精品解析：内蒙古自治区包头市昆都仑区2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题

2025—2026学年度第二学期八年级教学调研卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形，把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，据此判断即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、不是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是中心对称图形，故本选项符合题意； 故选：． 2. 如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 140° 【答案】B 【解析】 【分析】根据三角形的外角和等于360°计算即可． 【详解】解：∵∠1、∠2、∠3是三角形的三个外角， ∴∠1+∠2+∠3＝360°， ∵∠1＝140°，∠2＝100°， ∴∠3＝360°﹣∠1﹣∠2＝360°﹣140°﹣100°＝120°， 故选：B． 【点睛】此题考查了三角形的外角和，解题的关键是熟练掌握三角形的外角和．三角形的外角和是360°． 3. 已知，根据不等式的性质，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，熟知不等式的性质是解题的关键：不等式两边同时加上或减去一个数或者式子，不等号不改变方向，不等式两边乘以乘以或除以一个正数，不等号不改变方向，不等式两边同时乘以或除以一个负数，不等号改变方向．根据不等式的性质，逐项进行判断即可． 【详解】解：A、由，可得，原式错误，符合题意； B、由，可得，原式正确，不符合题意； C、由，可得，原式正确，不符合题意； D、由，可得，原式正确，不符合题意． 故选：A． 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了分式有意义的条件，分式有意义的条件是分母不为0，据此求解即可． 【详解】解：∵分式有意义， ∴， ∴， 故选：C． 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据垂直平分线的性质和角平分线的定义求得∠ACB的度数，再根据三角形内角和求出∠B的度数． 【详解】解：∵DE是AC的垂直平分线 ∴AD=CD，∠ACD=∠A=50° ∵平分 ∴∠ACB=2∠ACD=100° ∴∠B=180°-100°-50°=30° 故选：B． 【点睛】本题考查垂直平分线的性质、角平分线的定义和三角形内角和定理，熟练掌握垂直平分线的性质和角平分线的定义是解题的关键． 6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【详解】在△ABC中，∠A=36°，AB=AC， ∴∠ABC=∠C=72°，△ABC是等腰三角形， ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD=∠DCB=36°， ∴△ACD是等腰三角形， 在△BDC中，由三角形的内角和求出∠BDC=72°， ∴△BDC是等腰三角形， ∴BD=BC=BE， ∴△BDE是等腰三角形， ∴∠BDE=72°，∠ADE=36°， ∴△ADE是等腰三角形． ∴图中等腰三角形共有共5个． 故选D． 【点睛】本题考查了角平分线，三角形的内角和、外角和，平角相关知识． 7. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质与判定，熟练掌握平行四边形对边平行且相等的性质，通过全等三角形转化面积关系，是解题的关键．利用平行四边形的性质，通过证明三角形全等分析四边形各边、角、面积等是否为定值，重点关注面积能否通过转化为平行四边形面积的一部分来判断 ． 【详解】解：连接， 在中，，分别为，中点， 且，，， 且， 四边形是平行四边形， ， 同理，且． ∴四边形是平行四边形， 则与的面积分别为与面积的一半， 四边形的面积， 四边形的面积始终为面积的一半，是定值． 选项A：、等边长随、移动变化，周长不定，错误． 选项B：随位置改变，错误． 选项D：长度随、移动改变，错误． 综上，四边形的面积是定值， 故选：． 8. 在中，，，点P是边上一动点，连接，M为的中点，N为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，等腰三角形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，掌握三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半是解题关键．连接，过点作于点，由三角形中位线定理可知，当最小时，有最小值，由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合，证明是等腰直角三角形，求出，即可求解． 【详解】解：如图，连接，过点作于点， M为的中点，N为的中点， 是的中位线， ， 当最小时，有最小值， 由垂线段最短可知，当时，最小，此时点与重合， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 的最小值为1， 的最小值为， 故选：D． 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上） 9. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与一元一次不等式的关系．根据一次函数的增减性解答即可． 【详解】解：∵， ∴y随x的增大而减小， ∵一次函数的图象经过点， ∴当时，， ∴当时，， 即关于的不等式的解集为． 故答案为： 10. 如图，蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成．正六边形外角和为________． 【答案】 【解析】 【详解】解：正六边形外角和为． 11. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 【答案】-6 【解析】 【分析】将原式提取公因式进行因式分解，然后代入求值． 【详解】解：x2y+xy2=xy（x+y）=-3×2=-6 故答案为：-6． 【点睛】本题考查提取公因式进行因式分解，掌握提取公因式的技巧正确计算是解题关键． 12. 如图，，，，延长交于F，若，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由，得到是等边三角形，由等边三角形的性质和，推出，再由，推出，从而求出的长度． 【详解】解：∵，， ∴是等边三角形， 又∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 13. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）化简：； （3）解不等式组：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 解： 【小问3详解】 解： 解不等式①得，， 解不等式②得， ∴不等式组的解集为． 14. 观察下列等式： ，，， 将以上三个等式的两边分别相加得： ． （1）猜想并写出________________； （2）直接写出下式的计算结果：__________； （3）计算下式并写出计算过程：． 【答案】（1） ； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据给出的等式归纳拆分规律得到结果； （2）利用规律拆分后抵消计算得到结果； （3）利用一般规律拆分后抵消计算得到结果． 【小问1详解】 解：由已知等式归纳得一般规律， 令，得； 【小问2详解】 原式 ； 【小问3详解】 原式 ． 15. 如图，各顶点的坐标分别为，，． （1）将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； （3）若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 【答案】（1）如图所示即为所求， （2） 如图所示即为所求， （3） ． 【解析】 【分析】对于（1），根据点的平移规则：横坐标右移加、纵坐标下移减，计算出A、B、C平移后的对应点坐标，再顺次连接三点得到平移后的三角形． 对于（2），先确定旋转中心，再根据绕定点逆时针旋转的坐标变换规则，分别计算A、B、C旋转后的对应点坐标，顺次连接三点得到旋转后的三角形． 对于（3），因为关于原点中心对称的点横、纵坐标均互为相反数，所以直接根据点A的坐标计算其中心对称点的坐标． 【小问1详解】 解：根据平移规则，点向下平移4个单位、向右平移1个单位后坐标变为， 计算得各顶点坐标：，，， 在坐标系中描点顺次连线即可得到所求三角形． 【小问2详解】 解：将各顶点与旋转中心连接， 将线段绕旋转中心逆时针旋转，得到各顶点坐标：， 描点顺次连线即可得到． 【小问3详解】 解：关于原点中心对称的点，横、纵坐标均为原坐标的相反数， ∴各顶点坐标为， 描点顺次连线即可得到， 的坐标为． 16. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 【答案】（1）平行四边形的对角线互相平分；一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；（2）证明过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键． （1）由平行四边形的性质和判定即可得出结论； （2）由平行四边形的性质得，再证明，然后由平行四边形的判定即可得出结论． 【详解】解：（1）依据1：平行四边形的对角线互相平分； 依据2：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形； （2）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 17. 宝蓝中学文具店新进一批相同规格的笔记本．甲种笔记本的单价比乙种笔记本便宜6元，何老师用60元购买甲种笔记本的数量，与用90元购买乙种笔记本的数量相同． （1）请问甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种笔记本共30个，且甲种笔记本的采购数量不超过乙种笔记本数量的2倍，求购买多少本甲种笔记本时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 【答案】（1）甲种笔记本的单价为12元，乙种笔记本的单价为18元； （2）购买甲种笔记本20本时，购买总费用最小为420元． 【解析】 【分析】（1）设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为元， 根据题意列出方程，求解即可； （2）设购买a本甲种笔记本，则购买本，设购买总费用为W元，得出与的关系，即可得出答案． 【小问1详解】 解：设甲种笔记本的单价为x元，乙种笔记本的单价为元， 根据题意，得：， 解得：， 检验：当时，， 是此方程的解， （元）， 答：甲种笔记本的单价为12元，乙种笔记本的单价为18元； 【小问2详解】 解：设购买a本甲种笔记本，则购买本，设购买总费用为W元， 由题意得：， 解得：， ， 整理得：， ， 随a的增大而减小， ∴当时，W取最小值， 答：购买甲种笔记本20本时，购买总费用最小为420元． 18. 将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠C＝30°． （1）固定三角板C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与C、分别交于点D、E，AC与交于点F． ①当旋转角等于45°时，求∠BC的度数； ②当AB⊥时，试说明AD=CD． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，当AB⊥C时，试猜想D与CD的数量关系，并说明理由． 【答案】（1）①135°；②见解析 （2）D=CD，理由见解析 【解析】 【分析】（1）①根据旋转的性质可得；②根据题意证明为等腰三角形即可得到解答； （2）利用含30°的直角三角形的性质和旋转的性质证明即可． 【小问1详解】 ①由旋转的性质得，∠AC＝45° ∴∠BCD＝∠ACB﹣∠AC＝90°﹣45°＝45° ∴∠BC＝∠BCD+∠C＝45°+90＝135° ②∵AB⊥ ∴∠ED＝90° ∵∠C＝30° ∴∠DE＝90°﹣∠＝90°﹣30°＝60° ∴∠BDC＝∠DE＝60° ∵∠A＝30°，∠ACB＝90° ∴∠B＝60° ∴∠DCB＝180°﹣∠BDC﹣∠B＝60° ∴∠AC＝30° ∵∠A＝30° ∴∠AC＝∠A ∴为等腰三角形 ∴AD=CD 【小问2详解】 结论：D=CD，理由如下： ∵AB⊥C ∴∠ADC＝90° ∵∠A＝30° ∴CD＝AC 由旋转的性质得，C＝AC ∴CD＝C=D． 【点睛】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的判定和性质和含30°直角三角形的性质，解决本题的关键是掌握以上的性质进行求解即可． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期八年级教学调研卷数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分100分． 2．作答时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 3．考试结束后，将答题卡交回． 一、选择题（本大题共有8小题，每道小题各3分，共24分．每小题只有一个正确选项，请将答题卡上对应题目的答案标号涂黑） 1. 科技创新型企业的不断涌现，促进了我国新质生产力的快速发展．以下四个科技创新型企业的品牌图标中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，∠1＝140°，∠2＝100°，则∠3＝（ ） A. 100° B. 120° C. 130° D. 140° 3. 已知，根据不等式的性质，下列结论中，错误的是（ ） A. B. C. D. 4. 若分式有意义，则x的取值范围是（ ） A. B. C. D. 且 5. 如图，在中，的垂直平分线交于点，平分，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在△ABC中，∠A＝36°，AB＝AC，BD是△ABC的角平分线．若在边AB上截取BE＝BC，连接DE，则图中等腰三角形共有( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 7. 在如图所示的中，，分别为边，的中点，点，分别在边，上移动（不与端点重合），且满足，则下列为定值的是（ ） A. 四边形的周长 B. 的大小 C. 四边形的面积 D. 线段的长 8. 在中，，，点P是边上一动点，连接，M为的中点，N为的中点，连接，则的最小值为（ ） A. B. 1 C. 2 D. 二、填空题（本大题共有4小题，每小题3分，共12分．请将答案填在答题卡上对应的横线上） 9. 如图，一次函数的图象经过点，则关于的不等式的解集为______． 10. 如图，蜜蜂的蜂巢美观有序，从入口处看，蜂巢由许多正六边形构成．正六边形外角和为________． 11. 知xy＝﹣3，x+y＝2，则代数式x2y+xy2的值是____________． 12. 如图，，，，延长交于F，若，则________． 三、解答题（本大题共有6小题，共64分．请将必要的文字说明、计算过程或推理过程写在答题卡的对应位置） 13. 按要求完成下列各题： （1）因式分解：； （2）化简：； （3）解不等式组：． 14. 观察下列等式： ，，， 将以上三个等式的两边分别相加得： ． （1）猜想并写出________________； （2）直接写出下式的计算结果：__________； （3）计算下式并写出计算过程：． 15. 如图，各顶点的坐标分别为，，． （1）将先向下平移4个单位，再向右平移1个单位得到，请在平面直角坐标系中画出； （2）将绕点逆时针旋转后得到请在平面直角坐标系中画出； （3）若与关于原点中心对称，则点的坐标为________． 16. 问题情境： 学习完平行四边形的性质和判定后，某数学小组遇到了以下问题：如图，的对角线与相交于点O，点E、F分别在和上． 问题1：当与满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小明：当时，四边形是平行四边形． 理由如下： ， ． 即． ∴． ∵四边形是平行四边形， ．（依据1） 又， ． ． ∴四边形是平行四边形．（依据2） 问题2：当满足什么条件时，四边形是平行四边形？请说明理由． 小红：当时，四边形是平行四边形． 理由如下：…… 数学思考： （1）请你写出小明推理过程中的“依据1”和“依据2”； 依据1：__________________； 依据2：__________________． （2）请你帮助小红写出问题2的证明过程． 17. 宝蓝中学文具店新进一批相同规格的笔记本．甲种笔记本的单价比乙种笔记本便宜6元，何老师用60元购买甲种笔记本的数量，与用90元购买乙种笔记本的数量相同． （1）请问甲、乙两种笔记本的单价各是多少元？ （2）该校计划购买甲、乙两种笔记本共30个，且甲种笔记本的采购数量不超过乙种笔记本数量的2倍，求购买多少本甲种笔记本时，购买总费用最小，并求出最小的购买总费用． 18. 将两块全等的含30°角的直角三角板按图1的方式放置，已知∠BAC＝∠C＝30°． （1）固定三角板C，然后将三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图2的位置，AB与C、分别交于点D、E，AC与交于点F． ①当旋转角等于45°时，求∠BC的度数； ②当AB⊥时，试说明AD=CD． （2）将图2中的三角板ABC绕点C顺时针方向旋转至图3的位置，当AB⊥C时，试猜想D与CD的数量关系，并说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $