14.3 角的平分线 暑假预习自学辅助作业2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 2026年七升八暑假预习同步练（14.3角的平分线），分层递进设计，覆盖作图、性质、判定及实际应用，从基础原理到综合探究，适配自学巩固，培养几何直观与推理能力。 **分层设计** |层次|知识覆盖|设计特色| |----|----------|----------| |基础理解|作角平分线（尺规作图）、性质/判定定理直接应用|选择填空为主，如尺规作图依据（SSS）、性质求距离，巩固核心概念| |技能应用|性质与判定结合、简单计算|解答题结合面积（如△ABC中角平分线分面积），培养推理与运算能力| |综合拓展|实际情境、定理证明|探究题（如外角平分线定理证明）、实际问题（平板电脑支架距离），发展应用意识与创新思维|

2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （14.3 角的平分线） 知识点1 作角平分线（尺规作图） 1．尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法．如图，为了得到的平分线，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，以为圆心，适当长为半径画弧，交轴正半轴于点，交轴正半轴于点，再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在第一象限交于点．若点的坐标为，则与的数量关系为（   ） A． B． C． D． 3．用直尺和圆规作一个角的角平分线的示意图如图所示，其中说明的依据是（   ） A． B． C． D． 4．如图是作的平分线的两种方案，对于两种方案的判断正确的是（   ） 甲方案 将两个完全一样的三角板长直角边放在边和上、移动三角板，使短直角边的锐角顶点重合在一点，记为点P，作射线． 乙方案 用刻度尺在和上分别取，再用刻度尺量取的长，取其中点，记为点P，作射线． A．只有甲对 B．只有乙对 C．甲、乙都不对 D．甲、乙都对 5．如图，在中，，，以点为圆心，适当长为半径画弧，交于点，交于点；再分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧（所在圆的半径相等）在的内部相交于点；画射线，与相交于点，则的大小为（    ） A． B． C． D． 6．某小组开展“用直尺和圆规作角平分线”的探究活动，作图痕迹如图．其中射线不一定是的平分线的为（    ） A．图1 B．图2 C．图3 D．图4 7．如图，在中，，，根据图中的作图痕迹，可得的度数为________． 8．已知：（如图所示）．求作：的平分线． 作法：（1）以点O为圆心，适当长为半径画弧，交于点M，交于点N．（由作图，得到条件________） （2）分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在的内部相交于点C．（由作图，得到条件________） （3）作射线，射线即为所求．（写出平分的原因：__________________） 9．如图，在中，已知．以点A为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点M，N；再分别以点M，N为圆心，以大于的长为半径画弧，两弧相交于点P．连接并延长交于点D，则_________． 知识点2 角平分线的性质定理 10．在中，，以为圆心，适当长为半径画弧，交，于，两点，再分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点．作射线交于点，若，，则点到的距离为（　　） A．3 B．4 C．2.5 D．2 11．下列作图中，点到，两边距离相等的是（   ） A． B． C． D． 12．如图，在中，，，平分交于，过作于点，且，则的面积为（    ） A．21 B．24 C．27 D．30 13．如图，平分，垂直于点，的面积等于，，则的长为（   ） A． B． C． D． 14．如图，在中，平分交于点，过点作于点．若，，则的长为（    ） A． B． C． D． 15．如图，是的角平分线，点在上，，垂足为，且，则点到的距离是______cm． 16．如图，在中，，平分．如果，，那么的面积是_________． 17．如图，是的角平分线，，，垂足分别是，，若，，，则的长为_____． 18．如图，是的角平分线，已知cm，cm，则_________． 知识点3 角平分线的判定定理 19．如图，从小树处延伸出两段小路，，到，的距离均为米，若，则（　　） A． B． C． D． 20．在锐角内一点P，且点P到三边的距离相等，则点P是的（   ） A．三条角平分线的交点 B．重心 C．三条高的交点 D．三边垂直平分线的交点 21．如图，中，，，于点，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 22．如图，在中，于点C，于点D，，若，则的度数为______． 23．如图，中，平分，平分． （1）和的数量关系________； （2）若，连接，则________度． 24．小实想用尺宽为5cm的直角尺研究角之间的数量关系，操作步骤如下：步骤1，在中，将尺边与边叠合，沿尺边画直线（如图1）；步骤2，旋转直角尺并调整，使点落在直线上，且尺边经过点，尺边交边于点（如图2），读取点E，F对应的刻度分别为，已知，则_____________°． 知识点4 角平分线的实际运用 25．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 26．如图，在中，，平分，，，则的长为______． 27．如图，是的角平分线，，垂足为E．的面积为20，，则的长为____． 28．如图，三条公路两两相交于点A、B、C，现在要在公路边建一所加油站P，要求加油站P的位置到三条公路的距离都相等． (1)请你找出加油站P的位置（要求：尺规作图，保留作图痕迹，写出结论）； (2)你的作图依据是 ． 29．在中，是边上的点（不与点，重合），连接． (1)如图①，当是的平分线时，若，，求的值（用含，的代数式表示）． (2)如图②，平分，延长至点，使得，连接．若，，，求的值． 30．如图，聪明好学的小海同学看到课本第页第题： 经过简单的整理，小海同学由这道题，得出一个结论：三角形一个内角平分线分对边得到的两线段的比，等于这个角的两邻边的比． 过点作于点于点，过点作于点． 平分，且点，于点， ∴___________， ∴___________， 又∵___________， ∴． (1)请你补全小海同学的证明过程； (2)如图2，小海同学又进行了深度思考，如果将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，是否仍成立？请你根据提供的图形帮助小海同学完成该命题的证明！ 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 2026年秋七升八暑假预习自学辅助作业 （14.3 角的平分线） 参考答案及解析 知识点1 作角平分线（尺规作图） 1．A 【分析】本题主要考查了尺规作图及全等三角形的判定与性质，根据作图痕迹得出，，利用证明，得出，即可得答案． 【详解】解：如图，连接、， 由尺规作图可知，，， 在和中，， ∴， ∴． ∴得到的依据是． 故选：A． 2．C 【分析】本题考查的知识点是角平分线的尺规作图，坐标与图形的性质，解题关键是了解第一象限的角平分线上点的特征． 根据作图方法可得点在第一象限的角平分线上，根据第一象限的角平分线上点的特征即可得解． 【详解】解：依题意得，点在第一象限的角平分线上， 点的横坐标、纵坐标相等， ， 即． 故选：． 3．A 【分析】本题考查了角平分线的尺规作图，全等三角形的判定与性质，结合作图得又因为，故，即可作答． 【详解】解：观察作图过程得 ∵， ∴， ∴， 故选：A， 4．D 【分析】本题考查了角平分线的判定，熟练掌握其判定定理是解题的关键． 根据角平分线的判定定理解题即可． 【详解】解：甲方案：由图可知，点到的两边距离相等， ∴平分； 乙方案：由图可知，在和中， ∴≌， ∴， ∴平分； ∴甲、乙都对． 故选：D ． 5．B 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，与角平分线有关的三角形的内角和问题. 求出的度数，角平分线的定义，得到的度数，再利用三角形的内角和定理，进行求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 由作图可知：平分， ∴， ∴． 故选：B． 6．C 【分析】本题考查角平分线的判定，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的性质和判定，尺规作图．根据作图痕迹，运用相关知识逐一进行判断即可． 【详解】解：图1为尺规作角平分线的方法，为的平分线； 图2中，由作图可知， ∴，， ∴， ∴， ∴为的平分线； 图3为过点O作，则射线不一定是的平分线； 图4中，由作图可知：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴为的平分线． 故选：C． 7． 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，角平分线的性质，三角形内角和性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先结合作图过程，得平分，是的垂直平分线，则，，又因为，且结合三角形内角和性质，进行列式计算，即可作答． 【详解】解：观察作图痕迹，得出平分， 则， 观察作图痕迹，得出是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴， 则， 故答案为：． 8． ∵，，，∴，∴． 【分析】本题考查的是作已知角的角平分线，全等三角形的判定与性质； （1）由作图可得答案； （2）由作图可得答案； （3）证明即可得到结论． 【详解】解：（1）由作图可得：； 故答案为： （2）由作图可得：； 故答案为： （3）∵，，， ∴， ∴； ∴射线即为所求． 故答案为：∵，，，∴，∴． 9． 【分析】本题考查了尺规作角平分线，三角形内角和定理； 先利用三角形内角和定理求出，再根据作图知平分，求出，再利用三角形内角和定理即可求出． 【详解】解：∵， ∴， 由作图知平分， ∴， ∴， 故答案为：． 知识点2 角平分线的性质定理 10．D 【分析】过F点作于H点，利用基本作图得到平分，则根据角平分线的性质得到，即可得答案． 【详解】解：如图，过F点作于H点， ，， ， 由作图知，平分， ， ， ， 点到的距离为2． 11．C 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等，以及根据作图痕迹进行判断． 【详解】解：点到、两边距离相等， 点在的角平分线上， 由作法可知，选项C中 为 的角平分线，选项A、B、D均不符合题意． 12．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，三角形面积，熟知角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键．根据角平分线的性质得到点到和的距离都是，再根据三角形面积公式求解即可． 【详解】解：由题知，因为平分交于， 所以点到和的距离相等． 因为于点，且， 所以点到和的距离都是， 所以 因为，， 所以 故选：A 13．C 【分析】本题考查了角平分线的性质；根据角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质可得点D到的距离等于，然后根据的面积=的面积+的面积，列式进行计算即可得解． 【详解】解：∵平分垂直于于E点， ∴点D到的距离等于的长度， ∵， ∴ ， ∵的面积等于90， ∴， 解得． 故选：C． 14．A 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，根据角平分线上的点到角两边的距离相等得到，再由求解即可． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∴， 故选：A． 15．3 【分析】根据角平分线上的点到角两边的距离相等解题即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵是的角平分线，，， ∴． 即点到的距离是． 16． 【分析】本题考查了角平分线的性质，过点作于点，根据角平分线的定义得出，进而根据三角形的面积即可求解，掌握角平分线的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵， ∴， ∵平分，， ∴， ∵， ∴的面积为， 故答案为：． 17． 【分析】本题考查的是角平分线的性质，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：是的角平分线，，， ， ∵，，， ∴， 解得，， 故答案为：． 18． 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质并表示出是解题的关键； 过点分别作，，垂足分别为点，，根据角平分线的性质得到，表示面积，，即可求解． 【详解】解：如图所示，过点分别作，，垂足分别为点，， ∵是的角平分线， ∴， ∴，， ∵cm，cm， ∴， 故答案为：． 知识点3 角平分线的判定定理 19．B 【分析】本题考查了角平分线的判定，根据已知可得是的角平分线，即可求解． 【详解】解：∵到，的距离均为米， ∴是的角平分线， ∵， ∴ 故选：B． 20．A 【分析】本题考查角平分线的性质，掌握到角两边距离相等的点在角平分线上是解题的关键． 根据角平分线的性质，到角两边距离相等的点在角平分线上，可得到三边距离相等的点是三条角平分线的交点． 【详解】解：∵点P到三边的距离相等， ∴点P是三条角平分线的交点， 故选A． 21．A 【分析】本题主要考查三角形内角和及角平分线的判定定理，熟练掌握三角形内角和及角平分线的判定定理是解题的关键；由题意易得，然后可得平分，进而问题可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴平分， ∴； 故选A． 22．/度 【分析】本题考查角平分线的判定定理，解题的关键是熟练掌握基本知识，利用角平分线的判定定理证明是角平分线即可解决问题． 【详解】解：于点，于点，且， ， ， ， 故答案为：． 23． 50 【分析】本题考查了与角平分线有关的三角形内角和问题、角平分线的性质与判定，熟练掌握角平分线的性质与判定是解题关键． （1）先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的外角性质可得，，则，由此即可得； （2）连接，过点作的垂线，垂足分别为点，先求出，再根据角平分线的性质定理可得，，则，根据角平分线的判定可得是的角平分线，由此即可得． 【详解】解：（1）∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：． （2）如图，连接，过点作的垂线，垂足分别为点， 由（1）得：， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分，， ∴，， ∴， 又∵点在的内部， ∴是的角平分线， ∴， 故答案为：50． 24． 【分析】本题考查了角平分线的判定定理，垂直平分线的性质定理及三线合一等知识， 连接，过点M作于点H，先根据角平分线的判定定理得出，再根据垂直平分线的性质定理及三线合一得出，即可得出答案． 【详解】解：连接，过点M作于点H， 由题意可得：，， ， 点E，F对应的刻度分别为， ， ， ， ， ∴∠EOM＝∠EOF＝∠MOB ， ． 故答案为：． 知识点4 角平分线的实际运用 25．B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 26． 【分析】本题考查了角平分线的性质、三角形的面积公式，正确地作出辅助线是解题的关键．作于点，根据角平分线的性质得出．结合三角形的面积求出的值，即可求解． 【详解】解：作于点，如图： ∵， ∴， ∵平分，，， ∴． ∵，， 故， 即． 故答案为：． 27．8 【分析】本题考查了角平分线的性质，熟知角平分线的性质是解题的关键． 角平分线上的点到角两边的距离相等．过点D作，垂足为F，根据角平分线的性质得到，再利用面积求即可． 【详解】解：如图，过点D作，垂足为F， 是的角平分线，， ， ，， ， ． 故答案为：8． 28．(1)如图，点即为所求． (2)到角两边距离相等的点在角的平分线上 【分析】（1）利用角平分线的性质作出图形即可； （2）利用角平分线的判定解答即可． 【详解】（1）略 （2）略 29．(1) (2)9 【分析】（1）过点作于点，于点，根据角平分线性质求出，根据三角形面积公式求出即可； （2）根据已知和（1）的结论求出和的面积，即可求出的面积． 【详解】（1）解：如图，过点作于点，于点． 是的平分线，，， ． ，， ． （2）解：， ． ， ． ，，平分， ∴由（1）知，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会利用面积法解决问题． 30．(1)，， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查角平分线性质、三角形面积公式等知识，数形结合，分别表示出是解决问题的关键． （1）由角平分线的性质得到，再由即可得到答案； （2）根据题意，将“内角的平分线”换成“外角的角平分线”，由角平分线的性质得到，再由即可得到答案． 【详解】（1）解：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，且于点，于点， ∴， ∴， 又∵， ∴． 故答案为：，，； （2）解：成立． 已知：如图，在中，平分一个外角，交所在直线于点． 求证：． 证明：过点作于点于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ∴， ∴， 又∵， ∴＝． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $