第2章 有理数及其运算 小升初暑假衔接练习4 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 小升初暑假数学衔接单元卷，聚焦有理数核心知识，通过女篮夺冠、出租车营运等真实情境，融合基础巩固与创新应用，适配暑假复习预习需求，培养数学眼光与应用意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10题|绝对值、数轴、非负数判断|结合女篮夺冠（第2题）考正负数应用，体现时代性| |填空题|5题|新定义运算、数轴距离|魔术盒运算（第15题）渗透数学抽象，培养符号意识| |解答题|8题|实际应用、数论探究|出租车计费（第20题）、能被9整除特征（第22题），分层设计，提升运算能力与推理意识|

小升初暑假衔接练习4 一、单选题 1．在有理数﹣5，0，，2.1中，绝对值最大的数是（　　） A．﹣5 B．0 C． D．2.1 2．2023年7月2日，在一度落后的情况下，中国女篮经过顽强拼搏，击败日本队夺得亚洲杯的冠军．这个振奋人心的消息掀起了校园篮球热，某中学开学后购买了一批篮球，随机检测了4个，其中质量超过标准的克数记为正数，不足的克数记为负数，从轻重的角度看，最接近标准的球是(   ) A． B． C． D． 3．在0.2，，，，0，，，这八个数中，非负数有（   ） A．4个 B．5个 C．6个 D．7个 4．有理数、在数轴上的表示如图所示，则下列结论中： ①  ②  ③  ④ 其中正确的有（     ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．小明在写作业时不慎将一滴墨水滴在数轴上，根据如图的数值，判断墨迹盖住的整数共有（    ）个． A． B． C． D． 6．按如图所示的程序运算（完成一个方框内的运算后 把结果输入下一个方框继续进行运算），若输入的值为，则输出的结果是（    ） A．4 B．9 C．15 D．18 7．下列说法正确的是（　　） A．有理数不是正数就是负数 B．0既不属于整数也不属于分数 C．若，则是一个非负数 D．有理数的绝对值都是正数 8．有一个硬纸做成的礼品盒，用彩带扎住（如图），打结处用去的彩带长厘米．做这样一个礼品盒至少要硬纸（     ） A． B． C． D． 9．已知点A，B在数轴上的位置如图所示，其表示的数分别是a和b，给出以下结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①② B．②③ C．③④ D．①④ 10．定义：表示不超过的最大整数．如：，．则下列结论：①；②；③；④；⑤若，则的值可以是．其中正确的结论有（   ）个 A． B． C． D． 二、填空题 11．已知，，且，则________． 12．数轴上，点表示的数为3，那么到点的距离等于4个单位长度的点所表示的数是__． 13．若，则___________． 14．对两个任意有理数a、b，规定一种新运算a※b=a−2b，例如：3※2=3−2×2=−1．根据新的运算法则，则（－2）※5的值为___． 15．近几年来魔术风靡我国，小亮发明了一个魔术盒，把一个实数对放入其中，就得到一个数为，如把放入其中，就得到，若把放入其中，得到数，再把放入其中，则得到的数是________． 三、解答题 16．计算： 17．先化简，再求值： ，其中． 18．（1）在数轴上表示下列各数：，，0，． （2）将原数按从小到大的顺序用“”连接起来． 19．规定一种新运算，规定有理数 如 (1)求的值； (2)求的值 20．出租车司机李师傅某日上午一直在某市区一条东西方向的公路上营运，共连续运载八批乘客，若按规定向东为正，向西为负，李师傅营运八批乘客里程数记录如下（单位：千米）：，，，，，，，． (1)将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的东面还是西面，距离多少千米？ (2)若出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价，求李师傅在这期间一共收入多少元？ 21．老师倡导同学们多读书，读好书，小伟计划每天读课外书30分钟，但由于种种原因，实际每天读课外书的时间与原计划相比有出入，下表是小伟某周的读课外书情况（增加记为正，减少记为负）． 星期 一 二 三 四 五 六 日 增减/分钟 (1)读书最多的一天比最少的一天多读了多少分钟？ (2)实际比计划少读书的几天时间里一共少读了多少分钟？ (3)根据记录的数据可知，小伟该周实际读课外书多少分钟？ 22．一个三位数，百位上的数字为a，十位上的数字为b，个位上的数字为c，通常记这个数为， 则．下面探究能被9整除的三位数的特征． 【举例说明】（1）请写出两个能被9整除的三位数________． 【猜想证明】 （2）由特例，提出猜想：如果能被9整除，那么这个三位数能被9整除． 证明：因为 是整数 ____被9整除．（填“能”或“不能”） 因此如果____被9整除，那么就能被9整除．（填“能”或“不能”） 所以猜想成立． 【迁移运用】 （3）设是一个四位数，若可以被3整除．求证：这个四位数可以被3整除． 【拓展提升】 （4）当五位数能被9整除时，求出的值． 23．【阅读理解】整体思想是从问题的整体性质出发，突出对问题的整体结构的分析和改造；把某些式子或图形看成一个整体，进行整体处理．它作为一种思想方法在数学学习中有广泛的应用，因为一些问题按常规不容易求某一个（或多个）未知量时，根据题目的结构特征，把某一组数或某一个代数式看作一个整体，找出整体与局部的联系，从而找到解决问题的新途径． 例如，求的值． 我们将作为一个整体代入，得原式． 【教材原题】如图，若，求长方形与的面积差． 【尝试应用】当时，代数式的值为，当时，求代数式的值：（用含的代数式表示） 【拓展应用】、两地相距，甲以每小时的速度从地出发匀速驶往地：同时，乙以每小时的速度从地出发匀速驶往地．经过小时，甲、乙两人相遇．直接写出甲、乙两人相距的时间． ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共4页 ◎ 第4页 共4页 第1页 共4页 ◎ 第2页 共4页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D A B B A C A B B 1．A 【分析】求出各个数的绝对值，由此即可得出答案． 【详解】解：因为，，，， 所以绝对值最大的数是， 故选：A． 【点睛】本题考查了绝对值，熟练掌握绝对值的性质是解题关键． 2．D 【分析】由已知和要求，只要求出超过标准的克数和低于标准的克数的绝对值，绝对值小的则是最接近标准的球． 【详解】解：通过求4个篮球的绝对值得：，，，， 的绝对值最小． 这个球是最接近标准的球． 故选：D． 【点睛】本题考查了正数和负数，有理数的运算，解答本题的关键是明确正数和负数在题目中表示的实际意义． 3．A 【分析】先将各数进行化简，然后根据非负数的定义（正数和零总称为非负数）依次判断即可得． 【详解】解：先将各数进行化简为：，，，，， 根据非负数的定义可得，，，，0是非负数， 故选：A． 【点睛】题目主要考查非负数的定义及绝对值，有理数乘方的运算，熟练掌握非负数定义及各个运算法则是解题关键． 4．B 【分析】本题考查了数轴，有理数的大小比较，有理数的加法、减法、乘法法则，会看数轴并由数轴得到相关的信息是解题关键．由数轴可知，，，再根据有理数的加法、减法、乘法法则依次进行判断即可． 【详解】解：由数轴可知，，， ，，，， 正确的是①②，有2个 故选：B． 5．B 【分析】本题考查了数轴以及有理数，根据题意结合数轴可知墨迹盖住的范围有两部分，即大于而小于，大于而小于，写出其中的整数即可，熟练掌握并弄清数轴上点表示的数是解题的关键． 【详解】解：结合数轴，得墨迹盖住的整数为大于而小于，大于而小于， 分别为，，，，，，，，，共个， 故选：． 6．A 【分析】本题考查了程序图运算． 将代入程序图进行运算，当结果时输出即可． 【详解】解：把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 把代入程序中得：， 则输出结果为． 故选：A． 7．C 【分析】本题考查了有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义，根据有理数的分类，负数的定义，绝对值的意义逐项分析即可． 【详解】解：A．一个有理数不是正数就是负数或0，原说法不正确，不符合题意； B．0属于整数，原说法不正确，不符合题意； C．若，则a是一个非负数，原说法正确，符合题意； D．有理数的绝对值是正数或0，原说法不正确，不符合题意． 故选：C． 8．A 【分析】用两个底面积加侧面积即可. 【详解】解：， ∴做这样一个礼品盒至少要硬纸. 9．B 【分析】本题考查了利用数轴比较有理数的大小，绝对值意义，根据有理数的运算法则判断结果符号.观察数轴上点A，B的位置，得出，，，再对每个结论进行判断. 【详解】解：∵观察数轴上点A，B的位置，得出，，， ∴，，， ∴②③正确. 故选：B． 10．B 【分析】本题考查了有理数的大小比较、新定义运算，解决本题的关键是根据新定义运算计算出结果，根据计算的结果判断是否正确． 【详解】解：根据题意可得：，故正确； 根据题意可得：，故正确； 当时，有，不成立，故错误； 当时，有，不成立，故错误； 当时，，若，则的值可以是，故正确， 综上所述，正确的结论共有个． 故选：B ． 11． 【分析】根据绝对值的意义及有理数的加减运算法则即可求解． 【详解】解：∵ ， ∴， ∵，， ∴， 则：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了绝对值的意义及有理数的加减，熟练掌握绝对值的意义及有理数的加减运算法则是解题的关键． 12．7或 【分析】分点在A的左边和右边两种情况，根据数轴上两点间的距离列式求解即可． 【详解】解：当点在A的左边时，表示的数是， 当点在A的右边时，表示的数是， 所以到点A的距离等于4个单位长度的点所表示的数是7或； 故答案为：7或． 【点睛】本题考查了数轴上两点间的距离，正确分类是关键． 13． 【分析】本题考查绝对值和平方的非负性，以及有理数的乘方．由非负数的性质，可求出x和y的值，再代入计算即可． 【详解】解：因为，且， 所以， 解得． 则， 所以． 故答案为． 14．-12 【分析】原式利用题中的新定义计算即可得到结果． 【详解】解：根据题中的新定义得：（-2）※5=-2-2×5=-2-10=-12； 故答案为：-12． 【点睛】本题考查了有理数的混合运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 15．5 【分析】根据题中所给新定义运算可进行求解． 【详解】解：由题意得：， ∴把放入其中得到的数是：； 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查有理数的混合运算，解题的关键是理解题中所给新定义运算． 16．26 【分析】先变除法为乘法，后根据乘法对加法的分配律解答即可． 本题考查了除法运算，分配律的应用，熟练掌握运算法则，会用分配律是解题的关键． 【详解】解： ． 17．， 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号、合并同类项，再将代入化简结果计算即可． 【详解】解： ， 当时， 原式 ． 18． （1）在数轴上表示各数，如图： （2） 【分析】本题考查有理数与数轴，准确表示各数是解题的关键； （1）将各数在数轴上进行表示即可； （2）根据数轴上的数右边的数比左边的数大即可得答案． 【详解】解：（1）略 （2）由图可知：． 19．(1) (2) 【分析】本题考查定义新运算，有理数的混合运算： （1）根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可； （2）根据新运算的法则，列出算式，进行计算即可． 【详解】（1）解：； （2） ． 20．(1)东面，7千米 (2)94元 【分析】本题考查了正负数的实际应用，有理数的四则运算的应用，理解正负数的意义是解题的关键． （1）把记录的数相加即可得出答案； （2）根据收费标准列式计算即可． 【详解】（1）， 按规定向东为正，向西为负， 将最后一批乘客送到目的地后，李师傅位于第一批乘客出发地的东面，距离7千米； （2）∵出租车的收费标准为：起步价10元（不超过5千米），超过5千米，超过部分每千米2元，不超过5千米则收取起步价， 八批乘客里程数的记录中，， （元）， 答：李师傅在这期间一共收入94元． 21．(1)25 (2)-25 (3)218 【分析】（1）根据表格找出读课外书最多的一天和最少的一天，再利用有理数的减法求解即可； （2）将实际比计划少读书的几天的减读书时间求和即可； （2）根据正、负数的意义，运用有理数的加法即可求出该周实际读课外书的时间． 【详解】（1）解：根据表格可知：读课外书最多的一天是周六，最少的一天是周五． ∴读课外书最多的一天比最少的一天多分钟． （2）解：实际比计划少读书的几天时间里一共少读了钟分钟． （3）解：小伟该周实际读课外书分钟． 【点睛】本题主要考查了正、负数、有理数的加、减法在实际生活中的应用，利用有理数的加法和减法法则计算是解答本题的关键． 22．（1），（答案不唯一）；（2）能，能；（3）见解析；（4）0或9 【分析】本题主要考查整式加减混合运算，熟练掌握整式加减混合运算是解题的关键． （1）根据题意写出符合要求的数即可； （2）根据题意可得， 再由能被整除，能被整除，即可． （3）根据题意可得， 再由能被整除， 能被整除，即可． （4）由， 且五位数能被整除，可进行求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴能被整除的三位数为，， 故答案为：，（答案不唯一）； （2）证明： 是整数 能被9整除． 因此如果能被9整除，那么就能被9整除． 所以猜想成立． 故答案为：能，能； （3）证明： ， ∵，，是整数， ∴能被整除， 又∵能被整除， ∴能被整除； （4）解：∵ ， 且五位数能被整除， ∴能被整除， ∵是的整数， ∴或． 23．【教材原题】；；【尝试应用】；【拓展应用】甲、乙两人出发小时或小时相距千米 【分析】本题考查的是整式的加减运算的应用，方程的应用，整体思想法，已知式子的值求代数式的值，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【教材原题】先表示长方形与的面积差为：，再化简，再整体代入计算即可； 【尝试应用】由条件得到，再把代入可得，再整体代入计算即可； 【拓展应用】由小时相遇可得，再分两种情况：当两人相遇前，相距千米，当两人相遇后，相距千米，再列式计算即可． 【详解】【教材原题】解：根据题意可知长方形与的面积差为： ， 将代入，原式． 【尝试应用】解：当时，， 即， ∴； 当时，， 故将代入， 则 ． 【拓展应用】解：由题意可得：， 即； 当两人相遇前，相距千米， 故（小时）， 当两人相遇后，相距千米， 故（小时）， 综上：当甲、乙两人出发小时或小时相距千米． 答案第8页，共10页 答案第7页，共10页 学科网（北京）股份有限公司 $