精品解析：广东汕头市第一中学2025-2026学年第二学期期中考试高二数学试题

2025-2026学年度第二学期期中考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. i C. D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由复数的除法运算可求得结果. 【详解】. 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据可得出，利用集合的包含关系可求出的值，再利用充分条件和必要条件的定义判断即可. 【详解】若，则， 又因为集合，，则或，可得或， 所以“”是“”的充分不必要条件. 3. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由分布列的性质可知，，所以. 因为函数，. 当时，； 当时，； 当时，. 所以. 所以函数的值域为. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】用二倍角的余弦公式，将已知方程转化为关于的一元二次方程，求解得出，再用同角间的三角函数关系，即可得出结论. 【详解】，得， 即，解得或（舍去）， 又. 故选：A. 【点睛】本题考查三角恒等变换和同角间的三角函数关系求值，熟记公式是解题的关键，考查计算求解能力，属于基础题. 5. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为，然后根据题意列方程组，从而可求得结果． 【详解】设圆锥的底面半径为，高为，则母线长为， 因为圆锥的体积是，其侧面积是底面积的3倍， 所以即，解得． 6. 已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分、两种情况求解即可. 【详解】若，则单调递减，图像可知，， 若，则单调递增，由图像可知， 故不等式的解集为． 故选：C 7. 甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用相互独立事件的概率乘法公式、条件概率的即可求出两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率 【详解】记甲、乙、丙三人闯关成功分别为事件，记三人中恰有两人闯关成功为事件， 则， 又， 所以． 故选：C． 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 由椭圆定义得，解得， 在中，由余弦定理得， 即，整理得， 所以的离心率. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AD 【解析】 【详解】，所以A正确； 是常数，所以，所以B不正确； ，所以C不正确； ，所以D正确. 10. 在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 【答案】ABC 【解析】 【分析】利用可判断AB；由等差中项和求和公式可得C；利用求和公式和下标性质可得D. 【详解】，所以前10项都为负数，选项正确； ，选项C正确； ，，选项D错误. 故选：ABC 11. 函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则函数在上单调递减 B. C. 方程可能无解 D. 若为奇函数，则 【答案】ABD 【解析】 【分析】本题可根据复合函数的单调性、函数的奇偶性、方程的解等知识，对选项逐一进行分析. 【详解】选项A： 当 时， ，则 ， 令 ，对 变形可得 ， 对于函数 ，当 时，单调递增， 单调递减， 所以 在 上单调递减. 又因为 在 上单调递增，所以 在 上单调递减，故A正确； 选项B： 已知 ，则 . . 令 ，则 ，故B 正确； 选项C： 方程 即 ，变形可得 ； 令 ，则. 再令，，则. 当 时， 单调递减；当 时， 单调递增； 所以在处取得最小值，即 恒成立，所以 在 上单调递增； 又因为当 时，；当时，， 所以对于任意的 ，方程 都有解，即方程 总有解，故C错误; 选项D： 若 为奇函数，则 ，即 ，所以 ； 由 ，则 ，化简得 ，所以 ， 又因为为奇函数，其定义域需关于原点对称，由 的解集关于原点对称可得 . 则 ，所以 ，故D正确. 综上，答案是ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的中的系数是______． 【答案】5 【解析】 【分析】由，则分别求出中的与的系数即可求解． 【详解】，所以展开式中的系数是． 故答案为：5 13. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 【答案】2 【解析】 【详解】由题意得：，则在点处的切线斜率， 又因为在点处的切线与直线互相垂直，且直线的斜率为， 所以，解得：. 14. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 【答案】36 【解析】 【详解】显然7，8，9，10，11，12不可能是集合中的较小元素，故1，2，3，4，5，6为较小元素，7，8，9，10，11，12为较大元素，且一定有一个集合为，第一步先选5，5有10，11两种选择，第二步再选4，4有8，9，10，11四种选择但去除第一步所选的数字，共三种选择，剩下1，2，3，如何选取均可，故种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角A； （2）若，边中线长为1，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）采用正弦定理，将化为，再结合三角函数恒等变换公式即可求解； （2）根据，两边平方可得b、c的等式，同时结合余弦定理再列出b、c相关的等式，联立求解bc的值，最后由三角形的面积公式即可求解． 【小问1详解】 由可知，， 也即，， 又因为， 所以，． 【小问2详解】 由， 两边平方得 又， 所以，解得，所以． 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 【答案】（1） （2） 因为， 所以， 所以 ， 又因为，所以，所以. 【解析】 【分析】（1）应用计算得出通项公式； （2）应用裂项相消计算求和结合范围即可证明不等式. 【小问1详解】 因为， 当时，，所以 当时，， 两式相减可得，所以当时，， 综上，； 【小问2详解】 略 17. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 【答案】（1） 证明：在菱形中，对角线互相垂直，所以， 因为在底面上的投影为，所以平面， 又平面，故. 又平面，平面，， 所以平面. （2） 【解析】 【分析】（1）先由菱形性质得，再由投影得平面，故；因且共面，从而证得结果; （2）以菱形对角线交点为原点，OB，OC，OF分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，求出各点坐标与，，，设平面的法向量并由线线垂直列方程求解，再利用线面角公式计算正弦值. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由，，得，，， 如图1，作于点，则. 因为平面平面，交线为，所以平面. 以为原点，OB，OC，OF所在的直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系. 则，，，. 所以，，. 设平面的法向量为， 则，即 令，得，，故. 设直线与平面所成的角为，，则. 所以直线与平面所成角的正弦值为. 18. 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． （1）求此次分析触发预警的概率； （2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 【答案】（1）0.0547 （2）（i） （ii）含义解释： 由（i），表示“在手环预警的条件下用户确实患病”的概率， 它衡量了预警结果的可靠性，回答了“预警是否意味着真患病”的个人风险问题； 是灵敏度，表示“用户真患病的条件下手环触发预警”的概率， 反映了该手环识别真实病例的能力； 决策参考分析：对收到预警的个人而言， 的参考价值更大、更直接． 理由：该值从群体基础患病率（）显著提升至，构成了明确的个人健康风险信号， 用户应结合自身症状，将此作为是否需要进一步医疗检查的关键依据． 而描述的是该手环的整体性能，无法直接量化个人当前风险， 故对个人就诊决策的参考相对间接． 【解析】 【小问1详解】 事件为“用户患病”，事件为“分析触发预警”． 由题知：，，，． 由全概率公式： 所以，触发预警的概率为0.0547． 【小问2详解】 （i）由贝叶斯公式： ， 所以，在预警条件下确实患病的概率约为． （ii）略 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 【答案】（1） （2） 当时，只需证明，， 当时，，，此时成立， 当时，令，， 令，则， 因为在区间上单调递减，在区间上单调递增， 所以在区间上单调递增， 因为，所以时，， 所以在区间上单调递增， 所以， 所以在区间上单调递增，， 所以， 综上可得成立. （3） 【解析】 【分析】（1）求导，根据导数的几何意义计算求解； （2）分，两种情况讨论，当时，利用导数判断函数的单调性即可得证； （3）利用导数求函数的最小值，可得，转化为，构造函数，利用导数求最大值即可. 【小问1详解】 当时，，， 则切线斜率，， 所以切线方程为，即， 【小问2详解】 略 【小问3详解】 任意的，恒成立，只需要， 又是增函数，，，， 故由零点存在性定理可知，，使得， 此时，由题设及可知，，解得， 当，，故单调递减， 当，，单调递增， 所以，取得极小值也是最小值，所以， 所以，得， 则， 令， 得到，得（舍去）或， 当，0单调递增，当，，单调递减， 所以时，取得极大值也是最大值， 所以，故的最大值是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期期中考试 高二级数学科试题 注意：试卷共4页，满分150分，考试时间120分钟 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题有且只有一项是符合题目要求的. 1. （ ） A. B. i C. D. 1 2. 已知集合，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知随机变量的分布列为 0 1 2 3 0.3 0.3 0.2 0.1 设函数，若，则函数的值域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，且，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知圆锥的体积为，侧面积是底面积的3倍，则其底面圆的半径为（ ） A. B. 2 C. D. 6. 已知定义在上的函数的大致图像如图所示，是的导函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 7. 甲、乙、丙三人参加某闯关游戏，三人各自独立闯关互不影响.已知甲闯关成功的概率为，乙闯关成功的概率为，丙闯关成功的概率为，则在三人中恰有两人闯关成功的条件下，甲闯关成功的概率为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，，点在上满足，且，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9. 下列式子求导正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 在等差数列中，记公差为，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. D. 11. 函数，，则下列结论正确的有（ ） A. 若，则函数在上单调递减 B. C. 方程可能无解 D. 若为奇函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式的中的系数是______． 13. 若函数的图象在点处的切线与直线互相垂直，则_______． 14. 将集合划分成6个元素个数相等的集合，其中任何一个集合中的较小元素的两倍不超过较大元素，则不同的划分方式有__________种. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足 （1）求角A； （2）若，边中线长为1，求的面积． 16. 已知数列满足. （1）求的通项公式； （2）设数列的前项和为，证明：. 17. 如图，在几何体中，四边形是菱形，，且，三角形是正三角形，平面平面.点在平面上的投影为与的交点，且. （1）证明：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； 18. 某智能手环可通过监测心率对佩戴者进行“心律失常”疾病的早期预警．据临床数据，其用户群体中该疾病的患病率约为0.5%，手环单次分析会给出“预警”或“无预警”结果，其性能如下： 对于确实患病的用户，单次分析触发预警的概率为99%（灵敏度）； 对于未患病的用户，单次分析误触发预警的概率为5%（误报率）． 现从用户群体中随机抽取一人，进行单次分析． （1）求此次分析触发预警的概率； （2）记事件为“此次分析触发预警”，事件为“该用户确实患病”． （i）求； （ii）结合（1）和（2）（i）的结果，说明与在医学预警中的不同含义，并分析：若手环触发预警，哪个概率对用户决定是否就医的参考价值更大？为什么？ 19. 已知函数，. （1）当时，求函数在处的切线方程； （2）当时，证明：； （3）若，，对任意的，恒成立，求的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $