3.1.2 第1课时 椭圆的几何性质（Word教参）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册（人教A版）

本讲义聚焦椭圆的几何性质这一核心知识点，从椭圆标准方程出发，通过问题引导探究范围、对称性、顶点等几何性质，进而学习由几何性质求标准方程，最后聚焦离心率的求解，构建完整知识链条，为学生学习椭圆提供坚实支架。 资料以“天宫一号”轨迹创设情境，培养用数学眼光观察现实世界的意识。通过问题链引导推理性质，训练数学思维，表格对比不同焦点位置椭圆性质，提升数学语言表达能力。例题变式结合数形结合、分类讨论思想，课中助力教师高效授课，课后帮助学生巩固知识、弥补盲点。

第一课时　椭圆的几何性质 课标要求 1.掌握椭圆的简单几何性质，了解椭圆标准方程中a，b，c的几何意义（直观想象）. 2.会利用椭圆的几何性质解决相关问题（数形结合）. 情境导入　 　“天宫一号”的运行轨迹是椭圆形的，椭圆在我们的生活中经常出现. 椭圆有许多几何性质，比如边界（范围）、对称性、特殊点等等，下面我们利用椭圆的标准方程来研究椭圆的几何性质. 知识点一｜椭圆的几何性质 问题1　（1）如图所示，椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0），你能利用方程确定椭圆的边界吗？ 提示：由方程＋＝1（a＞b＞0），得＝1－≥0，得－a≤x≤a，同理可得－b≤y≤b，故椭圆位于直线x＝±a和y＝±b围成的矩形内. （2）如图所示，椭圆具有怎样的对称性？如何用方程加以说明？ 提示：既关于坐标轴为轴对称，又关于原点为中心对称.若（x，y）满足方程，则易知（x，－y），（－x，y），（－x，－y）也满足. （3）如图所示，椭圆中有哪些特殊点？坐标是什么？ 提示：令x＝0，则y＝±b；令y＝0，则x＝±a.故（±a，0），（0，±b）为特殊点. 【知识梳理】 椭圆的简单几何性质 焦点的位置 焦点在x轴上 焦点在y轴上 图形 标准方程 ＋＝1（a＞b＞0） ＋＝1（a＞b＞0） 范围 －a≤x≤a且－b≤y≤b －b≤x≤b且－a≤y≤a 顶点 A1（－a，0），A2（a，0）， B1（0，－b），B2（0，b） A1（0，－a），A2（0，a）， B1（－b，0），B2（b，0） 轴长 长轴长＝　2a　，短轴长＝　2b　 焦点 F1（－c，0），F2　（c，0）　 F1（0，－c），F2　（0，c）　 焦距 ｜F1F2｜＝　2c　 对称性 对称轴x轴和y轴，对称中心　（0，0）　 离心率 e＝　　（0＜e＜1） 　　提醒：（1）椭圆的焦点一定在它的长轴上；（2）椭圆上到中心的距离最小的点是短轴的两个端点，到中心的距离最大的点是长轴的两个端点；（3）椭圆上到焦点的距离最大和最小的点分别是长轴的两个端点，最大值为a＋c，最小值为a－c. 【例1】（链接教材P112例4）求椭圆9x2＋25y2＝225的长轴长、短轴长、离心率、焦点和顶点坐标. 解：将已知椭圆方程化成标准方程为＋＝1，所以a＝5，b＝3，c＝＝4. 因此，长轴长2a＝10，短轴长2b＝6， 离心率e＝＝. 焦点坐标分别是为F1（－4，0）和F2（4，0）， 顶点坐标分别是为A1（－5，0），A2（5，0），B1（0，－3），B2（0，3）. 【规律方法】 　用标准方程研究椭圆几何性质的步骤 （1）将椭圆方程化为标准形式； （2）确定焦点位置，不确定的需要分类讨论； （3）求出a，b，c； （4）写出椭圆的几何性质. 　　提醒：长轴长、短轴长、焦距不是a，b，c，而应是a，b，c的两倍. 训练1　（1）〔多选〕已知椭圆C：＋＝1的焦点分别是F1，F2，P为C上的动点，则（　　） A.（0，3）是一个顶点 B.C的长轴长为2 C.｜PF1｜的最小值为2－ D.C的离心率为 （2）若椭圆mx2＋y2＝1的焦点在y轴上，且长轴长是短轴长的2倍，则实数m的值为　　，焦点坐标为　　. 答案：（1）AC　（2）4　（0，±） 解析：（1）对于A，因为a2＝20，b2＝18，所以a＝2，b＝3，（±2，0）与（0，±3）是椭圆的顶点，故A正确；C的长轴长2a＝4，B错误；｜PF1｜min＝a－c＝2－，C正确；C的离心率e＝＝，D错误.故选A、C. （2）设椭圆的长轴长为2a，短轴长为2b，焦距为2c，由题意得2a＝2×2b，则a2＝4b2，又椭圆标准方程为＋y2＝1，且焦点在y上，所以1＝，即m＝4，c2＝1－＝，即焦点坐标为（0，±）. 知识点二｜由椭圆的几何性质求标准方程 【例2】分别求满足下列各条件的椭圆的标准方程： （1）已知椭圆的中心在原点，焦点在y轴上，其离心率为，焦距为8； 解：由题意知，2c＝8，c＝4， ∴e＝＝＝， ∴a＝8，从而b2＝a2－c2＝48， ∴椭圆的标准方程是＋＝1. （2）已知椭圆的离心率e＝，短轴长为8. 解：由e＝＝得c＝a， 又2b＝8，a2＝b2＋c2. ∴a2＝144，b2＝80， ∴椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 【规律方法】 　利用椭圆的几何性质求标准方程的步骤 （1）确定焦点位置； （2）设出相应椭圆的标准方程； （3）根据已知条件构造关于参数的关系式，利用方程（组）求参数； （4）写出椭圆的标准方程. 训练2　求适合下列条件的椭圆的标准方程： （1）在x轴上的一个焦点与短轴两个端点的连线互相垂直，且焦距为6； 解：依题意可设椭圆方程为＋＝1（a＞b＞0）. 如图所示，△A1FA2为等腰直角三角形，OF为斜边A1A2的中线（高），且｜OF｜＝c，｜A1A2｜＝2b， 所以c＝b＝3， 所以a2＝b2＋c2＝18， 故所求椭圆的标准方程为＋＝1. （2）过点（3，0），离心率e＝. 解：当椭圆的焦点在x轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），由题意得a＝3， 因为e＝，所以c＝，从而b2＝a2－c2＝3，所以椭圆的标准方程为＋＝1； 当椭圆的焦点在y轴上时，设椭圆的标准方程为＋＝1（a＞b＞0），由题意得b＝3， 因为e＝，所以＝， 把b＝3代入，得a2＝27，所以椭圆的标准方程为＋＝1. 综上可知，所求椭圆的标准方程为＋＝1或＋＝1. 提能点｜椭圆的离心率问题 问题2　扁平程度是椭圆的重要形状特征，观察图象，我们可以发现，不同椭圆的扁平程度不同，我们常用离心率e＝来刻画椭圆的扁平程度.请说明一下这个定量对椭圆的形状有何影响？ 提示：保持长半轴长a不变，随着短半轴长b的增大，即离心率e＝＝减小，椭圆越圆；随着短半轴长b的减小，即离心率e＝＝增大，椭圆越扁平. 　　提醒：（1）e＝＝＝；（2）e越接近于1，椭圆越扁平；e越接近于0，椭圆越接近于圆.（可以结合数字的特点来帮助记忆，“1”很扁平，“0”很圆） 【例3】（1）下列椭圆中，哪一个更扁平（　D　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：由e＝＝，∵e越大越扁平，即越小越扁平，对比选项选D. （2）已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为B，且△BF1F2是一个等边三角形，则椭圆C的离心率为. 解析：因为｜BF1｜＝｜BF2｜＝a，｜F1F2｜＝2c，由题意知a＝2c，所以e＝＝. 变式　若本例（2）条件变为“已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，该椭圆上有一点A满足△AOF2是等边三角形（O为坐标原点）”，则椭圆C的离心率为－1. 解析：法一　由题意知F2（c，0），又△AOF2是等边三角形， 所以A（，c），代入椭圆方程得＋＝1，　① 又a2＝b2＋c2，　② 联立①②得c2＝（4－2）a2，即c＝（－1）a，则椭圆C的离心率e＝＝－1. 法二　连接AF1，则∠AF1O＝∠OAF1＝，所以∠F1AF2＝，所以｜AF1｜＝｜AF2｜＝c，又｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a，即c＋c＝2a，所以e＝＝＝－1. 【规律方法】 　求椭圆离心率的两种方法 （1）直接法：若已知a，c可直接利用e＝求解.若已知a，b或b，c可借助于a2＝b2＋c2求出c或a，再代入公式e＝求解； （2）方程法：若a，c的值不可求，则可根据条件建立a，b，c的关系式，借助于a2＝b2＋c2，转化为关于a，c的齐次方程或不等式，再将方程或不等式两边同除以a的最高次幂，得到关于e的方程或不等式，即可求得e的值（范围）. 训练3　（1）（2023·新高考Ⅰ卷5题）设椭圆C1：＋y2＝1（a＞1），C2：＋y2＝1的离心率分别为e1，e2，若e2＝e1，则a＝（　A　） A. B. C. D. 解析：由题意知e1＝，e2＝＝，因为e2＝e1，所以＝×，得a＝.故选A. （2）（2025·徐州月考）已知椭圆的焦距不小于短轴长，则椭圆的离心率的取值范围为［，1）. 解析：依题意可得2c≥2b，即c≥b.所以c2≥b2，从而c2≥a2－c2，即2c2≥a2，e2＝≥，所以e≥.又因为0＜e＜1，所以椭圆离心率的取值范围是［，1）. 1.已知椭圆C：＋＝1，则下列结论正确的是（　　） A.长轴长为9 B.短轴长为2 C.焦距为2 D.离心率为 解析：D　由椭圆方程知a＝3，b＝2，c＝，故长轴为6，短轴为4，焦距为2，离心率为.故选D. 2.已知P是椭圆＋＝1（a＞b＞0）上一点，F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，若△PF1F2的周长为6.且椭圆的离心率为，则椭圆方程为（　　） A.＋y2＝1 B.＋y2＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：C　设椭圆的半焦距为c＞0，由题意可得解得所以椭圆方程为＋＝1.故选C. 3.若椭圆经过点B（0，），且焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），则椭圆的离心率为. 解析：由于椭圆经过点B（0，），且焦点分别为F1（－1，0）和F2（1，0），所以椭圆的焦点在x轴上，且b＝，c＝1，a＝＝2，所以椭圆的离心率为e＝＝. 4.（2025·淄博月考）已知椭圆＋＝1（a＞b＞0）有两个顶点在直线x＋2y＝2上，则此椭圆的焦点坐标为（±，0）. 解析：在x＋2y＝2中，由y＝0得x＝2，由x＝0得y＝1，则该直线交x轴于点（2，0），交y轴于点（0，1），依题意得a＝2，b＝1，则c＝＝，显然，椭圆的焦点在x轴上，所以椭圆的焦点坐标是（±，0）. 课堂小结 1.理清单 （1）由椭圆的标准方程研究椭圆的几何性质； （2）利用椭圆的几何性质求椭圆的标准方程； （3）求椭圆的离心率. 2.应体会 （1）利用椭圆的标准方程研究几何性质或由几何性质求标准方程时要注意分类讨论思想、数形结合思想的应用； （2）求椭圆离心率问题时注意方程法（不等式法）的应用. 3.避易错 （1）求椭圆的方程时，若焦点的位置不明确，切记要分类讨论； （2）解有关离心率e的方程时，要注意e的取值范围是（0，1）. 1.椭圆x2＋6y2＝6的短轴端点坐标为（　　） A.（－1，0），（1，0） B.（－6，0），（6，0） C.（0，－1），（0，1） D.（0，－6），（0，6） 解析：C　∵椭圆方程化为标准式为＋y2＝1，∴焦点在x轴上，且b2＝1，∴短轴端点坐标为（0，－1），（0，1）. 2.若点（3，2）在椭圆＋＝1（a＞b＞0）上，则（　　） A.点（－3，－2）不在椭圆上 B.点（3，－2）不在椭圆上 C.点（－3，2）在椭圆上 D.无法判断点（－3，－2），（3，－2），（－3，2）是否在椭圆上 解析：C　点（－3，2）与（3，2）关于y轴对称，由椭圆的对称性可知，C正确. 3.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1，F2，P是椭圆上一点，｜PF1｜＋｜PF2｜＝10，且离心率为，则椭圆C的标准方程为（　　） A.＋＝1 B.＋＝1 C.＋＝1 D.＋＝1 解析：B　根据椭圆定义可得｜PF1｜＋｜PF2｜＝2a＝10，所以a＝5，由离心率e＝＝，所以c＝，由b2＝a2－c2＝25－5＝20，所以椭圆C的标准方程为＋＝1. 4.设B是椭圆C：＋＝1的上顶点，点P在C上，则｜PB｜的最大值为（　　） A.16 B.4 C.3 D.5 解析：B　B（0，2），设P（x0，y0），则－2≤y0≤2，＋＝1，所以｜PB｜＝＝ ＝，因为－2≤y0≤2，所以当y0＝－2时，｜PB｜有最大值，最大值为4.故选B. 5.（2025·广州质检）设椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，P是C上的点，PF2⊥F1F2，∠PF1F2＝30°，则C的离心率为（　　） A.　　　B. C.　　　D. 解析：B　法一　由PF2⊥F1F2可知P点的横坐标为c，将x＝c代入椭圆方程可解得y＝±，所以｜PF2｜＝.又由∠PF1F2＝30°，可得｜F1F2｜＝｜PF2｜，故2c＝·，变形可得（a2－c2）＝2ac，等式两边同除以a2，得（1－e2）＝2e，解得e＝或e＝－（舍去）. 法二　由题意可设｜PF2｜＝m，结合条件可知｜PF1｜＝2m，｜F1F2｜＝m，故离心率e＝＝＝＝＝. 6.〔多选〕（2025·镇江月考）若椭圆C：＋＝1的一个焦点坐标为（0，1），则下列关于椭圆C的结论中正确的有（　　） A.m＝2 B.长轴长为 C.短轴长为2 D.离心率为 解析：ACD　由已知可得＝1，解得m＝2或m＝－1（舍去），∴椭圆C的方程为＋＝1.∴a2＝3，b2＝2，即a＝，b＝，则c＝1.∴长轴长为2a＝2，短轴长为2b＝2，离心率e＝＝＝.故选A、C、D. 7.〔多选〕已知曲线C1：＋＝1与曲线C2：＋＝1（k＜9且k≠0），下列说法正确的是（　　） A.两条曲线都是焦点在x轴上的椭圆 B.两曲线的焦距相等 C.两曲线有相同的焦点 D.两曲线的离心率相等 解析：ABC　∵k＜9，∴25－k＞9－k＞0，又25＞9＞0，∴两曲线都是焦点在x轴上的椭圆，故A正确；曲线C1的焦距为2×＝8，曲线C2的焦距为2＝8，故B、C正确；曲线C1的离心率e1＝，曲线C2的离心率e2＝，故D不正确.故选A、B、C. 8.已知椭圆C的焦点分别为F1（－3，0），F2（3，0），P1，P2为椭圆上的两点，且△P1F1F2与△P2F1F2周长之和为28，则该椭圆C的方程为＋＝1. 解析：由题意得∴∴b2＝a2－c2＝7，∴椭圆C的方程为＋＝1. 9.若椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，则C的长轴长的取值范围是（6，＋∞）. 解析：椭圆C：＋＝1（m＞9）的离心率e1＝，椭圆D：＋＝1的离心率e2＝＝.因为椭圆C：＋＝1（m＞9）比椭圆D：＋＝1更扁，所以e1＞e2，即＞，解得m＞18，则2＞6，所以椭圆C的长轴长的取值范围是（6，＋∞）. 10.焦点在x轴上的椭圆的方程为＋＝1，点P（，1）在椭圆上. （1）求m的值； （2）求这个椭圆的长轴长、短轴长、焦距、离心率. 解：（1）由题意，点P（，1）在椭圆上，代入得＋＝1，解得m＝2. （2）由（1）知，椭圆方程为＋＝1， 则a＝2，b＝，c＝， 椭圆的长轴长2a＝4；短轴长2b＝2； 焦距2c＝2；离心率e＝＝. 11.设F1，F2分别为椭圆＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，若直线x＝上存在点P，使线段PF1的中垂线过点F2，则椭圆离心率的取值范围是（　　） A.（0，］ B.（0，］ C.［，1） D.［，1） 解析：D　由垂直平分线的性质知｜F1F2｜＝｜PF2｜，设直线x＝与x轴的交点为M，则｜PF2｜≥｜F2M｜，即｜F1F2｜≥｜F2M｜，则2c≥－c，即3c2≥a2，所以e2＝≥，又0＜e＜1，所以≤e＜1.故选D. 12.〔多选〕椭圆C：＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，以下四个命题中正确的是（　　） A.若过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为8 B.椭圆C上存在点P，使得·＝0 C.椭圆C的离心率为 D.椭圆C上存在点P，｜PF2｜∈[2－，2＋] 解析：ABD　由椭圆C：＋y2＝1得a2＝4，b2＝1，c2＝a2－b2＝3，过点F2的直线与椭圆C交于A，B两点，则△ABF1的周长为4a＝8，故A正确；因为c＞b，所以以原点为圆心，以c为半径的圆交y轴于短轴顶点的外部，所以存在点P，使得∠F1PF2＝90°，即使得·＝0，故B正确；椭圆C的离心率e＝＝，故C错误；对于D，易知a－c≤｜PF2｜≤a＋c，｜PF2｜∈[2－，2＋]，D正确. 13.如图，底面直径为12 cm的圆柱被与底面成30°的平面所截，其截口是一个椭圆，则这个椭圆的长轴长为8cm，短轴长为12cm，离心率为. 解析：由题图知短轴长为底面直径12 cm，长轴长为＝8（cm），则c2＝（4）2－62＝12，∴c＝2，∴离心率e＝＝. 14.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P. （1）若∠F1PF2为直角，焦距为2，求椭圆C的标准方程； （2）若∠F1PF2为钝角，求椭圆C的离心率的取值范围. 解：（1）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为直角， 所以b＝c，a＝c，又因为焦距为2，所以c＝1，a＝，b＝1， 所以椭圆C的标准方程为＋y2＝1. （2）因为椭圆C的左、右焦点分别为F1，F2，短轴的一个端点为P，且∠F1PF2为钝角， 所以45°＜∠OPF2＜90°（O为坐标原点）， 所以sin∠OPF2＝∈（，1）， 所以椭圆C的离心率的取值范围为（，1）. 15.设F1，F2分别是椭圆E：＋＝1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，｜AF1｜＝3｜F1B｜. （1）若｜AB｜＝4，△ABF2的周长为16，求｜AF2｜； （2）若cos∠AF2B＝，求椭圆E的离心率. 解：（1）由｜AF1｜＝3｜F1B｜，｜AB｜＝4，得｜AF1｜＝3，｜F1B｜＝1. 因为△ABF2的周长为16，所以由椭圆定义可得4a＝16，所以a＝4. ｜AF1｜＋｜AF2｜＝2a＝8， 故｜AF2｜＝8－3＝5. （2）设｜F1B｜＝k，k＞0，则｜AF1｜＝3k，｜AB｜＝4k. 由椭圆定义可得｜AF2｜＝2a－3k，｜BF2｜＝2a－k. 在△ABF2中，由余弦定理可得｜AB｜2＝｜AF2｜2＋｜BF2｜2－2｜AF2｜·｜BF2｜·cos∠AF2B， 即（4k）2＝（2a－3k）2＋（2a－k）2－（2a－3k）（2a－k）. 化简可得（a＋k）（a－3k）＝0，而a＋k＞0，故a＝3k. 于是有｜AF2｜＝3k＝｜AF1｜，｜BF2｜＝5k. 因此｜BF2｜2＝｜F2A｜2＋｜AB｜2，可得F1A⊥F2A， 故△AF1F2为等腰直角三角形. 从而c＝a，所以椭圆E的离心率e＝＝. 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $