精品解析：辽宁沈阳市法库县2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题

2025-2026学年度第二学期七年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 2. 中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，制备出厚度仅为一张普通纸百万分之一的二维金属材料，比如一片单层铋金属的厚度仅为米，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（ ） A. 弯曲河道改直 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 两钉子固定木条 4. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A. 0.47 B. 0.50 C. 0.51 D. 0.53 5. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 7. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（ ） A. B. C. D. 9. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表： 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … 则应缴电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系式是________________． 12. 已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 13. 如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是______． 14. 在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港．设行驶后，与乙港的距离为，与的关系如图所示，下列结论：①甲港与丙港的距离是；②船在中途休息了；③船的行驶速度是；④从乙港到达丙港共花了．其中正确的是_________．（填序号） 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC和∠DCB的平分线交于点，且点P在AB边上．若BC＝3，DC＝21，则AB的长是__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再计算：，其中，． 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 19. 如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，．求的大小． 20. 某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有2个红球、3个白球和10个黄球，并规定购买这类新品牌商品总金额为100元或超过100元，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一瓶水；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小明购这类新品牌商品花了115元． （1）小明获得奖品的概率是多少？小明得到一瓶水的概率是多少？（直接写出结论即可） （2）若从纸箱中取出个黄球，其它条件不变，小明得到一把雨伞的概率是，则的值是多少？ 21. 王大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心出发，沿匀速运动，最后回到点，其中路径是一段长180米的圆弧．王大爷离出发点的直线距离（米）与运动时间（分）之间的关系如图2所示． （1）王大爷从点出发到回到点一共用了______________分钟；其中路径用了____________分钟； （2）扇形栈道的半径是____________米；王大爷的速度为_____________米/分； （3）与出发点距离75米处有一个报刊亭，王大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知王大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变． 求①王大爷从点出发走了几分钟到达的报刊亭？ ②王大爷在报刊亭停留了几分钟． 22. 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 （1）如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； （2）【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【观察总结】 （1）观察图①，会得到一个等式，是下面3个结论中的哪一个？（直接写出结果即可） 结论1．； 结论2．； 结论3．． （2）【牛刀小试】 如图②，长、宽分别为，的长方形，它的周长为26，面积为40，求的值． （3）【拓展应用】 将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为52，时，求图中阴影部分的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期七年级期末考试 数学试卷 （本试卷共23道题 满分120分 考试时间120分钟） 考生注意：所有试题必须在答题卡指定区域作答，在本试卷上作答无效 一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合要求的） 1. 将一张长方形的纸对折，然后用笔尖在上面扎出“E”，再把它铺平，你看到的图形可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形，正确利用轴对称图形的特点做题是解决此题的关键．根据题意可知，得到的是轴对称图形，然后认真观察图形，找出符合题意的选项即可 解答 【详解】解：A、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； B、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； C、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后能得到此图形，符合题意； D、将一张长方形的纸对折，再把它铺平后不能得到此图形，不符合题意； 故选：C ． 2. 中国科研团队在二维金属研究领域取得了突破性进展，制备出厚度仅为一张普通纸百万分之一的二维金属材料，比如一片单层铋金属的厚度仅为米，用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：. 3. 数学源于生活，寓于生活，用于生活，下列各选项中能用“点到直线的距离”来解释的现象是（ ） A. 弯曲河道改直 B. 木板上弹墨线 C. 测量跳远成绩 D. 两钉子固定木条 【答案】C 【解析】 【分析】根据两点之间，线段最短，两点确定一条直线，点到直线的距离等知识点逐一判断即可． 【详解】解：A、弯曲河道改直能用“两点之间，线段最短”来解释，不符合题意； B、木板上弹墨线能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； C、测量跳远成绩能用“点到直线的距离”来解释，符合题意； D、两钉子固定木条能用“两点确定一条直线”来解释，不符合题意； 4. 做重复试验：抛掷同一枚啤酒瓶盖1000次，经过统计得“凸面向上”的频率约为0.47，则可以估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为（ ） A. 0.47 B. 0.50 C. 0.51 D. 0.53 【答案】A 【解析】 【详解】解：抛掷同一枚啤酒瓶盖次为大量重复试验，已知“凸面向上”的频率约为， 可估计抛掷这枚啤酒瓶盖出现“凸面向上”的概率约为． 5. 若等腰三角形的一个角是，则它的底角为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】分的角是顶角和底角时，结合等腰三角形两底角相等和三角形内角和为计算即可． 【详解】解：分两种情况讨论： 若的角是底角，则底角为， 此时顶角为，符合三角形内角和定理； 若的角是顶角， ∵等腰三角形两底角相等，三角形内角和为， ∴底角为， ∴该等腰三角形的底角为或． 6. 下列事件中，属于随机事件的是（ ） A. 掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7 B. 抛一枚硬币，落地后正面朝上 C. 标准大气压下，水加热到100℃会沸腾 D. 两直线平行，内错角相等 【答案】B 【解析】 【分析】随机事件是指一定条件下，可能发生也可能不发生的事件. 【详解】解：A、掷一枚质地均匀的正方体骰子，朝上一面的点数为7，是不可能事件； B、抛一枚硬币，落地后可能正面朝上，也可能反面朝上，是随机事件； C、标准大气压下，水加热到会沸腾，是必然事件； D、两直线平行，内错角相等，是必然事件. 7. 下列各式中计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘、合并同类项、同底数幂相除、积的乘方的运算法则，逐项分析即可得出结果． 【详解】解：A、，故A错误，不符合题意； B、，故B错误，不符合题意； C、，故C正确，符合题意； D、，故D错误，不符合题意． 8. 如图，向茶杯中匀速注水，下列哪幅图象能较好刻画出茶杯中水面高度的变化情况（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据茶杯的底部直径小，从底部向上直径逐渐增大，可知水面上升的速度由快变慢，据此可得答案． 【详解】解：由题意可知，向茶杯中匀速注水，水面上升的速度由快变慢，故选项B符合题意． 9. 如图，用尺规作图“过点C作”的实质就是作，其作图依据是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图—基本作图，全等三角形的判定和性质，平行线的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．直接利用基本作图方法结合全等三角形的判定方法即可得出答案． 【详解】解：由作法可知，，， ， ， ， 故选：B． 10. 如图，在中，，，，的垂直平分线分别交边，于点，．若为边的中点，为线段上的一个动点，则周长的最小值为（ ） A. 7 B. 8 C. 10 D. 12 【答案】C 【解析】 【分析】连接，，先证明，，根据三角形面积公式求出，根据线段垂直平分线的性质得到点C关于直线的对称点为点A，根据，即可求出的周长最小值为10． 【详解】解：连接，． ∵，点D是边的中点，， ∴，， ∴， 解得， ∵是线段的垂直平分线， ∴点C关于直线的对称点为点A， ∴， ∵，当点A、M、D共线时取等号， ∴的长为的最小值， ∴的周长最小值为． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 某地区用电量与应缴电费之间的关系如下表： 用电量（千瓦时） 1 2 3 4 … 应缴电费（元） 0.55 1.10 1.65 2.20 … 则应缴电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系式是________________． 【答案】 【解析】 【分析】观察表格中与的对应数据，发现是的固定倍数，据此推导关系式． 【详解】解：逐一验证表格数据：当时，， 当时，， 当时，， 当时，， 以此类推，可得应缴电费（元）与用电量（千瓦时）之间的关系式为． 12. 已知的三边长为3，，6，的周长为16，若，则的值为________________． 【答案】6 【解析】 【分析】根据全等三角形的性质可得和的周长相等，再根据三角形的周长公式建立方程，解方程即可得． 【详解】解：∵，且的周长为16， ∴的周长为16， ∵的三边长为3，，6， ∴， 解得：， 当时，三角形三边长为3，7，6， ∵，满足任意两边之和大于第三边， ∴符合题意． 13. 如图是一个圆形靶子，三个同心圆的半径分别为1，2，3．嘉淇向靶子随机投掷一次飞镖（若飞镖落在分隔线上，则重新投掷），则飞镖落在阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了几何概率， 根据题意，求得阴影部分面积，进而根据概率公式，即可求解． 【详解】解∶由题意得，最大圆的面积为，阴影部分的面积为， 飞镖落在阴影部分的概率是， 故答案为∶． 14. 在一条笔直的航道上依次有甲、乙、丙三个港口，一艘船从甲出发，沿直线匀速行驶经过乙港驶向丙港，最终到达丙港．设行驶后，与乙港的距离为，与的关系如图所示，下列结论：①甲港与丙港的距离是；②船在中途休息了；③船的行驶速度是；④从乙港到达丙港共花了．其中正确的是_________．（填序号） 【答案】④ 【解析】 【分析】由船行驶的函数图像可以看出，船从甲港出发，0.5h后到达乙港，ah后到达丙港，进而解答即可． 【详解】解：①甲港与丙港的距离是30+90=120（km），错误； ②船在中途没有休息，错误； ③船的行驶速度是，错误； ④从乙港到达丙港共花了（h），正确． 故答案为：④． 【点睛】本题主要考查了函数图像与实际结合的问题，利用数形结合得出关键点坐标是解题关键． 15. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC和∠DCB的平分线交于点，且点P在AB边上．若BC＝3，DC＝21，则AB的长是__________． 【答案】12 【解析】 【分析】在CD上截取DE=AD，CF=CB，证明△ADP≌△EDP（SAS），由全等三角形的性质得出∠A=∠DEP=120°，AP=PE，同理△CFP≌△CBP（SAS），证出△PEF为等边三角形，求出AP的长，则可得出答案． 【详解】解：在CD上截取DE=AD，CF=CB， ∵PD平分∠ADC，CP平分∠DCB， ∴∠ADP=∠EDP，∠FCP=∠PCB， 在△ADP和△EDP中， ， ∴△ADP≌△EDP（SAS）， ∴∠A=∠DEP=120°，AP=PE， 同理△CFP≌△CBP（SAS）， ∴∠B=∠PFC=120°，PB=PF， ∴∠PEF=∠PFE=60°， ∴△PEF为等边三角形， ∴PE=PF， ∴PA=PB， 设PA=PB=x， 则AD=2x，EF=x， ∵BC=3，DC=21， ∴2x+x+3=21， 解得x=6， ∴AB=12． 故答案为12． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，证明△ADP≌△EDP是解题的关键． 三、解答题（本题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）0 （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再计算：，其中，． 【答案】， 【解析】 【详解】解： ， 当，时，原式． 18. 如图，正方形网格的每个小正方形的边长为1．的三个顶点均在格点上． （1）画出关于直线对称的； （2）在直线上找一点，使的值最小． （3）找到格点，连接，满足与平行且相等． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）如图，点P即为所求； （3）如图，点、即为所求； 【解析】 【分析】（1）根据轴对称的性质作出点A、B、C的对应点、、，然后顺次连接即可； （2）连接交于点P，则点P即为所求； （3）根据格点特点找出符合条件的点D即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接，如图所示： 根据轴对称可得：， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小； 【小问3详解】 略 19. 如图，直线，直线分别交，于点，，点在上，且． （1）判断与的位置关系，并说明理由． （2）若，．求的大小． 【答案】（1），理由：∵， ∴， ∵（已知）， ∴， ∴ （2） 【解析】 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据，得出，根据平行线的判定，得出答案即可； （2）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形内角和定理得出，从而得出，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又， ， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 某超市为促销一批新品牌的商品，设立了一个不透明的纸箱，纸箱里装有2个红球、3个白球和10个黄球，并规定购买这类新品牌商品总金额为100元或超过100元，就能获得一次摸球的机会．如果摸到红球，顾客可以得到一把雨伞；摸到白球，可以得到一瓶水；摸到黄球，可以获得一支铅笔．小明购这类新品牌商品花了115元． （1）小明获得奖品的概率是多少？小明得到一瓶水的概率是多少？（直接写出结论即可） （2）若从纸箱中取出个黄球，其它条件不变，小明得到一把雨伞的概率是，则的值是多少？ 【答案】（1）1； （2）3 【解析】 【分析】（1）根据概率公式求解即可； （2）根据概率公式建立方程求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有（个）球，其中获奖的球有（个）， ∴小明获得奖品的概率是； ∵摸到白球，可以得到一瓶水， ∴小明得到一瓶水的概率是； 【小问2详解】 解：由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意． 21. 王大爷在如图1所示扇形湖畔的栈道上散步，他从圆心出发，沿匀速运动，最后回到点，其中路径是一段长180米的圆弧．王大爷离出发点的直线距离（米）与运动时间（分）之间的关系如图2所示． （1）王大爷从点出发到回到点一共用了______________分钟；其中路径用了____________分钟； （2）扇形栈道的半径是____________米；王大爷的速度为_____________米/分； （3）与出发点距离75米处有一个报刊亭，王大爷在该处买报纸时逗留了一会儿．已知王大爷在买报纸前后始终保持运动速度不变． 求①王大爷从点出发走了几分钟到达的报刊亭？ ②王大爷在报刊亭停留了几分钟． 【答案】（1）17；6 （2）120，30 （3）①分钟；②3分钟 【解析】 【分析】（1）根据图像即可直接回答； （2）根据时间为4分钟时的函数值可得半径，同时用距离÷时间得到速度； （3）①根据函数图像推断出报刊亭的位置，得出的长，结合速度可得到达报刊亭的时间； ②再利用的长算出从报刊亭回到点O的时间，即可算出在报刊亭停留的时间． 【小问1详解】 解：根据图2可知：王大爷从点出发到回到点一共用了17分钟；其中路径用了分钟； 【小问2详解】 解：扇形栈道的半径是120米；王大爷的速度为（米/分）； 【小问3详解】 解：①由图像可知：王大爷在段买的报纸， ∵在与出发点 O 距离 75 米处有一个报刊亭，如图，点C为报刊亭， 则，， （分钟）， 即李大爷从点B到C用时分钟； ②（分钟）， ∴王大爷是在第分钟到达报刊亭， （分钟）， 则王大爷买完报纸后又用时分钟回到圆心O， （分钟）， ∴王大爷在报刊亭停留了3分钟． 22. 数学课上，老师让同学们准备等腰三角形纸片进行操作活动，探究有关线段之间的关系．已知：在中，． 【初步探究】 （1）如图1，若，点，，在直线上，，则与有怎样的数量关系？请直接写出结论； （2）【变式训练】 如图2，若，点，，在直线上，，试判断线段、和的数量关系，并说明理由． （3）【拓展应用】 如图3，若，，，是中点，点在线段上以的速度由点到点运动，同时点在线段上由点到点运动，它们运动的时间为，当点的运动速度为多少时，能使与以，，三点为顶点所构成的三角形全等．（直接写出结果） 【答案】（1） （2），理由：∵点、、在直线上， ∴， 由三角形内角和定理知，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）或 【解析】 【分析】（1）利用平角的定义和三角形内角和定理得，再利用证明，得； （2）同（1）可证明，得，可得答案； （3）过点A作于F，可证明，得到；再分和两种情况，利用全等三角形的性质讨论求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ， ∴， 又∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，过点A作于F， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵E是中点， ∴； 当时，则， ∴， ∴； 当时，则， ∴， ∴， ∴； 综上所述，点Q的运动速度为或． 23. 《几何原本》是古希腊数学家欧几里得创作的一部数学著作，他在第二卷“几何与代数”中，阐述了数与形是一家，即通过“以数解形”和“以形助数”，可以把代数公式与几何图形相互转化． 【观察总结】 （1）观察图①，会得到一个等式，是下面3个结论中的哪一个？（直接写出结果即可） 结论1．； 结论2．； 结论3．． （2）【牛刀小试】 如图②，长、宽分别为，的长方形，它的周长为26，面积为40，求的值． （3）【拓展应用】 将正方形与正方形按图③所示的方式摆放，当正方形与正方形的面积之和为52，时，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1）结论3 （2）165 （3）10 【解析】 【分析】（1）根据“大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积”即可解答； （2）根据周长为26，面积为40，求得，，再结合（1）求得，化简后，代入求值即可； （3）设正方形与正方形的边长分别为，则 ， 由完全平方公式的转化得，，再由阴影部分的面积为即可解答． 【小问1详解】 解：由图可知大正方形的边长为，小正方形的边长为，4个长方形的面积为，根据“大正方形的面积小正方形的面积个长方形的面积”得； 【小问2详解】 解：∵长方形周长为26， ∴ ， ∴， ∵长方形面积为40， ∴， 由(1)知 ∴ ∴或 ∵为长，为宽 ∴ ∴ ； 【小问3详解】 解：设正方形与正方形的边长分别为， ∵两个正方形的面积之和为52，， ∴ ． ∵即． ∴ ∴ ， ∴（负值舍去） ∵ ∴ ∴阴影部分的面积为： 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $