第二章 有理数及其运算全章综合检测卷（暑假预习举一反三单元自测）新七年级数学上册新教材北师大版

**基本信息** 北师大版初中数学有理数单元综合检测卷，覆盖全章核心知识，通过文化情境（结绳记数）、生活应用（24点游戏）及探究性问题（F运算、面积分割），梯度设计体现抽象能力、运算能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|相反数、科学记数法、数轴|基础概念辨析，如第4题结合节水情境考科学记数法| |填空题|6/18|非负整数、新定义运算|文化传承（结绳记数）与生活应用（24点游戏）结合| |解答题|8/72|混合运算、数形结合、规律探究|分层设计，如第24题通过正方形分割培养推理意识与创新思维|

第二章 有理数及其运算（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列说法正确的是（    ） A．是相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D． 的相反数是8 2．（3分）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 3．（3分）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 4．（3分）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均用水量的四分之一，我们必须节约用水．若每人每天浪费水升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（   ）升． A． B． C． D． 5．（3分）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 6．（3分）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 9．（3分）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 10．（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 12．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是____________． 13．（3分）“24点”游戏是一种适用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色J，Q，K分别代表11，12，13，红色J，Q，K分别代表．某同学抽到红桃2、方块3、黑桃4、梅花6等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出运算结果为24的算式：______． 14．（3分）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 15．（3分）如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 16．（3分）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（12分）计算（能简便运算的要简算）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 18．（6分）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来： 0，，，，，． 19．（6分）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． （1）有理数集合：{__________________ …}； （2）非正整数集合：{___________________ …}； （3）正分数集合：{___________________…}． 20．（6分）我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： （1）表示数轴上数与数_____两点间的距离． （2）表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． （3）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 21．（9分）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． （2）的个位数字为________． 22．（9分）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） （1）10月3日的人数为 万人； （2）七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； （3）请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 23．（12分）数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． （1）算式的结果为______，算式的结果为______； （2）若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； （3）乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 24．（12分）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 （1）根据图形填写上表； （2）计算：；（请写出计算过程） （3）类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二章 有理数及其运算（全章综合检测卷） 【新教材北师大版】 考试时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．（3分）下列说法正确的是（    ） A．是相反数 B．与互为相反数 C．与互为相反数 D． 的相反数是8 【答案】D 【分析】根据只有符号不同的两个数互为相反数，据此逐项判断即可． 【详解】解：A.与9互为相反数，故A不符合题意； B．与互为相反数，故B不符合题意； C．与互为相反数，故C不符合题意； D．的相反数是8，故D符合题意． 故选：D． 2．（3分）有下列各数，，，，，，，，其中属于非负整数的共有（     ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】B 【分析】先明确非负整数的定义是和正整数，将题目中需要化简的数化简后，逐一判断即可统计出符合要求的数的个数． 【详解】解：非负整数包含和正整数， 先化简各数：，，， 属于非负整数的数为，，，，共个 ． 故选：B． 3．（3分）不改变原式的值，省略算式中的括号和加号后，可以写成的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查有理数的加减混合运算，需根据有理数运算法则省略括号和加号后，比较是否与给定算式一致． 【详解】解：选项A： ； 选项B： ； 选项C： ，与给定算式一致； 选项D： ． 故选：C． 4．（3分）中国是严重缺水的国家之一，人均淡水资源为世界人均用水量的四分之一，我们必须节约用水．若每人每天浪费水升，那么100万人每天浪费的水，用科学记数法表示为（   ）升． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了科学记数法的表示方法有关知识．首先算出100万，再利用科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：将100万，用科学记数法表示为：． 故选：D． 5．（3分）下列数轴表示正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据数轴的三要素即规定了原点，正方向，单位长度的直线叫做数轴，解答即可． 本题考查了数轴的三要素，熟练掌握数轴三要素是解题的关键． 【详解】 解：A． 单位长度不同， 该选项错误，不符合题意； B． 负数的标记位置错误， 该选项错误，不符合题意； C． 没有原点， 该选项错误，不符合题意； D． 表示正确， 该选项正确，符合题意； 故选：D． 6．（3分）若，，，，则a，b，c，d的大小关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了乘方的应用，有理数的大小比较，解题的关键是熟练掌握有理数的大小比较方法． 先根据有理数的乘方运算法则化简各数，再根据有理数的大小比较方法判断即可． 【详解】解：，，，， 因为， 所以，即； 因为， 所以， 所以，即， 所以， 故选：D． 7．（3分）若，是有理数，定义一种新运算：，计算的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了定义新运算和有理数的混合运算，按照新定义运算列出算式，然后通过有理数运算法则即可求解，理解新运算规定的运算法则，有理数运算法则是解题的关键． 【详解】解： ， 故选：． 8．（3分）为了求的值，可令，则，因此，所以．仿照上面推理计算出的值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查有理数的乘方运算，代数式的恒等变形，掌握错位相减法是解题关键． 令为所求的和，乘以后得到新式，用新式减去原式，消去中间项，即可化简求出． 【详解】解：令， 则， ∵， ∴， ∴． 故选：． 9．（3分）已知、是有理数，，，且，用数轴上的点来表示，，正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查绝对值的性质及数轴上点的表示，关键是根据绝对值的性质确定、的符号以及它们到原点的距离关系．首先，根据且，可判断出是负数，即在原点左侧；根据且，可判断出是正数，即在原点右侧；再由可知，到原点的距离大于到原点的距离，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴，即表示的点在原点左侧； ∵，且， ∴，即表示的点在原点右侧； 又∵， ∴表示的点到原点的距离大于表示的点到原点的距离． A、B选项中在原点左侧，与矛盾，错误； C选项中在原点左侧，在原点右侧，且到原点的距离大于到原点的距离，符合所有条件，正确； D选项中到原点的距离小于到原点的距离，与矛盾，错误． 故选：C． 10．（3分）定义一种对正整数n的“F”运算：①当n为奇数时，结果为；②当n为偶数时，结果为，其中k取使为奇数的正整数，并且运算一直重复进行，例如，取时，则有：，将进行2025次“F运算”的结果是（　　） A．19 B．31 C．62 D．98 【答案】C 【分析】根据题意，依次求出每次“F运算”的结果，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 因为， 所以第1次“F运算”的结果是， 第2次“F运算”的结果， 第3次“F运算”的结果， 第4次“F运算”的结果， 第5次“F运算”的结果， 第6次“F运算”的结果， 第7次“F运算”的结果， …， 由此可见，从第1次“F运算”的结果开始按152，19，62，31，98，49循环． 因为， 所以第2025次“F运算”的结果62． 故选：C． 二、填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）如图，检测5个排球，其中超过标准的克数记为正数．不足的克数记为负数．从轻重的角度看，从左至右第__________个球最接近标准． 【答案】4/四 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，绝对值的应用，根据绝对值的定义计算出对应数的绝对值，再将绝对值进行大小比较，即可得到答案． 【详解】解：，，，，， ， 从轻重的角度看，从左至右第4个球最接近标准． 故答案为：4． 12．（3分）我国古代《易经》一书中记载，远古时期，人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”．一位书生坚持每天五更起床读书，为了勉励自己，他用“结绳记数”的方法来记录自己读书的天数，如图1是他从右到左依次排列的绳子上打结，满六进一，表示的天数为51天，按同样的方法，图2表示的天数是____________． 【答案】356天 【分析】本题考查有理数的混合运算，熟练掌握有理数混合运算法则是关键． 类比于现在我们的十进制“满十进一”，可以表示满六进一的数为：千位上的数百位上的数十位上的数个位上的数，据此求解即可． 【详解】解：图2表示的天数是 ． 故答案为：356天． 13．（3分）“24点”游戏是一种适用扑克牌进行的益智类游戏．规则是：从一副扑克牌中抽去大、小王剩下52张牌，从中任意抽取4张牌，运用你所学过的运算对牌面上的数进行运算，使运算结果为24．每张牌都必须使用一次，但不能重复使用．其中，假设黑色（梅花、黑桃）代表正数，红色（红桃、方块）代表负数，黑色J，Q，K分别代表11，12，13，红色J，Q，K分别代表．某同学抽到红桃2、方块3、黑桃4、梅花6等4张牌．请你用这4张牌代表的数写出运算结果为24的算式：______． 【答案】 【分析】本题主要考查了有理数的混合运算，掌握有理数混合运算法则是解题的关键． 先确定四个数分别为、、4、6，然后再列出一个算式即可． 【详解】解：红桃2代表、方块3代表、黑桃4代表4、梅花6代表6， 运算结果为24的算式：． 故答案为：（答案不唯一）． 14．（3分）《庄子·天下》中“一尺之棰，日取其半，万世不竭”的意思是一尺长的木棍，每天截掉一半，永远也截不完．如图，有一根4米长的木棍，第1天截取它的一半，第2天截取剩余部分的一半，第3天再截取剩余部分的一半，．．．，则第1天到第5天一共截取的长度为___________米． 【答案】 【分析】本题考查有理数的乘方的应用，由题意可得第n天操作后剩余全长的，则第1天到第n天一共截取的长度为米． 【详解】解：由题意知，第1天操作后剩余全长的， 第2天操作后剩余全长的， 第3天操作后剩余全长的， 第4天操作后剩余全长的， 第5天操作后剩余全长的， 第1天到第5天一共截取的长度为（米）， 故答案为：． 15．（3分）如图，在数轴上，点表示数，现将点沿数轴作如下移动，第一次将点向右移动2个单位长度到达点，第二次将点向左移动4个单位长度到达点，第三次将点向右移动6个单位长度到达点，按照这种移动规律进行下去，第2026次移动到点，那么点所表示的数为______． 【答案】 【分析】本题考查了数轴上动点问题以及数字的变化规律，找出点的变化规律是解题的关键． 根据题意可知从第一次开始计算，每两次移动的结果都是向左2个单位，因此先计算出有多少个两次移动，再将数量乘以，与原始位置的数据相加即可． 【详解】解：根据题意得， ∴， ∴点所表示的数为， 故答案为：． 16．（3分）在数轴上，点A、B分别表示数a、b，且，，若点A在点B的左侧，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题考查绝对值与数轴的有关知识，解题的关键是掌握绝对值的定义；根据题意可得，；再根据表示的点在表示的点的左侧，说明比小，这样即可求得的值． 【详解】解：∵，， ∴，， 又∵点A在点B的左侧， ∴， 分情况讨论： ①当时，要满足，则，此时； ②当时，要满足，则，此时（, 时，，不合题意，舍去）， 综上，的值为或． 三、解答题（共8小题，满分72分） 17．（12分）计算（能简便运算的要简算）： （1） （2） （3） （4） （5） （6） 【分析】（1）先除法转化为乘法，再计算乘法，最后计算加减法即可； （2）先去括号，再进一步计算加减法即可； （3）先计算乘方和绝对值内的运算，再把除法转化为乘法，然后乘除，最后计算加减即可； （4）利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可； （5）先化带分数为假分数，再把除法转化为乘法，最后相乘即可； （6）先将原式化为，利用乘法分配律，然后乘除，最后计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． （4）解：原式 ． （5）解：原式 ． （6）解：原式 ． 18．（6分）在数轴上表示下列各数，并将这些数按从大到小的顺序排列，再用“”连接起来： 0，，，，，． 【分析】本题考查的了数轴和有理数的大小比较，熟知数轴上右边的数总比左边的大是解答此题的关键 在数轴上正确表示所给有理数，再利用数轴上右边的数大于左边的数比较大小即可． 【详解】解：， ， 在数轴上表示如图所示： 有数轴上各点的位置可知： ． 19．（6分）把下列各数对应的序号填入相应的大括号内： ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦0，⑧，⑨． （1）有理数集合：{__________________ …}； （2）非正整数集合：{___________________ …}； （3）正分数集合：{___________________…}． 【分析】本题主要考查了有理数的分类，计算绝对值和化简多重符号，熟知有理数的分类方法是解题的关键． （1）先计算绝对值和化简多重符号，再根据有理数的定义可得答案； （2）非正整数是小于或等于0的整数，据此可得答案； （3）根据正分数的定义可得答案． 【详解】（1）解：，，，， 有理数集合：{①②③④⑤⑥⑦⑧⑨…}； 故答案为：①②③④⑤⑥⑦⑧⑨； （2）解：非正整数集合：{⑤⑦…}； 故答案为：⑤⑦； （3）解：正分数集合：{②③⑧…}； 故答案为：②③⑧． 20．（6分）我们都知道，表示8与3的差的绝对值，也可以理解为数轴上表示数8与数3两点间的距离．试探索： （1）表示数轴上数与数_____两点间的距离． （2）表示数轴上数与数_____两点间的距离和数与数_____两点间的距离的和． （3）是否存在最小值？若存在，求出最小值；若不存在，请说明理由． 【分析】此题主要考查了绝对值的含义和应用，解答此题的关键是要明确：既可以理解为与的差的绝对值，也可理解为与两数在数轴上所对应的两点之间的距离． （1）根据绝对值的几何意义即可解答； （2）根据绝对值的几何意义即可解答； （3）根据绝对值的几何意义画出图形，结合图形，根据与两数在数轴上所对应的两点之间的距离是5，即可求解． 【详解】（1）解：表示数轴上数与数两点间的距离． 故答案为：． （2）表示数轴上数与数两点间的距离和数与数2两点间的距离的和． 故答案为：，． （3）存在，的最小值为5． 如图，设点表示的数为，点表示的数为，点表示的数为，， 当点在点的左边时，大于5； 当点在点的右边时，大于5； 当点在点和点之间或者与点或点重合时， ． 所以的最小值为5． 21．（9分）阅读材料，解决问题： 由， 不难发现3的正整数幂的个位数字以3，9，7，1为一个周期循环出现，由此可以得到： 因为，所以的个位数字与的个位数字相同，应为3． （1）请你仿照材料，分别求出的个位数字及的个位数字． （2）的个位数字为________． 【分析】此题主要是考查乘方的尾数特征，解题关键是发现个位数字的循环规律，根据规律进行计算． 【详解】（1） ，，，，，， 7的正整数幂的个位数字以7，9，3，1为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为3． ，，，，，， 8的正整数幂的个位数字以8，4，2，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2． （2）与（1）同理可得，2的正整数幂的个位数字以2，4，8，6为一个周期循环出现， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为2， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为7， ， 的个位数字与的个位数字相同，即为8， ， 的个位数字是. 22．（9分）2024年国庆，全国从1日到7日放假七天，高速公路免费通行，各地景区游人如织．其中因为《黑西游》出名的某地石窟，在9月30日的游客人数为万人，接下来的七天中，每天的游客人数变化如下表（正数表示比前一天多的人数，负数表示比前一天少的人数） 日期 10月1日 10月2日 10月3日 10月4日 10月5日 10月6日 10月7日 人数变化（万人） （1）10月3日的人数为 万人； （2）七天假期里，游客人数最多的是10月 日，达到 万人．游客人数最少的是10月 日，达到 万人； （3）请问该风景区在这八天内一共接待了多少游客？（结果精确到万） 【分析】（1）由题中数据加减计算即可； （2）根据题中数据逐天计算出人数比较即可； （3）结合（2）中求得的数据直接将这八天游客人数相加计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意可得10月3日的人数为（万人）； （2）解：在9月30日的游客人数为万人， 10月1日比9月30日多万人，为（万人）； 10月2日比10月1日多万人，为（万人）； 10月3日比10月2日少万人，为（万人）； 10月4日比10月3日少万人，为（万人）； 10月5日比10月4日少万人，为（万人）； 10月6日比10月5日少万人，为（万人）； 10月7日比10月6日少万人，为（万人）； 综上所述，七天假期里，游客人数最多的是10月2日，达到万人．游客人数最少的是10月7日，达到万人； （3）解：结合（2）中数据可得，该风景区在这八天内一共接待游客人数为（万人）． 23．（12分）数学课上，老师用，，，四张圆形卡片分别代表一种运算，并依据这四张圆形卡片设计了数学游戏，学生可以将卡片，，，的顺序重新排序，进行一次列式计算．例如，若按的顺序进行运算，则可列算式为．当卡片或排在第一张时，可以选择任意一个有理数进行卡片或的运算，然后再将剩余卡片继续运算．例如，若选择，并按的顺序进行运算，则可列算式为． （1）算式的结果为______，算式的结果为______； （2）若甲同学选择了的运算顺序，求甲同学列式计算的结果； （3）乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算，若乙同学列式计算的结果刚好为，求乙同学选择的运算顺序． 【分析】本题主要考查了有理数混合运算，解题的关键是根据题意列出算式，准确计算． （1）根据含乘方的有理数的混合运算法则进行计算即可； （2）根据的运算顺序，列出算式进行计算即可； （3）分两种情况：或列出算式，求出结果进行判断即可． 【详解】（1）解： ， ， 故答案为：，； （2）解：∵甲同学选择了的运算顺序， ∴可列算式， ∵ ， ∴他的计算结果为； （3）解：∵乙同学选了，并按（______）→（______）的顺序运算， ∴将剩下的卡片有两种情况：或， 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； 当按运算时，可列算式， 此时计算结果为： ； ∵乙同学列式计算的结果刚好为， ∴乙同学选择的顺序为． 24．（12分）综合探究 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法． 如图1所示，将一个边长为1的正方形纸片分割成7个部分，部分①是边长为1的正方形纸片面积的一半，部分②是部分①面积的一半，部分③是部分②面积的一半，以此类推… ① ② ③ 阴影面积 面积 （1）根据图形填写上表； （2）计算：；（请写出计算过程） （3）类比：小华在计算时利用了如图2所示的正方形模型． 设正方形的面积为1，第1次分割，把正方形的面积三等分，阴影部分的面积为； 第2次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为； 第3次分割，把上次分割图中空白部分的面积三等分，阴影部分的面积之和为；… ①第n次分割后，空白部分的面积是______． ②由此计算的值． 【分析】本题考查了有理数的乘方、图形类规律探索，正确归纳类推出一般规律是解题关键． （1）根据图1分别求出部分①⑥的面积，再根据阴影部分的面积等于部分⑥的面积的一半即可得； （2）将转化为，再去括号，计算即可得； （3）①根据第次分割后，空白部分的面积归纳类推出一般规律，由此即可得； ②根据①中的规律求出，再将所求出式子的转化为，代入计算即可得． 【详解】（1）解：由图1可知，部分①的面积为， 部分②的面积为， 部分③的面积为， 部分④的面积为， 部分⑤的面积为， 部分⑥的面积为， 则阴影部分的面积为． 则填表如下： ① ② ③ 阴影面积 面积 （2）解： ． （3）解：由图2可知，第1次分割后，空白部分的面积为， 第2次分割后，空白部分的面积为， 第3次分割后，空白部分的面积为， 归纳类推得：第次分割后，空白部分的面积是， 故答案为：． ②由上可知，第100次分割后，空白部分的面积是， ∴， ∴ ． 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $