26.1二次函数的概念 同步练习 2026-2027学年 人教版数学九年级上册

**基本信息** 聚焦二次函数概念，通过基础巩固、情境应用到综合建模的三层设计，实现从概念识别到实际问题解决的能力进阶，培养抽象能力与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|二次函数定义、表达式识别|选择题1-5直接考查概念辨析，填空题8-10强化定义要素，夯实抽象能力| |中档|顶点坐标、简单几何与实际问题建模|填空题11结合正方形动态情境，解答题12用待定系数法求表达式，体现几何直观| |综合|函数性质应用、多情境数据分析|综合题15通过农户收入数据选择二次函数模型并预测，发展模型意识与推理能力|

26.1二次函数的概念 同步练习 一、选择题 1．下列各式中，y是x的二次函数的是（　　） A．y=ax2+bx+c B．x2+y﹣2=0 C．y2﹣ax=﹣2 D．x2﹣y2+1=0 2．若函数是二次函数，则有（　　） A． B． C． D． 3．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c为常数，a≠0），其中，自变量x与函数值y之间满足下面对应关系： x …… 5 3 1 …… y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 …… 则 的值是（　　） A．﹣10 B．﹣5 C．﹣ D．﹣ 4．下列函数关系中，是二次函数的为（　　） A．在弹性限度内，弹簧的长度y与所挂物体的质量x之间的关系. B．距离一定时，火车行驶的时间t与速度v之间的关系 C．等边三角形的周长C与边长a之间的关系 D．圆的面积S与半径之间的关系 5．原价为100元的某种药品经过连续两次降价后为64元，设平均每次降价的百分率为x，则下面所列方程正确的是（　　） A．100（1﹣x）2=64 B．64（1﹣x）2=100 C．100（1﹣2x）=64 D．64（1﹣2x）=100 6．如图，某农场拟建一间矩形奶牛饲养室，打算一边利用房屋现有的墙（墙足够长），其余三边除大门外用栅栏围成，栅栏总长度为50m，门宽为2m．若饲养室长为xm，占地面积为ym2，则y关于x的函数表达式为（　　） A．y=- x2+26x（2≤x＜52） B．y=- x2+50x（2≤x＜52） C．y=-x2+52x（2≤x＜52） D．y=- x2+27x-52（2≤x＜52） 7．如图，直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形．设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S（阴影部分），则S与t的大致图象为（　　） A． B． C． D． 二、填空题 8．若是关于x的二次函数，则m的值为　 　． 9．已知抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)，则a=　 　，c=　 　 10．某超市一月份的营业额是200万元，一月、二月、三月的营业额共万元，如果平均每月增长率为，那么营业额关于月平均增长率的函数表达式为　 　. 11．如图，正方形ABCD的边长是4，E是AB上一点，F是AD延长线上的一点，BE=DF。若四边形AEGF是矩形，则矩形AEGF的面积y关于BE的长的函数解析式是　 　(不用写出x的取值范围) 三、解答题 12．已知二次函数的图象经过，，三点，求这个函数的表达式． 四、综合题 13．已知二次函数中的x和y满足下表： x ⋯ -4 -3 -2 -1 0 1 2 ⋯ y ⋯ -5 0 3 4 3 m -5 ⋯ （1）根据表格，直接写出该二次函数的对称轴以及m的值； （2）求该二次函数的表达式． 14．用长为32米的篱笆围一个矩形养鸡场，设围成的矩形一边长为x米，面积为y平方米． （1）求y关于x的函数关系式； （2）当x为何值时，围成的养鸡场面积为60平方米？ （3）能否围成面积为70平方米的养鸡场？如果能，请求出其边长；如果不能，请说明理由． 15．某山村经过脱贫攻坚和乡村振兴，经济收入持续增长．经统计，近五年该村甲农户年度纯收入如表所示： 年度（年） 2021 2022 2023 2024 2025 2026 年度纯收入（万元） 1.5 2.5 4.5 7.5 11.3 　 若记2021年度为第1年，在直角坐标系中用点（1，15），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）表示近五年甲农户纯收入的年度变化情况．如图所示 （m＞0），y＝x+b（k＞0），y＝ax2﹣0.5x+c（a＞0），以便估算甲农户2026年度的纯收入． （1）能否选用函数 （m＞0）进行模拟，请说明理由； （2）你认为选用哪个函数模拟最合理，请说明理由； （3）甲农户准备在2026年底购买一台价值16万元的农机设备，根据（2）中你选择的函数表达式，预测甲农户2026年度的纯收入能否满足购买农机设备的资金需求. 答案解析部分 1．【答案】B 【解析】【解答】解：A、y=ax2+bx+c，应说明a≠0，故此选项错误； B、x2+y﹣2=0可变为y=﹣x2+2，是二次函数，故此选项正确； C、y2﹣ax=﹣2不是二次函数，故此选项错误； D、x2﹣y2+1=0不是二次函数，故此选项错误； 故选：B． 【分析】利用二次函数的定义：一般地，形如y=ax2+bx+c（a、b、c是常数，a≠0）的函数，叫做二次函数解答． 2．【答案】B 【解析】【解答】解：由题意得，， 解得． 故答案为：B． 【分析】根据二次函数的定义可得，再求出m的取值范围即可。 3．【答案】A 【解析】【解答】解：由表格信息与二次函数的对称性可得： x …… 5 3 1 1 …… y＝ax2+bx+c …… 2.5 1.5 1.5 -2.5 …… 由②③可得： 即 则 故答案为：A 【分析】先求出，再求出最后计算求解即可。 4．【答案】D 【解析】【解答】解：A、关系式为：y=kx+b，是一次函数，不符合题意； B、关系式为： ，是反比例函数，不符合题意； C、关系式为： ，是正比例函数，不符合题意； D、关系式为： ，是二次函数，符合题意. 故答案为：D. 【分析】一般形如，（其中a，b，c是常数，a≠0）的函数叫做二次函数，根据条件分别列出各项的函数关系式，再根据二次函数的定义，即可作答. 5．【答案】A 【解析】【解答】解：第一次降价后的价格为100×（1﹣x），第二次降价后价格为100×（1﹣x）×（1﹣x）， 则列出的方程是100（1﹣x）2=64． 故选A． 【分析】可先表示出第一次降价后的价格，那么第一次降价后的价格×（1﹣降低的百分率）=64，把相应数值代入即可求解． 6．【答案】A 【解析】【解答】解：∵ 栅栏总长度为50m， 饲养室长为xm， 门宽为2m， ∴ 饲养室宽为（）m， ∴y=（）x=（2≤x＜52）. 故答案为：A. 【分析】根据题意求出饲养室的宽，利用矩形的面积公式列出式子进行化简，即可得出答案. 7．【答案】A 【解析】【解答】解：∵直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形。设穿过时间为t，正方形与三角形不重合部分的面积为S， ：s关于t的函数大致图象应为：三角形进入正方形以前S增大， 当0≤t≤时，S=×1×1+2×2-t2=-t2； 当＜t≤2时，S=2×2-×12=； 当2＜t≤3时，S=-(3-t)2=-t2-3t； ∴A符合要求， 故答案为：A. 【分析】 根据直角边长为1的等腰直角三角形与边长为2的正方形在同一水平线上，三角形沿水平线从左向右匀速穿过正方形可知，当0≤t≤2时，以及当2<t≤2时，当2<t≤3时，求出函数关系式，即可得出答案． 8．【答案】2 【解析】【解答】∵是关于x的二次函数， ∴， 解得：m=2， 故答案为：2. 【分析】利用二次函数的定义可得，再求出m的值即可. 9．【答案】-3； 【解析】【解答】解：∵ 抛物线y=ax2+2x+c的顶点坐标是(，-1)， ∴设抛物线的解析式为， ∴， ∴a=-3，c=. 故答案为：-3，. 【分析】利用抛物线的顶点坐标，可设抛物线的解析式为，据此可得到关于a，c的方程组，解方程组求出a，c的值. 10．【答案】 【解析】【解答】解：二月份的营业额为200(1+x)万元，三月份的营业额为200(1+x)(1+x)万元， 由题意得：y=200+200(1+x)+200(1+x)(1+x)=200+200(1+x)+200(1+x)2 故答案为：y=200+200(1+x)+200(1+x)2. 【分析】根据平均增长率问题分别表示出二月份与三月份的营业额，进而根据 一月、二月、三月的营业额共 y万元列出函数解析式. 11．【答案】y=16-x2 【解析】【解答】解：∵ 正方形ABCD的边长是4， ∴AB=AD=4， ∵ BE=DF =x， ∴AE=4-x，AF=4+x， ∴ 矩形AEGF的面积y=AE·AF=（4-x）（4+x）=16-x2. 【分析】根据题意求出AE=4-x，AF=4+x，再根据矩形的面积公式得出y=AE·AF，再进行化简，即可得出答案. 12．【答案】设抛物线解析式为， 把，，分别代入解析式，得 ， 解得， 故抛物线的解析式为． 【解析】【分析】利用待定系数法求函数表达式即可. 13．【答案】（1）解：∵抛物线经过点，， ∴抛物线的对称轴为直线， ∵和所对应的函数值相等， ∴； （2）解：设抛物线解析式为， 把代入得， 解得， ∴该二次函数的解析式为， 即． 【解析】【分析】（1）先求出抛物线的对称轴为直线，再根据和所对应的函数值相等， 求解即可； （2）利用待定系数法求出 二次函数的解析式为， 再求解即可。 14．【答案】（1）解：设围成的矩形一边长为x米，则矩形的邻边长为：32÷2﹣x．依题意得 y=x（32÷2﹣x）=﹣x2+16x． 答：y关于x的函数关系式是y=﹣x2+16x； （2）解：由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=60时，﹣x2+16x=60，即（x﹣6）（x﹣10）=0． 解得 x1=6，x2=10， 即当x是6或10时，围成的养鸡场面积为60平方米； （3）解：不能围成面积为70平方米的养鸡场．理由如下： 由（1）知，y=﹣x2+16x． 当y=70时，﹣x2+16x=70，即x2﹣16x+70=0 因为△=（﹣16）2﹣4×1×70=﹣24＜0， 所以 该方程无解． 即：不能围成面积为70平方米的养鸡场． 【解析】【分析】（1）根据矩形的面积公式进行列式；（2）、（3）把y的值代入（1）中的函数关系，求得相应的x值即可． 15．【答案】（1）解：不能选用函数 （m＞0）进行模拟，理由如下： ∵1×1.5=1.5，2×2.5=5，… ∴1.5≠5 ∴不能选用函数 （m＞0）进行模拟 （2）解：选用y=ax2-0.5x+c（a>0），理由如下： 由（1）可知不能选用函数 （m＞0），由（1，1.5），（2，2.5），（3，4.5），（4，7.5），（5，11.3）可知x每增大1个单位，y的变化不均匀，则不能选用函数y=x+b（k>0）， 故只能选用函数y=ax2-0.5x+c（a>0）进行模拟； （3）解：由点（1，1.5），（2，2.5）在y=ax2-0.5x+c（a>0）上 则 ，解得： ∴y=0.5x2-0.5x+1.5 当x=6时，y=0.5×36-0.5×6+1.5=16.5， ∵16.5 > 16， ∴甲农户2026年度的纯收入满足购买农机设备的资金需求． 【解析】【分析】（1）由数据的变化大小或者由m=xy计算判断； （2）通过点的变化可知不是一次函数，由（1）可知不是反比例，则可判断选用二次函数模拟最合理； （3）利用已知点坐标用待定系数法求出解析式，然后计算出2026年即第6年度的纯收入y，然后比较可得结论。 1 学科网（北京）股份有限公司 $