指数函数专项训练-2027届高考数学一轮复习

**基本信息** 以指数函数概念为根基，通过分层题型系统整合单调性比较、性质综合及实际应用，构建"概念-性质-应用"逻辑链条，强化数学抽象与逻辑推理素养。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |概念基础|填空4题|指数幂运算/图象性质归纳|从运算性质到函数图象性质，形成概念生成链| |性质应用|选择18题|单调性比较/奇偶性判定/复合函数分析|以函数性质为核心，关联大小比较与参数求解| |综合拓展|解答5题|构造函数/数形结合/不等式恒成立|结合实际情境（冷却定律）与新定义，提升应用意识|

2027届高考数学一轮复习作业——指数函数 一、单选题 1．已知，，，则（   ） A． B． C． D． 2．已知，则（ ） A． B． C． D． 3．下列函数中，对定义域内任意正实数（），均满足的是（     ） A． B． C． D． 4．已知实数满足，，，则的大小关系为（   ） A． B． C． D． 5．已知幂函数，在上单调递增．若，，，则，，大小关系是（     ） A． B． C． D． 6．已知，，，则（    ） A． B． C． D． 7．已知函数，则（    ） A． B． C． D． 8．设，，，则a，b，c的大小关系为（  ） A． B． C． D． 9．已知函数，若，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 10．若正实数，，满足，则，，的大小关系不可能是（    ） A． B． C． D． 11．已知，则的大小关系为（    ） A． B． C． D． 12．物体在常温下的温度变化可以用牛顿冷却定律来描述：设物体的初始温度是，后的温度是，则，其中表示环境温度，称为半衰期．现有一杯的咖啡放在的房间中，如果咖啡降温到大约需要20min，那么降温到大约需要（    ）（参考数据；） A． B． C． D． 13．已知集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 14．模型在金融、物理等方面具有重要应用．进行正态分布的合理调整之后，可得一种模型的定价公式：，其中代表期权的初始合理价格与金融资产现价之差，为执行价格，为利率，为期权的有效期．已知，，，则（    ） A．1 B．2 C． D．3 15．设，，，则，，的大小关系为（     ） A． B． C． D． 16．对于一切实数x，表示不超过实数x的最大整数，函数称为高斯函数或取整函数．若，，数列的前n项和为，则（     ） A．284 B．280 C．274 D．270 17．已知函数，若的零点个数为，则实数取值范围为（     ） A． B． C． D． 18．下列函数中，在区间上单调递减，且是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 19．已知曲线上的点和曲线上的两点 满足是等腰直角三角形，且直角边与坐标轴平行，则（   ） A． B．2 C． D．3 20．已知函数为指数函数，且满足以下条件：①且x≠y，都有 ；②函数的图象关于直线对称，且方程有且仅有两个实数解.则函数的解析式可以为（    ） A． B． C． D． 21．记，，，则（   ） A． B． C． D． 22．直线与函数的图象交于两点，过点分别作轴的垂线，垂足为，则当矩形的面积为时，的值为（   ） A． B． C． D． 23．已知，，则“”是“”的（     ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 24．意大利画家达·芬奇提出：固定项链的两端，使其在重力的作用下自然下垂，那么项链所形成的曲线是什么？这就是著名的“悬链线问题”，其中双曲余弦函数就是一种特殊的悬链线函数，其函数表达式为，相应的双曲正弦函数的表达式为．设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（     ） A． B． C． D． 25．设集合，集合，则（    ） A． B． C． D． 二、多选题 26．下列函数最小值为4的是（ ） A． B． C． D． 三、概念填空 27．0的正分数指数幂等于______，0的负分数指数幂没有意义． 28．指数函数值大小比较 函数和 当时，___ 当时，____ 当时，____ 当时，__ 当时，____ 当时，____ 29．指数函数的图象和性质 图象 性质 （1）定义域：________ （2）值域：________ （3）过定点________，即时，________ （4）当时，________；当时，________ （4）当时，________；当时，________ （5）在上是________ 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于________； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________ （5）在上是________ 当值趋近于正无穷大时，函数值趋近于________； 当值趋近于负无穷大时，函数值趋近于________ 对称性 函数与（，且）的图象关于________对称，且它们在上单调性________ 30．指数幂的运算性质 条件 指数幂的运算性质 ，，，为实数 ________ ________ ________ 四、填空题 31．设，则的最小值为_____． 32．若函数为奇函数，则____． 五、解答题 33．已知函数的定义域为，且当时，．对任意，定义集合．若当时，，求； 34．已知连续函数和，设，集合. (1)若指数函数的图像过点，且，求M； (2)若，，且在区间上存在极值点t，求实数a的取值范围，并判断t是否属于M，请说明理由. 35．若是偶函数，求的值、值域、对称性、单调区间． 36．已知函数（且）的图像过点，其反函数的图像过点，求a，b的值． 37．若不等式，当时恒成立，求实数的取值范围. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 《2027届浙江省高考数学一轮复习作业——指数函数》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B C D A D D B A D 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 答案 D B C D B A D C B D 题号 21 22 23 24 25 26 答案 A A A A A BD 1．A 【分析】根据指数函数和对数函数的单调性判断，，的范围，再比较大小即可求解. 【详解】因为在单调递减，， 所以， 因为在上单调递增，， 所以， 因为在上单调递减，， 所以， 即，，， 所以. 2．B 【分析】根据指数函数的单调性比较大小即可. 【详解】因为 在上单调递减， 所以 ， 同理，函数在上单调递增，所以. 综上，可得. 3．C 【分析】首先要说明各函数的定义域，通过作差比较法或特殊值法可逐项判断. 【详解】对于A：函数的定义域为， 取，则，， 不满足题设不等式，故A错误； 对于B：函数的定义域为， 则， 当时，， (也可以取特殊值，取，则）， 不满足题设不等式，故B错误； 对于C：函数的定义域为，而是非零实数， 所以对任意正实数（），不等式 ， 恒满足题设，故C正确； 对于D：函数的定义域为，取， ，， 因为，所以此时，不满足题设不等式，故D错误. 4．D 【分析】先构造函数确定的取值范围，再利用指数函数单调性比较与的大小，结合对数函数性质判断的符号，最终得到三者大小关系． 【详解】令，因为是上的增函数，是R上的减函数， 所以为上的单调递增函数， 计算得，， 由零点存在性定理可得方程得解， 由，得，所以， 又为上的单调递减函数， 在上单调递增， 所以，， 所以． 5．A 【分析】根据给定条件，利用对数运算法则，对数函数、指数函数单调性及已知比较大小. 【详解】 ，， 而，，因此， 又幂函数在上单调递增，则， 所以大小关系是. 6．D 【分析】先确定的范围，再确定的范围，将化为同底，根据对数函数单调性比较大小. 【详解】因为， ， ， 且，所以. 7．D 【详解】， ， ， 所以. 8．B 【分析】根据，利用指数函数的单调性比较a，b，再与“1”比较即可. 【详解】，． 因为指数函数单调递增，且， 所以． 又，． 所以． 故选：B. 9．A 【分析】根据对数函数与绝对值的性质化简，再由指数函数、对数函数和幂函数的单调性比较大小即可. 【详解】由题意可得， 因为函数在上单调递增，所以， 又因函数在上单调递增，则， 所以， 因，且在上单调递增， 所以，即. 故. 10．D 【分析】将问题化为在时函数值的大小比较问题，利用指数函数的图象分析判断. 【详解】令，则， 所以对应函数依次为， 根据指数函数的图象及其平移关系，大致图象如下， 由图，随从左到右移动依次有，，，， 即，，，，不可能有. 11．D 【分析】利用对数函数的单调性，对同时取对数比较其大小. 【详解】已知，同时取对数得： ，， 又，且函数在区间单调递增，因此， 可得：，即，故. 12．B 【分析】先求出半衰期，再根据指数，对数的运算性质及换底公式计算即可. 【详解】由题意可得，即，解得. 设降温到大约需要，则，即， 所以， 解得，所以大约需要. 13．C 【详解】由，解得，所以， 因为，所以. 14．D 【分析】将已知参数代入定价公式，推导执行价格与有效期的关系，结合的条件计算的值. 【详解】将，代入定价公式得： ， 化简得： ，整理得（）. 当时，；当时，； 又，所以，即，所以， 因此. 15．B 【详解】，故， ， ，即， ． 16．A 【分析】利用取整函数的特性，将n按照的幂次区间进行分组后求和即可. 【详解】当时，即，此时共2项， 此部分的和为， 当时，即，此时共6项， 此部分的和为， 当时，即，此时共18项， 此部分的和为， 当时，即，此时共54项， 此部分的和为， 当时，即，此时， 由题意只需要计算第81项到第100项，即20项， 此部分的和为， 综上，. 17．D 【分析】画出的图象，结合函数的图象可得方程的解、满足，根据根分布可求实数取值范围． 【详解】根据解析式知的图象如图所示： 由题意，有4个不相等的实数根， 设，结合图象可知有两个不等实根， 设此关于方程的解为、，其中均不为零且． 由题设可得关于的方程和共有4个不同的解，， 故不能都大于2，不能都小于等于1， 故（舍）或或（舍）． 令，其开口向上， 需满足，即，解得. 18．C 【分析】逐一验证各选项是否同时满足在区间上单调递减且为奇函数两个条件即可求解． 【详解】对A选项，的定义域为，， 既不满足也不满足，为非奇非偶函数，不符合要求，故A错误； 对B选项，的定义域为， 满足，是奇函数， 根据幂函数性质，在上单调递增，在上单调递增，不符合单调递减的要求，故B错误； 对C选项，的定义域为，关于原点对称， 满足，是奇函数， 由反比例函数的性质可知，在上单调递减，两个条件均满足，故C正确； 对D选项，的定义域为，定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，且根据对数函数性质，在上单调递增，不符合要求，故D错误． 19．B 【分析】先判断必为斜边，再设，则可由题设条件得到，构建单调函数后可求该方程的解，从而可求. 【详解】因为在曲线上，故必为斜边， 不妨设平行于轴，平行于轴， 设，则， 令，则即， 因为是等腰直角三角形，故， 所以， 整理得， 设， 因为均为上的增函数， 故为上的增函数，而， 故的解为， 故. 20．D 【分析】首先根据指数函数定义、单调性条件排除错误选项A、B，再结合反函数性质，将原问题转化为有且仅有两个实数解的问题，继而构造函数，利用导数解决函数的零点个数问题，即可判断出答案. 【详解】选项A：且，都有， 则可说明为R上的单调递增函数，由于在R上单调递减，不符合题意，排除； 选项B：不是指数函数（指数函数要求指数为自变量、定义域为），且时函数单调递减，不满足条件①，排除； 选项CD中函数均为R上的单调递增函数， 由于互为反函数，它们的图象关于直线对称， 故若的图象有交点，则交点必在直线上， 选项C：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 则无零点，即无实数解，不符合题意，C错误； 选项D：对于，令，则，该函数在R上单调递增， 由，得， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 则， 当时，，当时，， 则有两个零点，即有且仅有两个实数解，符合题意，D正确. 21．A 【详解】， , 因, 故. . 综上可得大小关系：. 22．A 【分析】设函数与直线的交点，求出交点的x轴之间的关系，再运用矩形的面积公式，求出结果. 【详解】由题意可得， 设函数与直线的交点为， 则，则，同理，则， 又因为，， 解得，设， 则，故，代入点坐标得， 化简得，解得，故. 23．A 【分析】又函数单调性得到充分性成立，举出反例可得必要性不成立. 【详解】由题意得，，， 而在上单调递增，故， 而在上单调递减，故，充分性成立， ，不妨设，满足要求， 但此时，不满足，必要性不成立， 故“”是“”的充分不必要条件. 24．A 【分析】根据奇偶性的定义可得为奇函数，进而分离常数，结合指数函数的单调性可判断的单调性，进而求解即可. 【详解】由题意，得，， 则，所以函数为奇函数， 又， 由于在上单调递增，且，故在上单调递增， 由，则， 即，解得，则的取值范围为. 25．A 【详解】因为，， 所以. 26．BD 【分析】二次函数求最值判断A；利用基本不等式求最值判断BCD. 【详解】对于A，，当且仅当时取等号，A错误； 对于B，，当且仅当，即时取等号，B正确； 对于C，， 当且仅当即，不成立，C错误； 对于D，当时，， 则， 当且仅当，即时取等号，D正确. 27．0 【详解】略 28． 【详解】略 29． 1 增函数 正无穷大 0 减函数 0 正无穷大 轴 相反 【解析】略 30． 【详解】略 31． 【分析】根据给定条件，利用指数函数值域及基本不等式求出最小值. 【详解】令，则， 当且仅当，即时取等号， 所以所求最小值为. 32．1 【详解】函数定义域为，关于原点对称，因为函数为奇函数， 所以，，， 所以，即，整理得对定义域内的恒成立，解得. 33． 【分析】先算出，将题意转化为解不等式，按，分段代入对应解析式分别求解范围，最后合并两段解集得到集合． 【详解】因为， 所以， 令，则， 当，即时， ，得，即，，故； 当，即时， ，得，故， 综上，的取值范围为，即． 34．(1) (2)， 【分析】（1）根据指数函数的单调性，结合集合定义，求解即可. （2）根据极值与导数关系，求解的范围，并通过判断即可. 【详解】（1）设指数函数(且)，因为其图像过点，代入得，，则， 因此，因此， 而集合，其中， 令，则， 由于，故，即， 因为指数函数在上单调递增，所以， 因此，集合. （2）函数的定义域为， 对原函数求导得，， 因为在上存在极值点，所以在上有解， 即，故， 设，，则， 当时，且，故，即在上单调递增， 因为，，因此在上的值域为， 所以，实数的取值范围是， 由于在上单调递增，对于任意， 存在唯一的使得，即， 当时，，即，故，单调递减， 当时，，即，故，单调递增， 因此，是在上的极小值点， ， 将代入上式，， 故， 设，求导得，， 令，得，即， 当时，，，单调递增， 当时，，，单调递减， 因此，在处取得最大值，， 当时，，故， 当时，， 综上，对任意，， 因此，， 即成立，故. 35．；当时，值域为，关于对称，单调递减，上单调递增； 当时，值域为，关于对称，单调递增，上单调递减 【分析】利用偶函数的性质求得，讨论参数求出对应值域，由偶函数得到对称性，再利用复合函数的“同增异减”的方法求解单调区间. 【详解】因为 函数定义域为（）， 由偶函数定义可知：，即， 整理得对任意恒成立，因此，解得， 当时，，由基本不等式可得： ，当且仅当取等号， 因此值域为，偶函数关于直线对称， 令（，在上单调递增），所以在单调递减， 在单调递增，结合复合函数同增异减可得： 函数在上单调递减，上单调递增， 当时，，由得， 因此值域为，仍为偶函数，关于直线对称， 同理结合复合函数单调性可得：函数在上单调递增，上单调递减. 36．， 【分析】应用指数运算及反函数性质列式计算求解. 【详解】因为的图像过点，所以．① 又因为的反函数图像过点，所以点在原函数的图像上． 所以．② 联立①②得，． 37． 【详解】要使不等式在时恒成立. 即函数的图像在内恒在函数图像的上方，而的图像过点. 由图可知，，显然这里， 所以函数递减. 又，所以，又，所以. 所以所求实数的取值范围为. 2 1 学科网（北京）股份有限公司 $