（　　） A． B． C．2 D．4 【答案】C 【分析】此题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式组，以及点的坐标，熟练掌握第三象限点的坐标特征是解本题的关键．根据第三象限的点的横坐标和纵坐标都为负，确定出m的范围，进而确定出整数m的值即可． 【详解】解：∵在平面直角坐标系中，点在第三象限， ∴， 解得：， 则整数m的值为2． 故选：C． 3．若点在x轴上，则m的值为（    ） A．0 B．1 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查点的坐标特征、解一元一次方程，根据点的坐标特征可得，再解方程即可． 【详解】解：点在x轴上， ∴， ∴， 故选：D． 4．若点在第二、四象限的角平分线上，则a的值是（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形性质，坐标轴夹角平分线的坐标特征等知识点，根据第二、四象限角平分线上点的坐标特征：横纵坐标互为相反数，从而得到，然后解方程即可，解题的关键是利用坐标特征正确判断． 【详解】解：∵点在第二、四象限角平分线上， ∴， ∴， 故选：A． 5．学习了“停车坐爱枫林晚，霜叶红于二月花”之后，小梦对枫叶很感兴趣，于是小梦研学活动时捡了一片枫叶，如图，将该片枫叶固定在正方形网格中，若点A的坐标为，点B的坐标为，则点C的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了坐标确定位置． 根据点A的坐标为，点B的坐标为，确定坐标原点，建立平面直角坐标系，由坐标系可以直接得到答案． 【详解】解：如图， 点C的坐标为． 故选：A． 6．点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度，得到点Q，则点Q坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的平移，根据点的平移规律：左减右加，上加下减，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点向右平移3个单位长度，再向上平移6个单位长度， ∴ 即点Q坐标为， 故选：C 知识点03 坐标与图形变化 【即学即练】 1．在平面直角坐标系中，点关于直线对称的点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点关于平行于坐标轴的直线对称的点的坐标的特征，设点关于直线对称的点为，根据轴对称的性质可得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等，据此即可求解． 【详解】解：设点关于直线对称的点为， 根据轴对称的性质得，点和点到直线距离相等，且纵坐标相等， ∴点的纵坐标为2， ∵点到直线的距离为， ∴点的横坐标为， ∴， 故选：C． 知识点04 图形在坐标系中的平移 在平面直角坐标系内，把一个图形各个点的横坐标都加上（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向右（或向左）平移a个单位长度；如果把它各个点的纵坐标都加（或减去）一个整数a，相应的新图形就是把原图形向上（或向下）平移a个单位长度．（即：横坐标，右移加，左移减；纵坐标，上移加，下移减．） 【即学即练】 1．如图，在平面直角坐标系中， (1)求出的面积； (2)在图中作出关于轴的对称图形； (3)写出点的坐标． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了作图﹣轴对称变换，三角形的面积，写出点的坐标； （1）根据正方形的面积减去三个三角形的面积，即可求解； （2）利用关于轴对称的点的坐标特征找到点，，的坐标，然后描点连线画出； （3）由坐标系得到点，，的坐标； 【详解】（1）解： （2）解：如图，为所作； （3）根据坐标系可得： 题型01 确定位置的方法 【典例1】小华在教室的第4列第3行，用表示，小明在教室的第3列第2行应表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用有序数对表示位置，因为小华在教室的第4列第3行，用表示，得出小明在教室的第3列第2行应表示为，即可作答． 【详解】解：∵小华在教室的第4列第3行，用表示， ∴得出小明在教室的第3列第2行应表示为， 故选：D． 【变式1】元旦期间，小明想去王阳明故居纪念馆参观，以下表示王阳明故居纪念馆位置最合理的是（   ） A．东经，北纬 B．在余姚博物馆的东北方向 C．距离余姚北站6公里 D．在浙江省 【答案】A 【分析】本题考查了利用有序数对表示位置，理解坐标的实际意义与应用是解题关键．根据利用有序数对表示位置解答即可． 【详解】解：A东经，北纬是有序数对，故符合题意； B．只有方向没有距离，故不符合题意； C．只有距离没有方向，故不符合题意； D．不能表示具体位置，故不符合题意． 故选A． 【变式2】如图，在正方形网格中，点分别用数对表示，在图中确定点C，连接，得到以A为直角顶点的等腰直角三角形，则表示点C的数对是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了有序数对的应用．作出图形，根据图形点C的位置即可写出答案． 【详解】解：如图，表示点C的数对是， 故选：B． 【变式3】◆的位置用数对表示，那么数对表示是（    ）的位置． A．▲ B．★ C．● D．■ 【答案】A 【分析】本题考查了用数对表示位置知识，结合题意解答即可．用数对表示位置时，线表示第几列，在表示第几行，据此解答即可． 【详解】解：由分析可知◆的位置用数对表示，那么数对表示是▲的位置， 故选：A． 题型02 判断点所在象限 【典例2】在平面直角坐标系中，下列各点在第二象限的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了判断点所在的象限，坐标系中每个象限内点的符号特点如下：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限，据此即可求解． 【详解】解：∵第二象限的点横坐标为负，纵坐标为正， ∴下列各点在第二象限的是， 故选：B． 【变式1】点在第（   ）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限，第二象限，第三象限，第四象限． 根据各象限内点的坐标特征解答即可． 【详解】解：， ∴在第三象限， 故选：C． 【变式2】点一定在（　　） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【分析】本题考查了象限内的点的符号特点，牢记点在各象限内坐标的符号特征是正确解答此类题目的关键．先判断出点P的横、纵坐标的符号，再根据各象限内点的符号特征判断点P所在象限即可． 【详解】解：∵ ∴点P的横坐标是负数，纵坐标是正数， ∴点P在第二象限， 故选：B． 【变式3】下列哪个点是在第二象限（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，明白“四个象限的符号特点分别是：第一象限；第二象限；第三象限；第四象限．轴上的点纵坐标为，轴上的点横坐标为”是解题的关键．据此逐项判断即可． 【详解】解：A、在轴上，故本选项不符合题意； B、在第三象限，故本选项不符合题意； C、在第一象限，故本选项不符合题意； D、在第二象限，故本选项符合题意． 故选：D． 题型03 象限内点坐标的特征 【典例3】在平面直角坐标系中，第四象限内有一点，点到轴的距离为5，到轴的距离为4，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了点的坐标，解题的关键是了解平面直角坐标系内各个象限点的坐标特征．根据点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值，得到点M的横纵坐标可能的值，进而根据所在象限可得点M的具体坐标． 【详解】解：设点M的坐标是， ∵点M到x轴的距离为5，到y轴的距离为4， ∴，， 又∵点M在第四象限内， ∴，， ∴点M的坐标为， 故选：B． 【变式1】如果点在第一象限，且该点到轴和轴的距离相等，那么的值为（    ） A． B．3 C． D．或1 【答案】B 【分析】本题平面直角坐标系中第一象限点的坐标特征以及点到坐标轴距离的概念，解题关键是明确第一象限点横、纵坐标均为正，且点到轴、轴距离相等时横、纵坐标的绝对值相等，进而结合条件列方程求解． 【详解】由题意得： 解得：． 故选：B． 【变式2】在平面直角坐标系中，点M在第四象限，到x轴，y轴的距离分别为6，4，则点M的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的坐标，掌握点到x轴的距离为点的纵坐标的绝对值，到y轴的距离为点的横坐标的绝对值是解题的关键．已知点M在第四象限内，那么横坐标大于0，纵坐标小于0，再根据到坐标轴的距离求坐标即可． 【详解】解：因为点M在第四象限，所以其横、纵坐标分别为正数、负数， 又因为点M到x轴的距离为6，到y轴的距离为4， 所以点M的坐标为． 故选：． 【变式3】若点是平面直角坐标系中第二象限内的点，且点到轴的距离是，到轴的距离是，则点的坐标是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，第一象限的点的坐标符号为；第二象限的点的坐标符号为；第三象限的点的坐标符号为；第四象限的点的坐标符号为． 根据第二象限内点的特点及点到坐标轴的距离定义，即可判断出点的坐标． 【详解】解：∵点到轴的距离是， 则点的纵坐标为， ∵点到轴的距离是， 则点的横坐标为， ∵点在第二象限， 故点坐标为； 故选：C． 题型04 坐标轴上的点的坐标特征 【典例4】若点在x轴上，则点P的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查坐标轴上点的坐标特征，根据x轴上的点的纵坐标为0可得，解得，进而可得点P坐标． 【详解】∵点在x轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点P的坐标为． 故选：D． 【变式1】已知点在y轴上，则a的值为（   ） A．4 B．5 C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了坐标轴上的点的特征： y轴上的点的横坐标为0，x轴上的点的纵坐标为0，熟练掌握这个基础知识点是解题关键．根据y轴上的点的横坐标为0列方程求解即可． 【详解】∵点在y轴上， ∴， ∴． 故选：D． 【变式2】在平面直角坐标系中，若点在轴上，则的值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查平面直角坐标系中点的坐标；根据x轴上点的纵坐标为0的特征，建立方程求解即可． 【详解】解：∵点在x轴上， ∴其纵坐标． 解此方程得：， 此时，点A的坐标为，符合x轴上点的定义． 故的值为， 故选：C． 【变式3】在平面直角坐标系中，若点是y轴上一点．则a的值为（　　） A．2 B．1 C．0 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查点在坐标轴上的特征，熟练掌握点在坐标轴上的特征是解题的关键． 根据点在坐标轴上的特征得到，即可得到答案． 【详解】解：∵点A的坐标为，且点A在y轴上， ∴根据y轴上点的横坐标为0，得：， 解得：， 故选：A 题型05 象限角平分线的点的坐标特征 【典例5】若点在第一、三象限的角平分线上，则点P的坐标为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据点的位置求参数，根据第一、三象限的角平分线上的点横纵坐标相等，可得，然后进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 当时，， ∴点P的坐标为， 故选：A． 【变式1】在平面直角坐标系中，点在第二、四象限的角平分线上，则的值是（   ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．解题的关键是掌握以下知识点：第二、四象限的角平分线上的点的横纵坐标互为相反数． 根据第二、第四象限坐标轴夹角平分线上的点，横纵坐标互为相反数，由此就可以得到关于的方程，解出的值． 【详解】解：点在第二、四象限的角平分线上， ， 解得， 故选：A． 【变式2】已知点在第二、四象限的角平分线上，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上点的特征，熟练掌握平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上点的特征是解题的关键；根据平面直角坐标系中第二、四象限角平分线上的点横纵坐标互为相反数即可求得的值. 【详解】解：点在第二、四象限角平分线上 解得： 故选：A ． 【变式3】如果点在第一、三象限的角平分线上，那么m的值为（   ） A． B． C．1 D．2 【答案】A 【分析】本题考查了点的坐标．根据第一、三象限的角平分线上的点，横纵坐标相同，由此就可以得到关于m的方程，即可解出m的值． 【详解】解：∵点在第一、三象限的角平分线上， ∴， 解得． 故选：A． 题型06 点坐标的实际意义 【典例6】在如图所示的象棋盘上，建立适当的平面直角坐标系，使“炮”位于点上，“相”位于点上，则“帅”位于点（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标确定位置，先根据“炮”和“相”的坐标建立平面直角坐标系，从而得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可建立如图所示的平面直角坐标系： ∴“帅”位于点， 故选：A． 【变式1】2025年成都市石室天府中学体育节暨“协力竞逐，绿茵筑梦”初二足球联赛近期火热开赛．如图是某场比赛运动员某一时刻的站位示意图，将其放入正方形网格中（每个小正方形的边长都是1）．小李、小亮、小东的站位如下图所示，若小亮的位置表示为，小李的位置表示为，则小东的位置可以表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 根据小亮和小李的坐标建立平面直角坐标系，由此即可得解． 【详解】根据题意，直角坐标系如图： 小东的位置可以表示为． 故选：C． 【变式2】五子棋起源于中国，游戏规则是：双方各执一色，黑棋先下（为先手），白棋后下，黑白双方轮流交替下子，下在棋盘横线与竖线的交叉点上，先形成五子连线者获胜．如图，若白棋的位置记为，黑棋的位置记为，为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了用有序数对表示点的坐标，先根据白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为，建立平面直角坐标系，再结合图象即可得解，正确建立平面直角坐标系是解此题的关键． 【详解】解：∵白棋A的位置记为，黑棋B的位置记为， ∴建立平面直角坐标系如图所示： 为了阻止黑棋立即获胜，则白棋必须落子的位置是． 故选：C． 【变式3】中国象棋文化历史悠久，如图是某次对弈的残局，如果建立平面直角坐标系，使棋子“帅”位于点的位置，则在同一直角坐标系中，“马”所在位置是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了点的坐标，根据“帅”的位置建立平面直角坐标系，即可得到“马”所在位置． 【详解】解：如图建立直角坐标系， 则“马”所在位置是， 故选：C． 题型07 关于直线对称的点的坐标特征 【典例7】在平面直角坐标系中，是过点，且垂直于轴的直线，则点关于直线对称的点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据对称的性质，关于直线对称，即到直线的距离相等，在同一高度即纵坐标相等． 【详解】解：过点,且垂直于轴的直线． 直线为直线 设点关于直线的对称点坐标为 故选：D． 【点睛】本题考查了坐标与图形的变化−对称的知识；解决本题的关键是应认真观察，注意技巧，充分利用对称的特点． 【变式1】点关于x轴对称点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称与坐标变换，熟练掌握轴对称与坐标变换是解题的关键．点与其关于x轴对称点的坐标比较，横坐标不变，纵坐标互为相反数． 【详解】解：点关于x轴对称点的坐标是． 故选：A． 【变式2】若，B是平面直角坐标系内的两个点，且它们关于直线对称，则点B的坐标是 ． 【答案】 【分析】根据关于直线对称的点，横坐标相同，纵坐标之和等于，求解． 【详解】解：，B 关于直线对称，横坐标相同，纵坐标相加等于 设，则， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律． 【变式3】在平面直角坐标系中，已知，两点关于直线对称，则 ． 【答案】 【分析】根据关于成轴对称的点，纵坐标相同，横坐标相加等于4，求解. 【详解】已知，两点关于直线对称， ， ， ， 故答案为：-2. 【点睛】本题考查了关于直线对称点的坐标特点，关键是掌握点的坐标的变化规律. 题型08 点的平移 【典例8】若点A的坐标是，且平行于y轴，则点B的坐标为（　　） A． B．或 C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了坐标与图形．根据题意，点与点的横坐标相同，纵坐标有两种情况：在的上方和在下方，分别求解即可． 【详解】解：点的坐标是，，且平行于轴， 点的横坐标为2，纵坐标是或， 点的坐标为或， 故选：D． 【变式1】在平面直角坐标系内，点先向左平移个单位，再向下平移个单位，则平移后的点坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标平移的规律，根据平移时，横坐标左移减，右移加；纵坐标下移减，上移加，计算求解即可，掌握坐标平移的规律是解题的关键． 【详解】解：∵点先向左平移个单位，再向下平移个单位， ∴平移后的点坐标为，即， 故选：． 【变式2】已知线段轴，若点的坐标为，线段的长为3，则点的坐标是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了坐标与图形的性质．线段轴，把点向左或右平移3个单位即可得到点的坐标． 【详解】解：线段轴， 点的纵坐标与点的纵坐标相同， ，点的坐标为， 点的坐标是或． 故答案为：或． 【变式3】在平面直角坐标系中，将点向左平移个4单位长度，再向下平移3个单位长度后与点重合，则点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了坐标与图形变化平移，根据所给平移方式，将点进行反向平移即可解决问题． 【详解】解：由题知，将点向上平移3个单位长度后，所得点的坐标为， 再将点向右平移4个单位长度后，所得点的坐标为， 即点的坐标是． 故答案为：． 题型09 中点坐标 【典例9】已知点与点关于点对称，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了两点关于某点对称的点的坐标特征，解题的关键是掌握两点关于某点对称，则该点的坐标为这两点的中点坐标，利用中点坐标公式建立方程即可解答． 【详解】解：∵点与点关于点对称， ∴， ∴． 故答案为：． 【变式1】点和点的中点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查中点坐标公式．若，，则中点坐标为，熟练掌握公式是解题的关键． 根据中点坐标公式运算即可． 【详解】解：∵点和点 ∴，， ∴点和点的中点坐标为． 故答案为：． 一、单选题 1．在平面直角坐标系中，下列各点属于第四象限的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平面直角坐标系与坐标，理解各象限内点坐标的符号特征是解题的关键．根据平面直角坐标系内各象限内点的坐标符号特征处理． 【详解】解：第四象限内点横坐标为正，纵坐标为负； 故选：A． 2．根据下列表述，不能确定一点的具体位置的是（　　） A．东经，北纬 B．电影院8排22号 C．枣庄市青檀路 D．港口南偏东方向上距港口10海里 【答案】C 【分析】根据有序实数对可以确定位置，方向和距离可以确定位置，判断解答即可． 本题考查了位置的确定方法，熟练掌握方法是解题的关键． 【详解】解：A、东经，北纬的位置明确， 故A不符合题意； B、电影院8排22号的位置明确， 故B不符合题意； C、枣庄市青檀路无法确定物体的具体位置， 故C符合题意； D、港口南偏东方向上距港口10海里的位置明确， 故D不符合题意； 故选：C． 3．已知在平面直角坐标系中的位置如图所示，如果与关于y轴对称，那么点A的对应点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查关于轴对称的点的坐标特征、轴对称图形的定义，根据两点关于轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变，据此解答即可． 【详解】解： 与关于轴对称， 点与点关于轴对称， ， ． 故选：A． 4．在如图所示的象棋盘上，若“帅”和“相”所在的坐标分别是和，则“炮”的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查用坐标表示实际位置，根据已知点的坐标，确定原点的位置，画出直角坐标系，进而表示出“炮”的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立直角坐标系如图： 由图可知：“炮”的坐标是； 故选D． 5．如图，在平面直角坐标系中，对进行循环往复的轴对称变换，若原来点的坐标是.则经过第2024次变换后点的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了轴对称变换规律，确定循环周期，再根据变换次数计算出经过的周期数和余数是解题的关键． 经过图形可知，每经过4次轴对称变换，回到原来的位置，利用，正好完成506次循环，即可得解； 【详解】由题意可知，每经过4次变换后点回到原来的位置，坐标为， ， 经过第次变换与经过第次变换后点的坐标相同， 经过第2024次变换后点的对应点的坐标为． 故选． 二、填空题 6．平面直角坐标系内的点与点关于y轴对称，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了关于x轴、y轴对称的点的坐标，熟练掌握关于y轴对称的点的坐标特征是解答本题的关键．根据关于y轴对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标相等，列式计算即可． 【详解】解：∵点与点关于y轴对称， ∴， 解得：． 故答案为：． 7．如图，在平面直角坐标系中，将线段平移到线段的位置，则 ． 【答案】 【分析】本题考查坐标与图形变化-平移，利用坐标平移的变化规律即可解决问题．根据点 平移到点，纵坐标的变化规律，可得：；根据点平移到点，横坐标的变化规律，可得：；把字母的值代入代数式计算求值即可． 【详解】解：点 平移到点，向上平移了个单位长度， ， 解得：， 点平移到点，向左平移了个单位长度， ， 解得：， 解得：． 故答案为：． 8．已知点，若点的坐标为，且直线轴，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的坐标，平行于y轴直线上的点的特征；平行于y轴直线上的点的横坐标都相等，据此解答即可. 【详解】解：∵直线轴 ∴P、Q两点的横坐标相等 ∴ 解得 ∴ ∴P点坐标为. 9．如图，已知点，，将线段平移至的位置，其中点，则点D的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查点的平移，根据点与点得出平移方式，即可求解． 【详解】解：∵点的对应点C的坐标为， ∴平移规律为横坐标减3，纵坐标加1． ∵点的对应点为点D， ∴点D的坐标为，即． 故答案为：． 三、解答题 10．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别为，，，直线经过点且与轴平行． (1)请在坐标系中画出关于轴对称的图形． (2)请在坐标系中画出关于直线对称的图形． (3)若点是内一点，则点关于直线对称的坐标是 ． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了轴对称作图，在平面直角坐标系中找到一个点关于特定直线的对称点，数形结合是解答本题的关键． （1）先确定出点，，关于轴的对称点，然后连线即可得出； （2）先确定出点，，关于直线的对称点，然后连线即可得出； （3）根据轴对称的性质，可得点与点的对称点纵坐标相同，再由轴对称的性质可得点的对称点横坐标． 【详解】（1）解：如图，即为所求． （2）解：如图，即为所求． （3）解：点关于直线对称点的纵坐标为，横坐标为， ∴点关于直线对称的坐标是． 故答案为：． 11．已知点是平面直角坐标系中的一点． (1)若点在轴上，求点的坐标； (2)若点的坐标为，且轴，求点的坐标． 【答案】(1) (2)点的坐标为 【分析】此题考查了点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系中点的特征是解题的关键． （1）根据轴上点的横坐标为0即可得到答案； （2）根据平行于轴的直线上各点纵坐标相等进行解答即可． 【详解】（1）解：因为点在轴上，所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． （2）因为点的坐标为，且轴， 所以， 解得， 所以， 所以点的坐标为． 12．已知点，请分别根据下列条件，求出点的坐标． (1)点在轴上； (2)点的纵坐标比横坐标大； (3)点在过点且与轴平行的直线上． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了点的坐标，熟练掌握坐标轴上点的坐标特征以及平行于坐标轴的直线上的点的坐标特征是解题的关键． （1）根据轴上点的纵坐标为0列方程求出的值，再求解即可； （2）根据纵坐标与横坐标的关系列方程求出的值，再求解即可； （3）根据平行于轴的直线上的点的横坐标相同列方程求出的值，再求解即可． 【详解】（1）解：点在轴上， ， 解得， ， 所以，点的坐标为； （2）解：点的纵坐标比横坐标大3， ， 解得， ， ， 点的坐标为； （3）解：点在过点且与轴平行的直线上， ， 解得， ， 点的坐标为． 1 / 17 学科网（北京）股份有限公司 $