第12讲 椭圆的标准方程性质的应用讲义- 2026-2027学年高二上学期数学人教A版选择性必修第一册

本高中数学讲义聚焦椭圆标准方程性质的应用，系统梳理点与椭圆的位置关系，直线与椭圆位置关系的判别式判断方法，直线与椭圆相交弦的弦长公式及韦达定理应用，构建从基础到综合应用的递进式知识支架。 资料以知识点与考点对应为设计亮点，通过多选、解答等经典题型（如直线与椭圆位置关系判断、中点弦方程求解），培养学生数学思维（推理能力、运算能力）和数学语言表达（模型意识），课中辅助教师高效授课，课后助力学生巩固知识、查漏补缺。

第12讲 椭圆的标准方程性质的应用 目录 知识点一：点和椭圆的关系 1 知识点二：直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 1 知识点三：直线与椭圆的相交弦 2 考点一 点与椭圆的位置关系 2 考点二 直线与椭圆的位置关系 3 考点三 弦长及其应用 4 考点四 中点弦及其应用 6 01 学习新知 知识点一：点和椭圆的关系 知识点二：直线y=kx+m与椭圆+=1(a>b>0)的位置关系的判断方法： 联立消去y(或x)得到一个关于x(或y)的一元二次方程： 位置关系 解的个数 Δ的取值 相交 两解 Δ>0 相切 一解 Δ=0 相离 无解 Δ<0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况. 知识点三：直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） （1）弦长公式：若直线与圆锥曲线相交与、两点，则： 弦长 弦长 这里的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： ； 02 经典题型 考点一 点与椭圆的位置关系 1. （多选）已知点(3,2)在椭圆上，则下列各点一定在该椭圆上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】ABC 【解析】由椭圆关于轴，轴，原点对称可知，只有点(2，3)不在椭圆上．故选：ABC. 2. (多选）点在椭圆的内部，则的值可以是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】BC 【解析】由题意知，解得．故选：BC 考点二 直线与椭圆的位置关系 3. 如图，已知直线l：4x-5y+m=0和椭圆C：+=1.m为何值时，直线l与椭圆C：(1)有两个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ 解　由方程组消去y，得25x2+8mx+m2-225=0.① 方程①的根的判别式Δ=64m2-4×25×(m2-225)=36×(252-m2). 由Δ>0，得-25<m<25.此时方程①有两个不相等的实数根，直线l与椭圆C有两个不同的公共点. 由Δ=0，得m1=25，m2=-25.此时方程①有两个相等的实数根，直线l与椭圆C有且只有一个公共点. 由Δ<0，得m<-25，或m>25.此时方程①没有实数根，直线l与椭圆C没有公共点. 4. 直线：与椭圆的位置关系是（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．相切或相交 【答案】A 【解析】方法1： ∵，即：，∴直线l恒过定点， 又∵椭圆∴，∴定点M在椭圆内，∴直线l与椭圆相交. 方法2： ∴恒成立， ∴直线l与椭圆相交.故选：A. 5. 若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一公共点，那么a的值为(　　) A. B. C. D.1 答案　C 解析　因为方程x2+3y2=a表示的曲线为椭圆，所以a>0，将直线y=x-1的方程与椭圆的方程联立可得4x2-6x+3-a=0，则Δ=36-4×4×(3-a)=16a-12=0，解得a=. 6. 若直线与焦点在x轴上的椭圆总有公共点，则n的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】直线恒过定点，若直线与椭圆总有公共点， 则定点在椭圆上或椭圆内，，解得或， 又表示焦点在轴上的椭圆，故，， 故选：C. 考点三 弦长及其应用 7. 过椭圆的左焦点且斜率为的弦的长是 ． 【答案】/ 【解析】设点、， 在椭圆中，，，， 所以，椭圆的左焦点坐标为，则直线的方程为， 联立，可得， ， 由韦达定理可得，， 所以，. 故答案为：. 8. 已知椭圆与直线交于A，B两点，且，则实数m的值为（    ） A．±1 B．± C． D．± 【答案】A 【解析】由，消去y并整理，得3x2＋4mx＋2m2－2＝0． 设，则，． 由题意，得，解得．故选:A 考点四 中点弦及其应用 9. 已知椭圆的方程为+=1(m>0，n>0，m≠n)，直线与椭圆相交于点A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1≠x2)，弦AB的中点为M(x0，y0)，你能求出kAB·kOM的值吗？ 解析；将点A(x1，y1)，B(x2，y2)代入椭圆方程得将两式作差并整理得 +=0， 又x1≠x2，则=-，即·=-，从而kAB·=-，即kAB·kOM=-. 10. 已知椭圆+=1的弦AB的中点M的坐标为(2，1)，则直线AB的方程为　　　　.  答案　x+2y-4=0 解析　方法一　易知直线AB的斜率k存在， 设所求直线的方程为y-1=k(x-2)， 由得(4k2+1)x2-8(2k2-k)x+4(2k-1)2-16=0. 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1，x2是上述方程的两根， 于是x1+x2=.又M为AB的中点，∴==2，解得k=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0.经检验，所求直线满足题意. 方法二　设点A(x1，y1)，B(x2，y2).∵M(2，1)为AB的中点，∴x1+x2=4，y1+y2=2. 又A，B两点在椭圆上，则+4=16，+4=16， 两式相减得(-)+4(-)=0，则(x1+x2)(x1-x2)+4(y1+y2)(y1-y2)=0. ∴=-=-=-，即kAB=-. 故所求直线的方程为x+2y-4=0.经检验，所求直线满足题意. 方法三　设A(x，y)，由于AB的中点为M(2，1)，则B(4-x，2-y). ∵A，B两点都在椭圆上， ∴ ①-②，化简得x+2y-4=0. 显然点A的坐标满足这个方程，代入验证可知点B的坐标也满足这个方程，而过点A，B的直线只有一条，故所求直线的方程为x+2y-4=0. 11. 过点M(1，1)作斜率为-的直线与椭圆C：+=1(a>b>0)相交于A，B两点，若M是线段AB的中点，则椭圆C的离心率为　　　　.  答案　 解析　设A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则 ∵M(1，1)是线段AB的中点， ∴=1，=1. ∵直线AB的方程是y=-(x-1)+1， ∴y1-y2=-(x1-x2). 由①②两式相减可得+=0， 即+·=0， ∴a=b.∴c=b，∴e==. 学科网（北京）股份有限公司 $第12讲椭圆的标准方程性质的应用 目录 知识点一：点和椭圆的关系 .1 知识点二：直线y=kx+m与椭圆X+y2=1a>b>0)的位置关系的判断方法：1 a2 b2 知识点三：直线与椭圆的相交弦… .2 考点一点与椭圆的位置关系 .2 考点二直线与椭圆的位置关系…。 .3 考点三弦长及其应用 4 考点四中点弦及其应用.6 学习新知 知识点一：点和椭圆的关系 >1 「外 a31 6 {=1台点(x,)在椭圆{上 内 [>1 外 a2 b2 =1台点(x,y)在椭圆{上 <1 内 知识点二：直线y=kx+m与椭圆x+y=1a>b>0)的位置关系的判断方法： a2 b2 y=kx+m, 联立x2, +大=1消去或)得到个关于x或少的一元三次方程 位置关系 解的个数 △的取值 相交 两解 △>0 相切 二解 △=0 相离 无解 △≤0 注意点： 设直线方程时，容易忽略斜率不存在的情况 知识点三：直线与椭圆的相交弦 直线与椭圆问题（韦达定理的运用） (1)弦长公式：若直线：y=kX+b与圆锥曲线相交与A、B两点， A(X,y1,Bx2,y2则： 弦长lAB=X1-x2P+y1y2P=Vx-x2P+x,-x2下=1+Kx1-x =1,-4x=1 弦长AB=1+yy 这里x一x,-2,的求法通常使用韦达定理，需作以下变形： |x-x3=Vx+x)2-4x2;y-⅓2=V0y+y2)2-4yy2 经典题型 考点一点与椭圆的位置关系 4y2 1（多选)已知点3,2在椭圆。+存=1 上，则下列各点一定在该椭圆上的是() A.（3,-2) 8(6,-2) c.(3,2) D.(2,3) x2,y2 =1 2.(多选)点A(a,)在椭圆42的内部，则a的值可以是() A.-V2 8.1 C.1 D V2 考点二直线与椭圆的位置关系 3.如图，己知直线：4-5+-0和椭圆C: ×个m为何值时，直线与稀网C:)有两 个公共点？(2)有且只有一个公共点？(3)没有公共点？ x2,y2 =1 4.直线l:ax+y-a+1=0与椭圆32的位置关系是() A.相交 B.相切 C.相离 D.相切或相交 5.若直线y=x-1与椭圆x2+3y2=a有且只有一公共点，那么α的值为() A B酯 c D.1 x+上 =1 6.若直线y=mx+2与焦点在x轴上的椭圆9n总有公共点，则n的取值范围是（) A.(0,4] 8.(49) c.[4,9) D.[49U(9,+w) 考点三弦长及其应用 x2 y2 =1 7.过椭圆259的左焦点且斜率为1的弦AB的长是 x2 +y2=1 8. 己知椭圆2 与直线y=x+m交于A,B两点，且 4B=4 3,则实数m的值为 () A.±1 B.±2 c.3 0.￥② 考点四中点弦及其应用 9.已知椭圆的方程为 10O心0，心0，m≠0，直线与椭圆相交于点A,).B,则 m n (1≠x2),弦AB的中点为M(o,O),你能求出kAB'kou的值吗？ A已斑装国后子的流8的中点M雀坐标心》.则直纹的方在为— 儿，过点ML,)作斜率为-的直线与椭圆C,+1@>b>0)相交于A,B两点，若M是 线段AB的中点，则椭圆C的离心率为