精品解析：湖南省长沙市湖南师大附中梅溪湖中学2025-2026学年八年级下学期期末数学试卷

湖南师大附中梅溪湖中学2025－2026学年度第二学期 八年级期末考试•数学 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有两个相等的实数根 B. 必有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有实数根 4. 如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 5. 在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 6. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 12. 一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是_______． 13. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 14. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 15. 若关于的一次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是______． 16. 如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，直线分别与轴、轴交于、两点．过点的直线交轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）求的面积． 20. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 21. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 23. 已知关于的一次函数，其中． （1）若点在的图象上，则的值是______； （2）当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； （3）关于的一次函数，其中．当时，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 24. 定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． （1）若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． （3）如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若，求点的坐标和线段的长度； （2）若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖南师大附中梅溪湖中学2025－2026学年度第二学期 八年级期末考试•数学 时量：120分钟 总分：120分 一、单选题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列方程中，是一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：A. 方程含两个未知数，不是一元二次方程． B. 方程分母含未知数，是分式方程，不是一元二次方程． C. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为2，是整式方程，是一元二次方程． D. 方程只含一个未知数，未知数的最高次数为1，是一元一次方程，不是一元二次方程． 2. 下列式子中，属于最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵与的被开方数均含分母， ∴选项A、C不是最简二次根式； ∵的被开方数含能开得尽方的因数， ∴选项D不是最简二次根式； ∵的被开方数为整数，且不含能开得尽方的因数， ∴选项B是最简二次根式． 3. 关于的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 必有两个相等的实数根 B. 必有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 必有实数根 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式，注意记忆判别式大于0时有两个不相等的实数根，判别式等于0时有两个相等的实数根，判别式小于0时方程无实数根． 根据判别式，直接得到没有实数根，即可求解本题． 【详解】解：∵， ∴， ∴该方程没有实数根， 故选：C． 4. 如图，四边形是平行四边形，若，则∠A的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题考查了平行四边形的性质，证明是解题的关键． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， 故选：D． 5. 在平面直角坐标系中，下列函数图象可能是一次函数的图象的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对于一次函数(为常数，)，当时，y随x的增 大而增大，当时，y随x的增大而减小；当时，图象与y轴的正半轴相交，当时，图象与y轴的负 半轴相交，当时，图象经过原点，根据一次函数的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵一次函数，， ∴y随x的增大而增大， ∴C、D选项不符合题意； ∵， ∴函数图象与y轴的负半轴相交， ∴B选项不符合题意， 综上，A选项符合题意． 6. 如下图，在平行四边形中，下列结论中错误的是（ ） A. 当时，它是矩形 B. 当时，它是矩形 C. 当时，它是矩形 D. 当时，它是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定逐一分析即可． 【详解】解：A选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，选项正确，不符合题意； B选项，∵平行四边形，， ∴平行四边形是矩形，B选项正确，不符合题意； C选项，平行四边形中， ，， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，C选项正确，不符合题意； 选项，当时，平行四边形是菱形，不一定是矩形，结论错误，D选项符合题意． 7. 某商品原价289元，经连续两次降价后售价为256元，设平均每次降价的百分率为，则下面所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】以每次降价前的价格为计算基数，结合最终售价列方程即可． 【详解】解：∵商品原价为289元，平均每次降价的百分率为， ∴第一次降价后的售价为元， ∵第二次降价以第一次降价后的售价为基数， ∴两次降价后的售价为元， ∵ 两次降价后售价为256元， ∴可列方程． 8. 将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数图象的平移法则：左加右减，上加下减，即可得出结果． 【详解】解：将抛物线向右平移1个单位长度，所得图象的函数解析式是． 9. 如图，直线与（）的交点的横坐标为，则关于的不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】找出直线在直线上方的部分即可． 【详解】解：∵直线与（）的交点的横坐标为， ∴由图象可得关于的不等式的解集为． 10. 如图是二次函数的部分图象，该函数图象的对称轴是直线，图象与轴交点的纵坐标是2．则下列结论：①；②；③方程一定有一个根在2和3之间；④若为任意实数，则；⑤．其中正确结论的个数为（ ） A. 5个 B. 4个 C. 3个 D. 2个 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线与坐标轴的交点情况、二次函数与方程的关系、二次函数的性质逐个判断即可． 【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故②正确； ∵抛物线开口向下， ∴， 又， ∴， ∵抛物线与轴的交点在正半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点在和0之间， ∴与x轴的另一个交点在2和3之间， ∴方程一定有一个根在2和3之间，故③正确； ∵抛物线开口向下，抛物线的对称轴为直线， ∴当时，的最大值为， ∴对于任意实数，都有， ∴对于任意实数，，即，故④正确； ∵抛物线与x轴的另一个交点在，0之间， ∴， ∵图象与y轴交点的纵坐标是2， ∴， ∴， 又， ∴， ∴,故⑤正确． 综上，②③④⑤正确，共4个． 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 11. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_____． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式被开方数必须是非负数的条件， 要使在实数范围内有意义，必须， ∴． 故答案为： 12. 一个多边形的内角和与它的外角和之比为，则这个多边形的边数是_______． 【答案】8 【解析】 【分析】根据多边形的内角和公式，外角和等于，列式求解即可． 【详解】解：设多边形的边数是n，则 ， 整理得， 解得． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了多边形的内角和公式与外角和定理，熟记公式与定理并列出比例式是解题的关键． 13. 若是一元二次方程的一个根，则另一个根为______． 【答案】 【解析】 【分析】已知一元二次方程的一个根，利用根与系数的关系中两根乘积等于6，即可求出另一个根． 【详解】解：设方程的另一个根为，对于一元二次方程，根据根与系数的关系可得两根乘积为， ∵ 其中一个根为， ∴ ，解得 ，即另一个根为． 14. 如图，DE为△ABC的中位线，点F在DE上，且∠AFB＝90°，若AB＝5，BC＝8，则EF的长为______． 【答案】1.5 【解析】 【详解】解：∵∠AFB=90°，D为AB的中点， ∴DF=AB=2.5． ∵DE为△ABC的中位线， ∴DE=BC=4． ∴EF=DE-DF=1.5． 故答案为1.5． 【点睛】直角三角形斜边上的中线性质：在直角三角形中，斜边上的中线等于斜边的一半，和三角形的中位线性质：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半． 15. 若关于的一次函数的图象经过点和，若，则的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据两点的坐标中，当值增大时，值反而减小，可得一次函数的一次项系数小于，列不等式即可求解的范围． 【详解】解：∵关于的一次函数的图象经过点和，，且， ∴一次函数中，随的增大而减小， ∴一次项系数满足， 解得． 16. 如图，是4个全等的直角三角形镶嵌而成的正方形图案，已知大正方形的面积是81，小正方形的面积是25，若用表示直角三角形的两条直角边，请观察图案，求______． 【答案】28 【解析】 【分析】根据“大正方形面积个全等直角三角形面积小正方形面积”结合直角三角形的面积公式即可求解． 【详解】解：题中图形是用4个全等的直角三角形与1个小正方形镶嵌而成的正方形图案， ∵大正方形面积为81，小正方形面积为25， ∴， ∴． 三、解答题（共9小题，17，18，19每小题6分，20，21每小题8分，22，23每小题9分，24，25每小题10分，一共72分） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：， 开平方，得， ∴或， 解得； 【小问2详解】 解：， 移项，得， 因式分解，得， 或， ． 19. 如图，直线分别与轴、轴交于、两点．过点的直线交轴于点． （1）求点、点的坐标； （2）求的面积． 【答案】（1）点的坐标为，点的坐标为 （2）12 【解析】 【分析】（1）由直线分别与轴，轴交于两点，分别令，令，再解方程即可得到点的坐标； （2）由直线交轴于点，令，解方程可得点C的坐标，进而得的长，最后，由三角形的面积公式求面积即可． 【小问1详解】 解：∵直线分别与轴，轴交于两点， ∴令，得， 令，即，解得． ∴点的坐标为，点的坐标为； 【小问2详解】 解：∵直线交轴于点， ∴令，即，解得． ∴点的坐标为， 由（1）得点的坐标为， ． ∵，点的坐标为，即， ． 20. 若是关于的一元二次方程的两个实数根． （1）求出实数的取值范围； （2）若方程的两个实数根满足，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再结合题意即可求解． 【小问1详解】 解：由题意得， ， 解得； 【小问2详解】 解：由题意得，， ∵ ， 解得，符合题意． 21. 如图，在四边形中，，，对角线平分，过点作，垂足为． （1）求证：四边形为菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的判定定理，先由题干条件证明四边形为平行四边形，再结合即可证明四边形为菱形； （2）设，由四边形为菱形，可得，再在中，用勾股定理列方程求解即可． 【小问1详解】 证明：， ． 对角线平分， ， ． ， ，且， 四边形为平行四边形，且， 四边形为菱形． 【小问2详解】 设， 由（1）得四边形为菱形， ． ，， ， ，垂足为， 在中，，即， 解得， 的长为． 22. 为迎接体育考试，小明同学在体育课上练习投掷实心球，实心球被掷出后的运动路线可以看作是抛物线的一部分．如图，在某次练习中，小明投掷时出手点距水平地面的高度为1.8米，实心球到达最高点时，距出手点的水平距离是4米，距水平地面的高度是3米，记落地点为，以为原点，所在直线为轴，所在直线为轴建立平面直角坐标系． （1）求实心球运动路线所在抛物线的表达式； （2）若实心球投掷成绩（出手点与落地点的水平距离）达到10米为满分，请通过计算判断该次练习小明同学能否得满分． 【答案】（1）； （2）小明此次练习能得满分． 理由：由（1）知抛物线表达式为，出手点与落地点的水平距离，即点和点之间距离， 当时，， 解得，， 点坐标为或， ∵点在轴正半轴， ∴（不符合题意，舍去）， ， ， ， ， 小明此次练习能得满分． 【解析】 【分析】（1）根据题意写出坐标，待定系数法计算抛物线表达式； （2）根据（1）中的抛物线表达式求出轴交点坐标，对比交点到原点的距离和大小关系即可． 【小问1详解】 解：根据题意可知，抛物线的顶点为，点坐标为， 设抛物线的顶点式为：， ∴， ∴， ∴抛物线的表达式为：； 【小问2详解】 略． 23. 已知关于的一次函数，其中． （1）若点在的图象上，则的值是______； （2）当时，若函数有最大值8，求的函数表达式； （3）关于的一次函数，其中．当时，若对一切实数，都成立，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）的函数表达式为或 （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入一次函数，解方程即可； （2）根据，即时及，即时，分两种情况根据一次函数的增减性、给定的取值范围及函数值进行”分类讨论“，分别求解即可； （3）由当时，若对一切实数，都成立，可得两函数图象平行，一直在下方，即，，转化为关于k的不等式组，解不等式组即可． 【小问1详解】 解：根据题意把点代入， 得，解得：； 【小问2详解】 解：当，即时，随的增大而增大， ∴当时，在时，有最大值， 由条件可得，解得， 此时一次函数的表达式为； 当，即时，随的增大而减小， ∴当时，在时，有最大值， 由条件可得，解得， 此时一次函数的表达式为， 综上，的函数表达式为或； 【小问3详解】 解：， ∵对一切实数都成立， ∴两条直线平行，且一直在下方， 且， ∴， ， 即当时，若对一切实数，都成立，的取值范围为． 24. 定义：在菱形中，若直线平行于菱形的一条对角线，其中点为凸四边形边上的点（异于顶点），则称线段为菱形中关于此对角线的“中轴弦”．如图1，若，则称线段为菱形中关于的“中轴弦”． （1）若，线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点，的度数为______；的长度为______． （2）如图2，在菱形中，点、分别在、上，连接、相交于点，连接，，求证：为菱形中关于的“中轴弦”． （3）如图3，、是菱形中关于的“中轴弦”，且位于异侧，与交于点，连接、、、、、，记凸四边形，，的面积依次为，，四边形的周长为，若，试用含与的式子表示． 【答案】（1） （2）证明：在菱形中，， ∴， ，， ． ， ， 又∵，， ， ， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ， ，即为菱形中关于的“中轴弦”； （3） 【解析】 【分析】（1）连接交于P，首先，根据菱形的性质，得，，，再由勾股定理，得，的长，然后，再证得是等腰直角三角形，进而得，可得的度数；再证得是的中位线，即可求得的长； （2）首先，根据菱形的性质及，证得，得，进而得，再证得，得，可得，最后，证得，即可证得结论； （3）首先，证得，得四边形是梯形，再证得，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，则两条平行线与之间的距离，在梯形中，，由，可得，进而得或，记与交于点，与交于点，证得，同理可证，，可得，再证得四边形为平行四边形，均为等腰三角形，证得，，由，，得，四边形为平行四边形，得设，得．在中，，在中，，进而得，再由，化简可得结果． 【小问1详解】 解：如图1，连接交于P， ∵在菱形中，交于P，， ∴，，，， 在中，， ∴，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，即； ∵线段为菱形中关于的“中轴弦”，且、分别是各边上的中点， ∴是的中位线， ∴； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：由题可知，， ， ∴四边形是梯形， 如图3，设点到的垂线段长为，点到的垂线段长为，记与交于点，与交于点， 则两条平行线与之间的距离， ∵在菱形中， ∴， ∴，， ∴， ，， ∵在梯形中，，， ， 整理，得， 或， ∵在菱形中， ∴， ∴当时，，即， 又∵， ∴， ∴，， 同理可证，， ∴， ∴，即， 又∵， ∴四边形为平行四边形， ∵，， ∴， ∴均为等腰三角形， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ，， ∴， ∴， ∵，， ∴，四边形为平行四边形， ∴， 设， ， 在中，， 同理可知，在中，， ∵，，即， ∴， ， ． 25. 如图，抛物线与轴交于两点（点在点左侧），与轴交于点，点是抛物线上的一个动点，且位于第四象限，连接、、、，延长交轴于点． （1）若，求点的坐标和线段的长度； （2）若对任意，、两点总关于轴对称，求点的坐标（用含的式子表示）； （3）当点运动到某一位置时，恰好使得点是线段的中点． ①求证：； ②该抛物线上存在一点，若此时恰好满足，且对于动点总有实数满足恒成立，求实数n的取值范围． 【答案】（1），的长度为4 （2）点的坐标为 （3）①证明：由题可知点． ∵点是线段的中点， ，即点在线段的垂直平分线上． ∵， ∴点的横坐标为3，即，代入抛物线， 得，即点的坐标为． ∵点是线段的中点， 设点， ∴，即， ∴点的坐标为，即． 由(2)知点的坐标为，即， ； ②或 【解析】 【分析】（1）当时，得，当时，得，可得点，进而可得的长，当时，可得的坐标； （2）首先，得到，再当时，，且，可得，然后，由、两点总关于x轴对称，得，进而可得直线的解析式为，接着，由点为直线与抛物线的交点，联立成方程组，解方程组即可得到点D的坐标； （3）①由题可知点，由点是线段的中点，得点在线段的垂直平分线上，再由，可得点的横坐标为3，代入抛物线的解析式得，进而得点的坐标为，由点是线段的中点，设点，可得点的坐标为，即，进而可证得结论； ②由①可知点的坐标为，可得，再由，，，可得，进而得，解得，接着，可得抛物线的解析式为，然后，由动点在抛物线上，可得，令，得其对称轴为直线，可得当时，随的增大而增大，当时，得的最小值为，进而得，即，令，结合图象即可得出n的取值范围． 【小问1详解】 解：当时，， 当时，， 解得， ∵抛物线与轴交于两点（点在点左侧）， ∴． ∴的长度为． 当时，， ∴； 【小问2详解】 解：由题可知当时，， ∴， 当时，，且， 整理，得， 解得， ∴，即， ∵对任意，、两点总关于x轴对称， ∴， 设直线的解析式为， 将代入，可得 ，解得， ∴直线的解析式为， ∵点为直线与抛物线的交点， ∴解方程组，得或(点舍去）， ∴点的坐标为； 【小问3详解】 ①略； ②解:由①可知点的坐标为． ∴， ，，， ． ∴， ，即． ∴抛物线的解析式为． ∵动点在抛物线上， ． 令， ∴其对称轴为直线． 则当时，随的增大而增大． ∴当时，有最小值，的最小值为． ，即． 令， 当时，，解得， 结合的图象可得，当时，即的取值范围为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $