精品解析：四川省南充市高坪中学2024-2025学年八年级下学期第一次学情 自测数学试题

南充市高坪中学2024-2025学年（下）第一次质量检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次根式的定义即可作出判断． 【详解】解：①∵，∴是二次根式； ②6不是二次根式； ②∵，∴不是二次根式； ④∵，∴，∴是二次根式； ⑤∵，∴是二次根式； ⑥是三次根式，不是二次根式． 所以二次根式有3个． 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的定义，解题时，要注意：一般地，我们把形如的式子叫做二次根式． 2. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查判定直角三角形，熟练掌握三角形内角和定理，直角三角形角特征，勾股定理的逆定理，是解题的关键． 通过计算各选项中的角度或边长关系，判断三角形是否为直角三角形，即得． 【详解】∵三角形内角和为， A：设， 则，， ∴， 是直角三角形． B：， ∴， ∴是直角三角形（勾股定理逆定理）． C：设，则， ∵， ∴， ， ， ， ∴不是直角三角形． D：设， 则， ∴是直角三角形． 故选：C． 3. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 若实数，则 D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 【答案】C 【解析】 【详解】解：若一个定理的逆命题为真命题，则该定理有逆定理. A. 逆命题为“两直线平行，内错角相等”，是真命题，有逆定理. B. 逆命题为“对角线互相平分的四边形是平行四边形”，是真命题，有逆定理. C. 逆命题为“若实数，则”，取，，满足但，逆命题为假命题，故原定理没有逆定理. D. 逆命题为“若三角形两边的平方和等于第三边的平方，则这个三角形是直角三角形”，是真命题，有逆定理． 4. 如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 【答案】C 【解析】 【分析】分别以不同的三边为对角线进行拼接即可得． 【详解】以不同的三边为对角线进行拼接，可拼成如下三种平行四边形： 故选：C． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，掌握理解并灵活运用判定方法是解题关键． 5. 如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用勾股定理求出的长，再根据数轴上点的位置关系求解． 【详解】解：由图可知，点表示的数为1， 在网格中构造以为斜边的直角三角形，两直角边长分别为1和3， ∴， ∵以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点， ∴， ∵点在点的右侧， ∴点表示的数为．  6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是平行四边形的判定，根据题意可知两组对边分别平行的四边形即是平行四边形，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵两组对边分别平行的四边形为平行四边形， ∴四边形是平行四边形， 故选：D． 7. 等腰，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，旋转的性质，正确作辅助线是解题的关键. 将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接，则，，得到，可求出，，可证明，得到，可证明，，则，得出，，则，求出，即可得到结论. 【详解】解：如图，将线段绕点逆时针旋转得到线段，连接， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 或（不符合题意，舍去）， 故选：B. 8. 如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】如图，取的中点，连接，作于．首先证明，求出，利用三角形中位线定理，可知，求出的最大值以及最小值即可解决问题． 【详解】解：如图，取的中点，连接，作于． ∵四边形是平行四边形，，， ， ， ∴是等边三角形， ， ， ， ， 在 中，∵， ， ， ， 则的最大值为的长，最小值为的长， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值为，最小值为， ∴的最大值与最小值的差为． 故选：C． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、三角形的中位线定理、等边三角形的判定和性质、直角三角形30度角性质、垂线段最短等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，本题的突破点是证明，属于中考选择题中的压轴题． 9. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知，得到，整体思想带入求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ ． 故选C． 【点睛】本题考查二次根式的化简求值．熟练掌握二次根式的运算法则，利用整体思想进行求解，是解题的关键． 10. 如图，在中，，，点、为上两点，，点为外一点，且，，则下列结论：；；；，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质、勾股定理．根据同角的余角相等可证，根据等腰直角三角形的性质可证，，利用可证，根据全等三角形对应边相等可证，故正确；连接，可证，所以可得，因为在中，，所以可证，故正确；根据到线段两端点距离相等的点在线段的垂直平分线上，可证，是的垂直平分线，从而可得，又因为，所以，故正确；因为在中，所以，故错误． 【详解】解：如下图所示， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， 故正确； 如下图所示，连接， ， ， ，， ， 在和中 ， ， ， 在中， ， ， 故正确； 如下图所示， ，， 是的垂直平分线， ，， ， 故正确； 在中，， ， ， 故错误； 所以正确的有． 故选：A． 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当____________时，二次根式有意义． 【答案】 【解析】 【分析】二次根式有意义要求被开方数为非负数，同时分式的分母不能为，据此列不等式求解即可． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴，且， ∴， ∴． 12. 已知，则的值为____________ 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义知，被开方数大于等于，据此列出一元一次不等式组，解得，再将代入中求出，将值代入求解即可． 【详解】解：由题意知， 解得， 将代入， 解得， ∴． 13. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平面展开—最短路径问题、勾股定理，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度，由题意得出，，再由勾股定理计算得出的长即可得解． 【详解】解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为的长度， ∵圆柱底面的周长为，圆柱高为， ∴，， ∴， ∴这圈金属丝的周长最小为， 故答案为：． 14. △ABC中a，b，c为三角形的三边，则_______________. 【答案】-a-3b+3c 【解析】 【分析】根据三角形三边关系定理得出a-b+c＞0，c-a-b＜0，根据二次根式性质得出|a-b+c|-2|c-a-b|，去括号后合并即可． 【详解】∵在△ABC中a，b，c为三角形的三边， ∴a+c>b，c−a<b， ∴a−b+c>0，c−a−b<0， ∴原式=|a−b+c|−2|c−a−b|=a−b+c−2(a+b−c)=a−b+c−2a−2b+2c=−a−3b+3c， 故答案为−a−3b+3c. 【点睛】考查二次根式的性质与化简，三角形三边关系，掌握三角形的任意两边之和大于第三边是解题的关键. 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 【答案】26 【解析】 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，垂直平分线的性质，根据平行四边形的性质得，，可得直线是线段的垂直平分线，则，根据的周长为，平行四边形的周长为，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，对角线，相交于点O， ∴， ∵， ∴直线是线段的垂直平分线， ∴， ∵的周长为， ∴即， ∵平行四边形的周长为， ∴平行四边形的周长为， 故答案为：26． 16. 如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点．于点．连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形：④图中共有八对全等三角形．其中正确结论有___________ 【答案】 ①②③ 【解析】 【分析】先根据“斜边直角边”证明，即可说明四边形是平行四边形，判断③；再说明四边形是平行四边形，判断①，②；然后根据平行四边形的性质说明④即可． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形，则③正确； ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴，则①，②正确； 由四边形是平行四边形，可知，, ∵， ∴． 由四边形是平行四边形，可知， ∴， 则图中有十一对全等三角形，则④不正确， 所以正确的有①②③． 三．解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先分别按照完全平方公式，通分依次计算，然后根据二次根式的混合运算计算即可． （2）先按照零指数幂、负指数幂、二次根式除法、绝对值化简依次计算，然后按照实数的混合运算法则计算即可． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 18. 化简求值：，其中，． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式性质先化简，再由，求出，代入求解即可得到答案． 【详解】解： ， ，， 原式． 【点睛】本题考查分式化简求值，涉及二次根式性质及运算、绝对值运算，熟练掌握分式化简求值是解决问题的关键． 19. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，．求的长． 【答案】 【解析】 【分析】由勾股定理可得，由勾股定理逆定理得出为直角三角形，且，再结合三角形面积公式计算即可得出结果． 【详解】解：∵在中，，，， ∴， ∵，，， ∴， ∴为直角三角形，且， ∵是的边上的高，为垂足， ∴， ∴． 20. 如图，以平行四边形的边、为边，作等边和等边，连接，．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵和是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形为平行四边形． 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得出，，，由等边三角形的性质得出：，，证明，得出，则可得出结论． 【详解】略 【点睛】本题考查了平行四边形的判定和性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练运用平行四边形的判定和性质是本题的关键． 21. 代数求值 （1）若，求的值； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】先将二次根式分母有理化，再将字母的值代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴． 22. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． （1）若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查勾股定理的应用和全等三角形的判定和性质， 设，则，根据题意得，，结合勾股定理，即可求得； 由题意得和，可证，则有，即可求得，进一步求得点C距离地面的高． 【小问1详解】 解：设，则， ∵点A、B到地面的距离是分别是、， ∴， 则， ∵，， ∴， ∴，解得． 答：秋千的长度为． 【小问2详解】 ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 则， 那么C距离地面的高． 答：爸爸在距离地面高的地方接住小丽的． 23. 如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、． （1）如图1，若，，求平行四边形的面积： （2）如图2，若，求证：． 【答案】（1）30；（2）见解析． 【解析】 【分析】（1）连接BD，求出S△OBC，再根据平行四边形的性质得出平行四边形的面积与S△OBC的关系求得结果； （2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，证明△OEG≌△CEH得OG=CH，EG=EH，再证明△OAF≌△OCG，得AF=CG，OF=OG，进而根据等腰直角三角形的性质得结论． 【详解】解：（1）连接BD， ∵平行四边形ABCD， ∴BD过点O， ∴S△OBC=BC•OE=×5×3=， ∴平行四边形ABCD的面积=4S△OBC=30； （2）过点E作EH⊥EG，与GC的延长线交于点H，如图2， ∵OE⊥BC， ∴∠OEG+∠OEC=∠GEC+∠CEH=90°， ∴∠OEG=∠CEH， ∵∠ACB=45°， ∴∠COE=45°， ∴OE=CE， ∵平行四边形ABCD中，AB∥CD， 又FG⊥AB， ∴FG⊥CD， ∴∠EOG+∠ECG=360°-90°-90°=180°， ∵∠ECH+∠ECG=180°， ∴∠EOG=∠ECH， ∴△OEG≌△CEH（ASA）， ∴OG=CH，EG=EH， ∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA=OC，AB∥CD， ∴∠OAF=∠OCG， ∵∠AOF=∠COG， ∴△OAF≌△OCG（ASA）， ∴AF=CG，OF=OG， ∵CG+CH=GH， ∴AF+OF=GH， ∵∠GEH=90°，EG=EH， ∴GH=EG， ∴AF+OF=EG． 【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定，勾股定理，三角形的面积公式，关键是证明全等三角形． 24. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； （3）【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 【答案】（1）①，；②5 （2）20 （3）①见解析，；② 【解析】 【分析】本题考查了轴对称-最短路线问题，也考查了勾股定理和类比的方法． （1）①利用勾股定理可得和的长； ②利用三角形三边的关系得到（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出，从而得到结论； （2）利用（1）中的方法画出图形，设，，，，则，利用勾股定理得到，，；根据三角形三边的关系得到而（当且仅当C、E、D共线时取等号），作交的延长线于H，易得四边形为长方形，利用勾股定理计算出即可得到代数式的最小值； （3）①利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长为1的正方形，再利用两点之间线段最短即可得出结论； ②利用类比的方法，仿照（1）的方法画出边长，的长方形，利用勾股定理构图解答即可． 【小问1详解】 解：①在中，， 在中，， 故答案为：，； ②连接， 由①得， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，如图1，易得四边形为长方形， ∴，， 在中，， ∴的最小值为5， 即的最小值是5； 故答案为：5； 【小问2详解】 解：如图， 设，，，，则， 在中，， 在中，； ∴， 而（当且仅当C、E、D共线时取等号）， 作交的延长线于H，易得四边形为长方形， ∴，， ∴， 在中，， ∴的最小值为20， 即的最小值为20． 故答案为：20； 【小问3详解】 解：画出边长为1的正方形，在边上截取出长为a，b，c的线段，作图如下： 则，，，， ∴， 利用两点之间线段最短可知：（当且仅当A、B、C、D共线时取等号）， ∵， ∴的最小值为， ∴的最小值为； ②分别以，为边长作出长方形，则，，上取一点E，使，则，取的中点为F，连接，，，如图， ∴，，，，， ∴， ， ， ∴以，，为边的三角形的面积， ∵ ， ∴以，，为边的三角形的面积为， 故答案为：． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 【答案】（1）6，4， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用绝对值、算术平方根的非负性求出，，根据平移性质求点的坐标； （2）由是的中位线，得出，当时，取最小值，取最小值，因此利用面积法求出最小值即可； （3）由题意得到，，求得，得到，根据等腰直角三角形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，，求得，过作于，得到，解直角三角形得到，，根据三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 解：满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并， ，， ，； ，， ， 即， 故答案为：6，4，； 【小问2详解】 解：连接，如图1， 、分别是、的中点， 是的中位线， ． 当时，有最小值，即有最小值， ，，， ，， 由题意可知四边形是平行四边形， ， ， ， 的最小值为， 故答案为：； 【小问3详解】 解：由题意可知，，， ， ， 为等腰直角三角形，， ，， ， ，即， 在和中， ， ， ，， ， ，， ， ， 如图2，过作于， ， ， ， ， ， △的面积． 【点睛】本题是几何变换综合题，主要考查了全等三角形的性质与判定，坐标与图形，坐标与图形变化—平移，勾股定理，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，平行四边形的性质与判定，三角形中位线定理等等，正确作出辅助线是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 南充市高坪中学2024-2025学年（下）第一次质量检测 数学试卷 满分：150分 时间：120分钟 一、选择题（每小题4分，共40分） 1. 给出下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥．其中二次根式的个数是（　　 ） A. B. C. D. 2. 已知中，a、b、c分别是、、的对边，下列条件不能判断是直角三角形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列定理中，没有逆定理的是（ ） A. 内错角相等，两直线平行 B. 平行四边形的对角线互相平分 C. 若实数，则 D. 直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方 4. 如图，有两块全等的含角的直角三角板，将它们拼成形状不同的平行四边形，则最多可以拼成（ ） A. 1种 B. 2种 C. 3种 D. 4种 5. 如图，数轴上点所表示的数为1，点，，是的正方形网格上的格点，以点为圆心，长为半径画圆交数轴于，两点，则点所表示的数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在四边形中，，要使四边形是平行四边形，下列添加的条件正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 等腰，，，，则（ ） A. 3 B. C. D. 4 8. 如图，在平行四边形中，，，点H、G分别是边上的动点．连接，点E为的中点，点F为的中点，连接．则的最大值与最小值的差为（　　） A. B. C. D. 9. 已知，则代数式的值为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在中，，，点、为上两点，，点为外一点，且，，则下列结论：；；；，其中正确的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题4分，共24分） 11. 当____________时，二次根式有意义． 12. 已知，则的值为____________ 13. 如图，已知圆柱底面的周长为，圆柱高为，在圆柱的侧面上，过点和点嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的周长最小为________． 14. △ABC中a，b，c为三角形的三边，则_______________. 15. 如图，平行四边形的对角线相交于点O，且，过点O作交于点E，若的周长为，则平行四边形的周长为______． 16. 如图，在四边形中，，对角线与交于点，于点．于点．连接，．若，则下列结论：①；②；③四边形是平行四边形：④图中共有八对全等三角形．其中正确结论有___________ 三．解答题（共86分） 17. 计算 （1） （2） 18. 化简求值：，其中，． 19. 如图，在中，，，，是的边上的高，为垂足，且，．求的长． 20. 如图，以平行四边形的边、为边，作等边和等边，连接，．求证：四边形是平行四边形． 21. 代数求值 （1）若，求的值； （2）若，求的值． 22. 小丽与爸妈在公园里荡秋千．如图，小丽坐在秋千的起始位置A处，与地面垂直，两脚在地面上用力一蹬，妈妈在B处接住她后用力一推，爸爸在C处接住她若妈妈与爸爸到的水平距离分别为、，且． （1）若点A、B到地面的距离是分别是、，，求秋千的长度； （2）在（1）的条件下，求爸爸在距离地面多高的地方接住小丽的？ 23. 如图，在平行四边形中，是对角线的中点，过点作交于点，过点作交、于点、． （1）如图1，若，，求平行四边形的面积： （2）如图2，若，求证：． 24. 数形结合就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”可以使复杂问题简单化，抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的． （1）【经历体验】已知m，n均为正实数、且，求的最小值．通过分析，小明想到了利用下面的构造解决此问题：如图，，，，，，点E是线段上的动点，且不与端点重合，连接，，设，． ①用含m的代数式表示 ，用含n的代数式表示 ； ②据此写出的最小值是 ； （2）【类比应用】根据上述的方法，代数式的最小值是 ； （3）【感悟探索】 ①已知a，b，c为正数，且，试运用构图法，画出图形，并写出的最小值； ②若a，b为正数，写出以，，为边的三角形的面积是 ． 25. 如图1，在平面直角坐标系中，点，点．满足是整数，且为最小的正整数，和都是最简二次根式且能进行合并，平移至（点与点对应，点与点对应），连接． （1）直接写出 ___________ ，___________ ，B点坐标是___________； （2）点分别是边上的动点，连接，分别为的中点，连接．当分别在边上运动时，的最小值是___________； （3）如图2，将线段绕点逆时针旋转至，连接，P为线段上一点，以为直角边作等腰直角三角形，其中，，求的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $