第1章丰富的图形世界 小升初暑假衔接练习3 2026-2027学年北师大版七年级数学上册

**基本信息** 以杜甫诗句、七巧板等文化素材及无盖长方体制作等实践活动为特色，衔接小学与初中空间几何知识，强化空间观念与几何直观。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|10|点线面体关系、几何体识别、截面与展开图|第1题以诗句情境考查“点动成线”，体现文化传承| |填空题|5|棱柱棱顶点面数关系、三视图小正方体个数、七巧板面积|第14题结合七巧板文化考查面积计算，渗透数学审美| |解答题|8|几何体组成分析、旋转体体积、三视图作图、欧拉公式探究、无盖长方体制作|23题通过制作长方体探究容积变化，融合函数思想与创新意识；22题探究欧拉公式，培养推理能力|

小升初暑假衔接练习3 一、单选题 1．“鸣雨既过渐细微，映空摇飏如丝飞”是唐代诗人杜甫作品《雨不绝》中的诗句，意为喧哗的雨已经过去，逐渐变得细微，映着天空摇飏如丝的细雨飘飞．诗中描写雨滴下来形成雨丝，用数学语言解释这一现象为（    ） A．点动成线 B．线动成面 C．面动成体 D．以上都不正确 2．用一个平面去截下面的几何体，截面不可能是圆的是（   ） A．圆锥 B．球 C．圆柱 D．四棱柱 3．下列几何体中属于棱锥的是（    ） A．①⑤ B．① C．①⑤⑥ D．⑤⑥ 4．如图所示的圆锥，其侧面展开图可能是（   ） A． B． C． D． 5．如图，一个几何体上半部为正四棱锥，下半部为正方体，且有一个面涂有颜色，该几何体的表面展开图是（    ） A． B． C．D． 6．如图，是一个没装满水的有盖可密封的正方体盒子，盒子可以采用任何方式放置，若不断改变盒子的放置方式，盒子里的水便形成不同的几何体，下列选项中可能是盒子里的水形成的几何体的是（   ） A．正方体 B．圆柱 C．圆锥 D．三棱柱 7．一个十棱柱的顶点个数，棱的条数，面的个数分别是（   ） A．10，20，10 B．20，30，10 C．20，30，12 D．30，30，40 8．用一个平面截下列几何体，①正方体②三棱柱③圆柱④圆锥，截面可能是长方形的是（    ） A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 9．由6个完全相同的小正方体组成的几何体如图所示，则从上面看得到的平面图形是（　　） A． B． C． D． 10．如图是一个正方体的展开图，把展开图折叠成正方体后，有“的”字一面的相对面上的字是（    ）． A．我 B．中 C．国 D．梦 二、填空题 11．一个直棱柱有15条棱，则这个直棱柱有_______个顶点，有_____个面． 12．如图，某长方体的底面是长为、宽为的长方形，如果从左面看这个长方体时看到的图形面积为，则这个长方体的体积等于_____． 13．由若干个完全相同的小正方体组成一个几何体，从它的左面和上面看到的形状图如图所示，则小正方体的个数最少是________个． 14．七巧板是我国民间广为流传的一种益智玩具．把一副七巧板按如图所示进行至编号，至号分别对应着七巧板的七块，如果编号的面积等于，则由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于______． 15．如图，若要使图中的平面展开图折叠成正方体后，相对面的数字之和都等于，则_________． 三、解答题 16．指出图中各物体是由哪些立体图形组成的． 17．把一个长方形绕它的一条边所在的直线旋转一周能得到一个圆柱体，那么把一个长为，宽为的长方形，绕它的一条边所在的直线旋转一周后，你能计算出所得到的圆柱体的体积吗？（结果保留） 18．如图，是用5个大小相同的小正方体搭成的几何体． (1)请你在方格内画出从正面、左面、上面看到的几何体的形状图； (2)如果在这个几何体上再添加一些相同的小正方体，并保持从上面看和从左面看到的形状图不变，最多可以再添加______个相同的小正方体． 19．如图是一个几何体的展开图． (1)该几何体的名称是________； (2)根据图中标注的长度（单位：），求该几何体的体积． 20．下图是一个几何体的平面展开图． (1)请写出这个立体图形的名称． (2)根据图示数据（单位：cm），求该几何体的表面积及体积． 21．在一个大正方体的角上切去一个小正方体，剩余的几何体如图所示，其中从正面、左面、上面看这个几何体时，看到的形状图如图①②③所示． (1)从正面看到的形状图是图_______，从左面看到的形状图是图_______，从上面看到的形状图是图_______；（填序号） (2)若大正方体的边长为，小正方体的边长为，求这个几何体的表面积与体积． 22．十八世纪瑞士数学家欧拉证明了简单多面体中顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的一个有趣的关系式，被称为欧拉公式，请你观察下列几种简单多面体模型，解答下列问题：    (1)根据上面多面体模型，完成表格中的空格； 多面体 顶点数（V） 面数（F） 棱数（E） 四面体 4 4 长方体 8 6 12 正八面体 8 12 正十二面体 20 12 正四面体有______条棱，正八面体有______顶点，正十二面体有______条棱； (2)你发现顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是______； (3)一个多面体的面数比顶点数大8，且有30条棱，则这多面体的顶点数是______； (4)某个玻璃饰品的外形是简单多面体，它的外表是由三角形和八边形两种多边形拼接而成，且有48个顶点，每个顶点处都有3条棱，设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个，求的值． 23．综合与实践：用一张正方形的纸片制作一个无盖长方体盒子．如果我们按照如图所示的方式，将正方形的四个角剪掉四个大小相同的小正方形，然后沿虚线折起来，就可以做成一个无盖的长方体盒子． (1)如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为，则折成的无盖长方体盒子的高为______，底面积为______，请你求出这个无盖长方体纸盒的容积为______； (2)如果用表示正方形纸片边长，当，剪去的小正方形的边长按整数值依次变化，即分别取，，，，，，，，，时，折成的无盖长方体的容积分别是多少？请你将计算的结果填入下表： 剪去正方形的边长 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 容积 324 512 ______ ______ 500 384 252 128 36 0 (3)观察绘制的统计表，你会发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积如何变化？（   ） A．一直增大    B．一直减小    C．先增大后减小    D．先减小后增大 (4)为了使边长为的正方形纸片折成无盖长方体盒子的容积最大，小明请教学习编程的哥哥后得到：当剪去小正方形的边长为原正方形纸片边长的时，此时容积最大，请你求出此时无盖长方体的最大容积：______ ( …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○……………………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) ( 学校 :___________ 姓名： ___________ 班级： ___________ 考号： ___________ ) ( …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ) 第3页 共6页 ◎ 第4页 共6页 第5页 共6页 ◎ 第6页 共6页 学科网（北京）股份有限公司 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A D B B B D C A B C 1．A 【分析】此题考查点、线、面、体的关系，雨滴下落形成雨丝属于点动成线． 【详解】解：∵雨滴可视为点，雨丝是线， ∴用数学语言解释这一现象为：点动成线， 故选：A． 2．D 【分析】本题考查了几何体的截面，关键要理解面与面相交得到线．根据圆锥、圆柱、棱柱、球的形状特点判断即可得． 【详解】解：用一个平面去截圆锥、圆柱、球，截面均可能有圆， 用一个平面去截棱柱，截面不可能有圆，而是可能为三角形、多边形， 故选：D． 3．B 【分析】根据棱锥的定义：如果一个多面体的一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，那么这个多面体叫做棱锥．分析即解． 【详解】①底面是四边形，侧面是4个有公共顶点的三角形，所以是棱锥； ②只有一个曲面，不属于多面体，所以不是； ③有两个平面一个曲面，所以不是； ④侧面不是有一个公共顶点的三角形，所以不是； ⑤只有一个曲面和一个侧面，所以不是； ⑥侧面不是有一个公共顶点的三角形，所以不是； 故选：B． 【点睛】本题主要考查棱锥的知识，属于基础题，注意掌握棱锥的概念． 4．B 【分析】本题主要考查了圆锥的侧面展开图，熟练掌握圆锥的侧面展开图是扇形是解题的关键．根据圆锥的侧面展开图是扇形，结合选项即可求解． 【详解】解：观察图形可知，这个圆锥的侧面展开图可能是： 故选：B． 5．B 【分析】本题主要考查了几何体的展开图，由平面图形的折叠及几何体的展开图逐一判断即可，熟练掌握几何体的展开图是解决此题的关键． 【详解】A、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； B、能折叠成原几何体的形式，符合题意； C、带图案的一个面是底面，不能折叠成原几何体的形式，不符合题意； D、不是这个几何体的表面展开图，不符合题意； 故选：B． 6．D 【分析】本题考查对常见几何体特征的理解，以及空间想象能力，解题关键在于依据正方体盒子的形状特点和水未装满的条件，结合正方体、圆柱、圆锥、三棱柱的几何特征，通过想象不同放置方式下水的形状来判断． 【详解】解：A、因为水没有装满盒子，所以无论怎样放置，都无法形成正方体，不符合题意； B、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆柱体，不符合题意； C、正方体盒子的形状决定了水无法形成圆锥体，不符合题意； D、把正方体盒子以一定角度放置，使水形成三棱柱的形状，符合题意． 故选：D． 7．C 【分析】此题考查了认识立体图形，利用n棱柱有个顶点，有个面，有条棱求解即可． 【详解】解：一个十棱柱的顶点个数是20，棱的条数是30，面的个数是12． 故选：C． 8．A 【分析】本题考查截一个几何体，根据几何体的结构和截面性质，判断每个几何体是否可能被平面截出长方形截面，即可． 【详解】解： ①正方体：当平面与一对对面平行时，截面可为长方形； ②三棱柱：若为直三棱柱（侧棱垂直于底面），且平面与侧棱平行，截面可为长方形； ③圆柱：当平面与圆柱的轴平行时，截面为长方形； ④圆锥：截面可能为圆、椭圆、抛物线或三角形，但不可能为长方形； 故截面可能是长方形的是①②③， 故选A． 9．B 【分析】本题考查从不同方向观察几何体，从上面看，可以看到三行，中间一行有3个小正方形，上面一行最右侧有1个小正方形，下面一行最左侧有1个小正方形． 【详解】解：从上面看得到的平面图形为： ， 故选B． 10．C 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字．正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】解：这是一个正方体的平面展开图，共有六个面，其中面“你”与“梦”相对，面“我”与面“中”相对，“的”与面“国”相对． 故选：C． 11． 10 7 【分析】本题考查了棱柱的相关知识，解答关键是熟记一个n棱柱棱的条数与n的关系．根据一个n棱柱有条棱，个顶点，个面，即可求解． 【详解】解：∵一个棱柱有15条棱，， ∴该棱柱为五棱柱， ∴底面是五边形，共个顶点，个面． 故答案为：10，7． 12． 【分析】本题主要考查了长方体的体积公式，熟练掌握长方体的体积公式是解题关键． 设这个长方体的高为，先根据长方形的面积公式可得，则可得的值，再利用长方体的体积公式求解即可得． 【详解】解：设这个长方体的高为， ∵这个长方体的底面是长为、宽为的长方形，如果从左面看这个长方体时，看到的图形面积为， ∴， 解得， ∴这个长方体的体积为， 故答案为：． 13．5 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据从它的左面和上面看到的形状图进行空间想象，即可作答． 【详解】解：由从该几何体的左面和上面看到的形状图可得第一层有4个小正方体，第二层最少有1个小正方体， 那么搭成这个几何体的小正方体最少为 个． 故答案为：5 14．40 【分析】本题考查七巧板，关键是掌握七巧板中各图形之间的面积关系．根据七巧板中各图形之间的面积关系分别得出每个部分的面积，即可求解． 【详解】解：的面积等于， 和的面积为，的面积为，的面积为， 由这副七巧板拼得的“天鹅”的面积等于． 故答案为：． 15． 【分析】本题主要考查了正方体相对两个面上的文字，正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形，根据这一特点作答． 【详解】正方体的表面展开图，相对的面之间一定相隔一个正方形， 与3是相对面，与是相对面， 相对面的数字之和都等于， ，， ，， ． 故答案为：． 16．题图①由正方体、圆柱、圆锥组成；题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成；题图③由五棱柱、球组成． 【分析】此题考查了立体图形的识别，明确常见立体图形的特征是解答此题的关键；仔细分析给出的三个立体图形，结合常见的立体图形的特征即可解答题目． 【详解】解：题图①由正方体、圆柱、圆锥组成； 题图②由圆柱、长方体、三棱柱组成； 题图③由五棱柱、球组成． 17．或 【分析】分两种情况讨论，①若绕着长所在的直线旋转，②若绕着宽所在的直线旋转，分别计算出圆柱的体积即可． 【详解】解：①若绕着长所在的直线旋转，所得图形为圆柱， 此时底面圆半径为，圆柱的高为， 则； ②若绕着宽所在的直线旋转，所得图形为圆柱， 此时底面圆半径为，圆柱的高为， 则， 所得到的圆柱体的体积或． 【点睛】本题考查了面动成体的知识，知道矩形绕一边旋转后得到的图形是圆柱是关键，另外要注意分情况讨论． 18．(1) 解：如图所示即为所求； ； (2)2 【分析】本题考查了从不同方向看几何体，掌握从不同方向看几何体作图的方法是解题的关键，易错点是还原几何体时考虑不全导致错误． （1）根据从不同方向看几何体得到的形状图，在网格中画图即可； （2）在从上面看的图形中画出可添加的位置和数量，即可得解． 【详解】（1）略 （2）解：保持从上面看和从左面看到的形状图不变， 如图， 最多可以再添加2块小正方体． 故答案为：2． 19．(1)长方体（或四棱柱） (2) 【分析】本题考查了几何体的展开图，几何体的体积，掌握相应的定义是关键． （1）根据展开图可知该几何体有6个面，4个侧面，2个底面，即可得出几何体的名称； （2）根据展开图可知是一个长为6，宽为2，高为6的四棱柱，再根据体积公式得出答案． 【详解】（1）解：根据图形可知，几何体有6个面，4个侧面，2个底面， ∴几何体是长方体（或四棱柱）． 故答案为：长方体（或四棱柱）； （2）解：几何体的体积． 20．(1)三棱柱 (2)表面积：；体积： 【分析】本题是一个三棱柱的展开图，它的表面积就是5个面的面积之和；它的体积等于底面积乘以高． 【详解】（1）解：图图形的展开图侧面是三个长相等的长方形，底分别为的直角三角形，另一个也是三边为的直角三角形，故这个立体图形的名称为：三棱柱． （2）解：这个图形的表面积上下底面积与侧面三个长方形的面积， 故这个三棱柱的表面积为：． 体积为底面积入乘以高：． 【点睛】本题考查了图形展开图的判断及求原图形的表面积和体积，解题的关键掌握图形的展形图求表面积和体积方法． 21．(1)①，②，③ (2)， 【分析】本题考查从不同方向看简单组合体，几何体的表面积以及体积，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据从正面、左面、上面看到的三视图，即可得答案； （2）根据三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变，根据面积计算公式即可得到这个几何体的表面积；根据体积计算公式利用大正方体体积减去切去的小正方体体积即可得到这个几何体的体积． 【详解】（1）解：由题意可得，从正面、左面、上面看到的平面图形分别是①，②，③， 故答案为：①，②，③． （2）解：结合三视图可知，切去小正方体后，三个方向的面积并未发生改变， 则这个几何体的表面积为：， 这个几何体的体积为：， 答：这个几何体的表面积与体积分别为，． 22．(1)6，6，30 (2) (3)12 (4) 【分析】（1）观察图形，即可得出各个几何体的顶点数，面数和棱数； （2）观察图形及表格变化，总结出一般规律即可； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为，列出方程求解即可； （4）先根据顶点数，求出棱数，再根据（1）中的顶点，面和棱的关系式，即可求解． 【详解】（1）解：由图可知：正四面体有6条棱，正八面体有6顶点，正十二面体有30条棱； 故答案为：6，6，30； （2）顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是； 故答案为：； （3）设该几何体的顶点数为V，则面数为， ， 解得：， 故答案为：12； （4）∵该多面体有48个顶点，每个顶点处都有3条棱， ∴该多面体有条棱， 设该多面体表面三角形的个数为x个，八边形的个数为y个， 则该多面体一共有个面， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了多面体的顶点数，面数，棱数之间的关系，解题的关键是仔细观察图形，得出欧拉公式：顶点数（V）、面数（F）、棱数（E）之间存在的关系式是：． 23．(1)，，； (2)588；576 (3)C (4) 【分析】本题考查认识立体图形，掌握长方体的展开与折叠以及底面积、体积的计算方法是正确解答的关键． （1）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽根据面积公式即可得出答案，根据体积计算公式进行计算即可； （2）根据长方体的展开与折叠的特征即可得出长方体盒子的高，再根据盒子“底面”的长、宽，求出体积为，把，，以及，代入公式进行计算即可； （3）根据数据表分析可得，随着剪去的小正方形的边长的增大，无盖长方体盒子的容积先增大后减小； （3）求出当，时，计算的值即可． 【详解】（1）解：如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为3 ， 底面积为， 这个无盖长方体纸盒的容积 ； 故答案为：，，； （2）如果原正方形纸片的边长为，剪去的正方形的边长为 ，则折成的无盖长方体盒子的高为 ，底面积为，请你用含，的代数式来表示这个无盖长方体纸盒的容积 ； 当，时，， 当，时，， 故答案为：588，576； （3）由统计表中的数据发现，随着剪去的小正方形的边长的增大，所折无盖长方体盒子的容积先增大后减小， 故答案为：C； （4）当，时，体积最大，最大体积为， 故答案为：． 答案第8页，共9页 答案第7页，共9页 学科网（北京）股份有限公司 $