精品解析：内蒙古自治区呼和浩特市新城区北京一零一中呼和浩特分校2025-2026学年第二学期初二年级期末诊断（数学学科）

北京一零一中呼和浩特分校2025—2026学年第二学期初二年级期末诊断（数学学科） 满分100分 限时90分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. 1，2，2 D. 1，1， 3. 呼和浩特出租车司机李师傅某日加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和单价 4. 如图，呼和浩特市举办初中“校长杯”校园足球联赛，采购的比赛标准足球表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形白皮围成的，将足球上的一块黑皮和一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 6. 如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 7. 已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ）． A. 这次考试、两个班都没有人考满分 B. 班的最低分比班的最低分低 C. 班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D. 班的成绩比班的成绩更集中 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 10. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则长是_______________． 11. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为______． 12. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算∶ （1）； （2）． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 1000 m跑和800 m跑是内蒙古呼和浩特中招考试体育加试的必考项目，寒假前夕，学校体育刘老师安排九年级学生在寒假期间坚持每天至少1个小时的长跑，为了解学生每天长跑平均时长情况（单位：h），分别从九年级一班和二班中各随机抽取了10名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 一班：0.9，1.0，0.1，1.4，1.1，0.5，0.8，0.3，1.3，0.8； 二班：0.5，1.3，0.7，0.6，0.6，0.7，1.0，0.6，0.9，0.6． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 一班 a b 0.8 二班 0.75 0.65 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）已知小明每天平均时长为，通过调查了解到，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，请判断他所在的班级，并说明理由； （3）若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生每天平均时长不超过的人数． 15. 内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 16. 综合与实践 项目背景 塞上老街是呼和浩特大召旁知名文旅街区，沿街多家门店售卖长短款改良蒙古袍，游客选购需求量大．老街一家民族服饰店从本地手工作坊购进短款日常蒙古袍、长款节庆蒙古袍对外销售． 项目素材 素材1 该服饰店第一次花费4400元购进长款、短款蒙古袍共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款日常蒙古袍 长款节庆蒙古袍 进货价（元/件） 80 120 销售价（元/件） 100 150 第一批蒙古袍全部售罄后，店铺计划二次采购长、短款蒙古袍合计200件（进货价、售价保持不变），且本次总进货成本不高于18000元． 项目任务： （1）任务1：求第一次采购时，短款、长款蒙古袍分别购进多少件． （2）任务2：该服饰店如何规划进货方案，能实现本次销售利润最大化？并计算最大利润． 17. 如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是______． （2）求a和b的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 18. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接、．根据以上操作，当点M在上时，如图②，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，_______； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接、，并延长交于点Q，连接．当Q是的中点时，请求出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 北京一零一中呼和浩特分校2025—2026学年第二学期初二年级期末诊断（数学学科） 满分100分 限时90分 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效． 第Ⅰ卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 下列各式中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据平方根、算术平方根的定义与二次根式的性质，由定义和性质计算各选项即可判断正误． 【详解】解：，A错误； ，B错误； ，，C错误； ，D正确． 2. 下列各组长度的线段中，首尾顺次相接能构成直角三角形的是（ ） A. 1，， B. 2，3，4 C. 1，2，2 D. 1，1， 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理的逆定理，判断是否能组成直角三角形，只要验证两小边的平方和是否等于最长边的平方即可． 【详解】解：．∵，∴能构成直角三角形，故该选项符合题意； ．∵，∴不能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意； ．∵，∴能构成直角三角形，故该选项不符合题意； 故选：A． 3. 呼和浩特出租车司机李师傅某日加油时，加油机屏幕上显示的量如图所示，则加油机显示的量中为常量的是（ ） A. 金额 B. 油量 C. 单价 D. 金额和单价 【答案】C 【解析】 【详解】解：根据金额等于单价乘以油量， 可得加油机显示的量中为常量的是单价． 4. 如图，呼和浩特市举办初中“校长杯”校园足球联赛，采购的比赛标准足球表面是由12块正五边形黑皮和20块正六边形白皮围成的，将足球上的一块黑皮和一块白皮展开放平，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用正多边形内角和公式，计算正五边形的每个内角度数．再利用正多边形内角和公式，计算正六边形的每个内角度数．因为周角为，所以用减去正五边形内角与正六边形内角的和，即可得到的度数． 【详解】解：∵多边形内角和公式为，正多边形各内角相等， ∴正五边形每个内角： ， 正六边形每个内角： ． ∵ 、正五边形内角、正六边形内角共同组成一个周角（）， ∴ ． 5. 已知一次函数，则下列选项正确的是（ ） A. 函数图象经过 B. 随的增大而减少 C. 直线平行于直线 D. 函数图象在第一、三、四象限 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的图象与性质，利用一次函数的点坐标特征，增减性，两直线平行的判定，象限分布规律逐一判断选项即可． 【详解】解：选项A，∵将代入，得 ，∴函数图象不经过点，A错误． 选项B，∵一次函数中，，∴随的增大而增大，B错误． 选项C，∵直线与直线的值相等，截距不相等，∴两直线平行，C正确． 选项D，∵，，∴函数图象经过第一，二，三象限，D错误． 6. 如图，四边形是菱形，对角线 交于点 是边的中点，过点作，点为垂足，若，则的长为（ ） A. 2.5 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】A 【解析】 【分析】由菱形的性质得出，，，根据勾股定理求出，由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求出，证出四边形是矩形，得到即可得出答案． 【详解】解：连接， 四边形是菱形， ，，， 在中，， 又是边的中点， ， ，，， ，，， 四边形为矩形， ． 故选：A． 【点睛】本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上中线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键． 7. 已知、两个班的人数相同，在一次测试中两个班成绩的箱线图如图所示（满分分），则下列说法错误的是（ ）． A. 这次考试、两个班都没有人考满分 B. 班的最低分比班的最低分低 C. 班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同 D. 班的成绩比班的成绩更集中 【答案】D 【解析】 【分析】根据箱线图的核心作用是展示数据的“五数概括”：最小值、下四分位数、中位数、上四分位数、最大值，对选项进行判断即可． 【详解】解：根据箱线图的核心作用：上四分位数：箱子的上边界对应的值；中位数：箱子内部的横线对应的值；最大值、最小值：上、下侧须线的端点对应的值，分析各选项： A、由图可知、两个班的最高分都未达到分，所以两班均没有满分，说法正确，不符合题意； B、班的最低分比班的最低分低，说法正确，不符合题意； C、班成绩的上四分位数与班成绩的中位数相同，说法正确，不符合题意； D、班的成绩比班的成绩更集中，说法错误，根据箱线图所示应是班的成绩比班的成绩更集中，D选项符合题意； 故选：． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数与函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先根据正比例函数图象判断的取值范围，再根据的取值范围判断一次函数图象的走向． 【详解】解：A选项：正比例函数的图象过一、三象限， ， 一次函数的图象是随的增大而减小， 故A选项不符合题意； B选项：正比例函数的图象过二、四象限， ， 一次函数的图象是随的增大而增大， 当时，， 一次函数的图象与轴交点坐标是， 一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴， 故B选项不符合题意； C选项：正比例函数的图象过一、三象限， ， 一次函数的图象是随的增大而减小， 故C选项不符合题意； D选项：正比例函数的图象过二、四象限， ， 一次函数的图象是随的增大而增大， 当时，， 一次函数的图象与轴交点坐标是， 一次函数的图象与轴交点在轴的正半轴， 故D选项符合题意． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，共12分． 9. 若二次根式在实数范围内有意义，则x的取值范围是___________ ． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数为非负数，进行求解即可． 【详解】解：根据题意得， 解得：． 10. 如图，将矩形纸片沿对角线对折，使得点B落在点E处，交于点F，若平分，，则长是_______________． 【答案】 【解析】 【分析】由四边形为矩形，可得，，由折叠可知，，可得，由平分，可得，则可得，，在中则可求得的长． 【详解】解：∵四边形为矩形， ∴，， ∴， 由折叠可知，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴在中，． 11. 如图，的顶点，点在轴的正半轴上，按以下步骤作图：①以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，交于点．②分别以点，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在内相交于点．③画射线，交于点，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据作图判断出平分，再根据平行四边形的性质证明出，轴，设点坐标为，结合勾股定理，运用建立方程，即可求解． 【详解】解：根据作图痕迹知，平分， ， 四边形是平行四边形， ，即轴， ， ， ， ， 设点， ，，， ， ， 解得， 点的坐标为． 12. 如图，在菱形中，E、F分别是边、上的动点，连接、，G、H分别为、的中点，连接．若，的最小值为，则长为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据中位线定理，可得，再根据“垂线段最短”，可得当时，有最小值，即有最小值，利用的直角三角形和勾股定理，可得，从而求出，最后根据菱形的性质，即可求解． 【详解】解：如图，连接， G、H分别为、的中点， 是的中位线， ， 当时，有最小值，即有最小值， ∵的最小值为， 的最小值为， ∵，， ， ， 在中，， ， ，， ∵四边形是菱形， ． 三、计算题：本大题共1小题，共10分． 13. 计算∶ （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先计算二次根式的除法，乘法，化简二次根式，零次幂，再合并即可； （2）先按照乘法公式计算二次根式的乘法，化简二次根式，再合并即可． 【小问1详解】 解： ． 【小问2详解】 解： ． 四、解答题：本题共5小题，共54分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 14. 1000 m跑和800 m跑是内蒙古呼和浩特中招考试体育加试的必考项目，寒假前夕，学校体育刘老师安排九年级学生在寒假期间坚持每天至少1个小时的长跑，为了解学生每天长跑平均时长情况（单位：h），分别从九年级一班和二班中各随机抽取了10名学生进行调查，并将调查结果进行收集整理与分析，信息如下： 收集数据： 一班：0.9，1.0，0.1，1.4，1.1，0.5，0.8，0.3，1.3，0.8； 二班：0.5，1.3，0.7，0.6，0.6，0.7，1.0，0.6，0.9，0.6． 整理、分析数据： 平均数 中位数 众数 一班 a b 0.8 二班 0.75 0.65 c 根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_______，_______； （2）已知小明每天平均时长为，通过调查了解到，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，请判断他所在的班级，并说明理由； （3）若该校九年级共有名学生，请估计该校九年级学生每天平均时长不超过的人数． 【答案】（1），， （2）解：小明所在的班级为一班，理由如下： 小明每天平均时长为，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少， 小明的时长一定低于其所在班级的中位数， ， 小明所在的班级为一班； （3）人 【解析】 【分析】（1）根据平均数的公式求出的值；根据中位数的定义求出的值；根据众数的定义求出的值； （2）小明每天平均时长为，他每天平均时长比他所在班级半数以上学生用时都少，所以小明的时长一定低于其所在班级的中位数，所以小明所在的班级为一班； （3）抽查的名学生中每天锻炼时长不超过的学生所占比例，乘以即可． 【小问1详解】 解：； 把一班学生的锻炼时间按照从小到大排列可得：，，，，，，，，，， 其中第和第个同学的锻炼时间为和， 一班学生锻炼时间的中位数为； 二班学生的锻炼时长出现次数最多的是，共出现了次， 二班学生锻炼时间的众数是； 【小问2详解】 略； 【小问3详解】 解：∵抽查的名学生中每天锻炼时间不超过的学生有人， ∴每天锻炼时间不超过的学生大约有人． 15. 内蒙古呼伦贝尔某草原牧区通村公路施工时，大型压路工程车行驶会产生较大噪声．如图，压路工程车沿乡村公路由点A向点B匀速行驶，路边有一所牧区寄宿制小学C；点C与公路上A、B两点距离分别为150 m、200 m，公路总长，工程车周边150米范围为噪声影响区域． （1）求的度数； （2）学校C会受噪声影响吗？为什么？ （3）若压路工程车行驶速度为每分钟40 m，则噪声持续干扰该小学的时间为多少分钟？ 【答案】（1） （2）学校C会受到噪声影响．原因： 过作于， ∵， ∴（m）， ∵（噪声影响范围半径）， ∴学校C会受到噪声影响． （3）4.5分钟 【解析】 【分析】（1）已知三边长度，因为三边满足勾股定理的逆定理的条件，所以可通过勾股定理逆定理判断三角形形状，进而求出的度数． （2）要判断学校是否受噪声影响，需先求点C到直线的距离，因为点到直线的最短距离是垂线段长度，所以过C作的垂线段，用等面积法求出垂线段长度后，与比较即可． （3）求噪声持续时间，先确定工程车在上到C点距离等于的两个交点，因为这两个交点之间的距离就是噪声影响的行驶路程，所以用勾股定理求出该路段长度后，再结合速度公式即可计算时间． 【小问1详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，． 【小问2详解】 略． 【小问3详解】 解：设工程车进入影响区的点为，离开影响区的点为， 则． 在中，∵（m）， ∴， ∵行驶速度为分钟， ∴持续时间：（分钟） ， 即噪声持续干扰的时间为4.5分钟． 16. 综合与实践 项目背景 塞上老街是呼和浩特大召旁知名文旅街区，沿街多家门店售卖长短款改良蒙古袍，游客选购需求量大．老街一家民族服饰店从本地手工作坊购进短款日常蒙古袍、长款节庆蒙古袍对外销售． 项目素材 素材1 该服饰店第一次花费4400元购进长款、短款蒙古袍共50件，进货价和销售价如表： 价格/类别 短款日常蒙古袍 长款节庆蒙古袍 进货价（元/件） 80 120 销售价（元/件） 100 150 第一批蒙古袍全部售罄后，店铺计划二次采购长、短款蒙古袍合计200件（进货价、售价保持不变），且本次总进货成本不高于18000元． 项目任务： （1）任务1：求第一次采购时，短款、长款蒙古袍分别购进多少件． （2）任务2：该服饰店如何规划进货方案，能实现本次销售利润最大化？并计算最大利润． 【答案】（1）第一次采购短款蒙古袍40件，长款蒙古袍10件. （2）购进短款蒙古袍150件、长款蒙古袍50件时销售利润最大，最大利润为4500元. 【解析】 【分析】（1）根据“进货总费用短款蒙古袍的总进货费用长款蒙古袍的总进货费用”列式求解即可； （2）根据“短款蒙古袍的总进货费用长款蒙古袍的总进货费用总进货成本”列出不等式，求出的取值范围，再根据“销售总利润短款蒙古袍的销售利润长款蒙古袍的销售利润”列出一次函数，根据一次函数的增减性求解即可． 【小问1详解】 解：设第一次短款蒙古袍购进件，长款蒙古袍购进件， 由题意列式，得， 解得， ∴第一次采购短款蒙古袍40件，长款蒙古袍10件． 【小问2详解】 解：设店铺计划第二次采购长款蒙古袍件，短款蒙古袍件，销售利润为元， 则， 解得， 则利润为， 化简，得， ∵， ∴随的增大而增大， ∴当时，取得最大值，（元）． 17. 如图，已知直线经过点，直线与直线相交于点M，与x轴交于点D，点M的横坐标为． （1）根据图象，直接写出当时，x的取值范围是______． （2）求a和b的值； （3）若点P在直线上，且，求点P的坐标． 【答案】（1） （2），． （3）的坐标为或 【解析】 【分析】（1）对于不等式，因为其几何意义是直线在上方时对应的范围，所以结合两直线交点M的横坐标即可直接确定取值范围． （2）求的值，因为点在直线上，所以将点A坐标代入即可计算；求的值，先将M的横坐标代入表达式得到M的纵坐标，再将M点坐标代入即可计算． （3）解决三角形面积问题，先求出点D的坐标，可得的长度为定值，因为和同底，所以面积比等于高的比，即点P纵坐标的绝对值是点M纵坐标绝对值的3倍，再结合点P在直线上，代入直线解析式即可求出P的坐标． 【小问1详解】 解：∵不等式表示直线在直线上方的部分对应的范围，两直线交点横坐标为， ∴由图象可得：． 【小问2详解】 解：将代入， 得， 解得， ∴． ∵横坐标为， ∴代入得， ∴． 将代入， 得， 解得． 【小问3详解】 解：对，令，得， 解得， ∴． ∵，在轴上， ∴和同底为， 面积比等于对应高（纵坐标的绝对值）的比： ∵， 得， 即或． ∵在直线上： 当时，，解得，得； 当时，，解得，得． ∴点的坐标为或． 18. 取一张矩形纸片进行折叠，具体操作过程如图： （1）【课本再现】第一步：如图①，对折矩形纸片，使与重合，折痕为，把纸片展平；第二步：在上选一点P，沿折叠纸片，使点A落在矩形内部的点M处，展平后连接、．根据以上操作，当点M在上时，如图②，连接，判断的形状并证明． （2）【类比应用】如图②，现将矩形纸片换成边长为的正方形纸片，继续探究，过程如下：将正方形纸片按照（1）中的方式操作，并延长交于点Q，连接，当点M在上时，_______； （3）【拓展延伸】在（2）的探究中，改变点P在上的位置（点P不与点A、D重合），沿折叠纸片，如图③，使点A落在正方形内部的点M处，连接、，并延长交于点Q，连接．当Q是的中点时，请求出的长． 【答案】（1）是等边三角形，证明如下： 由第一步折叠可知，垂直平分线段， ∴． 由第二步折叠可知，． ∴ ， 故是等边三角形． （2） （3）的长为（或）． 【解析】 【分析】（1）首先根据折叠的性质可得，再由是对折矩形的折痕，可知垂直平分，由此可推导，由沿折叠可知，．即可判断的形状． （2）可得，利用折叠性质得，得，由四边形内角和得知，结合平角性质得． （3）设的长为，根据折叠性质得，，证明得到，结合是中点求出、的长度，再用表示出、的长度，最后在中利用勾股定理列方程求解． 【小问1详解】 略． 【小问2详解】 解： 由（1）得， ∵正方形中，， ∴， 由折叠性质得， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 【小问3详解】 解：连接，设， ∵正方形边长为， ∴． ∵是中点，平分正方形边长， ∴，（）． ∵， ∴， 由（2）知，， ∵， ∴， ∴，又， ∴（）． 在中，由勾股定理得： ，  代入得 ， 展开整理： ， ∴  ， 解得 ​． ∴的长为（或）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $