第一章集合与常用逻辑用语素养检测-2026-2027学年高一上学期数学人教A版必修第一册

**基本信息** 高中数学第一章单元卷，融合多地名校月考真题，覆盖集合、命题及充分必要条件，通过基础巩固与创新应用梯度设计，适配单元复习，发展抽象能力与推理意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单项选择题|8/40|集合交并补、命题否定|如第3题韦恩图阴影分析，考察几何直观| |多项选择题|3/18|充分必要条件判断|如第9题结合生活情境，发展逻辑推理| |填空题|3/15|集合运算与实际应用|如第13题容斥原理，体现数据意识| |解答题|5/77|新定义与参数范围|如第19题性质G探究，培养创新意识与模型观念|

第一章素养检测 学科网（北京）股份有限公司 刷速度 一、单项选择题：本大题共8 小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.[河南驻马店2026 高一期中]已知集合A={-3,-1,0,2},B={x∈N|-2≤x<3},则A∩B= ( ) A.{2} B.{0,2} C.{-1,0,2} D.{-3,-1,0,1,2} 2.[安徽多校2026高一月考]若命题p:∀x∈R, 则 ( ) A. p为假命题 B. p为存在量词命题 C. p的否定: D. p的否定: 3.[北京北师大附中2025 高一期中]设全集U=R,集合.M={x|0≤x≤2},N={x|1≤x≤3},如图所示，阴影部分所表示的集合为( ) A.{x|x<0或x>3} B.{x|x≤0或x≥3} C.{x|x<1或x>2} D.{x|x≤1或x≥2} 4.[辽宁大连部分学校2025高一联考]已知集合A= {x|1<x<2},B = {x|x>m},若 A ∩ ，则实数m的取值范围为 ( ) A.{m|m≤1} B.{m|m≤2} C.{m|m<1} D.{m|m≥2} 5.[湖南长沙2026高一月考]命题“∃-1≤x≤3, 是真命题的一个充分不必要条件是 ( ) A. a≥0 B.a≥-1 C. a≤9 D. a≥1 建议用时：90分钟 答案P157 6.已知集合A={x|ax-6=0},B={x∈N|2≤x<4}，且A∪B=B，则实数a的所有可能的值构成的集合是 ( ) A.{2} B.{3} C.{2,3} D.{0,2,3} 7.[四川成都外国语学校2026高一月考]已知集合A={x|-1<x<2},B={x|-1<x<m+1},若x∈A 是x∈B成立的一个必要不充分条件，则实数m的取值范围是 ( ) A.{m|m<1} B.{m|m≤1} C.{m|m>1} D.{m|m≥1} 8.[河南省实验中学2026高一月考]已知命题p：“∀x∈{x|1≤x≤2},x-a≥0”,命题q:“∃x∈ 若两个命题中全称量词命题是真命题，另一个命题是假命题，则实数a的取值范围是 ( ) A.{a|-2<a≤1} B.{a|-2<a≤2} C.{a|-2<a<2} D.{a|1≤a<2} 二、多项选择题：本大题共3 小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.[广东佛山2026高一月考]下列命题为真命题的是 ( ) A. “x> ”是“x>1”的充分不必要条件 B. “m≠0”是“mn≠0”的充分条件 是“a=b=c”的充要条件 D. “A∩B≠∅”是“A⊆B”的必要不充分条件 第 一 早第一早 没有不请自来的幸运，只有有备而来的惊艳。 15 学科网（北京）股份有限公司 第 一 早第一早 没有不请自来的幸运，只有有备而来的惊艳。 15 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 10.[福建福州十校2025 高一期中联考]已知全集U={x|x<10,x∈N},A⊆U,B⊆U,A∩(C∪B)={1,5},(CvA)∩(CvB)={3,7,9},A∩B={4}，则下列选项正确的是 ( ) A.8∉B B.{5}⊆A C.7∈Cb(A∪B) D. A 的真子集个数为8 11.[山西太原2026高一月考]在整数集Z中，被5除所得余数为k的所有整数组成一个“类”，记为[k],即[k]={5n+k|n∈Z,k=0,1,2,3,4}，给出如下四个结论，正确的是 ( ) A.2026∈[1] B.-3∈[3] C. Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4] D.“整数a，b属于同一‘类’”的充要条件是“a-b∈[0]” 三、填空题：本大题共3 小题，每小题5 分，共15分. 12.[山东淄博2026高一期中]已知命题p：关于x的方程 有实数根,命题q:a>3,那么p是q的 .(填“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”或“既不充分也不必要条件”) 13.[湖北新高考协作体2025 高一期中]某学校举办运动会时，高一(1)班共有36名同学参加比赛，有26人参加游泳比赛，有15人参加田径比赛，有13人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有 6人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，没有人同时参加三项比赛，则同时参加游泳和球类比赛的有 人. 14.[北京大兴区2026 高一期中]已知集合A={x|0≤x≤a},B={x|m²+3≤x≤m²+4},若命题“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,则实数 a的一个值可以为 . 四、解答题：本大题共5 小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(本小题满分13分)[湖南长沙一中2026高一月考]已知集合 (1)若A=B,求实数a的值; (2)若A∩B≠∅且A∩C=∅,求实数a的值 16.(本小题满分15分)[安徽阜阳2026高一月考]已知非空集合 P={x|a+1≤x≤2a+1},Q={x|-2≤x≤5}. (1)若a=3,求(CRP)∩Q; (2)若“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件,求实数a的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 16未来还很长，我们继续努力。 学科网（北京）股份有限公司 17.(本小题满分 15 分)[四川成都石室中学2026高一月考]已知命题p:∀x∈{x|x≥1}, 命题q:∃x∈R, (1)若两个命题都是真命题，求实数a的取值范围； (2)若两个命题有且只有一个为真命题，求实数a的取值范围. 18.(本小题满分17分)[江苏苏州2026高一月考]已知集合 集合B={x|0<x≤2},D={x|m≤x≤m+ ,m∈R}. (1)若C={x|2a<x<1+a},且C⊆(A∩B),求实数a的取值范围. (2)是否存在实数m,使“x∈(A∩B)”是“x∈D”的必要不充分条件?若存在，求出 m的取值范围；若不存在，请说明理由. 19.(本小题满分 17分)[陕西西安长安一中2025 高一质量检测]已知集合 aₖ}(k≥2),其中( ，新定义性质G：若对任意的x∈A，必有-x∉A，则称集合A 具有性质G.由A 中元素可构成两个点集P和Q:P={(x,y)|x∈A,y∈A,x+y∈A},Q={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},其中P中有m 个元素，Q中有n个元素. (1)已知集合J={0,1,2,3}、集合K={-1,2,3}和集合 判断它们是否具有性质G，若有，则直接写出其对应的集合P，Q；若无，请说明理由. (2)集合A 具有性质G,若k=100,求:集合Q最多有几个元素? (3)试判断:“集合A 具有性质 G”是“m=n”的什么条件，请说明理由. 学科网（北京）股份有限公司 $ 学科网（北京）股份有限公司 第一章素养检测 1B 2D 3A 4A 5D 6D7 A. 8. A 【解析】由题意知,命题p:“∀x∈{x|1≤x≤2},x-a≥0”为全称量词命题,是真命题， 由∀x∈{x|1≤x≤2},x≥a,可得a≤1. 命题 为假命题，即 即 4=0无实数解， 则 解得-2<a<2. 综上可得，实数a需满足 所以实数a的取值范围是{{a|-2<a≤1}. 故选 A. 9. AC 【解析】对于A,若 则x>1,故充分性成立； 若x>1,取x=1.2,则 故必要性不成立，所以 是“x>1”的充分不必要条件，故A 为真命题. 对于B,当m≠0,n=0时,mn=0,故充分性不成立， 所以“m≠0”不是“mn≠0”的充分条件,故B为假命题. 对于C，若 则 即 2ab-2bc-2ac=0,即 所以a=b=c，故充分性成立； 若a=b=c,则 故必要性成立. 所以‘ ’是“a=b=c”的充要条件，故C为真命题. 对于D,若A∩B≠∅,例如A={1,2},B={2,3},则A∩B={2},A⊆B不成立,故充分性不成立； 若A⊆B,则当A=∅时,A∩B=∅,故必要性不成立.若“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件,则集合A是集合B的真子集， 所以 解得1≤m<2, 故m的取值范围是{m|1≤m<2}. (2)因为命题“∃x∈A,使得x∈B”是真命题,所以A∩B≠∅. 当A∩B=∅时,因为m∈R,m-3<m+2恒成立,所以B≠∅,所以m+2<-1或m-3≥3,解得m<-3或m≥6. 所以当A∩B≠∅时，m的取值范围是{ml-3≤m<6}. 所以“A∩B≠∅”是“A⊆B”的既不充分也不必要条件，故D为假命题. 故选 AC. 10. BC 11. ACD 【解析】对于 A:因为2 026÷5=405⋯⋯1,所以2026∈[1],故 A 正确.对于B:因为-3=5×(-1)+2,所以-3∈[2],故B 错误. 对于C：因为整数集中的数被5除的余数为0,1,2,3,4,所以Z=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4],故C正确. 对于D:当a-b∈[0]时,a-b=5n,n∈Z,所以a=5n+b,即整数a,b属于同一“类”; 若两个数属于同一“类”，则对应的余数相同,其差能被5整除,故a-b∈[0],故D正确. 故选 ACD. 12.必要不充分条件 【解析】因为命题p：关于x的方程 有实数根，所以 解得a≥2或a≤-2. 因为命题q：a>3，所以p是q 的必要不充分条件. 13.8【解析】设高一(1)班参加游泳、田径、球类比赛的学生分别构成集合A，B，C，设同时参加游泳和球类比赛的学生人数为x，则由题意作出 Venn图如图， 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 由题意可得20-x+6+x+5+4+9-x=36,解得x=8.因此同时参加游泳和球类比赛的学生有8人. 14.1(答案不唯一、a<3 均可) 【解析】若命题“∃m∈R,使得A∩B≠∅”为假命题,则其否定“∀m∈R,都有A∩B=∅”为真命题. 当a<0时,集合A=∅,此时A∩B=∅,符合题意. 当a≥0时, 由∀m∈R,都有A∩B=∅, 可得 对于任意m∈R恒成立，又 所以0≤a<3. 综上，实数a的取值范围为{a|a<3}. 故实数a的一个值可以为1. 15.【解】(1)由题可得0}={2,3}, 由A=B可得2,3是方程: 0的两根， 则有 解得a=5. |-1,3}. 因为A∩B≠∅且A∩C=∅,所以2∈A且3∉A, 则有 化简得 15=0,解得a=5或a=-3. 当a=5时,A={2,3},则A∩C≠∅,不符合题意； 当a=-3时,A={-5,2},则A∩B={2}且A∩C=∅,故a=-3符合题意. 综上，实数a的值为-3. 16.【解】(1)当a=3时,P={x|4≤x≤7},或x>7}, 又Q={x|-2≤x≤5}, 所以([RP)∩Q=|x|-2≤x<4}. (2)因为“x∈P”是“x∈Q”的充分不必要条件，所以P是Q的真子集. 又Q={x|-2≤x≤5},P≠∅, 通坑：注意题干条件为← 非空集合P 则有 解得0≤a≤2. 当a=0时,P={1}是Q的真子集; 当a=2时,P={x|3≤x≤5}是Q 的真子集. 综上所述，实数a的取值范围为{a|0≤a≤2}. 17.【解】(1)当命题p为真命题时,a- 当x∈{x|x≥1}时,代数式 要使恒成立，则 当命题q为真命题时，有 0⇒a≥8或a≤-8. 因为两个命题都是真命题， 所以实数a应同时满足上述两个条件，即a≤-8, 因此实数a的取值范围为{{a|a≤-8|. (2)由(1)可知，当命题p为假命题时， 当命题q为假命题时,-8<a<8. 当命题p为真命题，命题q 为假命题时，7 当命题p为假命题，命题q 为真命题时，有 解得a≥8. 综上所述，实数a的取值范围为 或a≥8}. 18.【解】(1)对于 等价于 解得-4≤x≤1, 所以A={x|-4≤x≤1}, 又B={x|0<x≤2},则A∩B={x|0<x≤1|. 若C⊆(A∩B),则有: ①当C=∅时,1+a≤2a,即a≥1,满足C⊆(A∩B); ②当C≠∅时, 解得a=0. 综上所述，实数a的取值范围是{a|a≥1或a=0}. (2)由(1)得A∩B={x|0<x≤1}, 若“x∈(A∩B)”是“x∈D”的必要不充分条件，则D是A∩B的真子集. 因为 所以集合D≠∅， 可得 解得 故存在实数m满足题意，且m的取值范围是 19.【解】(1)由题知,0=-0,不符合性质 G,因此集合中只要含有元素0就不具有性质G. 由于0∈J，故J不具有性质G. 集合K具有性质G，对应集合P=|(-1，3),(3,-1)},Q={(2,-1),(2,3)|. 集合L不是整数集，所以不具有性质G. (2)由题意可知，集合A中的元素构成有序实数对 共有k²个. 因为0∉A，所以 又因为x∈A时,-x∉A,所以(a₁,a₁)时,(a,,a₁)∉Q, 所以集合 Q 的元素个数不超过 4950. 不妨取A=|1,2,⋯,100|,此时Q中素的个数为4950， 故Q中元素的个数最多为4950. (3)充分不必要条件，理由如下： 当集合A 具有性质G时， ①对于(a,b)∈P,根据定义可知:a∈b∈A,a+b∈A, 又因为集合A 具有性质G，所以(a+|a)∈Q. 如果(a,b),(c,d)是 P 中的不同元素那么a=c，b=d中至少有一个不成立.于是b=d,a+b=c+d中至少有一个成立， 故(a+b,b)和(c+d,d)也是Q中不同元素， 可见 P 的元素个数不多于Q 的元素数,即m≤n. ②对于(a,b)∈Q,根据定义可知:a∈b∈A,a-b∈A, 又因为集合 A 具有性质G，则(a-b)∈P. 如果(a,b),(c,d)是Q中的不同元素那么a=c，b=d中至少有一个不成立，于是b=d,a-b=c-d中至少有一个成立， 故(a-b,b)和(c-d,d)也是P 中不同元素，可见Q 的元素个数不多于 P 的素个数,即 n≤m. 由①②可知m=n. 若A={-1,1,2,3},则 P={(-1,2}(2,-1),(-1,3),(3,-1),(1,1),(2),(2,1)|, Q={(1,2),(2,3),(2,1),(3,2),(-1),(3,1),(2,-1)}, 满足m=n，而集合A不具有性质G. 所以“集合A具有性质G”是“m=n”的分不必要条件. 规律方法 新定义问题的方法和技巧 (1)可通过举例的方式，将抽象的定义转化为具体的简单的应用，从而加深对信息的理解； (2)可用自己的语言转述新信息所表达的内容，如果能清晰描述，那么说明对此信息的理解较为透彻； (3)发现新信息与所学知识的联系，并从描述中体会信息的本质特征与规律； (4)如果新信息是课本知识的推广，那么要关注此信息与课本中概念的不同之处，以及什么情况下可以使用书上的概念. 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $