精品解析：辽宁抚顺市新抚区2025-2026年七年级下学期期末考试数学试题

2025—2026学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：100分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的C处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点．已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 3. 抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是( ) A. B. C. D. 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 5. 下列调查方式中，你认为最合适的是（ ） A. 了解北京市每天的流动人口数量，采用全面调查 B. 旅客乘坐飞机前的安检，采用抽样调查 C. 搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭零部件检查，采用全面调查 D. 测试某型号汽车的抗撞击能力，采用全面调查 6. 《国家节水行动方案》中提出：到2022年，全国用水总量控制在6700亿立方米以内．小波根据官方公布的数据绘制了如下虚线所示的趋势图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势．根据趋势图信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2010-2013年全国用水总量呈上升趋势 B. 2013-2020年全国用水总量呈下降趋势 C. 《国家节水行动方案》确定的2022年节点目标已完成 D. 根据2010-2022年全国用水总量的发展趋势，估计2023年全国用水总量约为6100亿立方米 7. 数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题．某同学在学习完相交线后，发现伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当增大时，的度数（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 不变 8. 若，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 9. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何?”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（ ） A. 高于正常范围 B. 低于正常范围 C. 属于正常范围 D. 无法确定 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：3________（填“”“”或“”） 12. 在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为______． 13. 如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为____________． 14. 若不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 15. “数形结合”是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，并能标出一些以方程的解为坐标的点（x表示点的横坐标，y表示点的纵坐标）．过这些点中的任意两点作直线，你会发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，根据上面的探究发现：方程的图象是一条直线．依据此材料，若二元一次方程组的解如图所示，请结合图象计算_____． 三．解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解方程组： （1）； （2） 17. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． 18. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为引导学生积极参与体育运动，某校七年级举办了一分钟踢毽子比赛，并随机抽取了20名学生一分钟踢毽子的成绩（学生一分钟内所踢毽子的数量即为其成绩）进行调查统计，被抽取的20名学生成绩（单位：分）如下： 85，69，77，123，96，75，89，90，74，112 54，92，88，100，70，105，93，60，114，97 该校对这20个数据进行分组（A：，B：，C：，D：，E：），并整理绘制成如下不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“C”组所占的圆心角度数为 ． （2）补全频数分布直方图 （3）若500名七年级学生都参加了比赛，试估计踢毽子成绩在这一范围的学生有多少名． 19. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． （1）写出，，的坐标，并画出三角形； （2）已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 20. 如图，EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，∠E＋∠ABG＝180°． （1）求证：； （2）若∠D＝100°，，求∠E的度数． 21. 某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表： 型号/时间 A型 B型 销售额 上周 2辆 1辆 57万元 本周 3辆 4辆 123万元 （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且购车费不少于125万元，则有哪几种购车方案？ （3）若购买A型号的新能源汽车比购买同款汽油汽车节省费用3万元，购买B型号的新能源汽车比购买同款汽油汽车节省费用2万，在（2）中的购买方案中哪一种方案省钱最多？最多能省多少钱？ 22. 平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； （3）如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 23. 【问题背景】 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期期末教学质量检测 七年级数学试卷 （本试卷共23小题 满分120分 考试时间：100分钟） ※注意事项：所有试题必须在答题卡指定区域内作答，在本试卷上作答无效． 第一部分 选择题（共30分） 一．选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下列实数是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无限不循环小数叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：在，，，中，是无理数的是：； 故选D． 2. 光线从一种介质射向另一种介质时会发生折射．如图，这是一块玻璃的，两面（玻璃上下两个面）的示意图，且，一束光从玻璃面的C处射向玻璃面的处，但从玻璃面的处射出时发生了折射，使光线从变成了，为光线延长线上一点．已知，，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的定义，根据平行线的性质求出，再根据平角的定义即可得出结果．解题的关键是能灵活运用平行线的性质解题． 【详解】解：如图，， ， ， 故选：A． 3. 抚顺月牙岛生态公园，坐落于抚顺市顺城区浑河南岸，浑河与古城子河交汇处，因岛屿呈狭长弯月状得名，是抚顺核心城市滨水生态地标，是“城市绿肺”，是辽宁省运会开幕式举办地之一(图1)．若利用网格(图2)建立适当的平面直角坐标系，表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为，那么表示脚踏船售票处的点的坐标应是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意建立直角坐标系，从而得解． 【详解】解：∵表示云松桥的点的坐标为，表示月亮湾广场的点的坐标为， ∴建立的平面直角坐标系如下图所示： ∴表示脚踏船售票处的点的坐标应是． 4. 在平面直角坐标系中，点在（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】根据点的横坐标为负数，纵坐标为正数，即可得． 【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点在第二象限， 故选B． 【点睛】本题考查了点所在的象限，解题的关键是掌握象限的特征． 5. 下列调查方式中，你认为最合适的是（ ） A. 了解北京市每天的流动人口数量，采用全面调查 B. 旅客乘坐飞机前的安检，采用抽样调查 C. 搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭零部件检查，采用全面调查 D. 测试某型号汽车的抗撞击能力，采用全面调查 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了全面调查和抽样调查，一般来说，对于具有破坏性的调查、无法进行全面调查、全面调查的意义或价值不大时，应选择抽样调查；对于精确度要求高的调查，事关重大的调查往往选用全面调查，据此判断即可. 【详解】解：A、了解北京市每天的流动人口数量，适宜抽样调查，该选项不符合题意； B、旅客乘坐飞机前的安检，事关重大，适宜全面调查，该选项不符合题意； C、搭载神舟十八号载人飞船的长征二号F遥十八运载火箭零部件检查，精确度要求高，事关重大，采用全面调查，该选项符合题意； D、测试某型号汽车的抗撞击能力，适宜抽样调查，该选项不符合题意； 故选：C． 6. 《国家节水行动方案》中提出：到2022年，全国用水总量控制在6700亿立方米以内．小波根据官方公布的数据绘制了如下虚线所示的趋势图，并添加了一条靠近尽可能多散点的直线来表示用水量的发展趋势．根据趋势图信息，下列推断不合理的是（ ） A. 2010-2013年全国用水总量呈上升趋势 B. 2013-2020年全国用水总量呈下降趋势 C. 《国家节水行动方案》确定的2022年节点目标已完成 D. 根据2010-2022年全国用水总量的发展趋势，估计2023年全国用水总量约为6100亿立方米 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根据统计图得出结论或推断发展趋势．先根据统计图依次判断各选项，再选出推断不合理的即可． 【详解】解：解：由题意可知： A．2010-2013年全国用水总量呈上升趋势，本选项推断合理，故不符合题意； B．2013-2020年全国用水总量呈下降趋势，本选项推断合理，故不符合题意； C．《国家节水行动方案》确定的2022年节点目标已完成，本选项推断合理，故不符合题意； D．根据2010-2022年全国用水总量的发展趋势，可以估计2023年全国用水总量少于6000亿立方米，根据下降趋势预计约为5900亿立方米，故本选项推断不合理，故符合题意； 故选：D． 7. 数学为人们提供了一种认识与探究现实世界的观察方式，通过数学眼光，可以从现实世界的客观现象中发现数量关系与空间形式，提出有意义的数学问题．某同学在学习完相交线后，发现伸缩门中存在非常多的对顶角，如图为简易伸缩门，当增大时，的度数（ ） A. 增大 B. 减小 C. 增大 D. 不变 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了对顶角相等，根据对顶角相等即可得解，熟练掌握对顶角的性质是解此题的关键． 【详解】解：由对顶角相等可得，当增大时，的度数增大， 故选：A． 8. 若，则下列不等式一定成立的是( ) A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】运用不等式的性质逐项分析即可． 【详解】解：∵ ， ∴ 当时，两边同乘，得，故A错误． 两边同乘，得，故B错误． 两边同乘，得，故C正确． D选项中，两边同时减，得，即，由无法推出该结论，故D错误． 9. 《九章算术》是中国传统数学重要的著作，奠定了中国传统数学的基本框架．它的代数成就主要包括开放术、正负术和方程术．其中方程术是《九章算术》最高的数学成就．《九章算术》中记载：“今有共买鸡，人出八，盈三；人出七，不足四问人数、鸡价各几何?”译文：“今天有几个人共同买鸡，每人出8钱，多余3钱，每人出7钱，还缺4钱.问人数和鸡的价钱各是多少?”设人数有人，鸡的价钱是钱，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程组，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， ， 故选A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出二元一次方程组，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． 10. 根据《联合国气候变化框架公约》的数据可知，平均每人每年排放约二氧化碳，而我国东部沿海发达地区人均年碳排放量介于，中部地区人均年碳排放量相对较低，介于．如表记录了李明家庭某个月的“碳足迹”． 姓名 李明 家庭人数 家庭某月“碳足迹”计算 序号 种类 某月消耗量 某月耗碳量 1 家庭用电 2 水 3 天然气 … … … … 家庭月耗碳总量 请你判断，李明家人均年碳排放量与中部地区人均年碳排放量的正常范围相比，处于（ ） A. 高于正常范围 B. 低于正常范围 C. 属于正常范围 D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】直接使用表格给出的家庭月耗碳总量计算人均年碳排放量，统一单位后与中部地区人均年碳排放范围比较． 【详解】解：李明家人均年碳排放量为 ． ∵ ， ∴ 李明家人均年碳排放量属于中部地区正常范围． 第二部分 非选择题（共90分） 二．填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 比较大小：3________（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【详解】解：将两个数分别平方，得 ， ， ∵ ，且 ，， ∴ ． 12. 在平面直角坐标系第四象限内有一点，它到轴的距离为3，到轴的距离为6，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查点的坐标特征，掌握各象限内点的坐标特征是解题的关键． 根据点A在第四象限可得点A的横坐标为正，纵坐标为负，再根据题干中到x轴和y轴的距离即可求解． 【详解】解：∵点A在第四象限， ∴点A的横坐标为正，纵坐标为负， ∵点A到轴的距离为3，到轴的距离为6， ∴点A的坐标为， 故答案为：． 13. 如图是小颖同学劳动节前夕，在街上拍到的路灯维护工程车的工作示意图，工作篮底部与支撑平台平行，若，，则∠3的度数为____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键．过顶点O作直线，直线l将分成两个角即、，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：如图所示，过顶点O作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 若不等式组无解，则实数的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】先解不等式组中的两个不等式，然后由不等式组无解可得关于a的不等式，解不等式即得答案． 【详解】解：解不等式，得， 解不等式，得， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一元一次不等式组的相关知识，属于常考题型，正确理解题意、熟练掌握解一元一次不等式组的方法是解题关键． 15. “数形结合”是一种重要的数学思想方法，就是通过数与形之间的对应和转化来解决数学问题，在平面直角坐标系中，我们能把二元一次方程的一个解用一个点表示出来，并能标出一些以方程的解为坐标的点（x表示点的横坐标，y表示点的纵坐标）．过这些点中的任意两点作直线，你会发现在这条直线上任取一点，这个点的坐标是方程的解，以方程的解为坐标的点的全体叫做方程的图象，根据上面的探究发现：方程的图象是一条直线．依据此材料，若二元一次方程组的解如图所示，请结合图象计算_____． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意可得两直线的交点坐标即为方程组的解，可得，将两式相加化简即可得出结果． 【详解】解：根据题意，得方程组的解为， 则， 两式相加得，即， 故． 三．解答题（本题共8小题，共75分，解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程） 16. 计算、解方程组： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 故原方程组的解为：． 17. 解不等式组：，并利用数轴确定不等式组的解集． 【答案】不等式组的解集为，数轴表示如图： 【解析】 【分析】分别求出每一个不等式的解集，根据口诀：同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到确定不等式组的解集，再将解集表示在数轴上即可． 【详解】解：， 解不等式①得， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为， 图略． 18. 促进青少年健康成长是实施“健康中国”战略的重要内容，为引导学生积极参与体育运动，某校七年级举办了一分钟踢毽子比赛，并随机抽取了20名学生一分钟踢毽子的成绩（学生一分钟内所踢毽子的数量即为其成绩）进行调查统计，被抽取的20名学生成绩（单位：分）如下： 85，69，77，123，96，75，89，90，74，112 54，92，88，100，70，105，93，60，114，97 该校对这20个数据进行分组（A：，B：，C：，D：，E：），并整理绘制成如下不完整的统计图： 请根据以上信息，解答下列问题： （1）在扇形统计图中，“C”组所占的圆心角度数为 ． （2）补全频数分布直方图 （3）若500名七年级学生都参加了比赛，试估计踢毽子成绩在这一范围的学生有多少名． 【答案】（1）108 （2） （3）275名 【解析】 【分析】（1）用360度乘以C组的人数占比即可得到答案； （2）求出B组和D组的频数，再补全频数分布直方图即可； （3）用500乘以样本中踢毽子成绩在这一范围的学生人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解：， ∴在扇形统计图中，“C”组所占的圆心角度数为； 【小问2详解】 解：由题意得，D组的频数为， ∴B组的频数为， 补全频数分布直方图见答案； 【小问3详解】 解：（名）， 答：估计踢毽子成绩在这一范围的学生有275名． 19. 如图，三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形，其中，，的对应点分别为，，． （1）写出，，的坐标，并画出三角形； （2）已知点在轴上，且的面积是，求点坐标． 【答案】（1），，， 作图如下： （2）点坐标为或 【解析】 【分析】本题考查的是作图平移变换，坐标系中的面积问题，熟知图形平移不变性的性质是解答此题的关键． （1）利用向右平移个单位，再向上平移个单位，即横坐标加，纵坐标加，即可得到坐标，再画图即可； （2）由点在轴上，得出点坐标为，再利用的面积是，得出，求解即可． 【小问1详解】 解：三角形的顶点坐标分别为，，，将三角形向右平移个单位，再向上平移个单位得到三角形， ∴，，． 【小问2详解】 解：∵点在轴上， ∴点坐标为， ∵的面积是， ∴， 解得：或， ∴点坐标为或． 20. 如图，EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G，∠E＋∠ABG＝180°． （1）求证：； （2）若∠D＝100°，，求∠E的度数． 【答案】（1）见解析 （2）120° 【解析】 【分析】（1）根据题意得到EF∥BG，根据平行线的性质得到∠EMB＝∠ABG，进而得出∠E＋∠EMB＝180°，即可判定DE∥AB； （2）根据平行线的性质结合已知条件可求出∠GBC＝40°，∠ABG＝60°，进而可得∠EMB的度数，然后再利用平行线的性质求出∠E． 【小问1详解】 证明：∵EF⊥AC于点F，BG⊥AC于点G， ∵EF∥BG， ∴∠EMB＝∠ABG， ∵∠E＋∠ABG＝180°， ∴∠E＋∠EMB＝180°， ∴DE∥AB； 【小问2详解】 解：∵DE∥AB， ∴∠D＝∠ABC＝∠ABG＋∠GBC， ∵∠D＝100°， ∴∠ABG＋∠GBC＝100°， ∵∠ABG＝∠GBC， ∴∠GBC＝40°， ∴∠ABG＝60°， ∴∠EMB＝∠ABG＝60°， 又∵DE∥AB， ∴∠E＝180°－∠EMB＝120°． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． 21. 某汽车专卖店销售A，B两种型号的新能源汽车，上周和本周的销售情况如下表： 型号/时间 A型 B型 销售额 上周 2辆 1辆 57万元 本周 3辆 4辆 123万元 （1）每辆A型车和B型车的售价各为多少万元？ （2）甲公司拟向该店购买A，B两种型号的新能源汽车共7辆，且购车费不少于125万元，则有哪几种购车方案？ （3）若购买A型号的新能源汽车比购买同款汽油汽车节省费用3万元，购买B型号的新能源汽车比购买同款汽油汽车节省费用2万，在（2）中的购买方案中哪一种方案省钱最多？最多能省多少钱？ 【答案】（1）每辆A型车售价21万元， 每辆 B型车售价15万元； （2）有三种购车方案：①购买A型号的新能源汽车4辆， B型号的新能源汽车3辆；②购买A型号的新能源汽车5辆， B型号的新能源汽车2辆；③购买A型号的新能源汽车6辆， B型号的新能源汽车1辆； （3）方案③省钱最多，最多能省20万元 【解析】 【分析】（1）设每辆A型车售价a万元， 每辆 B型车售价b万元，根据两次销售额列方程组求解即可； （2）设购买A型号的新能源汽车x辆，则购买B型号的新能源汽车辆，根据题意列不等式组求解即可得出购买方案，注意x为正整数； （3）分别求出三个方案的节省费用，比较大小即可得出结论． 【小问1详解】 解：设每辆A型车售价a万元，每辆 B型车售价b万元， 根据题意，得，解得， 答：每辆A型车售价21万元， 每辆 B型车售价15万元； 【小问2详解】 解：设购买A型号的新能源汽车x辆，则购买B型号的新能源汽车辆， 根据题意，得， 解得， ∴整数x可取4、5、6， 故有三种购车方案：①购买A型号的新能源汽车4辆， B型号的新能源汽车3辆；②购买A型号的新能源汽车5辆， B型号的新能源汽车2辆；③购买A型号的新能源汽车6辆， B型号的新能源汽车1辆； 【小问3详解】 解：根据题意，方案①的节省费用为（万元）， 方案②的节省费用为（万元）， 方案③的节省费用为（万元）， ∵， ∴方案③省钱最多，最多能省20万元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用、一元一次不等式组的应用，理解题意，正确列出方程和不等式组是解答的关键，注意所设变量要符合． 22. 平面直角坐标系中，、，轴于点，连接、． （1）如图1，求的面积； （2）如图2，若点是线段上的一点，且点的横坐标为，求点的纵坐标； （3）如图3，线段以每秒2个单位的速度向右水平移动秒，、的对应点分别为、，线段与轴交于点，三角形的面积记为，三角形的面积为．若，请求出的取值范围． 【答案】（1）12 （2）2 （3） 【解析】 【分析】（1）先求解点的坐标及的长，再根据计算即可得到答案； （2）过点B作轴于点E，连接，根据，得到，据此求解即可； （3）根据题意可得 根据列不等式，解不等式即可得到答案． 【小问1详解】 解：，轴于点， ，且轴， ， ∵， ； 【小问2详解】 解：如图所示，过点B作轴于点E，连接， ∵，轴 ∴轴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点是线段上的一点， ∴点G的纵坐标是非负数， ∴； 【小问3详解】 解：由题意得： ； ∵线段与轴交于点， ∴， 解得， ∵ ， ∴， ∴， ∴， 综上所述，． 23. 【问题背景】 如图1，已知，直线与，分别交于点E，F，交直线于点，且． （1）求证：平分； 【拓展迁移】 （2）点是射线上的一个动点（不与点重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设． （1）如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； （2）当点在运动过程中，直接写出和之间的数量关系． 【答案】（1）证明：如图1，， ， 又， ， 平分； （2）①； ②或． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及动态几何中角的数量关系探究，解题的关键是熟练运用平行线的性质（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）和角平分线的定义，结合动点位置进行分类讨论． （1）利用得到，结合，通过等量代换证明平分； （2）①根据角平分线定义表示出，结合平行线得到，代入的值求出； ②分点在左侧和右侧两种情况，分别和平行线性质和角平分线定义推导和的数量关系． 【详解】（1）略 （2）①如图2，平分， ， 又平分， ， 又， 又∵， ， ， 又， ， 又， 即， ， 当时，； ②或， 当点在点的左侧时，由①知：； 当点在点的右侧时，如图3， ， 又， ， 平分， ， 又平分， ， 又 ． 综上所述，和之间的数量关系或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $