等差数列前n项和的函数特性 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等差数列前n项和的二次函数特性，通过最值分析、性质判断及综合应用，系统构建“公式推导-函数转化-图像分析”的解题体系，培养数学思维与应用意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |最值问题|12题（如1,3,4,5）|二次函数对称轴法、项正负判断法|从Sn公式推导到二次函数模型，结合公差分析单调性| |性质应用|8题（如2,7,8）|充要条件判定、单调性分析|Sn函数特性与数列项的符号关系推导| |综合应用|5题（如23,24,25）|公式逆用、参数范围求解|前n项和公式与通项公式的综合推导应用|

2027届高考数学一轮复习作业——等差数列前n项和的函数特性 一、单选题 1．已知等比数列的各项均为正数，数列满足，，，则数列的前项和的最大值等于（   ） A．126 B．130 C．132 D．134 2．已知等差数列的公差为d，前n项和为．记甲：，乙：存在最小值，则（   ） A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 3．已知等差数列，，，则的最大值为（     ） A．19 B．20 C．21 D．22 4．在等差数列中，，记为数列的前项和，当取得最大值时，的值为（    ） A．11 B．12 C．13 D．14 5．已知是首项为6的等差数列．当且仅当时，的前项和取得最大值，则公差的取值范围为（   ） A． B． C． D． 6．已知等差数列的前n项和为，且．当取得最大值时n的值为k，使得成立的最大正整数n的值为m．则的值为（   ） A．28 B．29 C．30 D．31 7．记为数列的前项和，已知.当最大时，（    ） A．9 B．10 C．9或10 D．10或11 二、多选题 8．已知 为等差数列{an}的前n项和， 则下列结论正确的是（    ） A．{an}是递增数列 B．使 成立的n的最大值为9 C．取最小值时，n=11 D． 9．首项为正数的等差数列的前n项和为，且，当取到最大值时，n的取值是（   ） A．5 B．6 C．7 D．8 10．记是等差数列的前项和，的公差为，已知，且与的等差中项为，则（    ） A． B． C．最小 D． 11．已知等比数列的公比为q，，，是的前n项和，则（    ） A． B． C． D．的最小值是 12．已知首项为正数的等差数列的前项和为，若，则（    ） A． B． C．当时，取最大值 D．当时，的最小值为27 13．记为等差数列的前项和，若，，则（   ） A． B． C． D．当或5时，最大 14．已知等差数列的前项和为，若，，则（    ） A． B．公差 C． D．的最小值是 15．已知数列是公差大于2的等差数列，其前项和为，，且，，成等比数列，公比为，则（    ） A．的公差为3 B． C．既存在最大值又存在最小值 D．只存在最大值不存在最小值 16．数列为等差数列，为其前项和.已知，，则下列结论正确的有（    ） A．公差 B． C． D．当时，最小 17．已知公差不为0的等差数列的前n项和为，且是与的等比中项，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．当且仅当时有最大值 D．当时，n的最大值为8 18．已知数列为等差数列，为其前n项和，，，则（   ） A． B．为单调递增数列 C．使的n的最小值为18 D．当且仅当时，最小 19．已知数列，均为等差数列，记数列，的前n项和分别为，，下列说法中正确的有（   ） A．若，，则 B．若，则 C．若，则的值为0 D．已知，公差，则的最大值为32 三、填空题 20．已知等差数列前项和为，，，则的最小值为_________． 21．设等差数列满足，，则当时，正整数n的最大值为________． 22．已知等差数列的前项和为，首项为的最大值，则的值可以为___________．（写出符合条件的一个值即可） 四、解答题 23．设数列的前项和为，当时满足． (1)求； (2)令，记为的前项和，当为何值时，取最小值． 24．已知等差数列的前项和为，且. (1)求数列的前项和； (2)记，数列的前项积为，求的最小值. 25．已知数列的前项和，等差数列满足，. (1)求数列，的通项公式； (2)设数列前项和为，求的最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高考数学一轮复习作业——等差数列前n项和的函数特性》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C A C C C B C ABD BC BC 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 答案 ACD BCD AC ABD ABD BCD ABD BC BC 1．C 【分析】先根据等比数列及对数的运算性质，可判断数列为等差数列，进而求出通项公式，易判断前项为正，第项为，所以前项或前项的和最大，利用等差数列的前项和求出最大值即可. 【详解】解：设等比数列的公比为， 因为，为常数， 所以数列为等差数列， 又因为，，所以，解得， 所以， 当时，，则数列的前项为正，第项为， 从第项起，每项均为负，所以，且最大， 又，所以前和的最大值为. 2．A 【分析】应用等差数列求和公式结合充分必要条件定义计算判断求解. 【详解】当时，，是开口朝上的抛物线上的离散的点的纵坐标，一定有最小值； 当且时，也有最小值. 因此，甲是乙的充分条件但不是必要条件. 3．C 【详解】设等差数列的公差为， 由，得， 又，所以，解得，所以， 所以， 所以当或时，的值最大，最大值为. 4．C 【分析】差数列的公差为，根据条件推出，判断出当时，；时，，再根据，判断出对取正负的影响，进而可得出结果. 【详解】设等差数列的公差为，所以，因此，所以， 所以，， 因此，当时，；时，， 因为， 所以当时，，当时，， 当时，， 当时，因为，所以； 因为 ， 所以，当时，取得最大值. 5．C 【分析】先根据等差数列的通项公式表示出，再结合前项和取得最大值的条件，得到关于公差的不等式组，进而求解的取值范围. 【详解】因为是首项的等差数列，所以， 因为当且仅当时，的前项和取得最大值，则且， 当时：，则，所以， 当时：，则，所以， 综上，， 即公差的取值范围是. 6．B 【分析】由可知，结合等差数列的通项公式及前n项和公式确定，即可得. 【详解】因为，所以， 令数列公差为，所以， 所以是单调递减数列，且，则， 所以，则取得最大值时对应，即， 因为，， 且，在开口向下的抛物线上， 所以成立的最大，即，故. 7．C 【分析】根据等差数列定义可判断数列为等差数列，再根据等差数列前项和公式以及二次函数性质可得结果. 【详解】由可得数列为等差数列， 又可得，因此； 所以公差满足，因此； 即， 又因为，所以当或时，取得最大为45. 故选：C 8．ABD 【分析】利用等差数列的通项公式和前项和公式求出，依次判断选项即可. 【详解】设等差数列的公差为，由 ， 所以，即，解得：， 所以，则{an}是递增数列，故A正确； 则， 令，解得：，所以使 成立的n的最大值为9，故B正确； 当时，取最小值，故C错误； 由于，故D正确. 9．BC 【分析】根据条件可得，结合，利用二次函数性质求解即可. 【详解】因为，所以，所以. 故，又，所以， 所以， 而，所以n取值是6或7时，取最大. 10．BC 【分析】利用等差数列前项和公式代入条件计算可得数列是公差为的等差数列，结合等差数列的通项公式以及前项和公式依次判断选项即可. 【详解】因为是等差数列的前项和，的公差为，则，故， 所以，故数列是公差为的等差数列． 对于A选项，由题意可得，故，所以，A错； 对于B选项，，解得，B对； 对于C选项，由题意可得，解得， 所以， 故当时，取最小值，即最小，C对； 对于D选项，， 所以，D错． 11．ACD 【分析】应用等比数列通项公式计算判定A，B，应用计算判定C，应用等比数列求和公式计算判定D. 【详解】因为等比数列的公比为q，，， 则，所以，B选项错误； ，所以，A选项正确； 因为，所以，所以，C选项正确； ， 当为偶数时，单调递增，的最小值是， 当为奇数时，单调递减，所以， 综上，的最小值是，D选项正确； 12．BCD 【分析】由等差数列的前n项和公式与等差中项判断AD；利用作差法结合等差数列的性质判断B；由等差数列的单调性判断C. 【详解】对于A，， 若，由首项为正数可得一定大于零，不符合题意， 所以，，故A错误； 对于B，由A可知， ，故B正确； 对于C，由A可知，因为，，可知， 故时，取最大值，故C正确； 对于D，， ，故D正确. 13．AC 【分析】由题意列方程组求得，根据等差数列通项公式计算可判断AB；根据等差数列前项和公式计算可判断C；根据等差数列性质可判断D. 【详解】设等差数列的首项为，公差为， 由题意可得，解得， 对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，因为， 所以数列单调递增， 当时，，当时，，且， 所以当或5时，最小，故D错误. 14．ABD 【分析】根据等差数列的前项和公式、通项公式、等差数列的性质等知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】，A正确； 设等差数列的公差为，则由，， 得解得B正确； ，，C错误； ，所以， 所以当时，有最小值，D正确. 15．ABD 【详解】设等差数列的公差为， 则，， 由，，成等比数列，得， 而，解得，故A正确； 得到数列的通项公式为， 则，，则不存在最大值，存在最小值，故C错误； 由，，得到，故B正确； ，， 由二次函数性质得只存在最大值不存在最小值，故D正确. 16．BCD 【分析】根据等差数列前项和公式，结合等差数列的通项公式逐一判断即可. 【详解】设等差数列的公差为，则，故A错误； 因为，，所以，解得，故B正确； 对于选项C、D，因为， 所以， 而；由于二次函数的图象开口向上，且对称轴为直线. 又因为，所以当时，最小，故C、D正确， 故选：BCD 17．ABD 【分析】根据已知条件求出，可判断AB；写出数列的前n项和公式，可判断CD. 【详解】设等差数列的公差为， 由是与的等比中项，得， 即，解得，故AB正确； 则，，， 因为数列单调递减且， 所以或时有最大值，故C错误； 当时，，所以的最大值为8，故D正确. 故选：ABD 18．BC 【分析】根据数列为等差数列，由，求得首项和公差，然后再逐项判断. 【详解】对于A：在等差数列中，，， 所以，解得 ， 则 ，故A错误； 对于B：，则 ， 所以为单调递增数列，故B正确； 对于C：，由 ，即 ， 解得，所以 的n的最小值为18，故C正确； 对于D：的对称轴为，开口方向向上， 因为为正整数，所以当或9时，取得最小值，故D错误. 故选：BC 19．BC 【分析】通过等差数列的等差中项性质分析的项；利用前项和与中间项的关系求；借助前项和的二次函数对称性求；通过通项公式确定前项和的最大值，逐一验证选项. 【详解】数列、为等差数列，则是等差数列. 选项A： ，，因2、5、8成等差数列， 故是与的等差中项，得，A错误. 选项B： 等差数列前项和满足， 故，，则. 代入，得，B正确. 选项C： 设数列的公差为，由， 得，解得， 所以，C正确. 选项D： 由，，得. 令，解得，故的最大值为，D错误. 故选：BC 20． 【分析】由等差数列的性质以及等差数列的前项和的性质求解即可. 【详解】设等差数列的公差为，，， ，解得． ． 令，解得， 时，前项和取得最小值，为． 21．6 【分析】利用等差数列的性质结合，可以求得公差与首项，再利用前n项和公式求出，最后求得正整数n的最大值 【详解】设的公差为，则，， 又，， 所以， 由得 故的最大值为6． 22．260（均可） 【分析】根据为的最大值得出公差的取值范围，然后将代入等差数列的前项和公式计算. 【详解】因为等差数列首项，且是前项和的最大值， 所以公差，且满足， 根据等差数列通项公式可得：， 解得：， 再根据前项和公式可得： ， 化简得：，因此任取该区间内一个值即可，例如. 23．(1) (2) 【分析】（1）先对递推关系式变形，累加可得答案； （2）求出的通项公式，判断单调性，结合中项的符号可得答案. 【详解】（1），叠加得， ． （2）， 因为，且，所以与均为增函数，所以递增， 而 ， 故时， 时，，于是时，最小． 24．(1)； (2). 【分析】（1）利用等差数列的通项公式和前项和公式，联立方程组即可求解； （2）利用等差数列的前项和公式，再结合复合函数的单调性即可求得最小值. 【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，根据题意列方程： 由得： ， 由得： ， 联立解得：，， 则由等差数列前项和公式可得 ； （2）由，，可得等差数列的通项公式为：， 则，即数列的前项积为： ， 因此： ， 令，， 因为函数是关于的单调递增函数，因此最小时，取得最小值， 因为的最小值在时取得，即， 代入可得： , 即的最小值为. 25．(1)；. (2)544 【分析】（1）通过求首项，再利用推导递推关系，确定等比数列后得，结合等差数列通项公式基本量运算可得，即可得； （2）由（1）可知：，结合等差数列求和公式可得，进而利用二次函数性质分析最值. 【详解】（1）因为，所以当时，， 两式作差得，，即， 当时，，得， 则由以上递推关系可知，故， 故数列是以为首项，为公比的等比数列，故； 设等差数列的公差为，因为，， 所以，所以. （2）由（1）可知：， 则， 当或时，取到最大值为． 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $