精品解析：四川省达州市通川区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题

四川省达州市通川区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 温馨提示： 1．答题前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上． 2．每小题选出正确答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑． 3．考试结束后，请将机读卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列徽章中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 2023年11月3日揭晓的2023年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在米米范围内，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有6cm，8cm，10cm和14cm四种规格，小雨同学已经取了6cm和8cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 14cm 5. 下列事件中，不是随机事件的是（ ） A. 打开电视机，正播放新闻 B. 通过长期努力学习，你会成为数学家 C. 太阳从西边升起 D. 明天会下雨 6. 如图，已知，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 120° D. 140° 7. 已知，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 8. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ） A B. C. D. 10. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止，设点P运动的路程为x，PAB的面积为y，表示y与x的关系的图象如图2所示，则a，b的值分别为（ ） A. a＝4，b＝5 B. a＝4，b＝20 C. a＝4，b＝10 D. a＝5，b＝10 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果a2+（k-1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=________． 12. 如图，蚂蚁在的地板砖上爬行，并随机停留在图中某一位置上，则它停留在阴影部分的概率是________. 13. 如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为__________． 14. 已知，则__________． 15. 如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有_____（将所有正确答案的序号填写在横线上）． 三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算∶ （1）； （2）化简求值∶，其中． 17. 有红球、白球、黄球若干个备用，它们除颜色外其它完全相同．首先，在一个不透明的口袋中放入6个红球和10个白球，摇匀． （1）求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机换出一个球不是红球的概率是，问放入了多少个黄球？ 18. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）若正方形网格的单位长度为1，求的面积． 19. 观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； （2）已知，求值； （3）已知，求值． 20. 如图，在四边形中，，//． （1）用尺规作的角平分线，分别交、于点、；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：． 21. 已知，点分别是上点，点在之间，连接． （1）如图1，若，求度数； （2）如图2，若点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 22. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）． x（人） 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） ﹣4000 ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … （1）表中反映了两个变量之间的关系，________是自变量，________是因变量，观察表中数据可知每月乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损． （2）求y与x的关系式（x为非负整数，且不超过公交车核定人数）． （3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 23. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． （2）请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和值； ②已知：，求的值． 24. 如图1，长方形ABCD的边上有一个动点P． （1）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线ABCD运动到点D停止，已知点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度．设运动时间为xs，APD的面积为S，S与x的关系图像如图2所示． ①根据图2直接写出CD=______； ②求线段AD的长； （2）如图3，若长方形的中心点为M（即点M到边AB，BC的距离分别是BC和AB长度的一半），动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿路线ABC运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线CBA运动到点A停止．设运动时间为ts，当点P运动到BC边上时，连接PM，QM，PQ，当MPQ的面积为3时，求t的值． 25. （1）阅读理解： 如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围． 某同学是这样思考的：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 　　中线的取值范围是 　　． （2）问题解决： 如图2，在中，点是边的中点，点在边上，点在边上，若．求证：． （3）问题拓展： 如图3，在中，点是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市通川区2023-2024学年七年级下学期期末数学试题 温馨提示： 1．答题前，请考生务必将姓名、准考证号、考试科目等按要求填涂在机读卡上． 2．每小题选出正确答案后，请用2B铅笔把机读卡上对应题号的答案标号涂黑． 3．考试结束后，请将机读卡交回． 一、选择题（本大题共10小题，每小题4分，满分40分） 1. 下列徽章中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】轴对称图形的定义是把一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，利用轴对称图形定义对各选项一一进行分析解答即可． 【详解】解：A．是轴对称图形，故此选项符合题意； B．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； C．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D．不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：A． 【点睛】此题主要考查了轴对称图形，关键掌握轴对称图形特征． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，逐项判断即可求解． 【详解】解：A、，故本选项错误，不符合题意； B、，故本选项正确，符合题意； C、，故本选项错误，不符合题意； D、故本选项错误，不符合题意； 故选：B 【点睛】本题主要考查了同底数幂相乘，幂的乘方，积的乘方，同底数幂相除，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 3. 2023年11月3日揭晓的2023年度国家自然科学奖，共评出了两项一等奖，其中一项是“有序介孔高分子和碳材料的创制应用”，有序介孔材料是上世纪90年代迅速兴起的新型纳米结构材料，孔径在米米范围内，数据用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案． 【详解】解：， 故选C． 4. 李老师在课堂上组织学生用小棍摆三角形，小棍的长度有6cm，8cm，10cm和14cm四种规格，小雨同学已经取了6cm和8cm两根木棍，那么第三根木棍不可能取（ ） A. 6cm B. 8cm C. 10cm D. 14cm 【答案】D 【解析】 分析】利用三角形三边关系判断即可 【详解】解：第三边的取值范围是2<第三边<14 ， 观察各选项可知选择A、B、C均可以构成三角形，选择D不能构成三角形， 故选D. 【点睛】本题考查了三角形三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.熟练掌握是解题的关键. 5. 下列事件中，不是随机事件的是（ ） A. 打开电视机，正播放新闻 B. 通过长期努力学习，你会成为数学家 C. 太阳从西边升起 D. 明天会下雨 【答案】C 【解析】 【分析】随机事件是在随机试验中，可能出现也可能不出现，而在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件（简称事件），根据随机事件的定义即可求解． 【详解】解：、打开电视机，正播放新闻是随机事件，不符合题意； 、通过长期努力学习，你会成为数学家是随机事件，不符合题意； 、太阳从西边升起是不可能事件，不是随机事件，符合题意； 、明天会下雨是随机事件，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题主要考查事件的分类，掌握随机事件的概念，事件的分类等知识是解题的关键． 6. 如图，已知，直线l分别与直线a，b相交于点A，B，现分别以点A和B为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点M和N，作直线MN交直线b于点C，连接AC，若，则的度数是（ ） A. 90° B. 100° C. 120° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据作图可知垂直平分，根据等边对等角可得，根据平行线的性质可得，根据平行线的性质即可求解． 【详解】解：∵作图可知垂直平分， ∴， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题考查了作垂线，垂直平分线的性质，等边对等角，平行线的性质，掌握以上知识是解题的关键． 7. 已知，则的值为（ ） A. 8 B. 10 C. 12 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 8. 如图，在中，是上的一点，，点是的中点，与相交于点，设，，的面积分别为，，，且，则(　　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题需先分别求出，再根据即可求出结果． 【详解】解：， ，点是的中点， ， ， ， ， ， ． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了三角形的面积计算，解题的关键是在解题时要能根据已知条件求出三角形的面积并对要求的两个三角形的面积之差进行变化． 9. 放寒假了，乐乐骑车从家去外婆家玩，先前进了a千米，在路上遇到同学培培，停下来闲聊了一会，乐乐发现数学卷子忘在了学校，于是借了培培的卷子返回路过的打印店去复印，原路原速返回了b千米（b＜a），再掉头沿原方向加速行驶，则乐乐离家的距离s与时间t的函数关系的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分四段看图象，然后根据每段图象大致位置进行判断． 【详解】解：A、乐乐原路原速返回，图象与原来的图象倾斜度相同，所以A选项不符合题意； B、停下来闲聊了一会，表明中间有一段图象与横轴平行，所以B选项不符合题意； C、停下来闲聊了一会，又沿原路原速返回了b千米，由于b＜a，所以没回到出发地，图象与横轴没交点，所以C选项不符合题意； D、先前进了a千米，对应的图象为正比例函数图象；停下来闲聊了一会，对应的图象为横轴平行的线段；沿原路原速返回了b千米（b＜a），对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而减小且与横轴没交点；掉头沿原方向加速行驶，对应的图象为一次函数图象，S随t的增大而增大，并且图象更陡，所以D选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查了函数图象：利用函数图象能直观地反映两变量的变化情况． 10. 如图1，在长方形ABCD中，动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动到点A处停止，设点P运动的路程为x，PAB的面积为y，表示y与x的关系的图象如图2所示，则a，b的值分别为（ ） A. a＝4，b＝5 B. a＝4，b＝20 C. a＝4，b＝10 D. a＝5，b＝10 【答案】C 【解析】 【分析】先由图2为等腰梯形可得a的值，则可求得AB与CD的值；再根据三角形的面积公式可得b的值． 【详解】解：动点P从点B出发，沿B→C→D→A的路径匀速运动， 根据题意得：a=13-9=4 ∴BC=DA=a=4 在长方形ABCD中 AB=CD=9–4=5 ∴b=5×4=10 故选：C． 【点睛】点评本题考查了动点问题的函数图象，明确长方形的性质、数形结合是解题的关键． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分） 11. 如果a2+（k-1）ab+9b2是一个完全平方式，那么k=________． 【答案】7或-5##-5或7 【解析】 【分析】这里首末两项是a和3b这两个数的平方，那么中间一项为加上或减去a和3b积的2倍． 【详解】解：解：∵a2+（k-1）ab+9b2=a2+（k-1）ab+（3b）2， ∴（k-1）ab=±2×a×3b， ∴k-1=6或k-1=-6， 解得k=7或k=-5． 故答案为：7或-5． 【点睛】本题是完全平方公式的应用；两数的平方和，再加上或减去它们积的2倍，就构成了一个完全平方式．注意积的2倍的符号，避免漏解． 12. 如图，蚂蚁在的地板砖上爬行，并随机停留在图中某一位置上，则它停留在阴影部分的概率是________. 【答案】 【解析】 【分析】分别算出地砖的面积和阴影部分的面积，再根据等可能条件下的概率计算公式进行求解即可． 【详解】的地板砖的面积为：25， 阴影部分的面积为：9， 蚂蚁停留在阴影部分的概率为：=， 故答案为：． 【点睛】本题考查了等可能条件下的概率计算，解题的关键是能正确算出阴影部分的面积，本题可以直接数出，还要熟练掌握等可能条件下的概率公式． 13. 如图，在中，，点是边上一点，点关于直线的对称点为，当时，则的度数为__________． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称的性质，三角形内角和定理，平行线的性质，利用平行线的性质得到，则由平角的定义可得，然后根据轴对称的性质得到，则可得∠CDB的度数，进而问题可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴, ∵点B关于直线对称点为， ∴， ∴． 故答案为：. 14. 已知，则__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查多项式乘多项式求值，利用完全平方公式变形求值，先利用多项式乘多项式的法则展开，利用整体思想代入求值即可． 【详解】解：∵， ∴ ； 故答案为：90． 15. 如图，△ABC的内角∠ABC和外角∠ACD的平分线相交于点E，BE交AC于点F，过点E作EG∥BD交AB于点G，交AC于点H，连接AE，有以下结论： ①∠BEC=∠BAC；②△HEF≌△CBF；③BG=CH+GH；④∠AEB+∠ACE=90°，其中正确的结论有_____（将所有正确答案的序号填写在横线上）． 【答案】①③④. 【解析】 【分析】①根据角平分线的定义得到∠EBC=∠ABC，∠DCE=∠ACD，根据外角的性质即可得到结论； ②根据相似三角形的判定定理得到两个三角形相似，不能得出全等； ③由BG=GE，CH=EH，于是得到BG-CH=GE-EH=GH．即可得到结论； ④由于E是两条角平分线的交点，根据角平分线的性质可得出点E到BA、AC、BC和距离相等，从而得出AE为∠BAC外角平分线这个重要结论，再利用三角形内角和性质与外角性质进行角度的推导即可轻松得出结论． 【详解】①BE平分∠ABC， ∴∠EBC=∠ABC， ∵CE平分∠ACD， ∴∠DCE=∠ACD， ∵∠ACD=∠BAC+∠ABC，∠DCE=∠CBE+∠BEC， ∴∠EBC+∠BEC= (∠BAC+∠ABC)=∠EBC+∠BAC， ∴∠BEC=∠BAC，故①正确； ∵②△HEF与△CBF只有两个角是相等的，能得出相似，但不含相等的边，所以不能得出全等的结论，故②错误； ③BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE， ∵GE∥BC， ∴∠CBE=∠GEB， ∴∠ABE=∠GEB， ∴BG=GE， 同理CH=HE， ∴BG−CH=GE−EH=GH， ∴BG=CH+GH， 故③正确； ④过点E作EN⊥AC于N，ED⊥BC于D，EM⊥BA于M，如图， ∵BE平分∠ABC， ∴EM=ED， ∵CE平分∠ACD， ∴EN=ED， ∴EN=EM， ∴AE平分∠CAM， 设∠ACE=∠DCE=x，∠ABE=∠CBE=y，∠MAE=∠CAE=z，如图， 则∠BAC=180−2z，∠ACB=180−2x， ∵∠ABC+∠ACB+∠BAC=180， ∴2y+180−2z+180−2x=180， ∴x+z=y+90， ∵z=y+∠AEB， ∴x+y+∠AEB=y+90， ∴x+∠AEB=90， 即∠ACE+∠AEB=90， 故④正确. 故答案为①③④. 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角平分线的性质和判定，三角形内角和定理， 三角形的外角性质等多个知识点.判断出AE是△ABC的外角平分线是关键. 三、解答题（本大题共10小题，满分90分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算∶ （1）； （2）化简求值∶，其中． 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了零指数幂，负整数指数幂和整式的化简求值： （1）先计算乘方，零指数幂，负整数指数幂，再计算加减法即可； （2）先根据平方差公式和完全平方公式进行计算，然后合并同类项，再根据多项式除以单项式的计算法则化简，最后代值计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解： ， 当时，原式． 17. 有红球、白球、黄球若干个备用，它们除颜色外其它完全相同．首先，在一个不透明的口袋中放入6个红球和10个白球，摇匀． （1）求从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率； （2）现从口袋中取出若干个红球，并放入相同数量的黄球，充分摇匀后，要使从口袋中随机换出一个球不是红球的概率是，问放入了多少个黄球？ 【答案】（1） （2）放入了2个黄球 【解析】 【分析】本题主要考查了简单的概率计算，已知概率求数量： （1）根据概率计算公式直接用白球的数量除以球的总数即可得到答案； （2）设放入了x个黄球，根据题意可知摸到白球或黄球的概率是，据此利用概率计算公式列出方程求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴从这个不透明口袋中随机摸出一个球是白球的概率为 【小问2详解】 解：设放入了x个黄球， 由题意得，， 解得：， 答：放入了2个黄球． 18. 如图，在正方形网格中，已知的三个顶点在格点上． （1）画出关于直线的轴对称图形； （2）若正方形网格的单位长度为1，求的面积． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】本题考查了作轴对称图形，利用网格求面积，正确掌握相关性质内容是解题关键． （1）根据轴对称的性质，找得到点，再依次连接得，即可作答． （2）运用割补法进行列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：依题意，的面积 19 观察以下等式∶ …… 按以上等式的规律，发现∶ ①；② （1）利用多项式乘以多项式的法则，证明∶成立； （2）已知，求值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）见解析 （2）40 （3） 【解析】 【分析】本题考查多项式乘以多项式，利用完全平方公式变形求值： （1）利用多项式乘以多项式的法则，将等式的左边展开即可得证； （2）根据非负性求出的值，进而求出的值，进而求出的值即可； （3）先求出的值，整体思想求出的值即可． 【小问1详解】 证明： ； 【小问2详解】 ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 20. 如图，在四边形中，，//． （1）用尺规作的角平分线，分别交、于点、；（保留作图痕迹，不写作法） （2）证明：． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】（1）以A为圆心，任意长度为半径作弧，交于两点，以这两点为圆心，大于这两点距离一半长度为半径，分别作弧交于一点，过和两弧交点做射线，分别交、于点、即为所求； （2）根据三线合一可得，根据平行线的性质可得,，进而证明，即可证明． 【小问1详解】 解：如图，即为所求， 【小问2详解】 ，是的角平分线 , 【点睛】本题考查了作角平分线，三线合一，三角形全等的性质与判定，掌握角平分线的作法是解题的关键． 21. 已知，点分别是上的点，点在之间，连接． （1）如图1，若，求的度数； （2）如图2，若点P是下方一点，平分平分，已知，求的度数． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题综合考查平行线的性质与判定，垂线的定义，角平分线的定义、三角形外角的性质等知识点．熟练掌握相关定理是解决问题的关键． （1）过点作，则，根据“两直线平行，内错角相等”即可得到结论； （2）过点作，则，利用（1）中的相关结论，结合三角形的外角即可得到结论． 【小问1详解】 解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， ，， ， ， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：过点作，如图所示： ∵，， ∴， 平分，， ， 平分， 设， 由（1）可得： ， ， ． 22. 某公交车每月的支出费用为4000元，每月的乘车人数x（人）与每月利润（利润＝收入费用﹣支出费用）y（元）的变化关系如表所示（每位乘客的公交票价是固定不变的）． x（人） 0 500 1000 1500 2000 2500 3000 … y（元） ﹣4000 ﹣3000 ﹣2000 ﹣1000 0 1000 2000 … （1）表中反映了两个变量之间的关系，________是自变量，________是因变量，观察表中数据可知每月乘客量达到________人以上时，该公交车才不会亏损． （2）求y与x的关系式（x为非负整数，且不超过公交车核定人数）． （3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为多少元？ 【答案】（1）乘车人数，每月利润，2000 （2）y＝2x﹣4000 （3）当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元 【解析】 【分析】（1）应用自变量和因变量的定义进行判定即可得出答案；由表中数据可知当x=2000时，y=0说明不亏也不盈利，即可出答案； （2）根据表格数据可知，每增加500人，利润增加1000元，则每增加1人，利润增加2元，即可写出函数关系式； （3）把x=4000代入（2）中的关系式中即可得出答案． 【小问1详解】 解：根据题意，乘车人数是自变量，每月利润是因变量， 观察表中数据可知每月乘客量达到2000人以上时，利润为0，则该公交车才不会亏损． 故答案为：乘车人数，每月利润，2000； 【小问2详解】 根据表格数据可知，每增加500人，利润增加1000元，则每增加1人，利润增加2元， 则y＝2x﹣4000； 【小问3详解】 当x＝4000时，y＝2×4000﹣4000＝4000（元）． 即当每月乘车人数为4000人时，每月利润为4000元． 【点睛】本题主要考查了函数关系式，自变量与因变量，熟练掌握函数关系式，自变量与因变量的定义进行求解是解决本题的关键． 23. 数学活动课上，老师准备了图1中三种不同大小的正方形与长方形，拼成了一个如图2所示的正方形． （1）请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积和． 方法1：________________________________； 方法2：________________________________． （2）请你直接写出三个代数式：之间的等量关系． （3）根据（2）题中的等量关系，解决如下问题∶ ①已知：，求和的值； ②已知：，求的值． 【答案】（1）， （2） （3）①；②或 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用，完全平方公式的变形求值： （1）利用阴影部分的面积是边长分别为的两个正方形面积之和边长为的正方形面积减去空白部分面积两种方法列出正确结果； （2）由图2中阴影部分的面积表示可得：； （3）①由可得，故，，即可得出结果；②设，，则，进而得到，再由推出，据此求出，由此可得答案． 【小问1详解】 解：阴影两部分求和为，用总面积减去空白部分面积为， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：由题意得，； 【小问3详解】 解：①由（2）题结论可得， ∵， ∴ ， ； ； ②设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴或． 24. 如图1，长方形ABCD的边上有一个动点P． （1）动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿路线ABCD运动到点D停止，已知点P在AB边上的速度为每秒1个单位长度，在BC边上的速度为每秒2个单位长度，在CD边上的速度为每秒3个单位长度．设运动时间为xs，APD的面积为S，S与x的关系图像如图2所示． ①根据图2直接写出CD=______； ②求线段AD的长； （2）如图3，若长方形的中心点为M（即点M到边AB，BC的距离分别是BC和AB长度的一半），动点P从点A出发，以每秒6个单位长度的速度沿路线ABC运动到点C停止．同时，动点Q从点C出发，以每秒2个单位长度的速度沿路线CBA运动到点A停止．设运动时间为ts，当点P运动到BC边上时，连接PM，QM，PQ，当MPQ的面积为3时，求t的值． 【答案】（1）①6；②AD＝10 （2），t或t或t 【解析】 【分析】（1）根据长方形的性质结合图像求解即可； （2）根据矩形的性质、三角形面积公式求出PQ＝2，然后分当点P在当P、Q在BC边上时，当点P在Q右侧，P运动到C点，P点停止运动，Q点继续运动，Q点运动到AB上，两种情况求解即可． 【小问1详解】 ①由图2知，x＝11s时，点P到达C点，之后向点D运动，当x＝13s时，点P到达D点， 即点P从点C运动到点D用的时间为：13﹣11＝2s， ∵点P在CD边上的速度为每秒3个单位长度， ∴CD＝3×2＝6， 故答案为：6； ②由图2知，当x＝11时，SAD•CD＝30， 即AD×6＝30， ∴AD＝10； 【小问2详解】 当P、Q在BC边上时， ∵M为长方形ABCD的中心点， ∴△MPQ的边PQ上的高为AB的一半，即PQ上的高为ABCD6＝3， ∴S△MPQPQ×3PQ， 当△MPQ的面积为3时，即PQ＝3， ∴PQ＝2， ①当点P在Q左侧，AB+BP＝6t，QC＝2t， 此时，（AB+BP）+PQ+QC＝AB+BC， 即6t+2+2t＝6+10， ∴t； ②当点P在Q右侧，点P没到点C时，时，AB+BP＝6t，QC＝2t， 此时，（AB+BP）﹣PQ+QC＝AB+BC， 即6t﹣2+2t＝6+10， ∴t； 当点P在Q右侧，P运动到C点，P点停止运动，Q点继续运动，Q点运动到AB上， 如图， ∵S△ABCBC•AB10×6＝30，S△MPQ＝3， ∴S△AMQ+S△BPQ＝S△ABC﹣S△MPQ＝27， 即10×（2t﹣10））（6﹣2t+10）×5＝27， ∴t， 故当△MPQ的面积为3时，t或t或t． 【点睛】此题是四边形综合题，考查了矩形的性质、三角形面积公式、函数的图像，熟练掌握矩形的性质、三角形面积公式是解题的关键． 25. （1）阅读理解： 如图1，在中，若，．求边上的中线的取值范围． 某同学是这样思考的：延长至点，使，连接．利用全等将边转化到，在中利用三角形三边关系即可求出中线的取值范围．在这个过程中小聪同学证三角形全等，用到的全等判定方法是 　　中线的取值范围是 　　． （2）问题解决： 如图2，在中，点是边的中点，点在边上，点在边上，若．求证：． （3）问题拓展： 如图3，在中，点是边的中点，分别以，为直角边向外作等腰直角三角形和等腰直角三角形，其中，连接，探索与的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】（1）；（2）证明见解答过程；（3），理由见解答过程． 【解析】 【分析】（1）由证明得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （2）延长至点，使，连接、，同（1）得：，由全等三角形的性质得出，由线段垂直平分线的性质得出，在中，由三角形的三边关系即可得出结论； （3）延长至，使，连接，由（1）得：，由全等三角形的性质得出，，证出，证明得出，，则．延长交于，证出，得出．即可． 【详解】（1）解：延长至点E，使得，连接， 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ，即， ， ， ； 故答案为：；； （2）证明：延长至点，使，连接、，如图2所示： 同（1）得：， ，， ， ， 在中，由三角形的三边关系得：， ； （3）解：，，理由如下： 延长至，使，连接，如图3所示： 由（1）得：， ，， ， ， 即， ， ， 和是等腰直角三角形， ，， ， 在和中， ， ， ，， ． 延长交于， ， ， ， ， ． 【点睛】此题是三角形综合题，主要考查了全等三角形的判定与性质、三角形的三边关系、线段垂直平分线的性质、等腰直角三角形的性质、角的关系等知识；本题综合性强，有一定难度，通过作辅助线证明三角形全等是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $