4.5 增长速度的比较 同步练-2026-2027学年高一上学期数学人教B版必修第二册

**基本信息** 聚焦指数、对数、幂函数增长速度比较，以"基础概念辨析-综合性质应用-迁移问题解决"为路径，分层设计适配新授课巩固需求，培养数学抽象与模型意识。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础|单一函数增长特性|4道单选题（如超市利润模型选择）+2道填空题（如繁殖数量计算），强化概念识别| |中档|函数性质综合应用|2道多选题（如函数单调性、零点条件判断），考查知识关联与辨析能力| |提升|实际问题迁移解决|2道解答题（如函数值比较、平均变化率计算），要求数学表达与逻辑推理|

2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润与售出商品的数量的关系，则可选用(    ) A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 【答案】D  【解析】【分析】 本题考查指数函数、一次函数、二次函数以及对数函数的增长差异，增长最快的是指数函数，增长最慢的是对数函数． 由题意可知，利润与时间的函数模型是个增函数，而且增长速度初期增长迅速，后面增长速度越来越慢，符合对数函数的特征． 【解答】 解：由题意可知，函数模型对应的函数是个增函数，而且增长速度初期增长迅速，后面增长速度越来越慢，故应采用对数型函数来建立函数模型， 故选：． 2.已知函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率为． A. B. C. D. 【答案】A  3.变量，的几组实验测量数据如下表所示： 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了一次函数、指数函数、对数函数，二次函数的增长差异，属于基础题． 作出散点图可排除，，根据所给数据，代入，计算验证可得结论． 【解答】 解：画出散点图： 根据图象可得该函数的增长越来越快，故可排除，， 根据，，代入计算，可以排除 将各数据代入函数，可知满足题意， 故选A． 4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为，跑过的路程分别满足关系式：，，，，则以后跑在最前面的为(    ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D  【解析】【分析】 本小题主要考查函数增长模型，考查二次函数、一次函数，对数函数和指数函数的单调性，属于基础题． 分别计算的值，结合指数增长速度的知识，选出正确选项． 【解答】 解：由于个函数均为增函数，且，，，，最大， 结合指数增长越来越快可知：后丁车在最前面． 故选：． 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(    ) A. ，，都有 B. 已知为常数且，则，当时，恒有 C. 函数的单调递减区间是 D. 在上具有零点的必要不充分条件是 【答案】BC  【解析】【分析】 本题考查命题真假的判断，涉及指数幂的化简、复合函数单调性、函数的两点、方程的根的分布，一次函数、指数函数、对数函数间的增长差异，属于基础题． 由指数幂的运算即可判断，由指对幂函数的特点即可判断，由复合函数的单调性即可判断，由函数零点的定义即可判断． 【解答】 解： 对于，当为偶数时，，故A错误； 对于，当时，函数，，均为单调递增函数， 三个函数中，变化最快，变化最慢， 所以，当 时，恒有 ，故B正确； 对于，由解得或， 又在单调递减，在单调递增， 且是上的减函数，故在单调递增，在单调递减，故C正确； 对于，取函数，则函数的零点为和， 即在上存在零点，但是，故D错误． 故选：． 6.下列说法中正确的是(    ) A. 任取，均有 B. 图象经过的幂函数是偶函数 C. 在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称 D. 若方程的两根分别为，，则 【答案】ACD  【解析】【分析】 本题考查指数函数，幂函数和对数函数的图象和性质以及方程根的分布和图象平移问题，中档题． 对于选项A利用幂函数单调性判定，对于选项B求出幂函数解析式判定，对于选项C利用图象变换判定，对于选项D利用对数函数的性质求解． 【解答】 解：由幂函数单调性可知A正确 对于选项B设，则，解得， 则，函数定义域不关于原点对称，所以函数不是偶函数，故答案B错误； 对于选项C函数与的图象关于轴对称， 往上平移个单位就得到函数与的图象， 所以还关于轴对称，故答案C正确； 对于选项D由方程的两根分别为，， 可知，两根中，一个大于，另一个小于， 不妨令小于，则大于， 所以有，有， 所以，同理，， ， 又，所以，故答案D正确； 故答案为：． 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某种稀有动物的繁殖数量只与时间年的关系式为，若这种动物到第一年末有只，则到第七年末发展到          只 【答案】  8.根据函数，，给出以下命题： ，，在其定义域上都是增函数； 的增长速度始终不变； 的增长速度越来越快； 的增长速度越来越快； 的增长速度越来越慢． 其中正确的命题序号为          ． 【答案】  【解析】【分析】 本题考查了对数函数、一次函数、指数函数的增长速度的差异，属于基础题． 对各个选项逐一验证可以得出答案． 【解答】 解：由题可知，，在其定义域上都是增函数， 的增长速度始终不变，的增长速度越来越快，而的增长速度越来越慢， 故正确． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围． 【答案】因为， 所以， 所以 而， ． 使， 即成立的的取值范围为，即． 【解析】本题考查的是有关比较函数值的大小以及增长速度的比较问题，属于基础题． 利用函数值比较大小，根据大小关系构造不等式求解即可． 10.本小题分 已知函数． 求在区间与上的平均变化率 记，，，判断直线与直线斜率的相对大小． 【答案】解：在区间上的平均变化率为： ． 在区间上的平均变化率为： 因为直线的斜率就是在上的平均变化率， 直线的斜率就是在上的平均变化率， 所以直线的斜率大于直线的斜率． 【解析】本题考查函数在区间上的平均变化率，以及区间两端点连线的斜率，属于基础题． 在区间上的平均变化率为，同理在区间上的平均变化率为， 根据斜率与平均变化率的意义即可解答． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润与售出商品的数量的关系，则可选用(     ) A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 2.已知函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率为． A. B. C. D. 3.变量，的几组实验测量数据如下表所示： 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是(     ) A. B. C. D. 4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为，跑过的路程分别满足关系式：，，，，则以后跑在最前面的为(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(     ) A. ，，都有 B. 已知为常数且，则，当时，恒有 C. 函数的单调递减区间是 D. 在上具有零点的必要不充分条件是 6.下列说法中正确的是(     ) A. 任取，均有 B. 图象经过的幂函数是偶函数 C. 在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称 D. 若方程的两根分别为，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某种稀有动物的繁殖数量只与时间年的关系式为，若这种动物到第一年末有只，则到第七年末发展到           只 8.根据函数，，给出以下命题： ，，在其定义域上都是增函数； 的增长速度始终不变； 的增长速度越来越快； 的增长速度越来越快； 的增长速度越来越慢． 其中正确的命题序号为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分 已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围． 10.本小题分已知函数． 求在区间与上的平均变化率 记，，，判断直线与直线斜率的相对大小． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026-2027学年第一学期高一数学（人教版B版）第四章指数函数、对数函数与幂函数 4.5 增长速度的比较 课堂限时训练 考试时长：20分钟　满分：66分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。 3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。 第I卷（选择题） 一、单选题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了一定的调整，结果调整初期利润增长迅速，随着时间的推移，增长速度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润与售出商品的数量的关系，则可选用(     ) A. 一次函数 B. 二次函数 C. 指数型函数 D. 对数型函数 2.已知函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率为． A. B. C. D. 3.变量，的几组实验测量数据如下表所示： 则根据上表数据，在下列函数中，拟合变量，关系的最佳函数是(     ) A. B. C. D. 4.有甲、乙、丙、丁四种不同品牌的自驾车，其跑车时间均为，跑过的路程分别满足关系式：，，，，则以后跑在最前面的为(     ) A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 二、多选题：本题共2小题，共12分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。 5.下列结论正确的是(     ) A. ，，都有 B. 已知为常数且，则，当时，恒有 C. 函数的单调递减区间是 D. 在上具有零点的必要不充分条件是 6.下列说法中正确的是(     ) A. 任取，均有 B. 图象经过的幂函数是偶函数 C. 在同一坐标系中，函数与的图象关于轴对称 D. 若方程的两根分别为，，则 第II卷（非选择题） 三、填空题：本题共2小题，每小题5分，共10分。 7.某种稀有动物的繁殖数量只与时间年的关系式为，若这种动物到第一年末有只，则到第七年末发展到           只 8.根据函数，，给出以下命题： ，，在其定义域上都是增函数；的增长速度始终不变； 的增长速度越来越快；的增长速度越来越快；的增长速度越来越慢． 其中正确的命题序号为           ． 四、解答题：本题共2小题，共24分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 9.本小题分已知函数，判断与的相对大小，并求出使得成立的的取值范围． 10.本小题分已知函数． 求在区间与上的平均变化率 记，，，判断直线与直线斜率的相对大小． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $