精品解析：四川达州市通川区第七中学校2026年春季学期期末质量监测七年级数学试卷

四川省达州市通川区第七中学校2026年春季学期期末质量监测 数学学科 A卷 100分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 下面四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 最 B. 美 C. 达 D. 州 2. 如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，过四边形的顶点D作交的延长线于点E，连接，下列说法正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 若，则 C. 线段是A、D两点间的距离 D. 线段中，最短，理由是两点之间，线段最短 5. 纳米（）是一种长度单位，，已知某种病毒直径大约是，相当于，将0.000005用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 6. 乌鸦喝水的故事：它看见了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，它衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．设从它看到瓶子后的时间为x，瓶中水位的高度是y，下列图象中最符合故事情景的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，下列各对角中，属于同旁内角的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 8. 如图，已知，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 为非零数，计算的结果为____． 10. 如图，点在一条直线上，点在上，，若，则的度数为______． 11. 如图，，若，，则的度数为_____． 12. 已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长，正常情况下，导火线每秒钟燃烧，则导火线燃烧时的剩余长度与燃烧时间之间的函数关系式是___________． 13. 一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：____________；____________；____________；…由此猜想：____________ （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，均在小正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形（点A，B，C的对应点分别为点，，），并直接写出的面积； （2）在第三象限内的格点上找点D，连接，，使得，并写出点D的坐标． 16. 春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 17. 如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，求． 18. 在中，，，P为内的一点． （1）如图1，当，，，，求． （2）如图2，当时，，为的中点，请你写出和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，，，为的中点，，直接写出的长为 ． B卷 50分 四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______． 20. 已知，，则=__________． 21. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 22. 已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为______． 23. 如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 五．解答题（共3小题，满分30分） 24. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂重物的质量之间满足的关系如下表： … … （1）上表反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度是多少？ （3）写出与之间满足的函数关系式，并求出当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度． 25. （1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 26. 在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 四川省达州市通川区第七中学校2026年春季学期期末质量监测 数学学科 A卷 100分 一．选择题（共8小题，满分32分，每小题4分） 1. 下面四个汉字中，是轴对称图形的是（ ） A. 最 B. 美 C. 达 D. 州 【答案】B 【解析】 【详解】解：“最”“达”“州”均不存在一条直线，使直线两旁部分折叠后能完全重合，不是轴对称图形； “美”沿中间竖直线折叠后左右两部分能够完全重合，是轴对称图形． 2. 如图在中，，分别平分，，交于O，为外角的平分线，的延长线交于点E，记，，则以下结论①，②，③，④正确的是（ ） A. ①②③ B. ①③④ C. ①④ D. ①②④ 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了角平分线的定义、三角形外角的性质，先利用角平分线的定义得到，，，再利用三角形的外角的性质转化各角之间的关系即可求解． 【详解】解：∵平分， 为外角的平分线， ∴，， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴，故④正确； ∵不一定是，故②不正确； 由于， ∴，故③不正确； 综上：正确的有①④； 故选：C． 3. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查整式运算中的合并同类项和幂的运算法则，根据对应法则逐一判断选项即可得到正确结果； 【详解】解：∵ 与不是同类项，不能合并，∴ A错误； ∵，∴ B错误； ∵，∴ C错误； ∵，∴ D正确； 4. 如图，过四边形的顶点D作交的延长线于点E，连接，下列说法正确的是（ ） A. 和是同位角 B. 若，则 C. 线段是A、D两点间的距离 D. 线段中，最短，理由是两点之间，线段最短 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角，熟练掌握平行线的判定定理是解题的关键．根据平行线的判定定理，线段的性质，同位角，内错角，同旁内角的定义判断即可． 【详解】解：A、和不是同位角，故不符合题意； B、若，则，故符合题意； C、线段的长度是、两点间的距离，故不符合题意； D、线段、、中，最短，理由垂线段最短，故不符合题意； 故选：B． 5. 纳米（）是一种长度单位，，已知某种病毒直径大约是，相当于，将0.000005用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵原数为，左起第一个非零数字为，第一个非零数字前共有个零，且，符合科学记数法对的要求， ∴． 6. 乌鸦喝水的故事：它看见了一个装有水的瓶子，但水位较低，且瓶口又小，乌鸦喝不着水，沉思一会后，它衔来一个个小石子放入瓶中，水位上升后，乌鸦喝到了水．设从它看到瓶子后的时间为x，瓶中水位的高度是y，下列图象中最符合故事情景的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据乌鸦喝水的故事情节，将过程分为沉思、投石、喝水、结束四个阶段，分析水位随时间的变化趋势． 【详解】解：乌鸦看到瓶子后沉思一会， 初始阶段时间增加，水位保持不变，图象为平行于轴的线段，排除C； 乌鸦衔来小石子放入瓶中， 水位随时间的增加而上升，排除A； 水位上升后乌鸦喝到了水， 水位随时间的增加而下降； ∵乌鸦喝完后停止，且瓶内石子占据一定体积， ∴最终水位保持不变且高于初始水位，排除B； 可知只有D符合． 7. 如图，下列各对角中，属于同旁内角的是（ ） A. 与 B. 与 C. 与 D. 与 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了同旁内角的定义，理解同旁内角的定义是解题的关键．根据同旁内角的定义即可得到正确选项． 【详解】解：A、与是对顶角，不符合题意； B、与是内错角，不符合题意； C、与是同旁内角，符合题意； D、与是同位角，不符合题意； 故选：C． 8. 如图，已知，添加下列条件，不能使的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：已知，且． 选项A中，根据可判定，不符合题意； 选项B中，根据可判定，不符合题意； 选项C中，此时为边边角（），不能判定，符合题意； 选项D中，根据可判定，不符合题意． 二．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 9. 为非零数，计算的结果为____． 【答案】 【解析】 【分析】根据同底数幂相除，底数不变，指数相减计算即可． 【详解】解：． 10. 如图，点在一条直线上，点在上，，若，则的度数为______． 【答案】20 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，等边对等角，三角形的外角性质，三角形内角和定理，由，得，，所以，再由三角形的外角性质，三角形内角和定理得，，最后由角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 11. 如图，，若，，则的度数为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据平角的定义求，再根据平行线的性质得，最后根据 三角形内角和定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 12. 已知用于某爆破工程的炸药包的导火线长，正常情况下，导火线每秒钟燃烧，则导火线燃烧时的剩余长度与燃烧时间之间的函数关系式是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用知识点，运用建模思想，根据“剩余长度 = 原长度 - 燃烧长度”的数量关系构建一次函数模型．解题关键是明确变量之间的数量关系，易错点是忽略自变量的取值范围（导火线燃烧时间不能为负且剩余长度不能为负）． 要确定剩余长度与燃烧时间的函数关系式，需先分析两者的数量关系．已知导火线原长，每秒燃烧，则燃烧秒的长度为．根据“剩余长度 = 原长度 - 燃烧长度”，可得．再确定自变量取值范围，当时，，解得，所以的取值范围是，最终函数关系式为． 【详解】由题意得，燃烧的长度为． 因此，函数关系式为（，因为当时，，解得）． 故答案为：． 13. 一组数据，其中最大值是170，最小值是147，对这组数据进行整理时，组距是4，则分成_____组合适． 【答案】6 【解析】 【分析】求出最大值与最小值的差，再根据组距、组数、最大值与最小值的差的关系进行计算即可． 【详解】解：（170-147）÷4≈6（组）， 故答案为：6． 【点睛】本题考查频数分布表，调查收集数据的过程与方法，掌握组距、组数、最大值与最小值的差之间的关系是正确计算的前提． 三．解答题（共5小题，满分48分） 14. 你能化简吗？我们不妨先从简单情况入手，发现规律，归纳结论． （1）先填空：____________；____________；____________；…由此猜想：____________ （2）利用这个结论，你能解决下面两个问题吗？ ①求的值； ②若，则等于多少？ 【答案】（1）；；；． （2）①；② 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的乘法规律探究以及代数式求值，涉及到平方差公式、多项式乘法等知识点．熟练掌握通过计算简单式子结果，观察并归纳出一般规律的方法是解题的关键． （1）本小题可从简单情况入手，通过计算前面几个式子的结果，观察规律，从而得出的结果． （2）①可根据（1）中得出的结论，令，（式子中最高次幂加）来计算的值． ②由，结合（1）中结论可得出满足的等式，再对进行变形求解． 【小问1详解】 解：； ； ； … 由此猜想：． 故答案为：；；；． 【小问2详解】 解：① ，且 ． ② ， ，即， ， ∴， ∴（若，） ∴ 当时，． 15. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点的坐标分别为，，均在小正方形网格的格点上． （1）画出关于轴的对称图形（点A，B，C的对应点分别为点，，），并直接写出的面积； （2）在第三象限内的格点上找点D，连接，，使得，并写出点D的坐标． 【答案】（1）如图所示 4 （2） 画图如下，点D即为所求， ． 【解析】 【分析】本题考查了坐标系中作图，对称作图，作已知角等于定角． （1）根据，，，得到关于x轴对称的的三个顶点坐标分别为，，，画图即可，再利用割补法求的面积； （2）把线段绕顺时针旋转即为所求． 【小问1详解】 解：根据，，，得到关于x轴对称的的三个顶点坐标分别为，，， ， 即的面积为4； 【小问2详解】 略 16. 春节期间，某购物广场举行有奖促销活动，顾客每购物满300元，就可以从以下两种奖励方案中选择一种： 方案一：先掷一枚硬币，如果正面朝上，就获得自由转动如图所示转盘（转盘被6等分）的机会，指针指向的区域即为奖励的购物券金额；如果硬币正面朝下，则转盘中奖励的购物券金额减半； 方案二：不掷硬币，直接获得40元的购物券． （1）某顾客选择方案一，求顾客一次获得50元购物券的概率； （2）请你通过计算，比较顾客选择哪一种方案更合算． 【答案】（1） （2）方案二 【解析】 【分析】（1）列举出所有可能即可求； （2）分别求出两种方案下平均获奖的情况即可． 【小问1详解】 解：所有可能的情况有6种，①正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；②正面朝上指针指向100元，获得100元购物券；③正面朝上指针指向谢谢，不得奖；④正面朝下指针指向50元，购物券金额减半获得25元购物券；⑤正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券；⑥正面朝下指针指向谢谢，不得奖；其中一次获得50元购物券的情况有2种：分别是正面朝上指针指向50元，获得50元购物券；正面朝下指针指向100元，购物券金额减半获得50元购物券； 故一次获得50元购物券的概率为； 【小问2详解】 解：由（1）知，方案一：一次获得100元购物券的情况只有1种，故一次获得100元购物券的概率为；一次获得25元购物券的情况只有1种，故一次获得25元购物券的概率为； 一次平均获奖（元）， 方案二：直接获奖40元， 则顾客选择方案二更合算． 17. 如图，点，分别在的边上，点在线段上，且，． （1）判断与的位置关系，并说明理由； （2）若平分，求． 【答案】（1），理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线定义． （1）由平行线的性质得，从而得，从而； （2）由邻补角的性质得到，由角平分线定义求出，于是得到． 【小问1详解】 解：，理由如下： ， ， ， ， ∴； 【小问2详解】 解：， ， 平分， ， 由（1）知． 18. 在中，，，P为内的一点． （1）如图1，当，，，，求． （2）如图2，当时，，为的中点，请你写出和之间的数量关系，并说明理由． （3）如图3，当，，，为的中点，，直接写出的长为 ． 【答案】（1）； （2），见解析； （3）； 【解析】 【分析】（1）将逆时针旋转至，连接，由旋转的性质得，，再证，然后由勾股定理得，即可解决问题； （2）延长至D，使，将逆时针旋转至，连接、、，由旋转的性质得，，，，再证四边形是平行四边形，得出，，然后证，得，即可解决问题； （3）以为边向BC的下方作等边，过点B作，交的延长线于点E，延长到N，使，连接、、、、，则四边形是平行四边形，再证，点A、M、D三点共线，然后证，得，设设，则，，，，进而由勾股定理求得，得，证，求出则，最后由，即可解决问题． 【小问1详解】 如图1，将逆时针旋转至，连接， 由旋转的性质得：，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得： ∵，， ∴， 即， 解得：（负值已舍去）， 即AP的长为； 【小问2详解】 ，理由如下： 如图2，延长至D，使，将逆时针旋转至，连接、、， 由旋转的性质得： ∴， ∴ ∵， ∵，， ∴， ∴， ∵M为的中点， ∴， ∵， ∴四边形BDCP是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问3详解】 如图3，以为边向的下方作等边，过点B作，交的延长线于点E，延长到N，使，连接、、、、， 则，， 同（2）四边形是平行四边形， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴P点在以点D为圆心，为半径的圆上， ∴， ∵M为的中点， ∴ ∵，， ∴，， ∴点A、M、D三点共线， ∵, ∴, ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， 设， 则，， ∵， ∴ ∴， 由勾股定理得：， 即 解得：或（不合题意，舍去）， ∴ ，， ∴， ∴， 即 解得：， ∴ ∴ 故答案为： 【点睛】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、旋转的性质、勾股定理、平行四边形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、锐角三角函数定义等知识，本题综合性强，熟练掌握旋转的性质和勾股定理，证明三角形全等和三角形相似是解题的关键，属于中考常考题型． B卷 50分 四．填空题（共5小题，满分20分，每小题4分） 19. 如图，在的正方形网格中，已将部分小正方形涂上阴影，有一只小虫自由地落到网格中，那么小虫落到阴影部分的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是几何概率，用到的知识点是概率公式．求出黑色方格在整个方格中所占面积的比值即可求解． 【详解】解：小虫落到阴影部分的概率， 故答案为： 20. 已知，，则=__________． 【答案】7 【解析】 【分析】根据多项式乘多项式法则，得=，再代入求值即可． 【详解】解：∵，， ∴===5+2×3-4=7． 故答案是：7． 【点睛】本题主要考查代数式求值，数量掌握多项式乘多项式法则以及整体代入思想方法是解题的关键． 21. 如图，，直线与射线相交于点，若，则______． 【答案】##125度 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，根据平行线性质求得，再结合邻补角性质求解，即可解题． 【详解】解：∵，， ∴， ∴； 故答案为：． 22. 已知一个三角形的三边长分别为5、x、8，则化简的结果为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查三角形三边关系，绝对值，关键是掌握三角形三边关系定理，绝对值的性质． 由三角形三边关系定理得到，推出，，据此化简，即可得到答案． 【详解】解：由三角形三边关系定理得到：， ， ，， 故答案为：11． 23. 如图，在中，，，，点D为边上一动点，点E在边上，，将沿翻折，点A的对应点为F，连接．当为直角三角形时，的长为__________________． 【答案】或 【解析】 【分析】根据题意分两种情况，根据折叠的性质分别求出的长，再证明，进而可知的长． 【详解】解析：∵， ∵将沿翻折，点的对应点为， 如图，当时，点在内， ∵， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 当时，点F在外， 同理可得， ∴． ∵， ∴， ∴， 即， ∴； 综上所述，的长为或． 五．解答题（共3小题，满分30分） 24. 一种弹簧秤最大能称不超过的物体，在弹性限度内，挂重后弹簧的长度与所挂重物的质量之间满足的关系如下表： … … （1）上表反映了两个变量之间的关系，哪个是自变量？哪个是因变量？ （2）当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度是多少？ （3）写出与之间满足的函数关系式，并求出当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度． 【答案】（1）所挂重物的质量是自变量；挂重后弹簧的长度是因变量 （2）厘米 （3），厘米 【解析】 【分析】本题考查的用表格表示的变量间关系； （1）根据自变量和因变量的定义直接判断即可； （2）读表格可知，未悬挂物体的时候，弹簧的长度为12cm，即为弹簧的原长，再计算所求的值即为物体每增加时弹簧增加的长度； （3）根据第（2）小题，先求出时弹簧增加的长度，再加上弹簧的原长即可． 【小问1详解】 解：所挂重物的质量是自变量；挂重后弹簧的长度是因变量． 【小问2详解】 时，， ∴弹簧的原长是， 当悬挂物体的时候，弹簧的长度变成了， 相比较原长增加了， 即每增加，弹簧的长度增加了， ∴当所挂重物的质量为时，挂重后弹簧的长度为 【小问3详解】 解：依题意，与之间满足的函数关系式为 当时，． 答：挂重后弹簧的长度为16cm． 25. （1）问题探究：已知，，可利用完全平方公式得：______． （2）自主推导：______． 根据上面的公式计算：已知，，求______ ． （3）问题解决：已知，，求的值． 【答案】（1）；（2），；（3） 【解析】 【分析】（1）根据，代入可得答案； （2）由多项式乘多项式法则可得，将已知代入可得的值； （3）根据题意可知：，进而得到的值，代入可得答案； 【详解】解：（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：； （2）∵ ， ∵，， ∴， ∴, ∴， 故答案为：，； （3）∵，， ∴， ∴， ∵ ， ∴， 答：的值是 【点睛】本题考查完全平方公式的推广，解题的关键是掌握完全平方公式． 26. 在中，，，D为直线上一动点，连接，在直线右侧作，且． （1）如图1，当点D在线段上时，过点E作于点．求证：； （2）如图2，当点D在线段的延长线上时，连接交的延长线于点M，求证：； （3）当点D在直线上时，连接交直线于M，若，请直接写出的值． 【答案】（1） 证明：，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ； （2） 证明：如图2，过点作， ，， ， ，， ， 又，， ， ， ， ， 又，， ， ； （3）或 【解析】 【分析】（1）由结合已知得结合题意证，利用全等的性质可证； （2）如图2，过点作，由垂直得结合已知证，得到，，再证即可得到结果； （3）当点在延长线上时，如图，交的延长线于，由，设则，分别，利用全等的性质求出，，，最后利用三角形面积公式计算即可． （3）作交的延长线于点，先证明，得，，所以，可证明，得，再分两点情况，一是点在的延长线上，设，则，由得，则，，，可求得；二是点在线段上，设，则，则，，，于是得，，所以． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 如图，当点在延长线上时，连接交直线于，交的延长线于， ， ， 设，则， ， ，， ， ，， ， 又，， ， ，， 又，， ， ， ， ， ， ． 如图4，点在线段上，设，则， ， ， ， ， ，， ， 综上所述，或， 故答案为：或． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形面积公式；解题的关键是证明三角形全等并运用性质进行等量换算． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $