精品解析：广东汕头金中海湾学校、华南师范大学附属濠江实验学校2025-2026学年高一第二学期期末考试数学科试题

2025级高一第二学期期末考试数学科试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 3. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 5. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 6. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ） A. B. C. D. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ） A. 该组数据的平均数为 B. 该组数据的中位数为13 C. 该组数据的第70百分位数为16 D. 该组数据的极差为15 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______. 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________． 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，求函数的值域. 16. 已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 19. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称中心及在上的减区间； （3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025级高一第二学期期末考试数学科试题 注意事项： 1. 答题前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、考场号、座位号填写在答题卡上.并用 2B 铅笔将对应的信息点涂黑，不按要求填涂的，答卷无效. 2. 选择题每小题选出答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案，不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，只需将答题卡交回. 一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知全集为R，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】 由已知集合的描述，结合交、并、补运算即可判断各选项的正误 【详解】A中，显然集合A并不是集合B的子集，错误. B中，同样集合B并不是集合A的子集，错误. C中，，错误. D中，由，则，，正确. 故选：D． 2. 已知，则的值为（ ） A. 5 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先化简复数，再求． 【详解】， ， ，故B正确． 故选：B． 3. 已知平面向量与为单位向量，它们的夹角为，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由向量数量积定义可得，根据向量数量积的运算律可由求得结果. 【详解】， . 故选：D. 4. 已知函数的周期为，且在上单调递增，则可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求函数的周期，举例说明函数的单调性不满足要求，排除A，证明为函数的周期，再判断函数在上的单调性，判断B，举例说明函数的单调性不满足要求，排除C，结合函数定义域，排除D. 【详解】对于A，，但，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于B，， 所以函数的周期为， 当时，，因为， 函数在上单调递增， 所以函数在上单调递增，同理可得函数在上单调递减， ，所以函数的最小正周期为，B正确； 对于C，因为，， 所以函数在上不单调递增，不符合题意； 对于D，函数的定义域为，， 所以结论函数在单调递增错误，不符合题意； 故选：B. 5. 若不等式在上有解，则的取值范围是（ ） A. B. ． C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分和两种情况，分类讨论，结合函数单调性和函数图象，得到不等式，求出答案. 【详解】若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递增， 可得， 故不等式在上有解，满足要求； 若，当时， 因为在上单调递增，在上单调递减， 同一坐标系内画出和在的图象，如下： 要想在上有解，需满足 ，即，解得， 故的取值范围为. 故选：C 6. 下列不等式恒成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用特殊值判断A、C，利用重要不等式判断B，作差可判断D； 【详解】解：对于A：若、时，故A错误； 对于B：因为，所以，所以，即，当且仅当时取等号，故B错误； 对于C：若、时，，故C错误； 对于D：因为，所以，即，当且仅当时取等号，故D正确； 故选：D 7. 已知，是两条不重合的直线，，，是三个不重合的平面，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】对ABC，举反例判断即可；对D根据线面平行与线面垂直的性质判定即可 【详解】对A，若，，则或，故A错误； 对B，若，，则或，故B错误； 对C，长方体同一顶点所在的三个平面满足，，，故C错误； 对D，若，则平行于内的一条直线，又，故，故成立，故D正确； 故选：D 8. 已知正方体ABCD-A1B1C1D1的边长为2，M是BB1的中点，点P在正方体内部或表面上，且MP平面AB1D1，则动点P的轨迹所形成的区域面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】过点作平面的平行平面，再求解多边形的面积即可. 【详解】根据题意，过点作出平面的平行平面，如下所示： 因为////，////，////， 又，平面， 平面， 故平面//平面. 则点的轨迹图形如上图阴影部分所示. 显然，该六边形是正六边形，边长为. 故该六边形面积为6个全等的边长为的三角形的面积和. 即. 故选：C 【点睛】本题考查面面平行的判定，以及正方体的截面问题，属综合中档题. 二、选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分，有选错的得0分. 9. 已知某地区某周7天每天的最高气温分别为23，25，13，10，13，12，19（单位℃）．则（ ） A. 该组数据的平均数为 B. 该组数据的中位数为13 C. 该组数据的第70百分位数为16 D. 该组数据的极差为15 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据平均数、中位数、百分位数和极差的定义判断即可． 【详解】将23，25，13，10，13，12，19从小到大排列为10，12，13，13，19，23，25， 对于A，该组数据的中位数为，故A正确； 对于B，该组数据的中位数为13，故B正确； 对于C，由，则该组数据的第70百分位数为从小到大排列的第5个数，是19，故C错误； 对于D，该组数据的极差为，故D 正确． 故选：ABD． 10. 一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的五张号签，从中有放回地随机选取两张号签，每次取一张．事件A＝“第一次取到标号为1或2的号签”，事件B＝“第二次取到标号为5的号签”，事件C＝“两张号签标号之和为5”，则（ ） A. A与B独立 B. B与C对立 C. D. 【答案】ACD 【解析】 【详解】选项A，，，且, 因为，所以与独立. 选项B，因为， ，所以与不对立. 选项C，. 选项D，. 11. 在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且，则下列结论正确的有（ ） A. B. 的取值范围为 C. 的取值范围为 D. 的取值范围为 【答案】AC 【解析】 【分析】由余弦定理可得，再由正弦定理将边化角，由两角和的正弦公式可得，即可判断A，再根据三角形为锐角三角形，即可求出角的范围，从而判断B，再根据三角函数的性质判断C、D； 【详解】解：因为，又由余弦定理， 即， 所以，所以，即， 由正弦定理可得， 又， ，即， ， ，，为锐角， ，即，故选项A正确； ，，，故选项B错误； ，故选项C正确； ， 又，， 令，则， 由对勾函数性质可知，在上单调递增， 又， ， ，故选项D错误． 故选：AC． 三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在直角三角形ABC中，已知，，，以AC为旋转轴将旋转一周，AB、BC边形成的面所围成的旋转体是一个圆锥，则经过该圆锥任意两条母线的截面三角形的面积的最大值为______. 【答案】8 【解析】 【分析】设两条母线为AB、AD，则截面面积为，由为定值可知当最大时，截面面积最大，结合图形求出的范围即可求解． 【详解】 如图，圆锥任意两条母线为AB和AD，则截面为等腰三角形ABD， ∴截面面积为：， 由图可知，当截面为圆锥轴截面时，∠BAD最大，最大为120°， ∴， ∴sin∠BAD最大值为1， ∵为定值， 故当sin∠BAD最大时截面面积最大， 故截面面积最大为． 故答案为：8 13. 已知正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，所有顶点都在球O的球面上，若球O的表面积为，则此正四棱台的侧棱长为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意可得球O的半径，结合外接球的性质可得外接球心O在底面的中心，再根据几何关系求解侧棱长即可 【详解】设上下底面互相平行的两对角线分别为，则由球O的表面积为可得球O的半径，又正四棱台的上、下底面边长分别是1和2，故，所以球O的球心正好在中点.故.所以正，故，所以正，故此正四棱台的侧棱长 故答案为： 14. 已知是边长为2的等边三角形，点D在边上，且，若平面内动点P满足，则的最小值为_____. 【答案】 【解析】 【分析】建立平面直角坐标系，设出点，通过，得出， 将表示为的函数，利用函数的性质求最值. 【详解】以的中点为原点，所在直线为轴，的垂直平分线为轴，建立如图坐标系. 则，设， 因为，所以得. 所以. . ，所以，所以. 所以. 当时，取得最小值，最小值为. 四、解答题:本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知向量，，. （1）若，求； （2）设，，求函数的值域. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)利用向量平行的坐标条件求出，代入求解即可 (2)将转化为关于的二次根式，再配方求解最值即可 【小问1详解】 ，且 ， 所以， ，解得 ，，，； 【小问2详解】 的值域为. 16. 已知在中，内角，，对应的边分别是，，，，． （1）求的大小； （2）已知的周长为，求边上的中线的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据正弦定理边化角，再根据三角函数值求角； （2）利用正弦定理和三角形的周长求出外接圆半径和，再利用余弦定理求解. 【小问1详解】 ，由正弦定理可得， ，，，， ，解得； 【小问2详解】 由（1）可得， 设的外接圆半径为，则由正弦定理可得，， 则周长，解得，则，， 由余弦定理可得边上的中线的长度为：. 17. 某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图（分第一～五组区间分别为，，，，）． （1）求的值，并利用频率分布直方图，估计200名市民的年龄的中位数（结果保留两位小数）； （2）若从第3，4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈； ①第3，4组分别抽取多少人； ②从这5名市民中选取2人在座谈会中作重点发言，求作重点发言的市民中至少有一人的年龄在内的概率． 【答案】（1），中位数： （2）应从第3，4组中分别抽取3人，2人； 【解析】 【分析】（1）根据直方图面积为1求解a的值，再求中位数即可. （2）先确定从第3，4组中分别抽取3人，2人.再根据古典概型公式求解概率即可. 【小问1详解】 由图可得：，解得； 年龄在内的频率为，年龄在内的频率为 中位数为：. 【小问2详解】 第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为， 所以用分层抽样的方法从第3、4两组市民中抽取5名参加座谈， 所以应从第3，4组中分别抽取3人，2人. 记第3组的3名分别为，，，第4组的2名分别为，， 则从5名中选取2名作重点发言的所有情况为，，，，， ，，，，，共有10种. 其中第4组的2名，至少有一名被选中的有：，，，， ，，，共有7种， 所以至少有一人的年龄在内的概率为. 18. 如图，在三棱锥中，平面平面，，为的中点. （1）证明：； （2）若是边长为1的等边三角形，点在棱上，，且二面角的大小为，求三棱锥的体积. 【答案】(1)证明：因为，O是中点，所以， 因为平面，平面平面， 且平面平面，所以平面． 因为平面，所以； (2). 【解析】 【分析】(1)由题意首先证得线面垂直，然后利用线面垂直的定义证明线线垂直即可； (2)方法二：利用几何关系找到二面角的平面角，然后结合相关的几何特征计算三棱锥的体积即可. 【详解】（1）略 （2）[方法一]：通性通法—坐标法 如图所示，以O为坐标原点，为轴，为y轴，垂直且过O的直线为x轴，建立空间直角坐标系， 则，设, 所以， 设为平面的法向量， 则由可求得平面的一个法向量为． 又平面的一个法向量为， 所以，解得． 又点C到平面的距离为，所以， 所以三棱锥的体积为． [方法二]【最优解】：作出二面角的平面角 如图所示，作，垂足为点G． 作，垂足为点F，连结，则． 因为平面，所以平面， 为二面角的平面角． 因为，所以． 由已知得，故． 又，所以． 因为， ． [方法三]：三面角公式 考虑三面角，记为，为，， 记二面角为．据题意，得． 对使用三面角的余弦公式，可得， 化简可得．① 使用三面角的正弦公式，可得，化简可得．② 将①②两式平方后相加，可得， 由此得，从而可得． 如图可知，即有， 根据三角形相似知，点G为的三等分点，即可得， 结合的正切值， 可得从而可得三棱锥的体积为． 【整体点评】(2)方法一：建立空间直角坐标系是解析几何中常用的方法，是此类题的通性通法，其好处在于将几何问题代数化，适合于复杂图形的处理； 方法二：找到二面角的平面角是立体几何的基本功，在找出二面角的同时可以对几何体的几何特征有更加深刻的认识，该法为本题的最优解. 方法三：三面角公式是一个优美的公式，在很多题目的解析中灵活使用三面角公式可以使得问题更加简单、直观、迅速. 19. 已知点，是函数图象上的任意两点，且角的终边经过点，若时，的最小值为． （1）求函数的解析式； （2）求函数的对称中心及在上的减区间； （3）若方程在内有两个不相同的解，求实数的取值范围． 【答案】（1）； （2）对称中心；减区间：，； （3）或. 【解析】 【分析】（1）根据函数图象性质可得参数值及函数解析式； （2）由（1）函数解析式，利用整体法求函数的对称中心及单调区间； （3）设，将方程转化为函数与公共点问题. 【小问1详解】 解：角的终边经过点，, , , 由时，的最小值为， 得，即，, ， 【小问2详解】 解：令，即，即，所以函数的对称中心为， 令，得， 又因为， 所以在上的减区间为， 【小问3详解】 解：， ， ， 设， 问题等价于方程在仅有一根或有两个相等的根． ，， 作出曲线，与直线的图象． 时，；时，；时，． 当或时，直线与曲线有且只有一个公共点． 的取值范围是：或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $