02 函数，导数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 聚焦函数与导数基础，以题构建从概念到应用的逻辑链条，覆盖新高考高频考点，强化数学抽象与逻辑推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|单选1-5、多选9|切线方程、函数值、单调区间等|从函数定义到导数几何意义，构建概念生成链| |导数应用|单选6-8、多选10、填空12-13|极值判断、零点个数、恒成立求参|导数工具连接单调性与极值最值，形成应用逻辑| |综合拓展|填空14、解答15-19|新定义、存在性问题、综合证明|整合函数性质与导数应用，体现知识迁移与问题解决|

2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺： 苍穹精品工作室 基础集训02 函数，导数部分 （时间：120分钟 分值：150分） 注意事项： 1. 本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似2027年新高考I卷 2. 本试卷测试范围：函数，导数部分 3. 本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1．曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 2．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 3．函数的单调递增区间为（    ） A． B． C． D． 4．若函数（且），则函数的图象恒过定点（     ） A． B． C． D． 5．已知函数，则的解析式为（     ） A． B． C． D． 6．已知函数在处取得极值，则函数的最大值为（    ） A． B． C．2 D． 7．设，则函数的零点个数为（     ） A． B． C． D． 8．已知函数，，当关于实数的方程有个根时，实数的取值范围是（     ） A． B． C． D． 二、多选题 9．下列求导正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列函数中存在极值的是（    ） A． B． C． D． 11．已知函数的定义域为，且对于任意实数，恒有，当时，有，函数满足，则（ ） A． B．是 的充分不必要条件 C． D．任意， 三、填空题 12．函数，若，则__________． 13．已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围为_______． 14．若存在有限个，使得，且不是偶函数，则称为“缺陷偶函数”，且为的偶点．对任意，函数都满足．若是“缺陷偶函数”，则的取值范围为____________． 四、解答题 15．已知.求曲线在点处的切线方程. 16．已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求函数在区间上的最值． 17．已知函数. (1)若，求在点处的切线方程； (2)讨论的单调性； (3)若在上恒成立，求的取值范围. 18．已知函数为奇函数． (1)求实数a的值； (2)设函数，若对任意的，总存在，使得成立，求实数的取值范围； 19．已知函数，是的导函数. (1)当时，求函数的单调区间. (2)当时，是否存在，使得成立?请说明理由. (3)若恒成立，求实数的取值范围. 学科网（北京）股份有限公司 $2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 基础集训02 函数，导数部分 (时间：120分钟分值：150分) 注意事项： 1.本试卷为2027届高考数学一轮复习抓基础用，要求回归课本，题型难度类似 2027年新高考I卷 2.本试卷测试范围：函数，导数部分 3.本试卷适用于新高考I卷地区 一、单选题 1,曲线y=e+ 在点03 处的切线方程为( ) A.y=5x+3 B.5x+y-3=0 C.y=x+3 D.y=-5x-3 【答案】B 【详解】对函数'=e+2 导得广-5e ，故所求切线的斜率为=-5e0=-5 故所求切线的方程为y=-5x+3,即5x+y-3=0 2.已知函数f)=n(2),则f0F( 1 A.0 B.1 C.2 D.In2 【答案】B 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 【详辩=h2=h2+n.了)-， 所以0-=片 3.函数f(小=-4 的单调递增区间为( A.(∞，2) B.(2,+o∞) c.（∞，0) D.(0,+o) 【答案】B 【详解1因为(=-4=x-2-4,二次函数开口向上，对称轴为x=2。 故单调递增区间为(2，+∞) 4.若函数f()=log,>0且a),则西数'=f(2x-)-3的图象恒过完点 A.0-3) B.(0,-3) c.03) D.(0,3) 【答案】A 【详解】由题意可知'=f(2x-1)小-3=log,(2x-1)-3 令2x-1=1,得x=1,代入得y=0-3=-3, 故函数”=/(2r-)- 的图象恒过定点么-3) 5.己已知函数 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 A,f()=x2+1(x≠0) B.f()=产+1() c.f(=r-2x+2(x≠0) D.f(四=r-2x+20x≠1) 【答案】A f(x 【分析】利用换元法求解函数 的解析式逐一判断即可 【详解1令士，则20 由 1，a0-re0 所以)=r+16x≠0) 6.已知函数f)=asi血x+号n3r在x一号处取得极值，则函数f()的最大值为 5 23 A. B.3 C.2 D.3 【答案】A 【详解】 函数f()=asi血x+与im3x的定义域为R' f(x)=acosx+cos3x π -1=0 所以八32 解得a=2, 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 则/()=2sinx+3sin3x 法-：f)-2snx+写n(k+2)=2sn+写[sn-2sm2小+2in-sm刘刃 4 =3sinx-sin3x 3 令1=如x,刘y=-,y3- <t< 令y'>0,解得2 2;令y=3-42<0,解得 l≤t< <t≤1 2或2 因此函数y=31- 3在2’2上单调递增， 在( 2和2 上单调递减， 因为儿3+手；.儿号=5所以题数y3可1的城大位为5 法二： f(x)=2cosx+cos3x=2cosx+cos2xcosx-2cosxsin2x=cosx(4cos2x-1)=cosx(2cosx+1)(2cosx-1) 令f()>0,得2cosr<0或osx>) 1 2 令f(x)<0,得cosx<- 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 因此函数f(x)在区间(2 +2k +2k,3 4+2km, 3 3+2k +2ka+2m k∈Z,上单调递增； 2小货+2-信2-得+2a-5.北s数a起 大值为哈 1 设 ei时，x>0 -1,x≤0，则函数 fe+- 的零点个数为( 2 A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】C 【分析】令8()=)+子x-1=0可得()=子x+1,把零点个数问题转化为求解函数 y=f)的图象与直线y=一4x+1的交点个数问题 【详解】令8()=f()+子-1=0可得f)=子+1 1 er -,x>1 f(x)= e,0<x<1= x,0<x<1 1) -1,x≤0 -1,x≤0 2 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 1 y=- x x=2 当 时， 1，联立方程 1 可得 ，解得 4+1 1 x>1 f(x)= y= x x2-4x+4=0 y=2 此时仅一个交点( y=x 当 时， 联立方程 1, 解得 0<x<1 f(x)=x 4 = y=5 44 此时仅一个交点5’5： 1) 当x≤0时， f)= 2 -1,由图象可知仅有一个交点， 综上所述，函数y=f)的图象与直线y=4+1有3个交点 y=f(x) log2x,x>0 8已知西数间 得x0·回=5时-小当天于安数的方/小s(-0 有6个根时，实数m的取值范围是( ) A.[12) B.1,2U1og,5y。 p.Ufina, 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 【答案】B 【分析】分别作出贡数/儿因，8（因的图象，分m<0、m=0、0<m<1和m≥1四种情况 讨论，结合函数图象分析交点个数即可得解. 【详解】分别作出函数（冈，8的的图象，如图所示， y=g(x) y=f(x) 26 令1=8（四，则f(8(刃m=0即为/0=m, 若m<0,则方程0=册设有根，不合题高： 若m=0,则方程0=m有且仅有1个报=1，即() 可知方程8()八有且仅有2个不相等根，不合题意， 若0<m<1,则方程f)=m有2个不相等实根 6∈(0,2) 方程8()-4有且仅有2个不相等实根，且方程8)有且仅有2个不相等实根， 所以方程3(》m=0有4个不相等实根，不合题意， 若m≥1，则方程0=m有3个不相等实根4e(✉01，专0. e[2,+w 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 方程8()= 有且仅有2个不相等实根，且方程8)中有且仅有2个不相等实根， 由愿意可知方程8)5有且仅有2个不相等实根，则2≤4<4或5=5 可得m=f)e[,21og,5} 综上所述：实数m的取值范围是L2Ug,5列 二、多选题 9.下列求导正确的是( B.0-2=22 C.(x2sinx)=2xcosx .周 【答案】BD 【分析】根据基本初等函数的导数、函数积商的求导及复合函数的求导求解即可. 【详解】对于A, cos4》 =0,A错误 -22 对于B,[n1-2订=1-2x2x-,B正确 对于C,(sin x)=2 xsin x+cOsx,C错误 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 e*-xe*1-x 对于D e 24 e,D正确 10.下列函数中存在极值的是( A.y=3sinx-x B.y=r-6r3+21r2-6 1 C.y=sinx+cosx-2x D.y= x2+2x+lnx 2 【答案】AB 【分析】利用导数判断函数的单调性，结合零点存在定理，即可判断函数是否存在极值 【详解】Ay=3(cosx-x), ∈0， 现在考虑 2的情况， 3π2 y=3(cosx-r)在区间02)上单调递减，因为y儿L,=3>0,' 0, <0 4 所以存 在唯一的实数 ) 使得儿s=0, 因此函数”=36血-”在=处取得极大值，故A正确， =0 B.今 解得x=0,当x>0时，y>0,当x<0 时，< 0,因此图数=6+21r-6在=0 处取得极小值，故B正确： cy/-wr-m-5-ior+}hs0 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 因此函数y=sinx+cosx-V2 单调递减，不存在极值，故C错误； D-20阳破立。因生商货一宁42x不在招，花D款 1.已知函数的定义城为R,且对于任意实数”，恒有+))/例，当 x>0时，有/)>1，函数3四满足[8()+()=/(0-8(]，则() A.f(0)=1 B.<2是(+)<1 的充分不必要条件 c.-1<g(x)<1 gm)tg四=l+g(m)g(m）(g(m+n)≠0) D.任意m,neR,g(m+n) 【答案】ACD 【分析】令x=y= 0可判断A,设<无，利用 f()=f[:-)+]=f(-x)/:),结合单调性定义得的单调性，再利用单 男寸国n令，-样石代A窗有回-- [f(x)]+1,根 g(m)+g(n) 据f(x)>0求出g(x)的范围可判断C:结合选项C,分别求出g(m+m与 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 1+g(m)g(m可判断D. 【详解】对于A,令x=y=0,得+0)=f0)=f)f0) 因为>0时，有(>1，所以f0>0,所0)=，放AE确： 对于B,设5<，则->0，所以)1 f()=f[(-x)+x]=f(-x)f() 因为经到20，且树：0，所以0， 所以f)>f(）,所以（在xeR上是单调递增函数， 由+1=f0),得x+1<0,解得<， 因为x<-是<2的真子集，则<2是+)1 的必要不充分条件，故B错误， 对于c令y=,得0)=))=1，所以)内. [(-r(=e0-g得a+7西f✉0-g 可Weep-aj-[r-1·e-@-1-2 [f()订+11+[f, 因为()>0，所以[f订>0， 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 2 则1+[/>1.1k1-可1，百-1<g1,放c正 对FBeR+-, [f(m)]+1[f(n)]+1 {fm-f'+1+{f-f(m'+_2[fm[fm-2 {fm订+f+ f(m]+fm+1: g(m+n)= f(m+n)]-1_[f(m)f(n)]-l f(m+n]+1[f(m)f(n)]+1 而 1+gso=1+mr-1ya-j+u+-j-a- [f(m)]+1[f()]+1 [f(m)]+1[f)]+1 2[f(m)][fm)]+2 [fm]+f+1 gm)+gn)）2[f(m)][f)]-2[f(m)f(n)]了+1 m+0·所以gm+网 因 f(m)]'+f'+[f(m)f-l 2[f(m)f(n)]+2 {[f(m+1f'+ gm)+g四=1+gm)小g四），故D正确 所以8(m+n) 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 三、填空题 12.函数f)= 3,x≤0 nx,x>0,若f(f(a)=0,则a= 【答案】0或e 【分析】考查分段函数的求值，重难点为分段函数的分类讨论及复合函数由内到外的求解 f)=0 逻辑，首先由解析式分析， 再分类讨论a,求出值 【详解】已知f(/(o》=0 设a)=1,则f0=0 由分段函数可知， f(t)=0, 仅有1个解为=1，所以结合分段函数性质可得@=1 若a≤0，则，3°=1，所以a=0: 若a>0,则lna=1,解得a=e. 因此满足条件的a的值为O或e, 13.已知函数f)=e-x+ ,若小0 成立，则实数a的取值范围为 【答案】 [o,e] 【分析】首先对a进行分类讨论，当a>0时，利用函数最小值满足的条件求解参数范围， 【详解】当a=0时，f()=e ·满足()上0 成立，符合题意： 当a<0时，(=e-a>0 恒成立，（闪在R上单调造指， 当9”时，e→0，-→-0，故闭→-0， 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 所以存在x使得 (x)<0 不满足题意： 当a>0时，令f()=e-a=0 得=l+lna 当x<1+lna时， f()k0,当x>1+na时，f>0 此时)在←，1+血)上单调递减，在+na,w)上单调速指。 Bf(*)zf(I+lna)-c-a(I+lna)+a=c-a-alna+a-a-alna 令a-alna≥0且a>0,所以l-lha≥0，解得a≤e, 综上，实数a的取值范围为 0,e 14.若存在有限个5，使得()=），且（不是偶的数，则称（闪为“铁陷偶 函数”，且为的偶点.对任意xeR,函数8()都清足 f+f)+g()-2g)）=r+y.若a()=8 2是“缺陷偶函数”，则g(2)的取值范 围为 【答案】 【分折1由已知可知存在常数“，使得f(+8()r=-f)+2g(0)+y=0,进面求得 g付)=-+2，利用偶点可求符a<0可求g2)的取值范园 3 【详解】由思意得/)+8()r=-/+2g(0)+y对在意xyR恒成立， 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 所以存在常数“，使得)+8()-=-)+2g0)+y=a [f(x)+g(x)-x2=a 令y=x,得f)+2g)+x=a,解得8()--+2a 3 则y=8四x,2a1 x33x3' 设()) g(-x）_8(）-x+2a-1-4+2a_1 x的偶点为，则由-xx,得33(-x)333x3, 2x+4=0 所以33x,即=-2a(:≠0)，则-2a>0,即a<0, 所以g(2)=2-2+20-2+202 3 3 3 所以8(2)的取值范围为 -0,3 2 故答案为： -03】 四、解答题 15已知f)=e- snx求曲线y=f)在点0，f0)处的切线方程 【答案】x-3y+3=0 【分析】根据解析式求出切点坐标，根据在切点处的导函数值为切线斜率求出切线斜率， 进而求出切线方程 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 【详解】因为f=e-专sinx,所以f0)=1 由于f=e-3。 Os.r 所以k=0=1-21 33, 则曲线y=f)在点(0，f0)处的切线方程为：y-1=(-0), 即x-3y+3=0 16,已知函数（田=r-3x2-9x+2 (1)求函 f（冈的单调区间： @四求函数（四在区间-24到上的最值 【爸案】@眉数/儿付的单网道猫K间为人®-)，信+），单调鲨减区间为L3) ②函数)在区间2，利上的最大值为，最小值为25 【分析】(1)求导，根据导数正负即可判断函数单调性： (2)利用函数单调性与最值的关系计算极值点和端点的函数值即可得 【详解】(1)函数定义域为R,求导得'()=3r-6xr-9=3x-3)x+) 令f(以小0 得<-或>3，令f)k0得-1<x<3. 故函数)的单调递增区间为，-）(6+四），单调递减区间为13) (2)由(1)知函数极值点为x=-1、x=3, 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 f(-2)=(-8)-12+18+2=0f(-1)=-1-3+9+2=7 f(3)=27-27-27+2=-25f(4)=64-48-36+2=-18 故丽数在24刂上的最大值为7，最小值为25】 17.己知函数f(x)=lnx+(a∈R)】 0)若a=2,求”=f(国在点/0》处的切线方程： (②讨论（的单调性： 8法f@)之n后在x0o)上缸成立，求的取植范园 【答案】(1)x+y-3=0 回当0时，f四在0，+四)上单调造蜡：当>0时，在)上单调造减，在 (a,+o）上单调递增 (31+) 【分析】(1)求导，根据导数的几何意义求解即可： (2)先求导，再分a≤0和a>0两种情况，利用导数分析求解即可： lhx-1≥lhs-l a x (3)由题意得到 在xG(0,+w)上恒成立，再构造函数3()=nx x,并 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 x (x)≥g 利用其单调性将问题转化为 气a在xe(0,+o)上恒成立，进而求解不等式即可. 【详1)与2=2时.)=nx+子./)=是 因为0=h1+子-2.所以切点L2, 12 又斜率k=01, y-2=-1(x-1) 故切线方程为： 即x+y-3=0； 2)fx)=g=x=0 xx=x2,f(x)的定义域为(0，+o), 当0时，-a>0,f四)>0，所以f(在0，+)上单调递指， 当a>0时， x∈(0a)时，-a<0,f<0,所以f国在0a)上单调還减， xea,+o时，-a>0,f(P0,所以f在a+四)上单调莲增， （3)由题可知nx+号≥+h后在xe(Q+0)上恒成立， 即血x-≥h。-在 nax在xe(0,+o)上恒成立， lnx-l≥n&-⊥ a x 则有 a在x∈(0，+o)上恒成立， 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 令)-ax,由8)>0时得8问)在0+)1年酒造8， nx-≥hx-I 可化为()8。 (四之8a)在xe(0,+o)上恒成立 所以 x>0 r>x 即 a,解得 プ0 La a≥1 故Q的取值范围为 1,+∞) 18.已知函数f(x)= 3+a 3+1为奇函数. (1)求实数a的值； 包)设函数g()-1g,o8。+m,若对任意的5B.27小，息存在50小，使得 g(c)2()成立，求实数m的取值范围： 【答案】(1)a=-1 a 【分析】①)利用特殊值0)=0 出，再根据奇函数定义验证即可； (2)先分别求出1 (x),f(x2 的最小值，通过转化得到8：)m≥f(m, 求解即可 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 【详勒】（山：日）是的数，日定义拨为R:0)=0,曰空=0， ￥海，商01人酒数的品， 小品号=国.符价物面数定义，a 心品写品=年酒呢地 :在定义域R上单调递增，又5c0 fo=0f0-5,f5=0, ()ogg+m=(logx-)(log,x-2)+m. 令=log,x,则h0=(c-00t-2)+m=-3+2+m 又B,27刃，1c],西数0对称轴为 :对任意的B.2刃，危存在 使得()≥f飞)成立，即()≥f, 1 即m-420,m之4 所以实数m的取值范围为子，+“ 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 19.已知函数/)-2nr-ar,f(四是f(的导两数 ①)当a=1时，求函数（的单调区间 (2)当a=0时，是否存在x,x2,使得 ()=)小fs) X2-x1 成立？请说明理由。 1 (3)若f()>a恒成立，求实数a的取值范围 【答案】(1)单调递减区间为 (0+切），无单调递增区间 a当a=0时，f)=2xx>0,则)=2+2x 不妨设<<，占=9,9>1，则N=4%, 所以f(V3)=2+2血=2+2血9+2nx f(x2)-f(x)_2x,Inx2-2x Inx _2g'(Inx,+2Ing)-2Inx 而2一x x2-x1 92-1 若存在x,x2,使得 (G)=)小-f) x2-x, 则 2gax+2ng）-2n5-2+2hg+2a5,得” q2-1 92+1, 令Al)=hg-g号g>,则g)=女=g- q2+1 9(92+19g2+>0, 以g)=加g- 所 g+1在(1，+∞)上单调递增， 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 Ing- 而h()=0,故方程 2-1=0 q+1在9>1时无实数解， 所以不存在x,x2,使得 (V)=小fs) x2-x1 成立. e-e5,0) 【分析】(1)求导，根据导函数的正负性判断： 0,6f.g1.2八网-e的0 构造函数，研究函数的零点即可： (3)令P)-2xnx-am2-c>0,利用单调性求最小值，进而得出6e5,e）, a a=n,+1 ，再构造函数求值域即可 【详解】1当0=1时，f(冈=2xh-rC>0,则了(=2hx-2x+2 令8(6)=f()=21mx-2x+20x>0,则8'()2-2， 令8)子20，利0<<1：令g闭-子2<0，得1 故8（在0上单调递增，在么+切）上单调递减。 故3)g0=0,则了代冈0（等号不恒成）， 则（的单调递减区间为Q,+）,无单调递增区间 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 (2)略 (3)f恒成立，即2xh-am-。>0恒成立. 1 令p=2nr-am2-x>0,由p0=-a日0,8a<0 a 令9()=p()=2hx-2ar+20>0,则9()-2-2a>0, 则9（闪在Q+)上单调递增. 又9le）=2a-e)k0.9e)）=-2ae>0 a=n+1 则存在∈(e,e）,且p()=2h-2a+2=0,即“=， 使得当e0）时P国k0,当re+)时，p(>0. 所以p()在0，)上单调递减，在，切)上单调递增. m-pk)-2h5-aG-22h-+)n>0 所以 g即a+10血x-2少>0 又e(e,e,得∈(e,e）. a=n+1 而名，设 则r()在(e,e）上单调递增。 2027届高考数学一轮复习抓基础 知识店铺：苍穹精品工作室 故a的取值范围为 （1-2)e5,0