数列的通项公式 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦数列通项公式求法，系统整合定义法、累乘法、构造法等核心方法，通过分层题型构建从概念辨析到综合应用的逻辑链条，培养数学思维与表达能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念辨析|单选1题|通项公式验证法|从数列项与项数关系切入，强化概念本质理解| |Sn与an关系|5题（选择/填空/解答）|Sn作差法、构造等比数列|通过Sn与an互化，建立递推关系到通项的推导路径| |递推求通项|6题（解答）|累乘法、构造辅助数列|针对不同递推形式（如an+1=an+f(n)），提炼转化为等差/等比数列的通法| |综合应用|4题（解答）|裂项相消、数学建模|结合实际问题（如快递站问题），实现知识迁移与综合论证，发展应用意识|

2027届高考数学一轮复习作业——数列的通项公式 一、单选题 1．已知数列，下列不是该数列的通项公式的是（   ） A． B． C． D． 2．已知数列的前项和为，且，若，则称项为“和谐项”，则数列的所有“和谐项”的平方和为． A． B． C． D． 3．已知数列满足，数列满足．下列关于方程（，）的说法，正确的是（     ） A．该方程无解 B．该方程有唯一解 C．该方程有有限个解且多于1个 D．该方程有无穷多解 4．已知数列满足是数列的前n项和，则（   ） A．-7 B．-6 C．6 D．7 5．已知是数列的前n项的和，且，，则（     ） A．68 B．56 C． D． 二、多选题 6．已知数列的前项和为，且，则（     ） A．数列为等差数列 B． C．当或时，有最小值 D．数列有最小值，且最小值为 7．已知数列满足，则（    ） A． B．的前n项和为 C．的前100项和为50 D．的前30项和为357 三、填空题 8．记为数列的前n项和，已知，，则______． 9．已知为数列的前项和，若，则________. 10．已知数列满足，且．设表示的前项和，则________． 11．已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 四、解答题 12．已知数列满足，，求数列的通项公式. 13．已知数列满足，，求数列的通项公式. 14．已知数列的前n项和为，若. (1)求数列的通项公式； (2)求数列的前n项和. 15．已知数列满足，. (1)求的通项公式； (2)设数列的前项和为，证明：. 16．已知是数列的前项和，，且. (1)求的通项公式； (2)若数列的前项和为，证明：. 17．一辆快递车从地往地运送快递，沿途（包括，）共有站.从地出发时，装上发往后面站的快递各1件，到达后面各站后卸下前面各站发往该站的快递，同时装上该站发往后面各站的快递各1件.设快递车在各站装卸完成后剩余快递的件数构成数列. (1)求，，并写出与的递推关系式； (2)求数列的通项公式，并求出的最大值. 18．已知数列的前n项和为，； (1)求的通项公式； (2)若不等式对任意，恒成立，求实数的取值范围； 19．已知数列的前项和为，且. (1)求的通项公式； (2)若，记数列的前项和，求. 20．记正项数列的前项和为，已知． (1)求； (2)记，数列的前项和为，证明：． 21．设数列满足，（）． (1)求数列的通项公式； (2)设，求． 22．某篮球队安排编号为1，2，…，m的名队员进行远程投篮训练，编号为1，4，7，…的队员为甲组，编号为2，5，8，…的队员为乙组，编号为3，6，9，…的队员为丙组，甲、乙、丙组队员投篮命中率分别为，，.1号队员先投篮，再按以下规则继续进行：若号队员投入，则由号队员继续投；若k号队员未投入，则由号队员继续投，各队员命中与否相互独立. (1)前4次投篮结束，求丙组队员一次未投的概率. (2)若第次由甲组、乙组、丙组队员投篮的概率分别为，，. （ⅰ）求； （ⅱ）证明：存在正整数，使得当时，. 23．已知数列的前项和为，对任意，满足，且．数列满足，且其前两项和为6，前4项和为． (1)求数列，的通项公式； (2)将数列，的项按照“当为奇数时，放在的前面；当为偶数时，放在的前面”的要求进行排列，得到一个新的数列：．求该数列前39项的和． 24．已知正项数列的前项和为，． (1)求数列的通项公式； (2)将数列的前项重新排列后，得到新数列，，…，，设的最大值为，证明：； (3)将数列的前项重新排列后得到新数列，，…，，该数列满足，，，…，是1，2，3，…，的一个排列，求的最小值． 25．已知函数． (1)若在上恒成立，求实数的取值范围； (2)设数列的前项和为，且． （ⅰ）求数列的通项公式； （ⅱ）求证：，． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高考数学一轮复习作业——数列的通项公式》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 答案 D B D B C BCD ACD 1．D 【详解】对于A：当为奇数时，；当为偶数时，，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于B：当时，；时，；时，，以此类推，与数列的对应项一致，所以是该数列的通项公式； 对于C：根据余弦函数性质，，与B相同，所以是该数列的通项公式； 对于D：，与数列的对应项不符，故不是该数列的通项公式． 2．B 【分析】根据题意，先利用和的关系，求得数列的通项公式，由，得到，结合等比数列的求和公式，即可求解. 【详解】因为数列的前项和为，满足， 当时，可得， 两式相减，可得，即，所以， 又因为，可得，所以， 因为，所以， 所以数列的所有“和谐项”的平方和为： . 3．D 【分析】将方程变形为，通过二项式定理分奇偶讨论能否为的倍数即可得解. 【详解】，即，则， 由，故且是的倍数， 当时， ，不是的倍数，不符； 当时， ，是的倍数，符合题意； 令，解得， 故为大于等于的偶数时，存在，使得原方程成立， 故该方程有无穷多解. 4．B 【分析】通过递推式求出，然后代入求即可. 【详解】由数列满足， 可得， 所以． 5．C 【分析】根据前n项和的含义，依次令，逐步计算即可得到结果. 【详解】由，得 ，即； ，即； 因为，所以； ，即，所以； ，即，所以. 6．BCD 【分析】利用与的关系，求出数列的通项公式及前三项的相邻两项之差，即可判断A；根据通项公式求出，即可判断B；利用二次函数的对称性，求出取最小值时的值，即可判断C；利用基本不等式求出数列的最小值，即可判断D. 【详解】因为 ，当 时， ， 当时， ， 且当时， ，所以， 对于A，， ， 所以数列不是等差数列，故A错误； 对于B，当 时， ，故B正确； 对于C，因为的对称轴为， 又，所以当 或 时，同为最小值，故C正确； 对于D，因为 ， 当且仅当，即 时，等号成立， 所以的最小值为 ，故D正确． 7．ACD 【分析】利用与关系求出，结合等差数列前项和公式依次判断选项即可. 【详解】当时，， 当时，， 两式相减可得：， 所以，显然当时，满足，故，故A正确； 由等差数列求和公式知的前项和为，故B错误； 令，的前100项和为： ，故C正确； 令，所以的前30项和为：，故D正确. 8． 【分析】由与关系推得，构造等比数列，利用基本量运算即可求得. 【详解】当时，，将其代入，可得， 即，又，则数列是首项为、公比为的等比数列， 从而，解得. 9．11 【分析】利用与的关系计算求解即可. 【详解】当时，，即， 解得； 当时，， 所以， 即， 整理得， 所以， 所以数列为常数列， 所以， 所以， 所以． 10．（或） 【分析】根据题设，结合等比数列的定义，通项公式及求和公式分别求得和的和，即可求解． 【详解】由题可知，，，， 消去得，， 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以； 当时，，， 消去得，， 则得 所以是以为公比，首项为的等比数列， 所以， 所以， 所以 ． 11．5 【分析】根据题意，利用通项与前项和关系求出，，则，令，则，根据求出答案. 【详解】解：当时，，即， 当时，， 所以，对成立，故． 此时． 又因为时，， 当时，，对成立， 故 此时， 令， 得，而，所以， 则，所以当时，，当时，， 即奇数项中，最小，而， 故数列的最小项为，则当取得最小值时，． 12． 【详解】由，得， 所以， 将以上各式相乘，可得， 因为，所以， 又因为满足上式，所以数列的通项公式为． 13． 【详解】因为，所以， 当时， ， 当时，也满足上式，故数列的通项公式为． 14．(1) (2) 【分析】（1）利用与的关系式得到，得到结论； （2）分组求和，结合等差和等比数列的求和公式，得到答案 【详解】（1）由得，当时，. 两式作差得，即（，）. 当时，，故. 所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，. （2）由得，所以. 其中，， 故数列的前n项和. 15．(1) (2)证明：因为， 所以， 因为，所以. 【分析】（1）通过数列的递推公式，利用累乘法即可求解通项公式； （2）化简数列通项，通过裂项相消法即可求解出数列前项和的计算公式，进而即可证明； 【详解】（1）由题意可得. 当时，， 当时，满足， 所以. （2）略 16．(1) (2)由（1）得：， ， ， ， 【详解】（1）当时，，， ，又，； ，即，； 则当为奇数时，；当为偶数时，； . （2）略 17．(1)，，， (2)，. 【分析】（1）由题意可得，并得到，得到答案； （2）累加法得到，，也符合上式，所以. 【详解】（1）由题意可知，. 在第个快递站卸下件快递，同时装上件快递， 则，所以，. （2）由（1）知，. 可得 ，， 也符合上式，所以. 因为，故当时，的最大值为. 18．(1) (2) 【分析】（1）利用计算； （2）分、两种情况讨论，利用参变分离并结合对勾函数求最值. 【详解】（1）因为，所以， 则， 又，不符合上式， 所以. （2）若，则成立，即，得； 若，则，，则恒成立， 即恒成立， 因为在上单调递增，所以， 则的最大值为，则， 综上，实数的取值范围为. 19．(1) (2) 【分析】（1）借助与的关系计算即可得； （2）根据（1）的结果和正弦函数的性质得到，对分组求和即可. 【详解】（1）因为，所以当时，； 当时，， 又因为，满足上式， 所以的通项公式为； （2）由（1）知，，所以， 所以 ． 20．(1) (2)由（1）知， 由， 得 . 所以数列的前项和， 得， 因此，. 【分析】（1）根据前项和与的关系，判断出数列为等差数列，进而求出数列的通项公式. （2）根据第（1）问，表示出数列的通项公式，对裂项，求其前项和，再证明结论成立. 【详解】（1）由正项数列，前项和， 当时，， 整理得， 解得舍去. 当时，， 所以， 即， 整理得， 因为，所以，即是首项为5，公差为2的等差数列， 所以数列的通项公式为. （2）略 21．(1) (2) 【分析】（1）通过构造，把复杂的递推式转化为可累加的等差数列形式，求出； （2）通过对多项式求导，将转化为数列求和，再利用第一问的通项公式，将求和式转化为平方和与常数项和，进而求解． 【详解】（1）由题意， 令， 则， 又，， ， 即， 计算得， ， ， ． （2）由， 得， ， 由（1）知，故， ， ， 整理得． 22．(1) (2)（ⅰ）（ⅱ）证明见解析 【分析】（1）应用独立事件乘法公式求丙组队员一次未投的概率； （2）（i）根据已知及概率的性质得到，构造法确定为等比数列，从而写出其通项公式；（ii）由题设，，两式作差且令，应用累加法、等比数列的前n项和公式求，从而得到的通项，应用分类讨论判断证明结论. 【详解】（1）若前4次投篮结束，丙组队员一次未投， 则前3次投篮情形为1号中，2号未中，4号中，其概率为. （2）（i）由题意知， 且， 所以，， 所以是首项为，公比为的等比数列，则， 所以. （ⅱ）依题意，，， 所以. 两边同乘，得. 令，则. 当时， ，其中， ， 所以. 当为奇数且时，即时，. 当为偶数且时，， 当为偶数且时，令，可化为. 因为，所以， 故存在，使得当时，. 23．(1) ，（或）； (2) 前39项和为（或）。 【分析】（1）由题意可知数列为等差数列，结合等差数列通项公式求出，再由可求出数列的通项公式，由等差中项法可知数列为等差数列，从而得出数列为等比数列，且设该等比数列的公比为，结合题中条件求出和的值，即可求出数列的通项公式； （2）求出数列的前项和，利用分组求和法可得出结论. 【详解】（1）且，所以，数列是以为首项，以为公差的等差数列，，. 当时，. 也适合上式，所以，. ，即，且， 所以，数列是正项等比数列，设其公比为，则. 由题意可得，解得， 因此，； （2）数列的前项和为， 数列的前项和为， 设新数列为，其前项和为， 则. 24．(1)； (2)由（1）知，所以是的一个排列． 令，则是的一个排列，并且． 因此，只需研究排列的相邻两项之差的绝对值之和． 对于每个，在与之间画一条“分界线”，即把分成和． 记为相邻项对中，一项不大于、另一项大于的相邻项对数，也就是相邻项跨过第条分界线的次数． 下面说明“跨分界线的次数”为什么等于相邻差的绝对值． 若某一对相邻项为，且，那么从到依次跨过，，，这条分界线． 因此，这一对相邻项在中各被计算一次，总共被计算次． 把所有相邻项对的贡献相加，得到. 接下来估计每个的最大值． 当时，集合中有个数． 每个数在排列中最多与两个数相邻，所以由这些数产生的跨界相邻项对最多有对，即． 当时，整个排列一共只有对相邻项，所以． 当时，集合中有个数． 同理，每个数最多与两个数相邻，所以． 于是. . 下面构造一个排列，使相邻差绝对值之和恰好等于． 当时，． 当时，取排列满足，；（）；（）． 也就是说，该排列为． 其中，、、以及都恰好出现一次，所以它确实是的一个排列． 在这个排列中，首、尾两个相邻差均为；有个相邻差等于；有个相邻差等于． 因此． 结合前面的上界，得． 下面证明所给不等式．当时，． 当时，对，有，所以． 于是． ． ． ． 故原不等式成立． (3) 【分析】（1）由时，将关于与的两个等式相减，得到相邻两项的递推关系，再由正项条件确定公差和首项． （2）先将各项同时减去，把问题化为排列的相邻差绝对值之和的最大值问题．通过统计相邻项跨越各整数分界线的次数求出上界，再构造一个排列达到该上界，得到的准确值，最后进行放缩与裂项相消． （3）仍统计相邻项跨越各整数分界线的次数，并利用数列首、尾两项在相邻关系中只出现一次，得到首、尾两项到中间数的距离之和的上界，从而求出的下界；再构造排列说明下界可以取到． 【详解】（1）由题可知，，所以有， 即 因为数列是正项数列，所以. 即数列是以1为公差的等差数列 令，有 ，所以解得，（负舍）. 所以. （2）略 （3）由（1）知，所以是的一个排列． 记 对于，记为相邻两项中一项不大于、另一项大于的相邻项对数． 若相邻两项为，且，那么这对相邻项恰好跨越这个分界线， 因此它对的贡献为． 由题意得， 又因为这些相邻差的绝对值是的一个排列， 所以 当时，考虑这个数． 其中不在数列首、尾位置的数有两个相邻项，位于首、尾位置的数只有一个相邻项． 设中不大于的数有个，则 当时，考虑，这个数． 设中大于的数有个，同理可得 将这些不等式相加， 得 计算前两项，得 对于首、尾两项中的任意一项，若，它在中各被计算一次， 共计算次；若，它在中各被计算一次，共计算次． 所以， 结合前面的等式与不等式，得 所以 又因为 所以 下面说明可以取到．取 此时相邻两项之差的绝对值依次为恰好是的一个排列， 并且 因此的最小值为． 25．(1) (2)（ⅰ） （ⅱ），，，即. 由（1）知，当时，，即. ； ； . 即，. 【分析】（1）将不等式变形为，构造函数，转化为在上恒成立；对求导，根据导数的符号判断在上的单调性，得到的最小值，进而求出的取值范围； （2）（ⅰ）当时，代入递推式求出首项；当时，通过和，得到，进而求出通项公式； （ⅱ）结合（1）的结论，得到，将代入得到对应放缩式，对求和项进行放缩，转化为等比数列求和，再整理证明不等式. 【详解】（1），，，即在上恒成立； 令，即在上恒成立； 则. 令，则，； ，； ，，得； 即，在上单调递减； ，，； 时，，在上单调递增；，，在上单调递减； 当时，取得最大值，即，即； 在上单调递减； 当时，取得最小值，即. 在上恒成立，. 实数的取值范围为. （2）（ⅰ），当时，，即，解得； 当时，，整理得，即； 数列是首项为9，公比为3的等比数列，则. 数列的通项公式为. （ⅱ）略. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $