等比数列的函数特性 专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦等比数列函数特性，通过单调性、前n项积最值、充要条件判断等题型，构建“概念-推理-应用”逻辑链，培养数学思维与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |单调性与充要条件|8单选+5多选|结合q范围判断数列增减，辨析充分必要条件|从等比数列通项（指数型函数）出发，关联q与首项对单调性的影响| |前n项积与最值|3单选+2多选+1填空|分析前n项积的最大值及对应n值|利用等比数列性质转化乘积为指数函数，结合二次函数对称轴求最值| |实际应用与递推|3解答题|以交换问题为背景，构建递推关系求概率|将实际问题抽象为等比数列模型，体现数学建模与应用意识|

2027届高考数学一轮复习作业——等比数列的函数特性 一、单选题 1．已知等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，且满足，，，则（   ） A． B． C．是数列中的最大项 D．若，则的最小值为4051 2．等比数列的前项和为，则下列说法不正确的是（    ） A．若，则 B．若是递减数列，则公比满足 C．若，，则公比 D．若（为常数），则 3．已知无穷等比数列的公比为，则“且”是“数列为递增数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 4．在等比数列 中，命题 ： 数列 的首项 且公比 ，命题 ： 数列 是递增数列. 则命题 是命题 的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 5．已知数列是等比数列，则“”是“为单调递减数列”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 6．已知递增的等比数列满足，，则的公比（    ） A．5 B．3 C． D． 7．已知等比数列，则“”是“数列为递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．若等比数列的公比为，则“”是“是递减数列”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 二、多选题 9．已知正项等比数列的公比为，前项和为，前项的积为，若，，则（    ） A． B．数列有最小项 C． D．当或时，取得最大值 10．数列中，，则下列结论中正确的是（ ） A． B．是等比数列 C． D． 11．已知为等比数列的前项和，为其前项积，公比，且，，则下列结论正确的是（   ） A．数列为递增数列 B．使的正整数的最小值为5 C．的最大值为 D． 12．下列选项正确的有（   ） A．已知，是两个非零向量，则“与的夹角为钝角”是“”的充要条件 B．“”是“”的充分不必要条件 C．事件A与B相互独立的充要条件是 D．已知等比数列的公比为q，则“”是“是单调递增数列”的必要不充分条件 13．正项等比数列满足，公比为，其前项和为，记数列，则（    ） A．时， B．时，为等差数列 C．不存在，使得为常数列 D．时，单调递减 14．设和分别为数列和的前项和.已知，则（    ） A．是等比数列 B．是递减数列 C． D． 15．数列是等比数列，公比，其前项和为，则（   ） A．当时，为递增数列 B．若，，则 C．若，，成等差数列，则，，成等差数列 D．若，，成等差数列，则，，成等差数列 16．记等比数列的前项和为，前项积为，且满足，，，则（     ） A． B． C．是数列中的最大项 D． 17．已知数列，满足，且为递增数列，下列说法正确的有（   ） A．若为等比数列，则公比可能大于1 B．若为等比数列，则公比可能小于-1 C．若为等差数列且，则公差可能小于0 D．若为等差数列且，则公差一定大于0 三、填空题 18．设为等比数列的前项和，若，，则的最小值为________． 19．已知数列满足，设的最大值，最小值分别为，若，则的取值范围为__________. 四、解答题 20．已知数列的前项和为，且． (1)求数列通项公式； (2)求数列的前项和； (3)设，求证：数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 21．2025年7月16日-27日，第32届世界大学生运动会在德国举行.在比赛期间，运动员甲（来自中国）和运动员乙（来自澳大利亚）因赛事成为朋友.运动员甲持有一套熊猫主题的运动项目徽章，包含乒乓球､羽毛球､篮球3个项目；运动员乙则拥有一套袋鼠主题的同项目（乒乓球､羽毛球､篮球）徽章.两套徽章除印制的主题图案和项目标识不同外，其余完全相同.为了加深友谊，两人在比赛期间约定，每次见面时，都随机取出1枚徽章与对方进行交换，运动会结束时已重复进行了次交换. (1)求3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率； (2)求次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次交换后，运动员甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动的概率（结果用含的式子表示），并求出这个概率的最大值. 22．数列满足． (1)证明数列是单调递增数列； (2)若是中连续的三项，证明：不可能成等比数列； (3)证明：不存在正的常数M，使对所有的成立． 23．已知函数，研究函数的零点个数． 24．为了避免学生就餐聚集和减少排队时间，某校食堂从开学第一天起，每餐只推出即点即取的米饭套餐和面食套餐.已知甲同学每天中午会在食堂提供的两种套餐中选择，已知他第一天选择米饭套餐的概率为，而前一天选择了米饭套餐后一天继续选择米饭套餐的概率为，前一天选择面食套餐后继续选择面食套餐的概率为，如此往复. (1)求该同学第二天中午选择米饭套餐的概率； (2)记该同学第天选择米饭套餐的概率为； ①证明：为等比数列 ②当时，恒成立，求的取值范围. 25．有甲乙两个口袋，甲口袋中有编号为1，2，3的3个白球，乙口袋中有编号为1，2，3的3个黑球，已知每个球除颜色和编号不同外，其余全部相同．现从甲乙两口袋中各随机任取一个球交换放入另一个口袋，重复进行次这样的换球操作． (1)求2次换球后，甲口袋中恰有3个白球的概率； (2)求次换球后，甲口袋中3个球颜色恰好相同的概率（结果用含的式子表示）； (3)求次换球后，甲口袋中3个球编号恰好为1，2，3的概率（结果用含的式子表示）．当为多少时，概率取得最大值？最大值是多少？ 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2027届高考数学一轮复习作业——等比数列的函数特性》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D B A A B C B D ACD ABD 题号 11 12 13 14 15 16 17 答案 BD BC ABD ABC BCD AC ACD 1．D 【分析】根据已知分析得且，结合等比数列的性质及的定义依次判断各项的正误. 【详解】已知等比数列，，，说明与异号，即一项大于 1，一项小于 1， 又，故同号且，结合，若，则，矛盾， 因此，数列单调递减，由此得， A：，，故，错误； B：等比中项公式得， 因为，则，即，错误； C：因为，数列单调递减，又， 当时，当时， 所以，， 因此最大项是，不是，错误； D：若，则最小值为， 等比数列性质，， 因为===， 所以， 已知，故； 因为===， ，故最小值为 4051，正确. 2．B 【分析】根据等比数列的性质求值判断A；举反例判断B；利用等比数列前n项和的性质求解判断C；根据等比数列的性质列式求解即可判断D. 【详解】因为是等比数列，所以 又，因此，即. 那么，A正确. 举反例：若，公比，数列为，是递减数列， 但不满足题意，B错误. 若，则，因此. 根据等比数列前n项和性质，比值为即， 解得，C正确. 当时，，首项， 由是等比数列，满足，代入得，解得，D正确. 3．A 【分析】首先写出数列的通项公式，然后根据指数函数的单调性确定充分性，再根据通项公式及单调性确定必要性不成立. 【详解】由题意可得， 且，则，且单调递增， 则数列为递增数列，充分性成立； 若数列为递增数列，， 则或，必要性不成立； “且”是“数列为递增数列”的充分不必要条件. 4．A 【详解】若命题成立，即，公比. 由等比数列通项， 得， 因为，，所以，即， 所以数列是递增数列，因此能推出，充分性成立； 若数列是递增数列，不一定满足命题. 举反例：取，公比，数列各项为，满足， 确实是递增数列，但不满足且，因此命题不能推出命题，必要性不成立. 综上，命题 是命题 的充分不必要条件. 5．B 【分析】根据等比数列的通项公式，结合充分性和必要性的定义进行运算判断即可. 【详解】设该等比数列的公比为， 由，得，所以， 所以或， 取，此时满足且，则成立， 但数列不是单调递减数列，故充分性不成立； 当数列为单调递减数列时，则有，所以， 所以，所以或， 可得成立，故必要性成立； 因此“”是“为单调递减数列”的必要不充分条件. 6．C 【分析】根据等比数列的性质，可得，根据条件，求出的值，计算求解，即可得答案. 【详解】因为为等比数列，所以， 又，联立解得或， 又单调递增，则，所以， 则，解得. 7．B 【分析】利用充分条件、必要条件的定义，由数列的单调性即可求解. 【详解】当时，， 此时，但是，所以数列不是递减数列； 若数列为递减数列，则，所以， 故“”是“数列为递减数列”的必要不充分条件， 故选：B 8．D 【分析】举例即可说明，充分性以及必要性均不成立，即可得出答案. 【详解】充分性：在等比数列中，设首项为，由， 取，此时等比数列的通项公式为： ， 随着的逐渐增大，增大， 则等比数列是递增数列，不是递减数列，故充分性不成立， 必要性：取首项， 则等比数列的通项公式为： ， 从而得出数列是递减数列，但是，所以必要性不成立， 故“”是“是递减数列”的既不充分也不必要条件. 故选：D. 9．ACD 【详解】已知正项等比数列，，， 由条件得，即，， 由，即， 代入得：， 整理得，解得（负根舍去，因），故选项A正确； 得，通项公式， 前项和：， 即，故选项C正确； 数列是递减正项数列：， 增大时不断减小趋近于0，不存在最小项，故选项B错误； 前项积，指数是开口向下的二次函数，对称轴为， 为正整数，因此和时指数最大，对应为最大值，故选项D正确. 10．ABD 【分析】由题意可得到，得到是等比数列，进而得到，再利用累加法得到，然后逐项判断． 【详解】因为数列中，， 所以，即， 则是以1为首项，以为公比的等比数列， 所以，，故B正确； 由累加法得， 所以， 当n为奇数时，是递增数列，所以， 当n为偶数时，是递减数列，所以， 所以，故A正确； 又，所以，故C不正确，D正确． 11．BD 【分析】利用等比数列的性质可以由求出公比，再由求出首项，A可以通过数列的通项公式判断；B计算出前项和公式进行计算；C根据的单调性进行判断；D. 【详解】利用等比数列的性质可以由求出公比， 由求出首项，故； A，，数列为递减数列，错误； B，，故为单调递增，又，故使的正整数的最小值为5，正确； C，， 当时， ，数列单调递增， 当时，，数列单调递减， 由于，故， 所以，的最大值为和，错误； D，，正确. 12．BC 【分析】根据向量的夹角公式可判断A；由同角三角函数的平方关系可判断B；根据事件相互独立的定义可判断C；根据等比数列与指数函数的关系可判断D. 【详解】对于A，因为，是两个非零向量， 所以与的夹角为钝角或， 所以“与的夹角为钝角”是“”的充分不必要条件，故A错误. 对于B，因为， 所以“”是“”的充分不必要条件，故B正确. 对于C，根据事件相互独立的定义可知，事件A与B相互独立的充要条件是，故C正确. 对于D，当时，若，则， 由指数函数的性质可知是减函数，所以“”推不出“是单调递增数列”； 若等比数列是单调递增数列，则是增函数， 所以且或且， 所以“是单调递增数列”推不出“”， 所以“”是“是单调递增数列”的既不充分也不必要条件，故D错误. 13．ABD 【详解】对于A，，，，A对． 对于B，，，，，为等差数列，B对． 对于C，为常数列 ， 即时为常数列，C错． 对于D，， 时，，D对． 14．ABC 【分析】利用求出即可判断AC，利用错位相减法求，进而判断D，利用解出即可判断B. 【详解】由，当时，，所以， 当时，， 所以， 所以，即，所以数列是以1为首项，为公比的等比数列，故A正确； 所以，所以，所以， 由，解得，所以当时，是递减数列， 又，所以，所以是递减数列，故B正确； 由有：，所以，故C正确； 由①， 所以②， 由①②有： ， 解得，所以， 当时，当时，， 所以，故D错误. 15．BCD 【详解】对于A，当时，时，为递减数列，故A错误； 对于B，若，，，，成等比数列， 则，故B正确； 对于C，若，，成等差数列，则，即， 即，即，即， 所以，，成等差数列，故C正确； 对于D，，，成等差数列，所以， 即，所以， 即，即， 所以，所以，，成等差数列，故D正确. 16．AC 【分析】先根据已知条件确定公比的范围，再利用等比数列性质逐一验证选项，通过指数运算、前项和及前项积的单调性判断正误． 【详解】设数列的公比为． ∵，， ∴， 又，∴． ∵， ∴，故A正确； ∵，∴，即，故B错误； ∵，， ∴数列是递减数列， ∵，， ∴是数列中的最大项，故C正确； ， ∵， ∴，即，故D错误． 17．ACD 【分析】由数列为递增数列以及等差数列，等比数列的性质求解即可. 【详解】因为为等比数列，设公比为，因为，所以，所以为等比数列，公比为，首项为， 若为递增数列，则有，或，即或， 故A正确，B错误， 因为为等差数列且，则，，，因为为递增数列， 所以，所以， 若，则，因为，所以，符合条件，故C正确， 因为为等差数列且，所以，所以，， 当时，，因为，所以，故D正确. 故选：ACD. 18． 【详解】令公比为，且，则， 而，所以， 当为奇数时，当为偶数时， 所以最小出现在为偶数的情况，显然最小为. 19． 【分析】由和可得，按的不同取值分类讨论求得的最大值和最小值即可求解. 【详解】因为， 所以当时， ， 当时，也满足上式，故， 当时，当时，，数列不存在最小值，不满足题意； 当时，， 所以当为奇数时，当为偶数时， 此时数列的最大值，最小值，，不满足题意； 当时，当为奇数时，且随着增大，增大， 当为偶数时，且随着增大，减小 又因为当且时， ，即， 当时， 所以，， 所以，即，结合解得， 综上的取值范围为， 故答案为： 20．(1) (2) (3) 证明：由（1）知，可得， 假设存在使得成等差数列， 由于单调递减，所以,所以， 代入得，即. 设，则，矛盾. 所以数列中任意不同的三项都不能构成等差数列． 【分析】（1）根据题意，当时，求得，当时就，推得，得到数列是等比数列， 进而求得其通项公式； （2）由（1）知，设，利用错位相减法求和，即可得到答案； （3）用反证法进行代数证明. 【详解】（1）解：由数列满足， 当时，，解得， 当时，， 两式相减，可得， 整理得，即， 所以数列是首项为，公比的等比数列， 所以，即数列的通项公式为. （2）解：由（1）知，设， 则， 则， 两式相减，可得， 所以. （3）略 21．(1) (2) (3) 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式和互斥事件的概率加法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）记3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章为事件A，交换过程包含两种情况： ①第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用袋鼠徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第一种情况的概率为； ②第一次甲用熊猫徽章与乙的袋鼠徽章交换，概率为1； 第二次甲用熊猫徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 第三次甲用袋鼠徽章与乙的熊猫徽章交换，概率为； 所以第二种情况的概率为； 所以3次交换后，运动员甲有3枚熊猫主题徽章的概率为. （2）记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”概率为， 则，第次交换后，乙的徽章只有两种可能，一种是3枚徽章都是相同动物， 另一种是3枚徽章中有1枚不同动物， 记第次交换后，乙的3枚徽章动物相同为事件，动物不同为事件， 则，记“次交换后，运动员乙有3枚相同动物主题徽章”为事件C，因为在第次交换后徽章动物相同的条件下再交换后不可能是相同动物，即， 在第次交换后徽章动物不同的条件下再交换后可以变为相同动物，即， 再根据全概率公式可得： ， 所以， 则是等比数列，即， 所以； （3）又记“次交换后，甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动”概率为， 则， 第次交换后，甲的徽章只有两种可能，一种是包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 另一种是不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， ①甲的徽章包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，下次交换后还包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动， 此时发生的概率为； ②甲的徽章不包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，则甲的3枚徽章中一定有两枚相同运动的徽章（比如两个乒乓球徽章，一个羽毛球徽章），乙的3枚徽章中也一定有两枚相同运动的徽章， 当甲、乙分别取出相同运动徽章中的一枚进行交换后， 甲的3枚徽章就可以变换为包含乒乓球､羽毛球､篮球3项运动，此时发生的概率为； 再根据全概率公式可得：， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，，且， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 22．(1) 由题意证明如下，， 在数列中，，， ∴， 即， ∴， ∴是以为首项，为公比的等比数列， ∴， ∴，即（）， ∴， ， ∴数列是单调递增数列. (2) 由题意及（1）证明如下，， 在数列中，， ∴，，， ∴ ∴ ∴不可能成等比数列. (3) 由题意（1）及（2）证明如下，， 在数列中，，单调递增， 且当时，， ∴不存在正的常数M，使对所有的成立. 【分析】（1）证明是等比数列，得出的表达式，利用作差法即可证明结论； （2）写出的表达式，求出和，得出，即可证明结论； （3）根据数列是递增数列即可得出结论. 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 23．当时，有一个零点，当时无零点． 【分析】研究函数的零点个数，即求方程的解的个数，通过以下5种解法均可将化简为，分析函数的性质，单调递增，且，因此当时，有一个零点，当时无零点． 【详解】研究函数的零点个数，即求方程的解的个数： 令． 解法1：方程的左边应用等比数列求和公式可以化为： 故原方程可以化为， 因为底数，指数单调递增， 所以在上递增，且 所以当时，有一个零点，当时无零点． 解法2：原方程即 ， 得． 下同解法1． 解法3：原方程即 ， 即， 得． 下同解法1． 解法4：原方程即， 即， 得． 下同解法1． 解法5：因为， 由等比定理， 有 得． 下同解法1． 24．(1) (2)①证明见解析；② 【分析】（1）根据全概率公式即可求得答案； （2）①设为“第天选择米饭套餐”，结合全概率公式可得，即，即可得，即可证明结论；②求出，判断其单调性，确定其最大值，即可求得答案. 【详解】（1）设为“第一天选择米饭套餐”：为“第二天选择米饭套餐”， 则为“第一天不选择米饭套餐”，根据题意，，，， 由全概率公式得：. （2）①：证明：设为“第天选择米饭套餐”，则，， 根据题意，，， 由全概率公式得：， 因此，, 是以为首，为公比的等比数列. ②：根据①可得，所以， 下求的最大值， 时，要求的最大值， 则为偶数，当为偶数时，，此时是单调递减数列， 所以的最大值为， 因此，则的取值范围是. 25．(1) (2) (3)， 【分析】（1）利用独立事件同时发生的乘法公式即可求解； （2）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式； （3）利用数列的递推思想，结合全概率公式，先得到递推，再构造等比数列求出通项公式，然后利用分类讨论思想求出最大值. 【详解】（1）经过一次交换后，甲口袋中有2白1黑，乙口袋中有2黑1白， 记“2次换球后，甲口袋中恰有3个白球”为事件，则； （2）记“次换球后，甲口袋中有3个球颜色相同的”概率为， 则 当第次换球后，只有两种可能，一种是同颜色，另一种是有一个不同颜色， 而同颜色的交换后不可能再同颜色，而有一个不同颜色的通过交换可以变为同颜色， 此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ，所以， 则是等比数列，即； （3）又记“次换球后，甲口袋中有3个球编号分别为1，2，3”概率为， 则， 当第次换球后，只有两种可能，一种是有三个编号为1，2，3，另一种是没有三个编号为1，2，3， 而三个编号为1，2，3的交换后也有可能编号仍为1，2，3，此时发生的概率为， 另一种可能是AAB型，另一边一定是BCC型，这样通过交换A和C就可以变换为有三个编号为1，2，3，此时发生的概率为，再根据全概率公式可得： ， 所以有， 即是等比数列，即， 当为奇数时，， 当为偶数时，， 所以当时，取到最大值. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $