精品解析：四川省达州市通川区罗江镇初级中学中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题

通川区罗江镇初级中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 总悬浮颗粒物是指漂浮在空气中的固态和液态颗粒物的总称，通常把粒径在10微米以下的颗粒物称为可吸入颗粒物，又称，某种粉尘的直径约为0.000006米，数据0.000006用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 4. 下列说法错误的是（ ） A. 轴对称图形对应点的连线必被对称轴垂直平分 B. 角的角平分线是它的对称轴 C. 三角形三条高线所在的直线相交于一点 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 5. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 6. 某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ）． A. 75，90 B. 80，90 C. 75，100 D. 80，100 7. 将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ） A. 12° B. 15° C. 20° D. 25° 8. 若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. 4 D. 10. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知：，则的值为_____． 12. 如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=_______°． 13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，若，则的度数是 ________． 14. 如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 15. 如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 19. 作图题． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 20. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同． （1）从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大． （2）“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”） （3）求摸出的小球不是白球的概率． 21. 已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： （1）； （2）． 22. 已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系， 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ （2）小明从街心公园到超市的速度为______； （3）小明的妈妈比小明提前______到家； （4）当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 23. 【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． （1）若，则______． 【知识迁移】 （2）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 24. 将长方形纸条折叠，． （1）按如图①折叠，若，则_____； （2）按如图②折叠，，请用含的代数式表示； （3）如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 25. “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：         （1）如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，若，，请直接写出的面积 ； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 通川区罗江镇初级中学2025-2026学年七年级下学期期末数学试题 一．选择题（共10小题，满分40分，每小题4分） 1. 体育是一个锻炼身体，增强体质，培养道德和意志品质的教育过程，是培养全面发展的人的一个重要方面．在以下给出的运动图片中，属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义逐项识别即可，一个图形的一部分，以某条直线为对称轴，经过轴对称能与图形的另一部分重合，这样的图形叫做轴对称图形． 【详解】解：选项A、B、C均不能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以不是轴对称图形， 选项D能找到这样的一条直线，使图形沿该直线对折后直线两旁的部分能够完全重合，所以D是轴对称图形． 故选：D． 2. 总悬浮颗粒物是指漂浮在空气中的固态和液态颗粒物的总称，通常把粒径在10微米以下的颗粒物称为可吸入颗粒物，又称，某种粉尘的直径约为0.000006米，数据0.000006用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．正确地确定的值即可． 【详解】解：． 故选：D． 3. 下列运算正确的是 （ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查整式加减、整式的乘除、幂运算，正确掌握相关运算法则是解题关键． 直接利用单项式乘以单项式、多项式除以单项式和合并同类项法则以及积的乘方运算法则分别判断得出答案． 【详解】解：A、，故此选项错误，不符合题意； B、，故此选项错误，不符合题意； C、，故此选项正确，符合题意； D、，故此选项错误，不符合题意； 故选：C 4. 下列说法错误的是（ ） A. 轴对称图形对应点的连线必被对称轴垂直平分 B. 角的角平分线是它的对称轴 C. 三角形三条高线所在的直线相交于一点 D. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行 【答案】B 【解析】 【分析】根据轴对称图形的性质、三角形的高线性质、平行公理逐项判断即可． 【详解】解：A、轴对称图形对应点的连线必被对称轴垂直平分，说法正确，不符合题意； B、角的角平分线所在的直线是它的对称轴，原说法错误，符合题意； C、三角形三条高线所在的直线相交于一点，说法正确，不符合题意； D、过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行，说法正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查轴对称图形的性质、三角形的高线性质、平行公理，熟练掌握相关知识的运用是解答的关键． 5. 一个布袋里装有2个红球、3个黄球和5个白球，除颜色外其它都相同．搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据概率计算公式，直接用黄色小球的个数除以总个数计算即可得结果． 【详解】解：搅匀后任意摸出一个球，是黄球的概率为， 故选：D． 【点睛】本题考查了概率的计算，牢记概率的计算公式是解题的关键． 6. 某天，小辉从家步行到图书馆读书，读了一段时间后，小辉立刻按原路回家．在整个过程中，小辉离家的距离s（单位：m）与他所用的时间t（单位：）之间的关系如图所示，则小辉从家去图书馆的速度和从图书馆回家的速度分别为（ ）． A. 75，90 B. 80，90 C. 75，100 D. 80，100 【答案】C 【解析】 【分析】根据速度路程时间，计算即可得出结果． 【详解】解：由图象可得，小辉从家去图书馆的速度为， 小辉从图书馆回家的速度为． 7. 将等腰直角三角形和直角三角形（其中）按如图所示的方式摆放，点在上，若，则的度数是（ ） A. 12° B. 15° C. 20° D. 25° 【答案】B 【解析】 【分析】由，可得，从而． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B 【点睛】本题考查平行线的性质，角的和与差，熟练掌握平行线的性质，角的和与差是解题的关键． 8. 若实数a，b满足，且a，b恰好是等腰的两条边长，则的周长为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由非负数性质求a，b的值，再分类讨论等腰三角形腰长，最后结合三边关系计算周长即可． 【详解】解：∵，即， ∴，， 解得，， a，b恰好是等腰的两条边长，故分两种情况讨论： ①当腰长为3时，三边长为3，3，4， ∵， ∴三角形存在，周长为， ②当腰长为4时，三边长为4，4，3， ∵， ∴三角形存在，周长为， 综上，的周长为或． 9. 如图1，从边长为的正方形纸片中剪掉一个边长为的正方形纸片，然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2），上述操作能验证的等式是（ ） A. B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平方差公式的几何背景．由图1可得剩余部分的面积，由图2可求得长方形的面积，结合两部分面积相等即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积为：， 图2长方形的面积为， 根据两者面积相等，可得， 故选：A． 10. 如图，在中，，，为的中点，直角绕点旋转，分别与边交于两点，连接．有下列结论：①是等腰直角三角形；②；③；④；⑤其中正确的是（    ） A. ①② B. ②③④ C. ①②③ D. ①③④⑤ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形的三边关系，首先根据等腰直角三角形的性质可以得到，，根据同角的余角相等可证，从而可证，所以结论③成立；根据全等三角形对应边相等可得，所以结论①成立；因为，，所以，所以结论②成立；根据三角形两边之和大于第三边可证，从而可得，所以可知结论④错误；当时，可得，即得到，得到，由与不一定垂直，可得不一定等于，故可知⑤错误，据此即可求解，解题的关键是根据等腰直角三角形的性质找到相等的角和边，再根据边和角之间的关系证明三角形全等，最后根据全等三角形的性质判断各项结论是否正确． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵为的中点， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴是等腰直角三角形，故①正确； ∵， ∴， ∵，， ∴，故②正确； 在和中 ， ， ∴，故③正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，， ∴ 故④错误； ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 当时，， 则， 即， ∵与不一定垂直， ∴不一定等于，故⑤错误； 综上，正确的结论是①②③， 故选：. 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 11. 已知：，则的值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂乘法，负整数幂，掌握同底数幂乘法的运算法则是解题关键，根据同底数幂乘法法则可得 ，把 代入求值即可． 【详解】解：由 ， 得 ， ∴ ， ∴故答案为：． 12. 如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=_______°． 【答案】150 【解析】 【详解】分析：两直线平行，同旁内角互补，然后根据三角形内角和为180°即可解答． 详解：如图， ∵m∥n，∠1=110°， ∴∠4=70°， ∵∠2=100°， ∴∠5=80°， ∴∠6=180°-∠4-∠5=30°， ∴∠3=180°-∠6=150°， 故答案为150． 点睛：本题主要考查平行线的性质，两直线平行时，应该想到它们的性质，由两直线平行的关系得到角之间的数量关系，从而达到解决问题的目的． 13. 如图，在中，，分别以点A，B为圆心，大于长为半径画弧，交于点M，N，作直线分别交，于点D，E，若，则的度数是 ________． 【答案】##72度 【解析】 【分析】由作图可得，垂直平分，则，由等边对等角可得，结合三角形外角的定义及性质得出，从而得出，再求出，即可得出结果． 【详解】解：由作图可得，垂直平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 14. 如图，的平分线上有一点C，过点C作交于点D，点E在射线上，若，，则的最小值为_____ ． 【答案】 3 【解析】 【分析】根据垂线段最短可知当时最小，利用角平分线的性质将的最小值转化为点到的距离，结合平行线的性质和等腰三角形的判定求出的长，最后在含角的直角三角形中求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点 ，当时，的长最小， 平分，，， ， 平分， ，， ， ， ， ， ， ， 在中，，， ， ，即的最小值为3． 15. 如图，在中，，，，P，Q两点分别在和的垂线上移动，，则当________时，才能使和全等． 【答案】3或6 【解析】 【分析】先得出是直角三角形，再根据定理分两种情况解答即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴是直角三角形， ∵， ∴①当时，则，符合题意； ②当时，则，符合题意； 综上，当或时，才能使和全等． 三．解答题（共10小题，满分90分，每小题9分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算各部分结果，再进行加减运算； （2）将原式变形后利用平方差公式简便计算； 【小问1详解】 解：    ； 【小问2详解】 解：        ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【分析】本题考查整式的化简求值．先去括号，化简，再代入数值计算解题即可． 【详解】解： ， 当，时， 原式． 18. 如图，已知A，B是直线上两点，，，，求证：． 【答案】证明：∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【解析】 【分析】先得出，进而可得，再根据同位角相等，两直线平行即可得证． 【详解】略． 19. 作图题． （1）请画出关于轴对称的； （2）直接写出三点的坐标：______，______，______； （3）在轴上找一点使得最小． 【答案】（1）图见解析 （2），， （3）图见解析 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，熟练掌握轴对称的性质，是解题的关键： （1）根据轴对称的性质，画出即可； （2）根据图形写出点的坐标即可； （3）作点关于轴的对称点，连接与该点的线段与轴的交点即为点． 【小问1详解】 解：如图，即为所求； 【小问2详解】 由图可知：，，； 【小问3详解】 如图，点即为所求． 20. 在一个不透明的口袋中装有白、红、黑三种颜色的小球，其中白球3个，红球5个，黑球4个，它们除了颜色外其他都相同． （1）从中随意摸出一个球，摸出______球的可能性最大． （2）“摸到黑球”是____事件，“摸到黄球”是_____事件．（填“不可能”“必然”或“随机”） （3）求摸出的小球不是白球的概率． 【答案】（1）红 （2）随机，不可能 （3） 【解析】 【分析】本题考查了事件的分类、概率公式，熟知概率计算公式是解题的关键． （1）根据白、红、黑三种颜色的小球得数量即可求解； （2）根据事件的分类的定义即可解答； （3）根据概率公式计算，即可得到答案 【小问1详解】 解：∵白球3个，红球5个，黑球4个， ∴摸出红球的可能性最大， 故答案为：红； 【小问2详解】 “摸到黑球”是随机事件，“摸到黄球”是不可能事件， 故答案为：随机，不可能； 【小问3详解】 摸出的小球不是白球的概率． 21. 已知：如图，点、在的平分线上，，，，垂足分别是点、．求证： （1）； （2）． 【答案】（1）略 （2）略 【解析】 【分析】（1）利用即可证； （2）由（1）知平分，利用角平分线的性质定理可得． 【小问1详解】 证明：点、在的平分线上， 平分， ． 在和中， ，，， ． （全等三角形对应角相等）． 【小问2详解】 证明：由（1）知，，即平分， 点在的平分线上， 又，， ． 22. 已知小明家、街心公园、超市依次在同一直线上，街心公园与小明家相距，超市与小明家相距．小明和妈妈从家出发，匀速步行了到达街心公园：两人在公园停留后，妈妈按从家出发时相同的速度匀速步行返回家，小明则匀速步行到达超市购买文具用品、停留后，骑自行车匀速返回家，如图反映了这个过程中小明离开家的距离与离开家的时间的对应关系， 请根据相关信息，解答下列问题： （1）填表： 离开家的时间/ 10 20 35 55 离家的距离/ （2）小明从街心公园到超市的速度为______； （3）小明的妈妈比小明提前______到家； （4）当时，请直接写出小明离开家的距离关于与离开家的时间的函数解析式，并写出的取值范围． 【答案】（1），， （2） （3）10 （4） 【解析】 【分析】本题考查函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答． （1）根据图象可以算出小明从家到街心公园的速度，再结合图象即可求解； （2）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明从街心公园到超市的速度； （3）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明妈妈到家的时间，即可求解； （4）根据题意和函数图象中的数据，可以计算出小明离开家的距离y(千米)与离开家的时间x(分钟)的函数解析式，并写出x的取值范围． 【小问1详解】 解：由图可得，小明从家到街心公园的速度为：， 当离开家时，离家距离， 当离开家时，离家距离， 根据图象可得，需停留，故当离开家时，离家距离， 根据图象可得，当离开家时，离家距离， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由图可得， 小明从街心公园到超市的速度为：， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由图可得，小明到家需要的时间为：， 小明的妈妈从家到街心公园的速度为：， 小明妈妈到家需要的时间为：， 故小明的妈妈比小明提前到家． 故答案为：10． 【小问4详解】 解：根据（2）得小明从街心公园到超市的速度为：， 小明从超市到家的速度为：， 当时，； 当时，； 当时，； 故． 23. 【知识生成】通过学习我们已经知道，通过计算几何图形的面积可以表示一些代数恒等式．例如图1可以得到，进而得出． （1）若，则______． 【知识迁移】 （2）将两块正方形纸板（）如图2所示放置，其中点，，在一条直线上，点，，在一条直线上，连接，，若，正方形和正方形的面积和为36，求图中阴影部分的面积．参考：[]． 【答案】（1）15 （2）14 【解析】 【分析】本题考查完全平方公式，整体思想和数形结合思想，灵活运用代数式的变形是解题关键． （1）运用整体思想，可以把x和看作完全平方中的两个部分，它们的和为5，乘积也为5，通过公式变形求出； （2）类比第（1）问，可以设两个正方形的边长分别为m和n，由题意可得，，，而阴影面积为，利用完全平方公式变形得到结果． 【小问1详解】 解：， 故答案为：15； 【小问2详解】 解：如图2，根据题意，设，， ， ， ∴，即， ∵正方形和正方形的面积和为36， ∴， ， ， ，即阴影部分的面积为14． 24. 将长方形纸条折叠，． （1）按如图①折叠，若，则_____； （2）按如图②折叠，，请用含的代数式表示； （3）如图③，在长方形纸片的两端分别折叠，和分别为折痕，且，试说明和之间的关系． 【答案】（1） （2） （3），理由如下： ∵， ∴， 根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴． 根据折叠的性质得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 【解析】 【分析】（1）根据折叠的性质得，再根据平行线的性质得，进而求出，然后求出，则此题可解； （2）由题意得，再根据折叠的性质可得，然后根据平角定义和三角形内角和定理求出，进而得出，最后根据直角三角形的两个锐角互余得出答案； （3）根据平行线的性质得，再根据折叠的性质得，进而得出，然后根据折叠的性质得，接下来根据平角定义得，即可得出，则此题可解． 【小问1详解】 解：根据折叠的性质得， ∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：由题意得， 根据折叠的性质可得， 即． ∵， ∴， ∴， ∴． 在中，， ∴； 【小问3详解】 略 25. “在一条直线上有三个直角顶点”的几何图形，我们一般称其为“一线三垂直”图形，随着几何学习的深入，我们还将对这类图形有更深入的探索：         （1）如图1，、和都是直角三角形，其中，且直角顶点都在直线l上，探索、、之间的数量关系，并证明你的结论； （2）如图2，在中，，，过点A作直线，于点D，于点E，若，，请直接写出的面积 ； （3）如图3，和都是等腰直角三角形，，，，且点E在上，连接，试猜想线段与线段的位置关系，并证明你的结论． 【答案】（1）解：，证明如下： ∵、和都是直角三角形，且直角顶点都在直线上， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴． （2）30 （3）解：，证明如下： 如图，过点作，交延长线于点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）先证出，再得出即可； （2）先证出，则，，再得出的长即可； （3）过点作，交延长线于点，先证出，则，，再得出，然后求出，由此即可得． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴的面积为． 【小问3详解】 略． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $