第1章 三角形的证明单元复习（寒假预习讲义）（6大知识点预习+ 9大分层题型精练+巩固练习）2025-2026学年北师大版八年级数学下学期

第1章 三角形的证明 知识点1：等腰三角形的性质与判定 类别 性质（正用） 判定（逆用） 核心结论 1.等边对等角：若，则； 2.三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合； 3.两腰上的中线、高、底角平分线分别相等 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.等角对等边：若，则； 3.三线合一逆用：若三角形一条线段既是中线又是高，则该三角形是等腰三角形 注意事项 三线合一仅适用于等腰三角形的顶角和底边；需明确“腰”“底角”的前提是已判定为等腰三角形 等角对等边中，“角”为底角，“边”为腰，不可混淆；需验证三角形三边关系 知识点2：等边三角形的性质与判定 1.性质： 三边相等，三角均为； 是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质； 有三条对称轴，三条线段（中线、高、角平分线）重合。 2.判定： 定义法：三边相等的三角形； 三角相等的三角形（均为）； 有一个角为的等腰三角形。 知识点3：直角三角形的性质与判定 类别 性质 判定 角的关系 1.两锐角互余（）； 2.角所对直角边等于斜边的一半 1.有一个角为的三角形； 2.两锐角互余的三角形； 3.勾股定理逆定理：若，则 边的关系 勾股定理：直角边、，斜边，则； 斜边中线等于斜边的一半 斜边中线等于斜边一半的三角形是直角三角形 全等判定 特殊判定：HL（直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等） 需满足“直角边+斜边”对应相等，区别于一般三角形的SSS、SAS等 知识点4：线段垂直平分线的性质与判定 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（若 在垂直平分线上，则）。 2.判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上（若，则在垂直平分线上）。 3.三角形性质：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等。 知识点5：角平分线的性质与判定 1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（若 在平分线上，且、，则）。 2.判定：角内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上（若、且，则在平分线上）。 3.三角形性质：三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等。 知识点6：全等三角形的核心应用（证明辅助） 1.常用判定：SSS、SAS、ASA、AAS（通用）；HL（直角三角形专用）。 2.证明思路：通过全等转化线段或角度关系，为等腰、直角三角形的判定提供依据。 3.常见模型：手拉手模型（共顶点的等腰/等边三角形）、角平分线+垂线模型、折叠全等模型。 【基础必考题型】 【题型1】等腰三角形角度计算（含三线合一） 1.核心知识点： 等腰三角形“等边对等角”； 三角形内角和定理； 三线合一的角度推导。 2.解题方法技巧： 设未知数表示底角或顶角，利用内角和列方程； 遇“中线、高、角平分线”重合，优先用三线合一简化计算； 注意顶角为钝角或锐角的情况（无需分类时直接计算）。 【例题1】.（25-26八年级上·北京·期末）如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了三线合一定理，垂线的定义，由三线合一定理可判断A、B；由垂线的定义可判断D；由和现有条件无法证明，则可判断C． 【详解】解：A、∵， ∴，故此选项不符合题意； B、∵， ∴平分， 又∵， ∴，故此选项不符合题意； C、由和现有条件无法证明，故此选项符合题意； D、∵，， ∴， ∴，故此选项不符合题意； 故选：C． 【变式题1-1】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰三角形、直角三角形的性质．利用平行线找出等角等边，灵活运用直角三角形性质是解题关键． 根据是等腰三角形，且为中线，平分，可得，再由，则，，根据和直角三角形性质可求解． 【详解】解： 是等腰三角形，且为底边中点， ，， ， ，， 平分， ， ， ， ， ， ，， ． 故选：A． 【变式题1-2】.（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，平分，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键． 在上取点，使得，证明，可得，即可解答． 【详解】证明：如图，在上取点，使得， 在和中， ， ， ， ，且， ， ， ． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． (1)求的度数； (2)若，求证：直线经过的中点． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，三角形内角和定理，折叠的性质，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键。 （1）由折叠的性质和三角形的中线的定义可证明，则可得到，由三角形内角和定理可推出，即； （2）取的中点F，连接，设，则，可求出；证明，得到，则，据此可证明E、D、F三点共线，即直线经过的中点． 【详解】（1）解：∵和关于直线对称， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，取的中点F，连接， 设， ∵， ∴， 由折叠的性质可得，， ∴； ∵点D和点F分别是的中点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴E、D、F三点共线， ∴直线经过的中点． 【题型2】垂直平分线性质的应用 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质（到两端点距离相等）； 三角形周长计算。 2.解题方法技巧： 识别垂直平分线，转化线段； 周长问题中合并相等线段，简化计算； 作图题需保留尺规作图痕迹（以两端点为圆心画弧，两弧交点连线）。 【例题2】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，牢固掌握其性质是解题的关键，连接，由垂直平分线的性质：垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等，可得，即可求解． 【详解】解：连接 ∵的垂直平分线交于点，交于点，的垂直平分线交于点，交 于点， ∴ ∴， 故选：C. 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，中，，边的垂直平分线交于点，交边于点E，的周长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了线段垂直平分线的性质，根据线段的垂直平分线的性质得到，根据的周长等于，即可求出的长． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴． ∴的周长． 又∵， ∴． 故选：C． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，点D在上，分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点，连接交于点P． (1)连接，根据作法，完成推理． 由题意得为线段的________， ________， 为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【答案】(1)垂直平分线， (2) 【分析】本题考查了作图题，线段垂直平分线的性质和判定，正确理解尺规作图的原理是解题的关键． （1）根据线段垂直平分线的尺规作图方法和垂直平分线的性质解答； （2）根据等边对等角、三角形内角和定理回答即可． 【详解】（1）解：由题意，为线段的垂直平分线， ， 为等腰三角形； 故答案为：垂直平分线，； （2）解：由（1）知，， ， ． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，垂直平分线的性质，三角形内角和定理，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）根据等边对等角的性质和三角形内角和定理，得到，，再根据垂直平分线的性质，推出，则，即可求出的度数； （2）根据垂直平分线的性质，得出，，由（1）可知：，则，即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴． ∴． ∵垂直平分， ∴． ∴． ∴． （2）解：∵垂直平分，， ∴，． 由（1）可知：， ∴． ∴． 【题型3】勾股定理的直接计算（含逆定理判定直角三角形） 1.核心知识点： 勾股定理（）； 勾股定理逆定理（判定直角三角形）。 2.解题方法技巧： 明确直角边和斜边（最长边为斜边）； 已知两边求第三边，直接代入公式； 已知三边，验证较短两边平方和是否等于最长边平方，判定是否为直角三角形。 【例题3】.（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查折叠的性质和勾股定理，熟练掌握折叠的性质和勾股定理是解题的关键． 根据折叠的性质可得，，，，设，则，根据勾股定理列出方程，求解即可． 【详解】解：如图，记点C的对应点为， 长方形中，，， ，，， 由折叠可得，，，， 设，则， 在中，， ，解得， 则的长为． 故选：C． 【变式题3-1】.（2025~2026学年第一学期教学质量检测七年级数学（五四学制））如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理，勾股定理的逆定理，掌握直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方是解题的关键． 连接，根据，用勾股定理求出的长度，再用勾股定理的逆定理，证是直角三角形，根据四边形的面积等于和面积之差，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ， 是直角三角形， 四边形的面积为． 故选：D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【答案】(1)海港C会受影响 (2)货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货，理由见详解 【分析】2本题考查了勾股定理的应用及逆定理． （1）过点C作，垂足为D，根据已知条件利用勾股定理的逆定理证得，再利用三角形面积公式求得的值，即可判断海港C的影响情况； （2）设此时台风中心在上的位置为E，得出，利用勾股定理求得和的值，进而求得的值，再根据台风中心的移动速度计算出时间，与卸货时间进行比较即可得出结果． 【详解】（1）解：如图，过点C作，垂足为D， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴海港C会受影响． （2）解：货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货， 理由如下：如图，设此时台风中心在上的位置为E， ∴， ∴在中，由勾股定理得，， 在中，由勾股定理得，， ∵点D在上，，， ∴， 由台风中心移动速度是可得，从A到E的时间为：（小时）， ∵， ∴货轮能在海港C受台风影响之前完成卸货． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在四边形中，，，，．连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【答案】(1)2 (2) 【分析】本题考查勾股定理，勾股定理逆定理，等腰直角三角形性质，角度计算等． （1）根据题意利用勾股定理即可得到本题答案； （2）根据题意利用勾股定理逆定理可得，继而得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴； （2）解：∵，， ∵， ∴， ∴为直角三角形，即， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 【题型4】角平分线性质的应用 1.核心知识点： 角平分线的性质（到角两边距离相等）； 垂线段的定义。 2.解题方法技巧： 遇角平分线，作两边的垂线段（辅助线）； 利用距离相等转化线段，计算长度或证明全等； 注意“角内部”的前提条件，排除外部点干扰。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的一点，，则点到的距离为（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的性质定理，解题的关键是熟练掌握角平分线上的点到角的两边的距离相等． 根据题意易求，由角平分线的性质定理可知D点到的距离等于D点到的距离的长度，则答案可解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴是的角平分线， ∴D点到和的距离相等， ∵表示D点到的距离，， ∴D到的距离为4． 故选：B． 【变式题4-1】.（2026·云南·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图方法和角平分线的性质，掌握其性质和准确添加辅助线是解题的关键． 过点作于点F，根据角平分线的性质得出，即可求的面积． 【详解】解：如图，过点作于点， 由题意可知：平分， ∵，， ∴， ∴， 故选：B． 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点，若． (1)求的长； (2)与相等吗？说明理由． 【答案】(1) (2)与相等，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，含30度角的直角三角形的性质，等腰三角形的性质与判定． （1）根据角平分线性质求出的长根据含角的直角三角形性质求出即可． （2）与相等，证明是等腰三角形，利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：平分， ； （2）解：与相等，理由如下： ∵在中，， 平分， ， ∴， ， ． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为斜边上的高，的角平分线分别交，于点E，F，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质，熟练掌握角平分线的性质定理、等腰三角形的性质与判定及直角三角形的性质是解题的关键； （1）根据角平分线的性质得出，，根据余角性质得出，根据，，得出，根据平行线的性质得出，最后根据等腰三角形的判定得出； （2）根据角平分线定义得出，根据直角三角形的性质得出，证明，根据等腰三角形的判定得出，根据即可得出答案． 【详解】（1）证明：∵平分，，， ∴，，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 根据解析（1）可得：， ∴． 【题型5】传统文化情境题（秦九韶沙田问题） 1.核心知识点： 勾股定理逆定理（判定直角三角形）； 三角形面积公式（直角三角形面积=直角边乘积/2）。 2.解题方法技巧： 提取题目中三边长度，验证是否为直角三角形； 单位换算，计算面积并转换单位； 体会传统文化与数学的结合，用数学知识解决古代实际问题。 【例题5】.（23-24八年级下·广东深圳·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，线段垂直平分线的判定，先证明，得出，，，根据，，得出点A、D在线段的垂直平分线，证明线段垂直平分线段． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， ∴平分， ∵，， ∴点A、D在线段的垂直平分线， ∴线段垂直平分线段， 无法证明，故D符合题意，不符合题意． 故选：D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在中，，四边形为正方形，，，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，三角形的内角和定理，根据三角形内角和定理以及全等三角形的性质推出，再利用三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵，， ∴，， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若． (1)求证：； (2)延长，交于点，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理； （1）根据等角对等边得出，进而可得，根据三线合一，即可得证； （2）先证明，设，则，由，得到，则，继而可得，再对运用勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明： （2）解：如图， 由（1）知 ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，设， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， 解得， ∴ 【变式题5-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【答案】(1)25 (2) (3) 【分析】本题考查完全平方非负性，绝对值非负性，二次根式非负性，有理数运算，等腰三角形性质等． （1）由题意得，再代入代数式即可得到本题答案； （2）由题意可知，，，，，再代入代数式即可得到本题答案； （3）过点作于点，得到，继而得到，然后得到，再代入数值即可求出本题答案． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得：， ∵， ∴， 故答案为：25； （2）解：由题意可知，，，，， ； （3）解：如图，过点作于点， ，， 为等腰三角形， 是边上的高线， ， ． 平分，，， ． ， ， 解得． 【培优高频题型】 【题型6】等腰三角形的分类讨论（多解问题） 1.核心知识点： 等腰三角形的判定（等角对等边、等边对等角）； 三角形三边关系。 2.解题方法技巧： 未明确腰和底边时，分三种情况讨论（如、、）； 未明确顶角和底角时，分顶角为锐角、钝角讨论； 每种情况需验证三边关系（两边之和大于第三边），排除无效解。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）等腰三角形一个内角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【答案】D 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，根据等腰三角形的性质分类讨论是解答本题的关键． 根据等腰三角形的性质，分已知角是顶角和底角两种情况分析即可． 【详解】解：∵已知三角形是等腰三角形， ∴当是底角时，顶角； 当是顶角时，符合题意； 综上所述，等腰三角形的顶角度数为或． 故选D． 【变式题6-1】.（24-25九年级下·广东佛山·月考）综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 【答案】[实践操作]见解析；[解决问题] 见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的定义，三角形的内角和与外角的性质； [实践操作]仿照例题，根据要求作出图形即可； [解决问题]根据要求作出图形即可． 【详解】[实践操作] 三分线如图所示： [解决问题] 图形如图所示： 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【答案】(1)图见解析 (2) (3) 【分析】本题主要考查了轴对称作图、轴对称的性质、等腰三角形的定义和性质等知识，熟练掌握轴对称的性质是解题关键． （1）根据轴对称的性质确定点、、关于轴的对称点、、，然后顺次连接即可； （2）关于轴对称的点的坐标特征：横坐标互为相反数，纵坐标相同，据此可得答案； （3）根据等腰三角形的定义，分以为等腰三角形的腰和以为等腰三角形的底两种情况，即可求解． 【详解】（1）解：如图所示： （2）解：点关于轴的对称点的坐标为． 故答案为：； （3）解：如图， 当以为等腰三角形的腰时，可得，，， 当以为等腰三角形的底时，可得， 所以，以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，符合条件的动点有个． 故答案为：． 【变式题6-3】.（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【答案】(1)见解析； (2)拓展一：图见解析；拓展二：7． 【分析】本题主要考查等腰三角形的性质，尺规作图构造等腰三角形的方法，数形结合，学会分类讨论是解题的关键． 以为圆心为半径作圆，圆与的交点为，连接，则为等腰三角形； 拓展一：（1）分别构造一个等腰直角三角形即可得到答案； （2）分三种情况依次进行讨论计算出的值即可； 拓展二：的三条边长分别为3，4，6，分三种情况画出图形即可． 【详解】（1）解：如图：    拓展一：（1）    （2）解：①当时， ， ， ， ， ， ， ；    ②当时， ， ， ， ， ， ， ； ③当时此时不存在； 综上所述：x的值是20或40； 拓展二：在中，,，， 当时，如图5，图，    当时，如图7，    当时，如图8，    当，，分别有4条线， 共有7条线， 故答案为：7． 【题型7】直角三角形的折叠与全等综合 1.核心知识点： 折叠的性质（全等、对应边相等、对应角相等）； 勾股定理； 直角三角形的HL判定。 2.解题方法技巧： 折叠后标注对应边和对应角，转化相等线段； 设未知数，利用勾股定理列方程（常用技巧）； 复杂图形中，通过HL证明直角三角形全等，推导线段关系。 【例题7】.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得，，结合长方形的性质可求，进而求出，然后根据直角三角形的两个锐角互余求出，最后根据平角定义得出答案． 【详解】根据折叠的性质得，，． ∵四边形是长方形， ∴，． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了折叠的性质，平角定义，直角三角形的两个锐角互余，平行线的性质，弄清各角之间的关系是解题的关键． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【答案】/度 【分析】本题主要考查折叠的性质及直角三角形的两个锐角互余，熟练掌握折叠的性质是解题的关键.由题意得，则有，然后可得，进而问题可求解． 【详解】解：由折叠的性质可得：， 在长方形中，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 故答案为：． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了折叠的性质，理解并掌握折叠后对应的角相等，角的互补关系，直角三角形两锐角互余等知识是解题的关键． 根据折叠可得，，由与互补可得，从而求出的度数，在中根据直角三角形两锐角互余可得的度数，由对顶角相等可得的度数，最后再由折叠的性质得，由此即可求解． 【详解】解：将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， ∴， 故答案为： ． 【变式题7-3】.（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 【答案】或 【分析】本题考查了等腰三角形的判定与性质、直角三角形的两个锐角互余、折叠的性质等知识，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题关键．连接，设，则，再根据为等腰三角形，可得，再根据折叠的性质可得，由此求出，最后分两种情况：①和，列方程求解即可． 【详解】解：设，则， ∵在中，， ∴，即， ∴， ∵在中，，为等腰三角形， ∴， 由折叠的性质得：， ∴， ∴， 则分以下两种情况： ①当时，为直角三角形， ， ∴即， 解得，符合题意， ∴； ②当时，为直角三角形， ∴， 解得，符合题意， ∴； 综上，或， 故答案为：或． 【压轴素养题型】 【题型8】线段垂直平分线与角平分线的综合证明 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质与判定； 角平分线的性质与判定； 等腰三角形的判定。 2.解题方法技巧： 结合“距离相等”转化线段（垂直平分线：到两端点距离相等；角平分线：到两边距离相等）； 证明等腰三角形时，优先用“等距离→等线段→等腰三角形”的思路； 步骤规范：先判定垂直平分线/角平分线，再推导线段相等，最后判定等腰三角形。 【例题8】.（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等边外的一点，，，，点、分别在和上． (1)求证：是的垂直平分线 (2)若平分， ①证明：平分； ②求的周长． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②的周长为6 【分析】此题考查的是全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、角平分线的性质、等边三角形的性质，正确作出辅助线是解决此题的关键． （1）根据等边三角形的性质可得，再结合，根据线段垂直平分线的判定定理可完成证明； （2）①过点作于点，结合（1）的结论，根据等边三角形的性质可得平分，再结合等边三角形的性质可证得，；然后利用角平分线的性质可得，进而可得，再结合角平分线的判定定理可完成证明； ②证明，则，同理可得，进而可得的周长，据此可完成解答． 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴， ∴点在的垂直平分线上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线． （2）解：①：过点作， ∵，， ∴， 又∵是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴平分． ②解：由①知，、、、都为直角三角形，且， 在和中， ∵，， ∴， ∴， 同理： ， ∴， 即的周长为6． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 【答案】8 【分析】本题考查了角平分线的性质，利用角平分线的性质，得到点P到、、的距离相等，再结合的长度求出点P到的距离． 【详解】解：如图，过点P作于点E， ∵，， ∴， ∵和分别平分和， ∴，， ∴， ∵, ∴， ∴， 故答案为：8． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，平分，于C，于D，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分线段； (3)若，，之间有何数量关系？证明你的结论． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，证明见解析 【分析】本题考查的是角平分线的性质及直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定与性质，熟知以上知识是解答此题的关键． （1）由平分，于C，于D，得，可根据证明，则； （2）由，平分，根据等腰三角形的“三线合一”证明垂直平分线段； （3）由，得，则，可证明，，则，进而可得结论． 【详解】（1）证明：∵平分，于C，于D， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴； （2）证明：∵，平分， ∴，， ∴垂直平分线段； （3）解：， 证明：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D是边上一点，连接． ①若，则的度数为_______°； ②若平分，，求证：点B在线段的垂直平分线上． 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某公园中的一片花海，在B处有一座观景台，在C处有一座凉亭，是两条小路，现要对这片花海进行扩建，将分别延长交于点E，得到扩建后的花海为，并在E处设立游客服务中心．已知平分，，，，求凉亭到游客服务中心的距离．（观景台、凉亭和游客服务中心的大小及小路的宽度均忽略不计） 【答案】（1）①70，②证明见解析；（2） 【分析】本题主要考查三角形外角的性质，垂直平分线的判断以及全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关知识是解答本题的关键． （1）①运用三角形外角的性质求解即可；②证明即可； （2）在上取，连接，设，得，证明，求出，证明，可得，故可得结论． 【详解】解：（1）①∵，， ∴， 故答案为：70； ②证明：，， 平分， ， ， 点B在线段的垂直平分线上 （2）在上取，连接，设． ， ． 在和中，，，， ． ，， ， ． ， ， ． ， ，即， 解得， ，， ， ， ∴， ，即凉亭到游客服务中心的距离为． 【题型9】等腰旋转手拉手模型 1.核心知识点: 等腰三角形性质（等边对等角、等腰直角/等边三角形的边角特征）； 旋转性质（对应边相等、对应角相等，共顶点旋转角相等）； 全等三角形判定（SAS，利用共顶点的边相等+旋转角推导夹角相等）； 线段关系（相等、和差）与角度关系（垂直、特殊角60°/90°）。 2.解题方法技巧: 识别模型：找到共顶点的两个等腰三角形； 证全等：利用旋转角相等推导，用SAS证全等； 推结论：由全等得对应边相等、对应角相等，再推导特殊角度或线段和差； 辅助线技巧：遇垂直关系可延长线段构造直角，遇和差关系可截取或延长线段转化。 【例题9】.（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【答案】(1)①1；② (2)①；② (3)35 【分析】本题考查的是等边三角形的性质、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据等边三角形的性质得到，，，得到，证明，根据全等三角形的性质证明结论； ②根据全等三角形的性质解答； （2）①仿照（1）①的作法解答； ②根据等腰直角三角形的性质得到，结合图形得到答案； （3）由（2）可知：，，，然后可得，进而根据割补法可进行求解． 【详解】（1）①证明：∵和为等边三角形， ，，， ，即， 在和中， ， ∴ ， ∴； ②解：∵， ， ； 故答案为1；； （2）解：①∵和均为等腰直角三角形， ，，， ， ，即， 在和中， ， ∴， ，， ； ②， 理由如下：为等腰直角三角形，， ， ∴； （3）解：由（2）可知：，，， ∵，， ∴， ∴． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·江西萍乡·期中）【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 【答案】（1）①见解析；②；（2） 【分析】本题主要考查了等边三角形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，勾股定理，含30度角的直角三角形的性质： （1）①由等边三角形的性质得到，，由平行线的性质得到，据此即可证明；②由全等三角形的性质得到，据此根据角之间的关系求解即可； （2）延长到点，使，可证明，进一步证明是等边三角形，要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小，即当为等边的高线时才会最短，从而可得出结论； 【详解】解：（1）①三角形是等边三角形， ，， ， ， ， ， ②由①得：， ， ； （2）如图，延长到点，使．   是等边三角形， ，． ， ， ． ， ， ∴， ， ∵ ， 是等边三角形． 要使的面积最小，即等边三角形的边长最短时面积最小， 即当为等边的高线时才会最短， 由题意可知等边的高线最短为， ∴ 的面积最小值是． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质．解决本题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 首先根据等腰直角三角形的性质可以判定，，，根据同角的余角相等可证，，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得：，所以可知结论④错误． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ， ，， ， ， ∴． ∵， ， 在和中， ， ，故③正确； ， 是等腰直角三角形， 故①正确； ， ， ，， ， 故②正确； ， ， 又， ， ，` 在中， ， 故④错误． 综上所述，正确的是①②③． 故答案为：①②③． 【变式题9-3】.（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）6 【分析】（1）证明即可得到，延长交于点，根据互余关系求证即可； （2）过C作；证明，则；由已知易得，；由勾股定理得，进而得； （3）设，则，由(1)可得，则，导角证明，过点E作交延长线于点H，则，在中，，则，由勾股定理得，在中，，由勾股定理得：，在中，由勾股定理得 ，再由即可求解． 【详解】（1）证明：∵和都是等腰直角三角形，且， ∴，，， ∴， ∴， ∴，， 延长交于点， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）如图，过C作， 则； ∵O为的中点， ∴； 在和中， ， ∴， ∴； 由（1）知，， ∴； ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∴； 由勾股定理得， ∴； （3）解：设，则， 由(1)可得， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 过点E作交延长线于点H， ∵， ∴， 在中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴由勾股定理得：， 在中，， ∴， ∵， ∴． 故答案为：6． 【点睛】本题考查了等腰三角形的性质与判定，全等三角形的判定与性质，勾股定理，含30度直角三角形的性质等知识；有一定的综合性，证明三角形全等是解题的关键． 易错点 1.等腰三角形分类讨论不全：未明确腰和底边、顶角和底角时，遗漏部分情况（如只考虑，忽略）； 2.忽略垂直平分线和角平分线的前提条件：如角平分线性质未强调“垂线段”，垂直平分线判定未强调“到两端点距离相等”； 3.勾股定理应用错误：混淆直角边和斜边，或计算时忽略单位换算（如传统文化题中的“里”与“米”）； 4.证明题步骤不完整：跳过关键判定（如未证明垂直平分线，直接用距离相等；未证明全等，直接用线段相等）。 重点 1.等腰（等边）三角形的性质与判定：“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”，以及等边三角形的特殊性质； 2.直角三角形的核心知识：勾股定理及逆定理、两锐角互余、角的性质、HL全等判定； 3.线段垂直平分线与角平分线：性质（距离相等）与判定（逆用），以及三角形外心、内心的性质； 4.综合应用能力：折叠、全等、勾股定理的结合，分类讨论思想的应用。 难点 1.等腰三角形的分类讨论：多解问题中排除无效解，验证三边关系； 2.复杂模型的应用：如“手拉手”全等模型、折叠模型，需准确识别对应边和对应角； 3.证明题的辅助线添加：如角平分线作垂线段、垂直平分线作交点、折叠问题作对应边，辅助线是解题关键； 4.创新情境与探究式问题：从实际情境（科技、传统文化）中提取数学模型，从特殊情况归纳一般规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分，是上的一点，过点作，垂足为，，则点到的距离是(    ) A．8 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质，根据角平分线的性质可知点P到的距离和到的距离相等，从而得解． 【详解】解：过点P作于点F， ∵平分，，， ∴，即点到的距离是3， 故选：D． 2．如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（   ） A．18 B．20 C．26 D．21 【答案】D 【分析】本题考查线段垂直平分线的性质，根据线段垂直平分线的性质得到，进而推出的周长为，即可得出结果． 【详解】解：∵是边的垂直平分线， ∴， ∴的周长为． 故选D． 3．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的尺规作图和角平分线的性质，关键是利用角平分线的性质确定中边上的高． 由尺规作图痕迹可知平分，进而可得点到的距离等于点到的距离，再由面积公式求解即可． 【详解】解：由尺规作图痕迹可知，平分， ∵，， ∴点到的距离为， ∴点到的距离也等于2， ∵， ∴的面积为； 故选：B． 4．如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（    ） A．10 B．6 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，根据角平分线的性质得出，易证，得到，再根据线段的和差求解即可． 【详解】解：∵是的平分线，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴． 故选：B． 5．如图，中，，D为延长线上的一点，于点E，，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了垂直的定义，三角形内角和定理及三角形的外角性质．由于点E，，由三角形内角和定理可求出，再由三角形的外角性质可得． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 故选：A． 二、填空题 6．如图， ． 【答案】/度 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理计算即可． 【详解】解：由三角形内角和定理可知，． 故答案为：． 7．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是 ． 【答案】/70度 【分析】本题考查了三角形内角和性质，等腰三角形的定义．利用等腰三角形的性质及三角形内角和定理求解，即可作答． 【详解】解：∵等腰三角形的顶角是， ∴它的一个底角的度数是， 故答案为：． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 【答案】 45 取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求 【分析】本题主要考查了勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质与判定，线段垂直平分线的性质与判定，等边对等角等等，证明是等腰直角三角形是解题的关键． （1）利用勾股定理及其逆定理可证明是等腰直角三角形，据此可得答案； （2）取格点E，连接并延长，交于点P，则点P即为所求；可证明，则垂直平分，则，可得，再由三角形外角的性质可得． 【详解】解：（1）由勾股定理和网格的特点可得， ， ∴，，， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）如图所示，取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 故答案为：取格点E，连接并延长交于点P，则点P即为所求． 9．如图，在与中，，，，则的度数为 ． 【答案】/62度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形内角和定理和等边对等角，证明三角形全等是解决本题的关键． 根据题意可得，进而证明，则，可得，再利用三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：，且， ， 又，， ， ， ． ， ， 故答案为：． 10．如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质，熟知等腰三角形三线合一的性质是解题关键．连接，，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，得出，推出，故的长为的最小值，由此即可得出结论． 【详解】解：连接，， ∵是等腰三角形，点D是边的中点， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴， ∴， ∴的长为的最小值， ∴的周长最短为：． 故答案为：12． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、线段垂直平分线的判定等知识，掌握这些知识是关键． （1）在中，求出即可解决问题； （2）只要证明，利用等腰三角形的性质即可证明． 【详解】（1）解：∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵平分， ∴，平分线段， 即直线是线段的垂直平分线． 12．如图，在中，，，是的中线． (1)尺规作图：在上求作点，使，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，线段垂直平分线的尺规作图，线段垂直平分线的判定定理，勾股定理，熟知等腰三角形的性质与判定定理是解题的关键． （1）作的垂直平分线交于点E，连接，由三线合一定理可得，则，则点E在的垂直平分线上； （2）由三线合一定理可得，，由勾股定理求出的长，证明，得到，设，则，再利用勾股定理建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，即为所求； （2）解：∵，，是的中线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， 在中，由勾股定理得， ∴， 解得， ∴． 13．如图，中，． (1)尺规作图：用圆规和无刻度直尺作的角平分线，交边于点（不写作图过程，仅保留作图痕迹）； (2)请用所学数学知识求点到线段的距离，则这个距离的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)3 【分析】本题考查了尺规作图---作角平分线，角平分线的性质定理，点到直线的距离，解题的关键是熟练掌握角平分线上的任意一点到角两边的距离相等． （1）根据尺规作角平分线的步骤作图即可； （2）过点作于点，根据角平分线性质定理得到，设，则，由面积法得到，据此建立方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，角平分线即为所求； （2）解：过点作于点， ∵平分，， ∴， 设，则， ∵， ∴， 解得， ∴点到线段的距离为， 故答案为：． 14．已知，，， (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，是的角平分线，，垂足为F，若，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)10 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． （1）利用条件证明，得到，即可证明结论； （2）连接，证明以及，即可得到答案． 【详解】（1）解：， ， ， ， 是等腰三角形； （2）解：如图，连接， 是的角平分线， ； 由（1）可知：， ， ， ， 又， 且， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 15．如图，在中，，，点是外一点，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，等角对等边，含30度角的直角三角形的性质． （1）根据得到，进而根据三角形内角和求出，即可求出的大小； （2）延长到G，使，连接，则，证明，得到，，即，根据三角形内角和得到，证明，即可得到； （3）作交于H，求出，得到，，即，可知当C、P、H在一条直线上且时，有最小值，作交于M，连接，求出，证明，得到，证明，得到，根据平行线的判定和性质得到，即，根据等角对等边证明，即可求出的最小值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，延长到G，使，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， ∵，， ∴， ∴， 即； （3）解：如图，作交于H， ∵，， ∴， ∴，， ∴， 则当C、P、H在一条直线上且时，有最小值， 如图，作交于M，连接， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即的最小值为． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第1章 三角形的证明 知识点1：等腰三角形的性质与判定 类别 性质（正用） 判定（逆用） 核心结论 1.等边对等角：若，则； 2.三线合一：顶角平分线、底边上的中线、底边上的高重合； 3.两腰上的中线、高、底角平分线分别相等 1.定义法：有两条边相等的三角形是等腰三角形； 2.等角对等边：若，则； 3.三线合一逆用：若三角形一条线段既是中线又是高，则该三角形是等腰三角形 注意事项 三线合一仅适用于等腰三角形的顶角和底边；需明确“腰”“底角”的前提是已判定为等腰三角形 等角对等边中，“角”为底角，“边”为腰，不可混淆；需验证三角形三边关系 知识点2：等边三角形的性质与判定 1.性质： 三边相等，三角均为； 是特殊的等腰三角形，具备等腰三角形所有性质； 有三条对称轴，三条线段（中线、高、角平分线）重合。 2.判定： 定义法：三边相等的三角形； 三角相等的三角形（均为）； 有一个角为的等腰三角形。 知识点3：直角三角形的性质与判定 类别 性质 判定 角的关系 1.两锐角互余（）； 2.角所对直角边等于斜边的一半 1.有一个角为的三角形； 2.两锐角互余的三角形； 3.勾股定理逆定理：若，则 边的关系 勾股定理：直角边、，斜边，则； 斜边中线等于斜边的一半 斜边中线等于斜边一半的三角形是直角三角形 全等判定 特殊判定：HL（直角边和斜边对应相等的两个直角三角形全等） 需满足“直角边+斜边”对应相等，区别于一般三角形的SSS、SAS等 知识点4：线段垂直平分线的性质与判定 1.性质：线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等（若 在垂直平分线上，则）。 2.判定：到线段两端点距离相等的点在该线段的垂直平分线上（若，则在垂直平分线上）。 3.三角形性质：三角形三边垂直平分线交于一点（外心），该点到三个顶点的距离相等。 知识点5：角平分线的性质与判定 1.性质：角平分线上的点到角两边的距离相等（若 在平分线上，且、，则）。 2.判定：角内部到角两边距离相等的点在该角的平分线上（若、且，则在平分线上）。 3.三角形性质：三角形三条角平分线交于一点（内心），该点到三边的距离相等。 知识点6：全等三角形的核心应用（证明辅助） 1.常用判定：SSS、SAS、ASA、AAS（通用）；HL（直角三角形专用）。 2.证明思路：通过全等转化线段或角度关系，为等腰、直角三角形的判定提供依据。 3.常见模型：手拉手模型（共顶点的等腰/等边三角形）、角平分线+垂线模型、折叠全等模型。 【基础必考题型】 【题型1】等腰三角形角度计算（含三线合一） 1.核心知识点： 等腰三角形“等边对等角”； 三角形内角和定理； 三线合一的角度推导。 2.解题方法技巧： 设未知数表示底角或顶角，利用内角和列方程； 遇“中线、高、角平分线”重合，优先用三线合一简化计算； 注意顶角为钝角或锐角的情况（无需分类时直接计算）。 【例题1】.（25-26八年级上·北京·期末）如图是屋架设计图的一部分，已知，点D在上．下列条件不能说明的是（   ） A． B． C． D． 【变式题1-1】.（2026八年级上·山东青岛·专题练习）如图，在中，是的中线，是的角平分线，交的延长线于点F，则的长（   ） A．5 B．6 C． D． 【变式题1-2】.（2026九年级·全国·专题练习）如图，在中，，平分，求证：． 【变式题1-3】.（25-26八年级上·福建福州·期末）如图，在中，，是边上的中线，和关于直线对称，连接，，． (1)求的度数； (2)若，求证：直线经过的中点． 【题型2】垂直平分线性质的应用 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质（到两端点距离相等）； 三角形周长计算。 2.解题方法技巧： 识别垂直平分线，转化线段； 周长问题中合并相等线段，简化计算； 作图题需保留尺规作图痕迹（以两端点为圆心画弧，两弧交点连线）。 【例题2】.（25-26八年级上·云南德宏·期中）如图，在中，的垂直平分线交于点M，交于点的垂直平分线交于点，交于点，则的周长为（    ） A． B． C． D． 【变式题2-1】.（25-26八年级上·广东汕尾·月考）如图，中，，边的垂直平分线交于点，交边于点E，的周长等于，则的长是（    ） A． B． C． D． 【变式题2-2】.（25-26八年级上·浙江嘉兴·期末）已知，点D在上，分别以为圆心，大于为半径作弧，两弧交于两点，连接交于点P． (1)连接，根据作法，完成推理． 由题意得为线段的________， ________， 为等腰三角形． (2)若，求的度数． 【变式题2-3】.（25-26八年级上·四川南充·期末）如图，，，的垂直平分线交于点D，交于点E． (1)求的度数； (2)若，求的值． 【题型3】勾股定理的直接计算（含逆定理判定直角三角形） 1.核心知识点： 勾股定理（）； 勾股定理逆定理（判定直角三角形）。 2.解题方法技巧： 明确直角边和斜边（最长边为斜边）； 已知两边求第三边，直接代入公式； 已知三边，验证较短两边平方和是否等于最长边平方，判定是否为直角三角形。 【例题3】.（25-26九年级上·湖南湘潭·自主招生）如图，在长方形中，，，将此长方形折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（   ） A． B． C． D． 【变式题3-1】.（2025~2026学年第一学期教学质量检测七年级数学（五四学制））如图，在四边形中，，，四边形的面积为（    ） A． B． C． D． 【变式题3-2】.（25-26八年级上·重庆北碚·期末）如图，有一台风中心沿东西方向由A向B移动，已知点C为一海港，，，，经测量，以台风中心为圆心周围及以内的地区会受到影响. (1)请通过计算说明海港C会受台风影响； (2)台风中心从A开始移动时，海港C处有一艘小型货轮开始卸货，预计3小时完成．若台风中心每小时移动，请问在海港C受台风影响之前，货轮能否完成卸货？请说明理由． 【变式题3-3】.（25-26八年级上·河南周口·月考）如图，在四边形中，，，，．连接． (1)求的长度； (2)求的度数． 【题型4】角平分线性质的应用 1.核心知识点： 角平分线的性质（到角两边距离相等）； 垂线段的定义。 2.解题方法技巧： 遇角平分线，作两边的垂线段（辅助线）； 利用距离相等转化线段，计算长度或证明全等； 注意“角内部”的前提条件，排除外部点干扰。 【例题4】.（25-26八年级上·陕西安康·期末）如图，在中，，是边上的一点，，则点到的距离为（   ） A．3 B．4 C．6 D．10 【变式题4-1】.（2026·云南·模拟预测）如图，在中，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点，作射线交边于点，过点作于点，若，，则的面积为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【变式题4-2】.（25-26七年级上·山东淄博·期末）如图，在中，平分交于点，过点作于点，若． (1)求的长； (2)与相等吗？说明理由． 【变式题4-3】.（25-26八年级上·安徽合肥·期末）如图，已知为斜边上的高，的角平分线分别交，于点E，F，垂足为点G． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【题型5】传统文化情境题（秦九韶沙田问题） 1.核心知识点： 勾股定理逆定理（判定直角三角形）； 三角形面积公式（直角三角形面积=直角边乘积/2）。 2.解题方法技巧： 提取题目中三边长度，验证是否为直角三角形； 单位换算，计算面积并转换单位； 体会传统文化与数学的结合，用数学知识解决古代实际问题。 【例题5】.（23-24八年级下·广东深圳·期中）在中国传统戏剧《白蛇传》中，许仙与白蛇在西湖断桥之上以一把红色油纸伞为媒，演绎了一段千古奇缘．如图，油纸伞是我国传统工艺品之一，伞圈D沿着伞柄滑动时，伞骨的点固定不动，且满足，伞柄平分，当点D在滑动的过程中，下列说法错误的是（    ） A． B．平分 C．线段垂直平分线段 D． 【变式题5-1】.（25-26八年级上·黑龙江七台河·期中）我国古代数学家刘徽将勾股形(古人称直角三角形为勾股形)分割成一个正方形和两对全等的直角三角形．如图，在中，，四边形为正方形，，，则的度数为 ． 【变式题5-2】.（25-26八年级上·浙江杭州·期末）勾股定理的证明方法多种多样，我国古代数学家赵爽构造“弦图”证明了勾股定理，后人称其为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形拼成．其中，连接交于点，连接，得到图1．若． (1)求证：； (2)延长，交于点，若，求的长． 【变式题5-3】.（25-26八年级上·安徽阜阳·期中）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为，，，记，则三角形的面积公式为： ①（海伦公式）； ②（秦九韶公式）． 【解决问题】 如图，在中，已知，，，且，，满足． (1)直接写出的值为_____； (2)请你利用海伦公式，求出的面积； (3)若是边上的高线，平分交于点，求的长． 【培优高频题型】 【题型6】等腰三角形的分类讨论（多解问题） 1.核心知识点： 等腰三角形的判定（等角对等边、等边对等角）； 三角形三边关系。 2.解题方法技巧： 未明确腰和底边时，分三种情况讨论（如、、）； 未明确顶角和底角时，分顶角为锐角、钝角讨论； 每种情况需验证三边关系（两边之和大于第三边），排除无效解。 【例题6】.（25-26八年级上·甘肃武威·期末）等腰三角形一个内角等于，则该等腰三角形的顶角度数为（   ） A．或 B． C．或 D．或 【变式题6-1】.（24-25九年级下·广东佛山·月考）综合与实践 【问题情景】在一节综合与实践课上，范老师提出这样一道数学问题：“把一张底角为的等腰三角形纸片剪两刀，分成3张小纸片，使每张小纸片都是等腰三角形．”小明思考了一会后给出了一种剪法，如图所示． 定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 【实践操作】请你在备用图中再画出一种剪法的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数； 【解决问题】请你在图中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形底角的度数． 【变式题6-2】.（25-26八年级上·贵州黔西南·期末）如图，在平面直角坐标系中，各顶点的坐标分别为，，． (1)画出与关于轴对称的； (2)点关于轴对称的点的坐标为________； (3)是轴上的一个动点，若以点，，为顶点的三角形是等腰三角形，则符合条件的动点的个数为________个． 【变式题6-3】.（23-24九年级上·重庆开州·开学考试）如图1，在中，，把分割成两个等腰三角形（不写作法，但需保留作图痕迹），并标注每个等腰三角形底角的度数． 拓展一：定义：如果两条线段将一个三角形分成3个等腰三角形，我们把这两条线段叫做这个三角形的三分线． 例如，如图2，把一张顶角为的等腰三角形纸片剪两刀，使每张小纸片都是等腰三角形．    (1)请你在图3中用两种不同的方法画出顶角为的等腰三角形的三分线，并标注每个等腰三角形顶角的度数；（若两种方法分得的三角形成3对全等三角形，则视为同一种） (2)中，，和是的三分线，点E在边上，且，设，试画出示意图 拓展一： 拓展二：已知的三条边长分别为3，4，6，在所在平面内画一条直线，将分割成两个三角形，使其中的一个是等腰三角形，则这样的直线最多可画 条． 【题型7】直角三角形的折叠与全等综合 1.核心知识点： 折叠的性质（全等、对应边相等、对应角相等）； 勾股定理； 直角三角形的HL判定。 2.解题方法技巧： 折叠后标注对应边和对应角，转化相等线段； 设未知数，利用勾股定理列方程（常用技巧）； 复杂图形中，通过HL证明直角三角形全等，推导线段关系。 【例题7】.（23-24七年级下·辽宁大连·期末）折纸是一门古老而有趣的艺术．如图，小明在课余时间拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿折叠，再将折叠后的纸片沿折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现，则 ． 【变式题7-1】.（23-24七年级下·广西柳州·期中）如图所示，长方形纸片中，，现将长方形纸片沿折叠，使点B落在点处，与交于点E；再将三角形沿折叠，使点D落在点处．则 ． 【变式题7-2】.（23-24七年级下·山东烟台·期末）折纸能锻炼人的综合协调能力，包括手、眼和大脑． 如图，纸艺社团的小凡拿出一张长方形纸片，他先将纸片沿 折叠，再将折叠后的纸片沿 折叠，使得与重合，展开纸片后测量发现， 则的度数是 ． 【变式题7-3】.（2025·新疆·模拟预测）如图，在中，，，将三角形沿某条直线折叠，使点落在边上的点，折痕与边、分别交于点、．若折叠后的为等腰三角形，为直角三角形，则 ． 【压轴素养题型】 【题型8】线段垂直平分线与角平分线的综合证明 1.核心知识点： 线段垂直平分线的性质与判定； 角平分线的性质与判定； 等腰三角形的判定。 2.解题方法技巧： 结合“距离相等”转化线段（垂直平分线：到两端点距离相等；角平分线：到两边距离相等）； 证明等腰三角形时，优先用“等距离→等线段→等腰三角形”的思路； 步骤规范：先判定垂直平分线/角平分线，再推导线段相等，最后判定等腰三角形。 【例题8】.（23-24八年级上·山东菏泽·期末）如图，是等边外的一点，，，，点、分别在和上． (1)求证：是的垂直平分线 (2)若平分， ①证明：平分； ②求的周长． 【变式题8-1】.（25-26八年级上·上海静安·期末）如图，，和分别平分和，过点P，且与垂直，垂足为A，交于点D若，则点P到的距离是 ． 【变式题8-2】.（25-26九年级上·广东广州·月考）如图，平分，于C，于D，连接，交于点F． (1)求证：； (2)求证：垂直平分线段； (3)若，，之间有何数量关系？证明你的结论． 【变式题8-3】.（25-26八年级上·陕西榆林·期末）【问题提出】 （1）如图1，在中，，点D是边上一点，连接． ①若，则的度数为_______°； ②若平分，，求证：点B在线段的垂直平分线上． 【问题解决】 （2）如图2，四边形是某公园中的一片花海，在B处有一座观景台，在C处有一座凉亭，是两条小路，现要对这片花海进行扩建，将分别延长交于点E，得到扩建后的花海为，并在E处设立游客服务中心．已知平分，，，，求凉亭到游客服务中心的距离．（观景台、凉亭和游客服务中心的大小及小路的宽度均忽略不计） 【题型9】等腰旋转手拉手模型 1.核心知识点: 等腰三角形性质（等边对等角、等腰直角/等边三角形的边角特征）； 旋转性质（对应边相等、对应角相等，共顶点旋转角相等）； 全等三角形判定（SAS，利用共顶点的边相等+旋转角推导夹角相等）； 线段关系（相等、和差）与角度关系（垂直、特殊角60°/90°）。 2.解题方法技巧: 识别模型：找到共顶点的两个等腰三角形； 证全等：利用旋转角相等推导，用SAS证全等； 推结论：由全等得对应边相等、对应角相等，再推导特殊角度或线段和差； 辅助线技巧：遇垂直关系可延长线段构造直角，遇和差关系可截取或延长线段转化。 【例题9】.（23-24八年级下·河南焦作·期中）综合实践课上，某数学兴趣小组对特殊三角形的旋转进行了探究． (1)问题发现 如图1，和均为等边三角形，将绕点A 旋转，当点 B，D，E在同一直线上时，连接，．填空: ①的值为 ； ②的度数为 ． (2)类比探究 如图2，和均为等腰直角三角形，，于M，将绕点A 旋转，当点 B，D，E 在同一直线上时，连接，． ①求的度数； ②请判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)拓展延伸 在(2)的条件下，若，，求四边形的面积． 【变式题9-1】.（23-24八年级下·江西萍乡·期中）【原题再现】在学习“图形的平移和旋转”时，教材上有这样一道题，如图1，点D在等边三角形的边上，将绕点A旋转，使得旋转后点B的对应点为点C．小明是这样做的：过点C画的平行线l，在l上截取，连接，则即为旋转后的图形． （1）请你根据小明的思路，①求证：；②求的度数； 【方法应用】 （2）如图2，点D为等边三角形的边下方一点，连接，，，若，，求面积的最小值． 【变式题9-2】.（24-25八年级上·全国·期末）如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论： ①是等腰直角三角形；②；③；④．其中正确的是 如图，在中，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直 【变式题9-3】.（24-25八年级下·广东深圳·期中）20．综合与实践探究 【问题背景】学习三角形旋转之后，八1班各学习小组打算用两个大小不同的等腰直角三角形通过旋转变换设计本组的，小鸣在设计的过程中发现两个三角形在旋转过程中，某些边和角存在一定的关系．因此，他和同学一起对这个问题进行了数学探究．已知和都是等腰直角三角形，且 【初步探究】（1）小鸣将绕点A在平面内自由旋转，连接后，发现他们之间存在着一定的关系，如图（1），请证明：且； 【深入探究】（2）若，O点为的中点，旋转过程中，当点D、点E和点O三点共线时，如图2，求证：． 【拓展探究】（3）如图3，当，，，则______．（直接写出结果） 易错点 1.等腰三角形分类讨论不全：未明确腰和底边、顶角和底角时，遗漏部分情况（如只考虑，忽略）； 2.忽略垂直平分线和角平分线的前提条件：如角平分线性质未强调“垂线段”，垂直平分线判定未强调“到两端点距离相等”； 3.勾股定理应用错误：混淆直角边和斜边，或计算时忽略单位换算（如传统文化题中的“里”与“米”）； 4.证明题步骤不完整：跳过关键判定（如未证明垂直平分线，直接用距离相等；未证明全等，直接用线段相等）。 重点 1.等腰（等边）三角形的性质与判定：“等边对等角”“等角对等边”“三线合一”，以及等边三角形的特殊性质； 2.直角三角形的核心知识：勾股定理及逆定理、两锐角互余、角的性质、HL全等判定； 3.线段垂直平分线与角平分线：性质（距离相等）与判定（逆用），以及三角形外心、内心的性质； 4.综合应用能力：折叠、全等、勾股定理的结合，分类讨论思想的应用。 难点 1.等腰三角形的分类讨论：多解问题中排除无效解，验证三边关系； 2.复杂模型的应用：如“手拉手”全等模型、折叠模型，需准确识别对应边和对应角； 3.证明题的辅助线添加：如角平分线作垂线段、垂直平分线作交点、折叠问题作对应边，辅助线是解题关键； 4.创新情境与探究式问题：从实际情境（科技、传统文化）中提取数学模型，从特殊情况归纳一般规律。 【对应练习题】 一、单选题 1．如图，平分，是上的一点，过点作，垂足为，，则点到的距离是(    ) A．8 B．5 C．4 D．3 2．如图，在中，是边的垂直平分线．若，，则的周长为（   ） A．18 B．20 C．26 D．21 3．如图，在中，，根据尺规作图的痕迹作射线交边于点，若，则的面积为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 4．如图，中，，是的平分线，，垂足为．若，，则的长度为（    ） A．10 B．6 C．4 D．2 5．如图，中，，D为延长线上的一点，于点E，，则为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 6．如图， ． 7．已知等腰三角形的顶角是，则它的一个底角的度数是 ． 8．如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，每个小正方形的顶点叫格点．的顶点A，B，C均在格点上． （1） 度； （2）取格点D，连接，请用无刻度的直尺，在如图所示的网格中，在线段上画出点P，使得，并简要说明点P的位置是如何找到的（不要求证明） ． 9．如图，在与中，，，，则的度数为 ． 10．如图，等腰三角形的面积为20，底边，腰的垂直平分线分别交边、于、两点，点为线段上一动点，点为的中点，连接、．在点的运动过程中，的周长的最小值为 ． 三、解答题 11．如图，在中，，平分，于E． (1)若，求的度数； (2)求证：直线是线段的垂直平分线． 12．如图，在中，，，是的中线． (1)尺规作图：在上求作点，使，连接；（不写作法，保留作图痕迹） (2)求的长度． 13．如图，中，． (1)尺规作图：用圆规和无刻度直尺作的角平分线，交边于点（不写作图过程，仅保留作图痕迹）； (2)请用所学数学知识求点到线段的距离，则这个距离的值为___________． 14．已知，，， (1)如图1，求证：是等腰三角形； (2)如图2，是的角平分线，，垂足为F，若，求的长． 15．如图，在中，，，点是外一点，． (1)如图1，若，求的大小； (2)如图2，连接，点是的中点，点是上一点，，连接，．用等式表示线段与的数量关系并证明． (3)如图3，点是线段上一动点，连接，若，请直接写出的最小值（用含的代数式表示）． 第 1 页 共 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $