广东汕头市澄海区2025-2026学年高一第二学期期末质量监测数学试卷

2025～2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科 第一部分（选择题，共58分） 一、单项选择题：本大题共有8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把它选出后在答题卡规定的位置上用铅笔涂黑． 1．已知，，则（ ） A． B． C． D． 2．若复数，则（ ） A． B． C． D．5 3．一组数据为50，40，20，19，16，16，14，10，则这组数据的众数与第60百分位数之和为（ ） A．35 B．36 C．39 D．40 4．已知平行四边形的两条对角线相交于点O，设，，则（ ） A． B． C． D． 5．若实数，满足，则与的值最接近的是（ ） （参考数据：，，） A．0.26 B．0.41 C．0.51 D．1.10 6．若，是方程的一个根，则（ ） A． B． C． D． 7．已知某圆锥的底面和某圆台的下底面相同，它们的高均为2，且圆台的上、下底面圆的半径之比是，圆锥的侧面积是，则该圆台的侧面积是（ ） A． B． C． D． 8．若曲线关于直线对称，则（ ） A． B．2 C．1 D．0 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知正实数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 10．如图是函数的部分图象，则下列结论正确的是（ ） A． B．的图象关于中心对称 C．在上单调递增 D．的图象向左平移个单位长度后为奇函数 11．如图，正三棱台的上、下底面边长分别是2和4，侧棱长是2，则（ ） A．平面 B．二面角的余弦值为 C．若点P在棱上，则的最小值为 D．若该棱台内有一个正方体，且该正方体在棱台内能任意转动，则该正方体棱长的最大值为 第二部分（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知向量，，若，则__________． 13．澄海素有“中国民间灯谜艺术之乡”的美誉，每逢元宵佳节各乡祠都会设谜台击鼓开猜，传承国家级非遗澄海灯谜．甲、乙两人组成“红头船队”参加村居灯谜擂台赛，擂台赛由甲、乙各猜射一道灯谜．已知甲猜中灯谜的概率为，乙猜中灯谜的概率为．两人猜中与否互不影响．则“红头船队”在擂台竞猜中至少猜中1道灯谜的概率为__________． 14．在棱长为2的正方体中，M为正方体内（含表面）的动点，若直线与的夹角为，则点M的轨迹形成图形的面积为__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 在中，． （1）求； （2）若，且的面积为，求的周长． 16．（本小题满分15分） 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图． （1）求频率分布直方图中a的值； （2）估计这100名学生的平均分（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线． 17．（本小题满分15分） 已知函数． （1）求函数的单调递增区间； （2）若直线是函数图象的对称轴（其中m是正实数），求m的最小值； （3）若锐角满足，求的取值范围． 18．（本小题满分17分） 如图，在棱长为4的正方体中，O为侧面的中心． （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的大小； （3）求三棱锥的外接球的体积． 19．（本小题满分17分） 已知函数，．（其中e是自然对数的底数） （1）判断函数在上的单调性（不必证明）； （2）求证：函数在内存在零点，且； （3）在（2）的条件下，求使不等式成立的整数k的最大值． （参考数据：，） 学科网（北京）股份有限公司 $2025~2026学年度第二学期质量监测高一级试卷 数学科试题参考答案 一、单项选择题答案（本大题共8小题，每小题5分，共40分） 单选 2 6 8 答案 C A C A C D 二、多项选择题答案（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分.) 多选题 9 10 11 答案 ABC AC BCD 三、填空题答案（本大题共3小题，每小题5分，满分15分；） 题序 12 13 14 答案 -4 √2π 6 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(1)解：因为C∈(0，m,则sinC>0,1分 由已知可得2 sin Ccos C=sinC,3分 osC= 可得 , 4分 C 因此， Γ3. 6分 S。c2 absinC=3a=63 (2)解：由三角形的面积公式可得 ,8分 解得a=4.9分 c2=a2+b-2abc0sC=16+9-2×4x3x=13 由余弦定理可 2 ,11分 :C=V13,12分 所以，△ABC的周长为a+b+C=7+V13.13分 16.解(1)由题意得(0.005+0.010+0.015+a+0.025+a+0.005)×10=1,2分 解得a=0.02.4分 (2)平均分为：55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.2+95×0.25+105×0.2+115×0.05=88.8 分 (3)由直方图可知，成绩在10,120]内的频率为0.059分 成绩在100,110)内的频率为0.2,10分 800-728=0.09>0.05 因为800 11分 设复赛最低分数线为，则n位于区间100,110)内，12分 n=110-0.09-0.05 ×10=108 0.2 .14分 因此，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线为108.15分 17.解(1)由题意有 ()-3sim.xco5.-c0 2.1分 sin 2x 2分 _T+2km≤2x- 令2 +2k.keZ.3分 6-2 _兀+km≤x≤ 解得6 2元+，k∈乙4分 3 [君a+标e 所以函数(x)的单调递增区间是6 5分 2x-至号t,keZ,6分 (2)令62 π，kπ X= 所以32，，k∈Z,7分 tsπ 当k=0时，3， 8分 元 所以m的最小值为3；9分 f(A)=5 (3)由 0-5m24号4-月 2,有 10分 <A<0-π<2A-匹<5π2A-π=亚A= 由 ”2有：6“6、6，所以66，即6,11分 B+C=57 又A+B+C=元，所以 6, 0<B<π 0<C<π B+C= π I<B<T 又因为△ABC为锐角三角形，所以( 6,即3 2, 12分 <2B- 所以2 66, <sin2B-<1 所以2 6 ,13分 所以2 6 14分 所以f(B)的取值范围为2 15分 18.(1)证明：连接AD,与AD交于点B,连接BC, D B A 因为O为侧面BCCB的中心，所以O为BC的中点， 连接OB,因为AB/CD,CDMC,D,且AB=CD,CD=CD, 所以AB/CD,且AB=CD, 则四边形ABCD为平行四边形，3分 因为B为AD的中点，易知AB/0E,3分 又ABd平面4D0,0EC平面4D0,4分 故ABW平面4D0.5分 (2连接BC,则BCNBC=O,则BO⊥BC,6分 易知四边形AB,CD为平行四边形， 在正方体ABCD-ABCD中，AB上平面BCCB. 又B0c平面BCCB,所以AB1B0,7分 因为4B∩BC=B, 故BO⊥平面ABCD,即B0⊥平面4D0,8分 所以∠BA0为直线4B与平面4D0所成的角，9分 在R△4B0中，易米8=军+4=45，B0-号8C=25 in∠BAO 所以 2,10分 ∠BA0=T 则 6 故直线4B与平面4D0所成角的大小为6.1分 (3)设三棱锥A-AD0的外接球的球心为M半径为R, 因为△A4D的外接圆的圆心为B,所以ME⊥平面44D,12分 由1)可知，AB/0E,ABL平面AAD,所以OE1平面AAD,13分 因此球心M在线段OE上，14分 易求4=25.0E=4,由=(2矿+4-.15分 解得R=3,16分 4 -πR3=36元 故三棱锥A-AD0的外接球的体积为 .17分 19.解：(1)判断8()在(0，+切)上单调递增。3分 (2)因为 /付}41-子6-h2-1<35-h2-1075172-093-1=-0394<0 4 5分 f()=2e+lnl-1=2e-1>0 6分 由8年e.ao2ra.9 m)0,分 因为(+x)e+n-1=0分(6+1e=1-nx9分 (+1)e5=ng合(：+1)e1=e1me e4+eghg+-n号 Xo 10分 (3)由(2)知， .我452号a刘 11分 (x,+)=g1ne 又因为 x,且8x)在(0，+o)上单调递增。 +1=In =1-In e=1 所以 Xo ”,即=-血，，13分 所以2e0-元n5+0-,-120台s2e-x+1--2t5+1-1=5+ -+1 Xoxo ”,15分 )+别 由对勾函数的性质可知 合鞋获 所以 046.3 16分 所以要使k≤（名），则整数k的最大值为3.17分