第1章《三角形的证明及其应用》暑假复习与巩固练习（知识框架+知识点复习+易错点提醒+知识点练习）2025-2026学年北师大版数学八年级下册

北师大版八年级下册复习巩固 第一章 三角形的证明及其应用 本章复习目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理，理解几何证明的严谨逻辑，能规范完成推理与计算，发展逻辑推理核心素养。 掌握直角三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理，熟练运用 “HL” 判定直角三角形全等，构建完整的直角三角形知识体系。 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，理解三角形三线共点的性质，能完成相关尺规作图，提升几何直观与实践操作能力。 能综合运用本章定理解决实际测量、最短路径、方案设计等生活问题，体会几何知识的应用价值，提升数学建模与综合分析能力。 本章知识框架 知识点复习 1.1 等腰三角形 知识点 1：等腰三角形的性质 核心性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称为 “________”。 核心性质 2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为 “________”。 拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在的直线；两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等。 知识点 2：等腰三角形的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称为 “________”。 逻辑辨析：性质是 “由边推角”，判定是 “由角推边”，二者互为逆定理。 知识点 3：等边三角形的性质与判定 性质：等边三角形三边相等，三个内角都相等，且每个内角都等于______°；具备等腰三角形的所有性质，有 3 条对称轴。 判定方法： 三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于______° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点 4：反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫做______。 基本步骤：① 假设结论不成立；② 推导得出矛盾；③ 肯定原命题成立。 1.2 直角三角形 知识点 1：直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角______； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的______。 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形； 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点 2：勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即________。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是____直角__三角形。 勾股数：满足的三个______，称为一组勾股数。 知识点 3：直角三角形全等的判定 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “______” 或 “斜边、直角边”。 注意：SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等判定，同样适用于直角三角形；HL 是直角三角形特有的判定，仅对直角三角形成立。 1.3 线段的垂直平分线 知识点 1：线段垂直平分线的性质与判定 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离______。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的________上。 逻辑辨析：性质是 “已知位置→距离相等”，判定是 “已知距离相等→位置”，二者互为逆定理。 知识点 2：三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离______。 这个点叫做三角形的______，是三角形外接圆的圆心。 知识点 3：尺规作图与实际应用 作线段垂直平分线的步骤：分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为该线段的垂直平分线。 典型应用：确定到两点距离相等的位置、设计最短路径、作轴对称图形。 1.4 角平分线 知识点 1：角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离______。 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的______上。 注意：性质与判定的前提是 “点到两边的距离”，即垂线段的长度，缺少垂直条件不可直接使用定理。 知识点 2：三角形三内角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离______。 这个点叫做三角形的______，是三角形内切圆的圆心。 答案：； 知识点 3：尺规作图与实际应用 作已知角平分线的步骤：以角的顶点为圆心，适当长度为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧在角内部交于一点；过顶点和该交点作射线，即为角的平分线。 典型应用：确定到两边距离相等的位置、修建到两条路距离相等的服务站。 本章核心数学思想 转化思想：将复杂几何图形拆解为等腰三角形、直角三角形等基本图形，利用已知定理转化求解，化繁为简。 分类讨论思想：等腰三角形已知两边求周长、已知一角求内角时，需分腰 / 底、锐角 / 钝角多种情况讨论，避免漏解。 数形结合思想：结合图形直观分析几何关系，通过严谨的逻辑推理证明结论，实现直观感知与演绎推理的结合。 数学建模思想：将生活中的路径规划、位置确定、距离测量等问题，抽象为垂直平分线、角平分线几何模型求解。 本章易错点提醒 “三线合一” 误用：三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，不可随意推广到腰上的高或任意三角形。 HL 判定混淆：HL 仅适用于直角三角形，一般三角形不存在 “SSA” 全等判定，不能将 HL 等同于一般三角形的 SSA。 性质与判定颠倒：混淆性质和判定的因果关系，证明时逻辑顺序错误，出现 “因为距离相等，所以点在平分线上，因此距离相等” 的循环论证。 等腰三角形漏解：已知两边长求周长、已知一个角求内角时，未区分腰与底、顶角与底角，导致漏解。 角平分线条件缺失：使用角平分线性质时，忽略 “垂直于两边” 的前提，直接由点在角平分线上得出线段相等。 30° 角性质错用：“30° 角所对直角边等于斜边一半” 仅在直角三角形中成立，非直角三角形不可直接套用。 知识点练习 一、 选择题 1.在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 2.如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（       ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 3.如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（       ）． A. B. C. D. 4.如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（       ） A.6 B.3 C.2 D.1.5 5.如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（        ） A. B. C.3 D.4 6.如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 7.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B. C.2 D. 8.如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（       ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、 填空题 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为________________ . 10.用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设________. 11.如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ________ ． 12.如图，在直角三角形中，，在边上，在边上，且，则______________． 13.在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为______． 三、 解答题 14.已知在中，． （1）的长可以是吗？并说明理由． （2）若是等腰三角形，求的周长． 15.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 16.如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 17.如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结 （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 18.在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． （1）【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系：           ． （2）【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． （3）【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为       ．（提示：连接，作交的延长线于点） 学科网（北京）股份有限公司 $ 北师大版八年级下册复习巩固 第一章 三角形的证明及其应用 本章复习目标 掌握等腰三角形、等边三角形的性质与判定定理，理解几何证明的严谨逻辑，能规范完成推理与计算，发展逻辑推理核心素养。 掌握直角三角形的性质与判定、勾股定理及其逆定理，熟练运用 “HL” 判定直角三角形全等，构建完整的直角三角形知识体系。 掌握线段垂直平分线、角平分线的性质与判定定理，理解三角形三线共点的性质，能完成相关尺规作图，提升几何直观与实践操作能力。 能综合运用本章定理解决实际测量、最短路径、方案设计等生活问题，体会几何知识的应用价值，提升数学建模与综合分析能力。 本章知识框架 知识点复习 1.1 等腰三角形 知识点 1：等腰三角形的性质 核心性质 1：等腰三角形的两个底角相等，简称为 “____等边对等角____”。 核心性质 2：等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合，简称为 “____三线合一____”。 拓展：等腰三角形是轴对称图形，对称轴是底边上的高（顶角平分线、底边上的中线）所在的直线；两腰上的高、中线分别相等，两底角的平分线相等。 知识点 2：等腰三角形的判定 定理：有两个角相等的三角形是等腰三角形，简称为 “____等角对等边____”。 逻辑辨析：性质是 “由边推角”，判定是 “由角推边”，二者互为逆定理。 知识点 3：等边三角形的性质与判定 性质：等边三角形三边相等，三个内角都相等，且每个内角都等于__60____°；具备等腰三角形的所有性质，有 3 条对称轴。 判定方法： 三边都相等的三角形是等边三角形； 三个角都相等的三角形是等边三角形； 有一个角等于___60___° 的等腰三角形是等边三角形。 知识点 4：反证法 在证明时，先假设命题的结论不成立，然后推导出与定义、基本事实、已有定理或已知条件相矛盾的结果，从而证明命题的结论一定成立，这种证明方法叫做___反证法___。 基本步骤：① 假设结论不成立；② 推导得出矛盾；③ 肯定原命题成立。 1.2 直角三角形 知识点 1：直角三角形的性质与判定 性质 直角三角形的两个锐角__互余____； 在直角三角形中，如果一个锐角等于 30°，那么它所对的直角边等于斜边的___一半___。 判定 有两个角互余的三角形是直角三角形； 如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。 知识点 2：勾股定理及其逆定理 勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即________。 勾股定理的逆定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是____直角__三角形。 勾股数：满足的三个__正整数____，称为一组勾股数。 知识点 3：直角三角形全等的判定 定理：斜边和一条直角边分别相等的两个直角三角形全等，简写成 “___HL___” 或 “斜边、直角边”。 注意：SSS、SAS、ASA、AAS 四种一般三角形全等判定，同样适用于直角三角形；HL 是直角三角形特有的判定，仅对直角三角形成立。 1.3 线段的垂直平分线 知识点 1：线段垂直平分线的性质与判定 性质定理：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离____相等__。 判定定理：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的____垂直平分线____上。 逻辑辨析：性质是 “已知位置→距离相等”，判定是 “已知距离相等→位置”，二者互为逆定理。 知识点 2：三角形三边垂直平分线的性质 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，并且这一点到三个顶点的距离___相等___。 这个点叫做三角形的___外心___，是三角形外接圆的圆心。 知识点 3：尺规作图与实际应用 作线段垂直平分线的步骤：分别以线段两个端点为圆心，大于线段一半长度为半径画弧，两弧交于两点，过两点作直线，即为该线段的垂直平分线。 典型应用：确定到两点距离相等的位置、设计最短路径、作轴对称图形。 1.4 角平分线 知识点 1：角平分线的性质与判定 性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离___相等___。 判定定理：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的___平分线___上。 注意：性质与判定的前提是 “点到两边的距离”，即垂线段的长度，缺少垂直条件不可直接使用定理。 知识点 2：三角形三内角平分线的性质 三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离___相等___。 这个点叫做三角形的__内心____，是三角形内切圆的圆心。 答案：； 知识点 3：尺规作图与实际应用 作已知角平分线的步骤：以角的顶点为圆心，适当长度为半径画弧，交角的两边于两点；再分别以两点为圆心，大于两点间距离的一半为半径画弧，两弧在角内部交于一点；过顶点和该交点作射线，即为角的平分线。 典型应用：确定到两边距离相等的位置、修建到两条路距离相等的服务站。 本章核心数学思想 转化思想：将复杂几何图形拆解为等腰三角形、直角三角形等基本图形，利用已知定理转化求解，化繁为简。 分类讨论思想：等腰三角形已知两边求周长、已知一角求内角时，需分腰 / 底、锐角 / 钝角多种情况讨论，避免漏解。 数形结合思想：结合图形直观分析几何关系，通过严谨的逻辑推理证明结论，实现直观感知与演绎推理的结合。 数学建模思想：将生活中的路径规划、位置确定、距离测量等问题，抽象为垂直平分线、角平分线几何模型求解。 本章易错点提醒 “三线合一” 误用：三线合一仅适用于等腰三角形，且特指顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合，不可随意推广到腰上的高或任意三角形。 HL 判定混淆：HL 仅适用于直角三角形，一般三角形不存在 “SSA” 全等判定，不能将 HL 等同于一般三角形的 SSA。 性质与判定颠倒：混淆性质和判定的因果关系，证明时逻辑顺序错误，出现 “因为距离相等，所以点在平分线上，因此距离相等” 的循环论证。 等腰三角形漏解：已知两边长求周长、已知一个角求内角时，未区分腰与底、顶角与底角，导致漏解。 角平分线条件缺失：使用角平分线性质时，忽略 “垂直于两边” 的前提，直接由点在角平分线上得出线段相等。 30° 角性质错用：“30° 角所对直角边等于斜边一半” 仅在直角三角形中成立，非直角三角形不可直接套用。 知识点练习 一、 选择题 1.在中，的对边分别为，下列条件中不能判定为直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查了三角形内角和定理和勾股定理的逆定理，平方差公式，掌握知识点是解题的关键. 根据三角形内角和定理及勾股定理的逆定理，逐一分析各选项是否满足直角三角形的条件. 【解答】 解：A. 由 ，结合三角形内角和为180°，得2 ，故 ， 为直角三角形，排除A. B. ，总份数为3+4+5=12，对应角度分别为 ， ， ，最大角为75°，非直角，故不能判定为直角三角形. C. 展开 得 ，即 ，满足勾股定理的逆定理， 为直角三角形，排除C. D. 设 ， ， ，验证 ， 即 ，满足勾股定理的逆定理， 为直角三角形，排除D. 故选：B. 2.如图，，，平分，平分，则图中的等腰三角形有（       ） A.5个 B.4个 C.3个 D.2个 【答案】 A 【解析】 此题主要考查学生对等腰三角形判定和三角形内角和定理的理解和掌握,属于中档题. 根据已知条件和等腰三角形的判定定理，结合三角形的内角和定理对图中的三角形进行分析，即可得出答案. 【解答】 解：在 中， ， 是等腰三角形； 平分 , ,则 是等腰三角形； ,则 是等腰三角形； 平分 , ，则 CDE是等腰三角形； ,则 是等腰三角形, 综上，图中共有5个等腰三角形， 故选：A. 3.如图，在中，，于点，是斜边的中点，若，则的度数为（       ）． A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 利用直角三角形斜边中线性质、直角三角形两锐角互余，结合角度之间的数量关系求出 ，再通过同角的余角相等，得到 即可求解. 【解答】 解： 在Rt 中，，是斜边 的中点， ， ， ， ， ， 又，且 ， ， 解得 ， ，， . 故选：C.  4.如图，已知的平分线与BC的垂直平分线相交于点，垂足分别为、，则（       ） A.6 B.3 C.2 D.1.5 【答案】 B 【解析】 本题主要考查的是线段垂直平分线的性质、角平分线的性质以及全等三角形的判定与性质，掌握以上知识点是解题的关键连接CD、BD，由 的平分线与BC的垂直平分线相较于点D，DE AB，DF AC，根据角平分线的性质，易得 CD=BD，DF=DE，从而得到AF=AE，可证的Rt ，则可得BE=CF，即可得到结果. 【解答】 连接CD、BD， 是 的平分线，DE AB，DF AC， AD是 的平分线，DE AB，DF AC， 是BC的垂直平分线， 在Rt 和Rt 中 Rt Rt 故选：B 5.如图，在中，平分交于点M，过点C作，垂足为E，交于点D．若，，，则的长为（        ） A. B. C.3 D.4 【答案】 B 【解析】 先证 ，从而得到 ，。再根据 ，证 ，从而得到 ，在 Rt 中，运用勾股定理求出 ，即得到 的长，最后根据 ，求得 的长。 【解答】 解： 平分 ， ， 在 和 中， ， (ASA) ，. ， 又 ， ， ， ， ， ， ，，， ， ， . 故选：B. 6.如图，在中，，平分交于点D，点F在上，且，连接，E为的中点，连接，则的长为（ ） A.2 B.3 C.4 D.5 【答案】 B 【解析】 本题考查了等腰三角形的判定与性质，中位线．熟练掌握等腰三角形的判定与性质，中位线是解题的关键． 由题意知， ，由 ， 平分 ，可得 ，即 为 的中点，进而可得 ，计算求解即可． 【解答】 解：由题意知， ， 平分 , ，即 为 的中点， 为 的中点， 故选：B. 7.如图，在中，，，是边上一点，将沿折叠得，连接，若四边形为平行四边形，则的值是（ ）     A. B. C.2 D. 【答案】 D 【解析】 连接CE，延长AD交于F，可证 ，从而可证AF CE，可求 ，从而可求 即可求解. 【解答】 解：如图，连接CE，延长AD交于F， ， 在 和 中 （SAS） 四边形ABED是平行四边形， ， 在Rt 中： 在Rt 中： 在Rt 中： 故选：D 故选：D. 8.如图，已知为等腰三角形，，点F为AC上一点，点D为BC延长线上一点，点E为AB延长线上一点，EF与BC相交于点G，如果，那么下列说法中，正确的个数有（       ） （1），（2），（3），（4）点G到AB，AC的距离之和为定值． A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 【答案】 C 【解析】 本题考查等腰三角形的判定及性质，熟练应用等腰三角形的判定和性质是解题的关键，过点F作 ，则 ，从而易证 ，因此EG=FG，故（1）正确；在AD上截取AK=AB，则 ，且易证 为等腰三角形，从而 AB=AK，BC=CK=DK，因此AB+BC=AK+DK=AD，故（2）正确；连接AG，利用等面积法，易证（4）正确. 【解答】 解：如图，过点F作 故（1）正确； 在AD上截取 故（2）正确； 连接AG，过点G作 ，GJ ，CI ，垂足分别为H，G，I， 点G到AB，AC的距离之和为定值， 故（4）正确； 故选：C 二、 填空题 9.等腰三角形一腰上的高与另一腰所成的夹角为，则这个等腰三角形的顶角度数为________或________ . 【答案】 或 【解析】 等腰三角形的高相对于三角形有三种位置关系，三角形内部，三角形的外部，三角形的边上．根据条件可知第三种高在三角形 的边上这种情况不成立，因而可分两种情况进行讨论． 【解答】 解：分两种情况： ①当高在三角形内部时（如图）， ∴顶角 ②当高在三角形外部时（如图）， ∴ 顶角 故答案为或 10.用反证法证明“在同一平面内，已知，若，则”，证明时可以先假设____与不垂直____. 【答案】 与不垂直 【解析】 此题暂无解析 【解答】 解：原命题“在同一平面内，已知，若，则” 用反证法时应假设结论不成立， 即假设与不垂直． 故答案为：与不垂直． 11.如图，已知等边中，点、分别在边、上，把沿直线翻折，使点落在点处，、分别交边于点、，若，则的度数为 ___40°_____ ． 【答案】 40° 【解析】 先利用等边三角形每个内角为60°，结合∠ADF=80°，在ΔADF中求出∠AFD，再由对顶角、翻折性质得∠FGB′=80°，推出∠EGC，最后在ΔEGC中用内角和算出∠GEC. 【解答】 解：∵ ΔABC是等边三角形， ∴ ∠A=∠B=∠C=60°， ∵ ∠ADF=80°， ∴ ∠AFD=180°-∠A-∠ADF=180°-60°-80°=40°， ∴ ∠AFD=∠GFB′=40°， 由翻折可得∠B′=∠B=60°， ∴ ∠FGB′=180°-∠B′-∠GFB′=180°-60°-40°=80°， ∴ ∠FGB′=∠EGC=80°， ∴ ∠CEG=180°-∠C-∠CGE=180°-60°-80°=40°. 12.如图，在直角三角形中，，在边上，在边上，且，则______5__________． 【答案】 【解析】 在上截取，连接，先根据三角形的外角性质和直角三角形锐角互余证明，再根据全等三角形的性质证明，最后由求解即可． 【解答】 解：在上截取，连接， 设，则由题意得， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：5 13.在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为___6_____． 【答案】 6 【解析】 作AH BC于点H，由等腰三角形的性质可得BH=CH ，由勾股定理可得AH=6，连接AF、AG，由线段垂直平分线的性质可得 AF=CF，则CF+FG=AF+FG≤AG，由垂线段最短可得，当点G与点H重合时，此时 AG最短为6，即可得出结果. 【解答】 解：如图，作AH BC于点H， BC=6, 连接AF、AG 垂直平分 AC， 由垂线段最短可得，当点G与点H重合时，此时AG最短为6. 的最小值为6. 三、 解答题 14.已知在中，． （1）的长可以是吗？并说明理由． （2）若是等腰三角形，求的周长． 【答案】 不可以，见解析 【解析】 （1）根据三角形的三边关系，即两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，计算出另外两边的和以及差即可判断． （2）由第一问的结论可知，的长的取值范围，再根据等腰三角形的腰长相等确定满足三角形的三边关系，进而可求解三角形的周长． 【解答】 （1）解：不可以． 理由：因为， 则， 即可得， 所以的长不可能是 （2）解：由知，满足三角形三边的条件，需， 因为是等腰三角形，， 所以， 所以的周长． 15.用反证法证明“三角形三个内角中，至少有一个内角小于或等于．” 已知：，，是的内角． 求证：，，中至少有一个内角小于或等于． 【答案】 见解析 【解析】 根据反证法证明方法，先假设结论不成立，然后得到与定理矛盾，从而证得原结论成立. 【解答】 证明：假设求证的结论不成立，那么三角形中所有角都大于60°， 这与三角形的三内角和为180°相矛盾. 假设不成立, 三角形三内角中至少有一个内角小于或等于60度. 16.如图，在中，，点P在上运动，点D在上，始终保持与相等，的垂直平分线交于点E，交于点F，连接． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若，，，求线段的长． 【答案】 DE=4.75 【解析】 （1）根据等边对等角，直角三角形的两个锐角互余，线段垂直平分线的性质，解答即可； （2）连接 ，设 ，则 ， ，利用勾股定理解答即可. 【解答】 （1）解：DE DP理由如下： 是BD的垂直平分线， （2）解：如图，连接 ，设 ，则 ， , BC=8, PA=2, 解得 的长为4.75. 17.如图所示，是的角平分线，是的垂直平分线，分别交、于点、，连结 （1）求证：； （2）若，试判断的形状，并说明理由． 【答案】 见解析； 是等边三角形，理由见解析. 【解析】 （1）根据线段垂直平分线的性质可得 ，然后根据等腰三角形的性质以及角平分线的定义可证DE//AC，即可解答； （2）根据线段垂直平分线的性质可得 ，然后利用ASA证明 ，从而可得AE=AF，结合（1）中的平行，等边三角形的判定方法，即可解答. 【解答】 （1）证明： 是AD的垂直平分线， （2）解： 是等边三角形，理由： 是AD的垂直平分线， 是等边三角形. 18.在“综合与实践”数学活动课上，杨老师带领同学们开展“直角三角形拼接与线段探究”的专题研究．同学们用硬纸板制作了两个以点O为公共直角顶点的等腰直角三角形模型，将它们按固定位置拼放在同一平面内：如图，和均为等腰直角三角形．在活动中，同学们先连接线段、，探究两条线段的长度关系与位置关系；再将图形固定，结合中点、特殊角度等条件进行计算推理，请你和同学们一起完成以下探究任务． （1）【问题初探】①如图1，试判断与的数量关系，并说明理由； ②请直接写出与位置关系：           ． （2）【解决分析】如图2，若点恰好在上，且为的中点，且，求的长度． （3）【学以致用】如图3，设与的交点为，若，，，请在图3中完成作图，并直接写出的长度为       ．（提示：连接，作交的延长线于点） 【答案】 见解答 【解析】 （1）①由 △AOC≌△ BOD ② 90° ⊥BD； （2）由D为AC中点得AC=4，证明 可得BD=AC=4且AC BD；结合等腰直角三角形底角为 ，可证 .在Rt 中， ；在等腰Rt 中 ，解得 （3）由AE=CE且AC BD，得BE垂直平分AC，故BC=AB=4，在Rt 中，根据勾股定理求得OB= ，再在含 的 Rt 中算出 、BH .在Rt 中由勾股定理解得 ，即可得到OC的值，进而即可求解. 【解答】 （1）① AC=BD，理由如下： 和 均为等腰直角三角形， ， ， ，即 在 和 中， (SAS) ②AC BD；理由如下： 设AC交BD于点E，交OD于点F，如图， 又 （2）解： 为AC中点，AD=2， ，CD=AD=2， 和 均为等腰直角三角形， ，OC=OD 即 在 和 中， 4, 即BD AC 直角三角形， 解得 (3) 解：作图如下： 由（1）可得， 又 是线段AC的垂直平分线， 由图可得， 解得 ，且 在Rt 中， 即 解得 （舍去负根）， 在Rt 中， 在Rt 中， 解得 （舍去负根）， 是等腰直角三角形， 学科网（北京）股份有限公司 $