精品解析：甘肃兰州市第三十五中学2025-2026 学年第二学期八年级期末考试数学试卷

2025-2026-2八年级期末考试试卷 数学 （满分120分 答题时间：120分钟） 一．选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共33分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 某探究小组设计了一个串联电路，该电路的总电阻为，其分压大小可表示为：，当该式的值等于时，说明此时电路中的某一分压恰好为，则对应的电阻值为（ ） A. B. C. D. 4. 在中国传统建筑中，八角窗是一个独特的元素，八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意开放与包容．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，为的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 7. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 若，则（ ） A. B. 8 C. D. 6 9. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 11. 如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 边所在直线的解析式为 D. 的面积为 二．填空题（4小题，每题3分，共12分） 12. 写出一个使分式有意义的的值：________．（写出一个即可） 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 14. 已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 三．解答题 16. 因式分解： （1）； （2）． 17. 解方程： （1）； （2）； 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 如图，点、在的边的延长线上，且在、之间，满足． （1）用尺规完成以下作图：以为顶点，在下方作，在射线上截取，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，完成以下证明填空： 证明：在与中， ， ． ② ，． 又，， ③ ． ． 又， 四边形为平行四边形（依据： ④ ．） 请写①②③④处空缺的内容：①________；②________；③________；④___________________． 21. 如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 22. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 23. 如图，点、分别在矩形的边和上，和相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 24. 端午节义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量乙商品数量 ________ 解法二 设…等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法二所列方程中的表示________（填序号）； ①甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③甲种商品购进件． （2）请根据解法一列出方程，并解决题目中提出的问题． （3）若该班计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，至多购进甲种商品多少件？ 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 （3）根据图2：若，则的值=_____． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026-2八年级期末考试试卷 数学 （满分120分 答题时间：120分钟） 一．选择题（每题只有一个正确选项，每小题3分，共33分） 1. 博物馆是展示历史、文化和艺术的重要场所，其标志设计往往蕴含着丰富的文化内涵和美学价值，下列博物馆标志中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查中心对称图形，轴对称图形，熟练掌握其定义是解题的关键． 把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形；据此进行判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； C、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意； D、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2. 若，则下列不等式正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：对于选项A：∵不等式两边同乘，不等号方向改变， ∴，故A错误； 对于选项B：∵不等式两边同乘正数，不等号方向不变， ∴，故B正确； 对于选项C：∵不等式两边同时减，不等号方向不变， ∴，故C错误； 对于选项D：举例，当时，，故D错误． 3. 某探究小组设计了一个串联电路，该电路的总电阻为，其分压大小可表示为：，当该式的值等于时，说明此时电路中的某一分压恰好为，则对应的电阻值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据分式值为0的条件分子为0且分母不为0求解即可． 【详解】解：∵， ∴且， 由得， 由得， ∴． 4. 在中国传统建筑中，八角窗是一个独特的元素，八个角象征着“八方来风、四通八达”，寓意开放与包容．如图是一个正八边形窗户的示意图，这个正八边形的每一个外角的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解： ∵多边形的外角和为  ∴正八边形的每一个外角的度数为． 5. 如图，在中，为的平分线，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由角平分线的意义、线段垂直平分线的性质及等腰三角形的性质得，由三角形内角和即可求得，从而求得的度数． 【详解】解：设， ∵为的平分线， ∴，， ∵的垂直平分线为， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即． 6. 如图，的顶点A，B，C的坐标分别是，则顶点D的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据平行四边形性质以及点的平移性质计算即可． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 点B的坐标为(-2，-2)，点C的坐标为(2，-2)， ∴点B到点C为水平向右移动4个单位长度， ∴A到D也应向右移动4个单位长度， ∵点A的坐标为(0，1)， 则点D的坐标为(4，1)， 故选:C． 【点睛】本题主要考查平行四边形的性质，以及平移的相关知识点，熟知点的平移特点是解决本题的关键． 7. 定义新运算“”，规定：．若关于x的不等式的解集为，则m的值为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了新定义计算在不等式中的运用，根据定义新运算的法则得出不等式，解不等式，根据解集列方程即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵关于x的不等式的解集为， ∴， ∴． 故选：B． 8. 若，则（ ） A. B. 8 C. D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】先求出的值，再代入求值即可． 【详解】 , 常数项相等：, . 项系数相等：, 代入, . 故选：B. 【点睛】本题考查了因式分解，解决本题的关键是掌握因式分解的方法.. 9. 若关于的分式方程无解，那么实数的值是（ ） A. 1 B. 3 C. 3或5 D. 3或7 【答案】C 【解析】 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后所得整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，据此分情况计算的值即可． 【详解】解：原方程两边同乘最简公分母去分母，得， 整理得：， 情况1：若整式方程无解， 当一次项系数为时，整式方程无解， ， 解得，此时原分式方程无解； 情况2：若整式方程有解，且解为原分式方程的增根， 原分式方程的增根满足，即， 把代入，得，解得，此时原分式方程无解； 综上，的值为或． 10. 如图，菱形的对角线，相交于点O，过点D作于点H，连接，若，，则菱形的面积为（ ） A. B. C. 48 D. 96 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的性质得，，再由直角三角形斜边上的中线性质求出的长度，然后由菱形的面积公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 11. 如图1所示，将一个等腰直角三角板摆放在平面直角坐标系中，其中直角边在轴上，点在第二象限，将直线沿轴负方向以每秒个单位长度的速度平移．设平移过程中该直线被的边截得的线段长度为，平移时间为，与的函数图像如图2所示，下列结论错误的是（ ） A. 点的坐标为 B. C. 边所在直线的解析式为 D. 的面积为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象可知直线移动到点用了秒，移动到点用了秒，可以求出，可得点的坐标是；根据勾股定理可以求出，根据等腰直角三角形的性质可以求出；根据点、的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式；根据三角形的面积公式可以求出的面积为. 【详解】解：由函数图象可知，当秒时，直线经过点， 当秒时，的值最大，即直线经过点， 当时，直线经过点， 当时，可得：， 解得：， 点的坐标是， 由图象可知，直线移动到点用了秒，移动到点用了秒， 个单位长度，个单位长度， 点的横坐标为，点的横坐标是， ， 三角板是等腰直角三角形， ， 点的坐标是， 故A选项正确； ， ， 当直线经过点时，的值最大，最大值为； 故B选项正确； 点的坐标是，点的坐标是， 设直线的解析式是， 可得：， 解得：， 边所在直线的解析式是， 故C选项正确； ， 的面积为， 故选项错误． 二．填空题（4小题，每题3分，共12分） 12. 写出一个使分式有意义的的值：________．（写出一个即可） 【答案】（答案不唯一，只要满足即可） 【解析】 【详解】解：分式有意义的条件为分母不等于． 对于分式，令分母不等于，可得 解得． 取，符合要求． 故答案为（答案不唯一）． 13. 如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为________． 【答案】2 【解析】 【分析】由矩形性质可得，结合可证点为中点，利用三角形中位线定理即可求解． 【详解】解：四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ，即点是的中点， 点是边的中点， 是的中位线， ． 14. 已知关于的不等式组的解集是，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】先解出第二个不等式，再根据不等式组“同大取大”的原则，结合已知解集得到关于的不等式，求解即可得到结果． 【详解】解：解不等式， 得：， 则原不等式组化为， ∵不等式组的解集为， ∴， 解得， 即的取值范围是． 15. 如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转后得到，则阴影部分的面积为___________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题主要考查了旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，过点作于H，由旋转的性质可得，则可求出，再根据图形面积之间的关系可证明，据此求解即可． 【详解】解：如图所示，过点作于H， 由旋转的性质可得， ∴， ∵， ∴， 故答案为：4． 三．解答题 16. 因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先提公因式，再由完全平方公式因式分解即可； （2）先由平方差公式因式分解，再对每个因式由完全平方公式分解即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 解方程： （1）； （2）； 【答案】（1） （2） 无解 【解析】 【小问1详解】 解：     解得  检验：当时，  因此原分式方程的解为； 【小问2详解】 解：     解得  检验：当时，，原方程分式无意义 因此原分式方程无解． 18. 解不等式组并把它的解集在数轴上表示出来． 【答案】，在数轴上表示如下： 【解析】 【分析】先分别求出各不等式的解集，然后确定不等式组的解集，最后在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①可得：； 解不等式②可得：； 所以该不等式组的解集为：， 在数轴上表示：略． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题先根据分式运算法则化简原式，再将代入化简后的式子计算结果． 【详解】解： ， 当时，原式． 20. 如图，点、在的边的延长线上，且在、之间，满足． （1）用尺规完成以下作图：以为顶点，在下方作，在射线上截取，连接，，．（不写作法，保留作图痕迹） （2）在（1）的条件下，完成以下证明填空： 证明：在与中， ， ． ② ，． 又，， ③ ． ． 又， 四边形为平行四边形（依据： ④ ．） 请写①②③④处空缺的内容：①________；②________；③________；④___________________． 【答案】（1）如图，即为所求； （2）；；；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【解析】 【分析】（1）按照角的作图方法和线段的作图方法进行作图即可； （2）证明，则，由等角的补角相等得到，则，根据平行四边形的判定即可证明结论成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，在△中，，过点作于点，点E在线段上，连接，过E作于点F，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】先证明，得到，继而证明，即可证明． 【详解】证明：， ， ， ，， ， ，，． ， ，， ， ． 22. 直线与相交于点，与轴交于点，与轴交于点． （1）求，的值； （2）根据图象，直接写出不等式的解集； （3）在轴上找一点，使得最小，并求点的坐标． 【答案】（1）， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）将点代入，即可求出的值，将点代入，即可求出的值； （2）由直线的图象在直线图象上时，的取值范围即为不等式的解集，结合图象及交点坐标即可解答； （3）先求出点的坐标，作点关于轴的对称点，连接交轴于点，可得，进而得到，此时，有最小值，最小值为的长，求出直线的解析式，即可求出点的坐标． 【小问1详解】 解：将点代入，则，解得； 将点代入，则，解得； 【小问2详解】 解：根据图象，得当时，直线的图象在直线图象上方， 则不等式的解集为； 【小问3详解】 解：由（1）知， 将代入，则， ∴， 作点关于轴的对称点，连接交轴于点，则， ∴， ∴， 此时，有最小值，最小值为的长， 设直线的解析式为，则，解得， ∴直线的解析式为， 令，解得， ∴． 23. 如图，点、分别在矩形的边和上，和相交于点，，． （1）求证：四边形是菱形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， 在和中： ∴， ∴， ∵, ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证得，再证四边形是平行四边形，结合即可证得四边形是菱形． （2）设，由（1）得，结合勾股定理求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则 ， ∵四边形是菱形， ∴， 在中即， 解得，即． 24. 端午节义卖，某班准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多元，用元购进甲种商品和用元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…等量关系：甲商品数量乙商品数量 ________ 解法二 设…等量关系：甲商品进价乙商品进价 （1）解法二所列方程中的表示________（填序号）； ①甲种商品每件进价元； ②乙种商品每件进价元； ③甲种商品购进件． （2）请根据解法一列出方程，并解决题目中提出的问题． （3）若该班计划用不超过元的资金购进甲、乙两种商品共件，至多购进甲种商品多少件？ 【答案】（1）③ （2）所列方程为；甲种商品每件进价5元，乙种商品每件进价3元 （3）至多购进甲种商品12件 【解析】 【分析】（1）结合解法二的等量关系，即可分析方程中的实际意义； （2）设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元，根据甲、乙商品购进数量相等列分式方程求解即可； （3）设购进甲种商品件，则购进乙种商品件，根据总资金限制列一元一次不等式求解即可． 【小问1详解】 解：解法二的等量关系为甲商品进价乙商品进价， ∴在中，表示甲商品单件进价，表示乙商品单件进价， 又单件进价总进价购进数量，且两种商品购进数量相同， 表示甲种商品的购进数量； 【小问2详解】 解：设乙种商品每件进价为元，则甲种商品每件进价为元， 用200元购进甲种商品和用120元购进乙种商品的数量相同， 解得， 检验：当时，， ∴是原分式方程的解， 甲种商品每件进价为（元）， 答：甲种商品每件进价元，乙种商品每件进价元； 【小问3详解】 解：设购进甲种商品件，则购进乙种商品件． 购进总资金不超过144元， 解得， 答：至多购进甲种商品12件． 25. “数缺形时少直观，形少数时难入微”，在探究“因式分解”时，我们借助直观、形象的几何模型，转化成“几何”形式来求解．运用到了“数形结合”的数学思想．下面，让我们一起来探索其中的规律． 【实践操作】 如图，有若干个边长为a的小正方形纸片（A类）、宽为a长为b的长方形纸片（B类）以及边长为b的大正方形纸片（C类）．我们知道对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积可以得到一个数学等式． （1）用若干个A类、B类、C类纸片拼成图1中的长方形，根据图形多项式可以因式分解得_________． （2）现用x张A卡片、y张B卡片、z张C卡片拼出一个长为，宽为的长方形，试求出的值=________； 【知识迁移】 （3）根据图2：若，则的值=_____． 【答案】（1） （2）21 （3）12 【解析】 【分析】（1）拼成的长方形长为，宽为，则长方形面积为 ，由已知多项式转化为长与宽的乘积形式，完成因式分解． （2）利用多项式乘法计算出长为、宽为的长方形的面积表达式，再根据A、B、C类纸片对应的面积项，分别确定x、y、z的值，最后计算的值． （3）利用，将已知和的值代入，开平方即可求出的值． 【小问1详解】 解：观察图1，拼成的长方形长为， 宽为， 长方形面积为 ， ∵面积等于所有纸片面积和， ∴． 【小问2详解】 解：∵长为、宽为的长方形面积为：，  A类卡片对应，故；B类对应，故；C类对应，故， ∴． 【小问3详解】 由完全平方公式可得： ， ∴，：  ∴， ∵为正数， 故． 26. 在平面直角坐标系中，已知矩形．给出如下定义：若点关于直线的对称点在矩形的内部或边上，则称点为矩形关于直线的“关联点”．若点关于直线的对称点恰好在矩形的边上，则称点为矩形关于直线的“强关联点”． （1）如图1，已知点，，． ①在点中，是矩形关于直线：的“关联点”的是__________； ②若点是矩形关于直线的“关联点”，点关于直线：的对称点为点，且是等腰三角形．在图2中所有符合条件的点有__________个； ③在②的条件下，若等腰三角形以为腰，求的值； （2）已知点，，，．若矩形的边上有且只有2个点为矩形关于直线的“强关联点”，直接写出的取值范围__________． 【答案】（1）(1) ① ，；②；③或 （2）且 【解析】 【分析】(1) ①利用点关于直线的对称公式求出各点对称点，再判断是否在矩形内部或边上． ②先由关联点条件确定的横坐标范围，再对三边两两相等进行分类讨论，求出所有符合条件的点个数． ③以为腰包含和两种情况，分别求出的值． (2) 矩形的边上有且只有个强关联点，即矩形关于直线对称后的图形与原矩形恰有个交点在边上，通过找对称轴过矩形顶点的临界状态确定的范围． 【小问1详解】 ①解：矩形中，，，，， 直线：， 点关于的对称点为，不在矩形内， 点关于的对称点为，在矩形内部， 点关于的对称点为，在矩形的边上， 点关于的对称点为，不在矩形内， 是矩形关于直线的关联点的是，． ②解：点关于直线的对称点为， ， 点是矩形关于直线的关联点， 点在矩形的内部或边上， ，即， 点的横坐标满足，纵坐标为， 是等腰三角形，，， 当时，， ， 或（舍去）， 此时，符合题意， 当时，， ， （舍去）或， 此时，符合题意， 当时，， ， ， ， 此时，符合题意， 符合条件的点有个． ③解：由②知，当时，， 与关于直线对称， ， 当时，， 与关于直线对称， ， 的值为或． 【小问2详解】 解：矩形的顶点为，，，， 对称轴为直线， 当直线过点时， ， ， 当直线过点和时， ， ， 当直线过点时， ， ， 当时，直线与边重合，此时矩形的边上所有点都是强关联点，不符合题意， 的取值范围为且． 【点睛】新定义题首先要"翻译"定义，把对称关系用坐标公式表达出来；其次要建立参数范围，通过分类讨论或临界分析确定满足条件的参数区间；最后要注意检验边界情况，排除导致个数发生突变的特殊值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $