第一章 三角形的证明核心基础知识清单（含pdf可直接打印）八年级数学下册新教材北师大版

第一章 三角形的证明 知识清单 1. 三角形内角和定理 基本概念/性质定理 · 三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 · 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 · 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 解题技巧 · 求角的度数时，可通过“内角和=180°”建立方程；涉及外角时，优先用外角推论简化计算。 易错点拨 · 注意“外角”是“与它不相邻”的内角和，不要误加相邻内角。 典型例题 例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数及∠C的外角的度数。 解：由内角和定理：∠C=180°−50°−60°=70°； 由外角推论：∠C的外角=∠A+∠B=50°+60°=110°。 2. 等腰三角形 基本概念/性质定理 · 性质： a. 等腰三角形的两腰相等，两底角相等（“等边对等角”）。 b. 等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合（“三线合一”）。 · 判定： a. 有两边相等的三角形是等腰三角形。 b. 有两个角相等的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 二级结论/解题技巧 · 等腰三角形中，已知一个角求另外两角：需分“已知角是顶角”“已知角是底角”两种情况讨论。 · 利用“三线合一”可快速证明线段相等、角相等或垂直关系（需先确定等腰三角形）。 易错点拨 · 用“三线合一”时，必须先明确是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可混淆腰上的线。 · 已知角为钝角时，该角只能是顶角（底角不能超过90°）。 典型例题 例：等腰△ABC中，∠A=40°，求另外两个角的度数。 解：情况1：∠A是顶角，则底角=（180°−40°）÷2=70°，另外两角为70°、70°； 情况2：∠A是底角，则顶角=180°−40°×2=100°，另外两角为40°、100°。 3. 直角三角形 基本概念/性质定理 · 性质： a. 直角三角形的两个锐角互余。 b. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方（）。 c. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 · 判定： a. 有一个角是90°的三角形是直角三角形。 b. 勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。 二级结论/解题技巧 · 证明线段垂直时，可通过勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形。 · 含30°角的直角三角形，已知斜边可直接求对边，已知对边可求斜边。 易错点拨 · 勾股定理仅适用于直角三角形，使用前需先确认三角形是直角三角形。 · 注意“30°角所对的直角边”，不要混淆为“邻边”。 典型例题 例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=6，求BC的长度。 解：由“30°角所对的直角边等于斜边的一半”，得BC= AB= ×6=3。 4. 线段的垂直平分线 基本概念/性质定理 · 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 · 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 · 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（称为三角形的外心）。 解题技巧 · 证明线段相等时，可通过“某点在线段的垂直平分线上”推导。 · 作三角形的外心：作两条边的垂直平分线，交点即为外心。 易错点拨 · 线段的垂直平分线是“直线”，不是“线段”；外心的位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。 典型例题 例：已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，求PB的长度。 解：由线段垂直平分线的性质，得PB=PA=5。 5. 角平分线 基本概念/性质定理 · 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 · 判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 · 三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等（称为三角形的内心）。 解题技巧 · 证明角相等时，可通过“某点在角的平分线上”推导；证明距离相等时，利用角平分线的性质。 · 作三角形的内心：作两个角的平分线，交点即为内心。 易错点拨 · 角平分线的性质需满足“点在角平分线上”且“到两边的距离（垂直距离）”，不可用“斜线长度”代替。 典型例题 例：点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3，求PE的长度。 解：由角平分线的性质，得PE=PD=3。 学科网（北京）股份有限公司 $ 第一章 三角形的证明 知识清单 1. 三角形内角和定理 基本概念/性质定理 · 三角形内角和定理：三角形的内角和等于 。 · 推论1：三角形的一个 等于与它不相邻的两个内角的和。 · 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个 。 解题技巧 · 求角的度数时，可通过“内角和=180°”建立方程；涉及外角时，优先用外角推论简化计算。 易错点拨 · 注意“外角”是“与它不相邻”的内角和，不要误加相邻内角。 典型例题 例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数及∠C的外角的度数。 2. 等腰三角形 基本概念/性质定理 · 性质： a. 等腰三角形的两腰 ，两底角 （“等边对等角”）。 b. 等腰三角形的 、底边上的 、底边上的 互相重合（“三线合一”）。 · 判定： a. 有 的三角形是等腰三角形。 b. 有 的三角形是等腰三角形（“等角对等边”）。 二级结论/解题技巧 · 等腰三角形中，已知一个角求另外两角：需分“已知角是顶角”“已知角是底角”两种情况讨论。 · 利用“三线合一”可快速证明线段相等、角相等或垂直关系（需先确定等腰三角形）。 易错点拨 · 用“三线合一”时，必须先明确是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可混淆腰上的线。 · 已知角为钝角时，该角只能是顶角（底角不能超过90°）。 典型例题 例：等腰△ABC中，∠A=40°，求另外两个角的度数。 3. 直角三角形 基本概念/性质定理 · 性质： a. 直角三角形的两个锐角 。 b. 勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于 （）。 c. 直角三角形中，30°角所对的直角边等于 。 · 判定： a. 有一个角是 的三角形是直角三角形。 b. 勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的 ，则该三角形是直角三角形。 二级结论/解题技巧 · 证明线段垂直时，可通过勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形。 · 含30°角的直角三角形，已知斜边可直接求对边，已知对边可求斜边。 易错点拨 · 勾股定理仅适用于直角三角形，使用前需先确认三角形是直角三角形。 · 注意“30°角所对的直角边”，不要混淆为“邻边”。 典型例题 例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=6，求BC的长度。 4. 线段的垂直平分线 基本概念/性质定理 · 性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离 。 · 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的 上。 · 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离 （称为三角形的外心）。 解题技巧 · 证明线段相等时，可通过“某点在线段的垂直平分线上”推导。 · 作三角形的外心：作两条边的垂直平分线，交点即为外心。 易错点拨 · 线段的垂直平分线是“直线”，不是“线段”；外心的位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点，钝角三角形在外部。 典型例题 例：已知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5，求PB的长度。 5. 角平分线 基本概念/性质定理 · 性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离 。 · 判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的 上。 · 三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三角形 的距离相等（称为三角形的内心）。 解题技巧 · 证明角相等时，可通过“某点在角的平分线上”推导；证明距离相等时，利用角平分线的性质。 · 作三角形的内心：作两个角的平分线，交点即为内心。 易错点拨 · 角平分线的性质需满足“点在角平分线上”且“到两边的距离（垂直距离）”，不可用“斜线长度”代替。 典型例题 例：点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D，PE⊥OB于E，PD=3，求PE的长度。 学科网（北京）股份有限公司 $学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 第一章三角形的证明知识清单 1.三角形内角和定理 基本概念/性质定理 。三角形内角和定理：三角形的内角和等于180°。 推论1：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和。 。 推论2：三角形的一个外角大于与它不相邻的任意一个内角。 解题技巧 ·求角的度数时，可通过“内角和=180”建立方程：涉及外角时，优先用外角推论简化计算。 易错点拨 ·注意“外角”是“与它不相邻的内角和，不要误加相邻内角。 典型例题 例：在△ABC中，∠A=50°，∠B=60°，求∠C的度数及∠C的外角的度数。 解：由内角和定理：∠C=180°-50°-60°=70°； 由外角推论：∠C的外角=∠A+∠B=50°+60°=110°。 2.等腰三角形 基本概念/性质定理 性质： a.等腰三角形的两腰相等，两底角相等(“等边对等角')。 b.等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合(“三线合一”)。 ·判定： a.有两边相等的三角形是等腰三角形。 b.有两个角相等的三角形是等腰三角形（等角对等边”）。 二级结论/解题技巧 。 等腰三角形中，己知一个角求另外两角：需分“己知角是顶角“己知角是底角”两种情况讨论。 ·利用“三线合一”可快速证明线段相等、角相等或垂直关系（需先确定等腰三角形）。 易错点拨 ·用“三线合一时，必须先明确是“顶角平分线、底边上的中线、底边上的高”，不可混淆腰上的线。 。 已知角为钝角时，该角只能是顶角（底角不能超过90°）。 典型例题 例：等腰△ABC中，∠A=40°，求另外两个角的度数。 解：情况1：∠A是顶角，则底角=(180°-40°)÷2=70°，另外两角为70°、70°； 情况2：∠A是底角，则顶角=180°-40°×2=100°，另外两角为40°、100°。 3.直角三角形 学科网·上好课 www.z××k.C0m 上好每一堂课 基本概念/性质定理 。 性质： a.直角三角形的两个锐角互余。 b.勾股定理：直角三角形的两条直角边的平方和等于斜边的平方(a2+b2=c2)。 ℃.直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半。 ·判定： a.有一个角是90的三角形是直角三角形。 b.勾股定理的逆定理：若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则该三角形是直角三角形。 二级结论/解题技巧 ·证明线段垂直时，可通过勾股定理的逆定理证明三角形是直角三角形。 ·含30°角的直角三角形，已知斜边可直接求对边，己知对边可求斜边。 易错点拨 。 勾股定理仅适用于直角三角形，使用前需先确认三角形是直角三角形。 ·注意30°角所对的直角边”，不要混淆为邻边”。 典型例题 例：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，斜边AB=6,求BC的长度。 解：由“30角所对的直角边等于斜边的一半，符BCAB=×6=3。 4.线段的垂直平分线 基本概念性质定理 ·性质：线段垂直平分线上的点到这条线段的两个端点的距离相等。 判定：到一条线段两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上。 三角形三条边的垂直平分线相交于一点，这个点到三角形三个顶点的距离相等（称为三角形的外心）。 解题技巧 。 证明线段相等时，可通过“某点在线段的垂直平分线上”推导。 。 作三角形的外心：作两条边的垂直平分线，交点即为外心。 易错点拨 。线段的垂直平分线是“直线”，不是“线段”；外心的位置：锐角三角形在内部，直角三角形在斜边中点， 钝角三角形在外部。 典型例题 例：己知点P在线段AB的垂直平分线上，PA=5,求PB的长度。 解：由线段垂直平分线的性质，得PB=PA=5。 5.角平分线 基本概念/性质定理 学科网·上好课 www.zX×k,C0m 上好每一堂课 ·性质：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 ·判定：在一个角的内部，到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上。 。 三角形三个角的平分线相交于一点，这个点到三角形三条边的距离相等（称为三角形的内心）。 解题技巧 ·证明角相等时，可通过“某点在角的平分线上”推导；证明距离相等时，利用角平分线的性质。 ·作三角形的内心：作两个角的平分线，交点即为内心。 易错点拨 ·角平分线的性质需满足“点在角平分线上”且“到两边的距离（垂直距离)”，不可用“斜线长度代替。 典型例题 例：点P在∠AOB的平分线上，且PD⊥OA于D,PE⊥OB于E,PD=3,求PE的长度。 解：由角平分线的性质，得PE=PD=3。