第十六章《整式的乘法》单元测试 2026-2027学年人教版八年级数学上册

**基本信息** 人教版八年级数学上册《整式的乘法》单元卷，全卷120分24题，以“数学眼光-思维-语言”为脉络，覆盖整式乘除全知识点，融合文化情境与实践应用，适配单元复习巩固与能力提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|同底数幂乘法、科学记数法、平方差公式|结合《苔》诗句考科学记数法（文化传承），杨辉三角解决星期推算（创新应用）| |填空题|6/18|完全平方公式、整式除法、新定义运算|用四长方形拼图考(a+b)²与(a-b)²关系（几何直观）| |解答题|8/72|幂的运算、公式应用、阴影面积计算|劳动实践基地面积计算（模型意识），拼图验证公式推导（推理能力）|

第十六章《整式的乘法》2026-2027学年人教版八年级数学上册 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列运算中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 2. 小明同学做了四道题，情况如下： ①； ②； ③； ④． 若每做对一道题得0.5分，则小明可得（   ） A．0.5分 B．1分 C．1.5分 D．2分 3. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．” 若诗中苔的孢子直径约为，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 4．若展开后不含的一次项，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 5. 从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形， 上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 6 ．已知，则、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 8． 如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（）， 剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 9. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律． 由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过821天是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点， 连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6， 图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：_______ ． 12．若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 13．一个长方形的面积为，若一边长为，则它的另一边长为__________． 14． 对于实数 a、b、c、d，规定一种运算，如， 那么当时，则 15． 用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为，，）拼成如图所示的大正方形， 已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8， 则下列关系式中正确的是______（填序号） ①；②；③；④ 16．已知，求 ． 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算 (1) 已知：＝5，＝3，计算的值． (2) 已知：3x+5y＝8，求的值． 18．计算 (1) ； (2) 19．计算： (1) ； (2) ； (3) ． 20．先化简，再求值： (1) ，其中，； (2) ，其中，． 21. 如图，某初中新建校区有一块长为米、宽为米的长方形劳动实践基地， 设计部门计划在中间部分修建一个边长为米的正方形养鱼池，四周的阴影部分用于种植． (1) 求种植部分的面积（用含字母a、b的式子表示）； (2) 求出当，时种植部分的面积． 22. 公式中，如果我们把，，分别看作一个整体， 那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值. （1） 已知，，求的值； （2） 已知，求的值. 23．如图1，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线均分成四个小长方形， 然后按图2所示的方式拼成一个正方形． (1) 图2中阴影部分是一个正方形，它的边长为____________；（用含m，n的代数式表示） (2) 请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：____________，____________； (3) 若，，结合（2）中表示阴影部分的面积的方法，求和的值． 24． 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ， 求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1： 设 ， ，则 ，， 所以 方法2： 因为 ，所以 ，所以，， (1) 若，求的值． (2) 如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和， 若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十六章《整式的乘法》2026-2027学年人教版八年级数学上册（解析版） 全卷共三大题，24小题，满分为120分． 第一部分 选择题 一、选择题：本大题有10个小题，每小题3分，共30分．在每小题只有一项是符合题目要求的． 1．下列运算中，结果为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了幂的乘方与积的乘方，同底数幂的乘法与除法，合并同类项，掌握相应的运算法则是关键．根据相关计算法则求出对应选项式子的结果即可得到答案． 【详解】解：A、，选项错误，不符合题意； B、，选项错误，不符合题意； C、，选项正确，符合题意； D、，选项错误，不符合题意． 故选：C． 2. 小明同学做了四道题，情况如下： ①； ②； ③； ④． 若每做对一道题得0.5分，则小明可得（   ） A．0.5分 B．1分 C．1.5分 D．2分 【答案】C 【分析】本题考查了同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，单项式乘多项式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键； 根据同底数幂的乘法和除法，幂的乘方，单项式乘多项式的运算法则进行求解即可． 【详解】因为，，，， 所以小明做对了①③④，按照每做对一道题得0.5分，小明可得1.5分． 故选：C． 3. 清代诗人袁枚的一首诗《苔》中写道：“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．” 若诗中苔的孢子直径约为，则用科学记数法表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了科学记数法表示绝对值小于1的数，根据科学记数法的定义，将原数表示为的形式，其中，为负整数，其绝对值等于原数第一个非零数字前零的个数（包括小数点前的零）． 【详解】解：． 故选：D． 4．若展开后不含的一次项，则的值为（   ） A．3 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】先按多项式乘法法则展开原式，合并同类项后，根据“不含的一次项”得到一次项系数为，列方程求解即可． 【详解】解： ∵展开后不含的一次项， ∴， ∴． 5. 从边长为的大正方形中去掉一个边长为的小正方形，再将剩余部分拼成了如图所示的长方形， 上述操作能验证的等式是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：左图阴影部分面积为两个正方形的面积差，即， 右图长方形的长为，宽为，其面积为． ∵左图的阴影面积右图的阴影面积， ∴． 6 ．已知，则、的值分别为（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】D 【分析】将等式左边展开后，对比等式两边对应项系数，即可得到和的值． 【详解】解： ，． 7．若，，，则a，b，c的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了负整数指数幂运算，零指数幂的运算，熟练掌握幂的运算是解决本题的关键． 分别计算a、b、c的值，再比较大小即可． 【详解】解：， ， ， ∴． 故选：A ． 8．如图，从边长为（）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（）cm的正方形（）， 剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用大正方形的面积减去小正方形的面积即可，注意完全平方公式的计算． 【详解】解：矩形的面积为： （a＋4）2－（a＋1）2 ＝（a2＋8a＋16）－（a2＋2a＋1） ＝a2＋8a＋16－a2－2a－1 ＝6a＋15. 故选：D． 9. 我国南宋时期杰出的数学家杨辉是钱塘人，下面的图表是他在《详解九章算法》中记载的“杨辉三角”． 此图揭示了(a+b)n(n为非负整数)的展开式的项数及各项系数的有关规律． 由此规律可解决如下问题： 假如今天是星期三，再过7天还是星期三，那么再过821天是（   ） A．星期二 B．星期三 C．星期四 D．星期五 【答案】C 【分析】根据821＝（7＋1）21＝721＋14×720＋91×719＋…＋14×7＋1可知821除以7的余数为1，从而可得答案． 【详解】∵821＝（7＋1）21＝721＋14×720＋91×719＋…＋14×7＋1， ∴821除以7的余数为1， ∴假如今天是星期三，那么再过821天是星期四， 故答案为C． 10. 现有甲、乙两个正方形纸片，将甲、乙并列放置后得到图1，已知点为的中点， 连结，，将乙纸片放到甲纸片的内部得到图2．已知甲、乙两个正方形边长之和为6， 图2阴影部分的面积为4，则图1阴影部分的面积为（   ） A．10 B．11 C．12 D．15 【答案】B 【分析】本题主要考查了乘法公式的几何意义，准确分析计算是解题的关键． 设正方形的边长为，正方形乙的边长为，得出，，求出，，再根据计算即可； 【详解】设正方形的边长为，正方形乙的边长为， ，， ， ，， 两式相减得：， ， ，， ． 故选． 第二部分 非选择题 二、填空题：本大题共6个小题．每小题3分，共18分．把答案填在答题卡的横线上． 11．计算：_______ ． 【答案】 【分析】由同底数幂的乘方运算的逆运算、积的乘方运算求解即可． 【详解】解：原式 ． 12．若是一个完全平方式，则正数m的值__________． 【答案】2 【分析】根据完全平方公式的形式确定中间项系数，结合为正数的条件求解的值． 【详解】解：是完全平方式， ， ， 又为正数， ． 13．一个长方形的面积为，若一边长为，则它的另一边长为__________． 【答案】 【分析】用长方形面积除一边长即可得到另一边长 【详解】∵长方形的面积为边长与另一边长的乘积 ∴另一边长= 故答案为： 14． 对于实数 a、b、c、d，规定一种运算，如， 那么当时，则 【答案】 【分析】本题主要考查了新定义，解一元一次方程，平方差公式，多项式乘以多项式，根据新定义可得，再根据平方差公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号后解方程即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 故答案为：． 15.用四个完全一样的长方形（长、宽分别设为，，）拼成如图所示的大正方形， 已知大正方形的面积为144，中间空缺的小正方形的面积为8， 则下列关系式中正确的是______（填序号） ①；②；③；④ 【答案】①②③④ 【分析】本题考查了完全平方公式与图形面积、利用平方根解方程，熟练掌握完全平方公式是解题关键． 先根据正方形的面积公式可得，，则②正确；再利用平方根解方程可得，则①正确；然后利用完全平方公式变形求值即可得③④正确，由此即可得． 【详解】解：∵大正方形的面积为，中间空缺的小正方形的面积为， ∴，，则②正确； ∴或（不符合题意，舍去），则①正确； ，则③正确； ，则④正确； 综上，关系式中正确的是①②③④， 故答案为：①②③④． 16．已知，求 ． 【答案】 【分析】本题考查根据完全平方公式求值，设，，则已知条件为，，再利用完全平方公式整体代入求解． 【详解】解：设，，则， ， ∵， ∴， ∴， 即． 故答案为： 三、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．计算 (1)已知：＝5，＝3，计算的值． (2)已知：3x+5y＝8，求的值． 【答案】(1)15 (2)256 【分析】（1）逆用同底数幂的乘法将变形为，再逆用幂的乘方法则变形为，即可把已知代入计算求解； （2）先将底数8化成，32化成，则原式变形为，再运用幂的乘方与同底数幂的乘法法则计算得，然后把已知代入计算即可． 【详解】（1）解：∵＝5，＝3， ∴= = = =5×3 =15； （2）解：∵3x+5y＝8， ∴ = = = = =256． 18．计算 (1) ； (2) 【答案】 (1) (2) 【详解】 （1）解： ； （2）解： ． 19．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： 20．先化简，再求值： (1) ，其中，； (2) ，其中，． 【答案】(1)，原式 (2)，原式 【分析】本题考查乘法公式的混合运算； （1）根据完全平方公式和多项式乘法法则展开后，再合并同类项即可； （2）根据完全平方公式和平方差公式展开后化简，再代入求值即可． 【详解】（1）解： ． 当时， 原式． （2）解： ． 当时，原式． 21. 如图，某初中新建校区有一块长为米、宽为米的长方形劳动实践基地， 设计部门计划在中间部分修建一个边长为米的正方形养鱼池，四周的阴影部分用于种植． (1) 求种植部分的面积（用含字母a、b的式子表示）； (2) 求出当，时种植部分的面积． 【答案】(1) (2)47平方米 【分析】此题考查了多项式乘多项式，以及整式的混合运算−−化简求值，解题的关键是弄清题意． （1）种植面积==矩形面积−−正方形面积，利用多项式乘多项式法则，及完全平方公式化简，去括号合并得到最简结果； （2）将a与b的值代入计算即可求出值． 【详解】（1）解：依题意得： 平方米． 答：种植部分面积是平方米； （2）解：当，时， 22. 公式中，如果我们把，，分别看作一个整体， 那么只要知道其中两项的值，就可以求出第三项的值. （1） 已知，，求的值； （2） 已知，求的值. 【答案】（1）7；（2）27. 【分析】（1）把化为，再整体代入求值即可； （2）把=，再整体代入求值即可. 【详解】解：（1）∵，，       ∴=； （2）∵， ∴=. 23．如图1，将一个长为，宽为的长方形沿图中虚线均分成四个小长方形， 然后按图2所示的方式拼成一个正方形． (1)图2中阴影部分是一个正方形，它的边长为____________；（用含m，n的代数式表示） (2)请用两种不同的方法表示图2中阴影部分的面积：____________，____________； (3)若，，结合（2）中表示阴影部分的面积的方法，求和的值． 【答案】(1) (2)， (3)； 【分析】本题以图形拼接为载体考查完全平方公式的几何意义与代数变形，体现了“形助数、数解形”的解题思想． （1）小长方形的长为，宽为，然后结合图2即可求解； （2）根据阴影部分正方形的边长结合面积公式直接求解；或利用阴影部分的面积边长为的正方形的面积4个长方形的面积之和，即可求解； （3）由（2）可知，代入数据计算即可求解；根据即可求解． 【详解】（1）解：小长方形的长为，宽为， 由图2可知阴影部分正方形的边长为； 故答案为：； （2）解：由（1）知阴影部分正方形的边长为，所以面积为； 阴影部分的面积边长为的正方形的面积4个长方形的面积之和，     阴影部分正方形的面积为； 故答案为：，； （3）解：由（2）可知， ， ， 解得， ， ． 24． 小明在数学课外书上看到了这样一道题：如果x满足 ， 求的值．怎么解决呢？小英给出了如下两种方法： 方法1： 设 ， ，则 ，， 所以 方法2： 因为 ，所以 ，所以，， (1) 若，求的值． (2) 如图，在长方形中，，，E，F分别是，上的点，且， 分别以，为边在长方形外侧作正方形和， 若长方形的面积为40，求图中阴影部分的面积和． 【答案】(1) (2)144 【分析】（1）设两个平方项为和，利用和的关系式求出乘积或展开原式整理成二次方程，再代入待求乘积的展开式中整体求值； （2）由长方形边长关系和已知，用表示出和 根据阴影面积是两个正方形的面积和，即，设，，由长方形面积条件得乘积，再根据用平方关系求出平方和． 【详解】（1）解：设，，则， ∵， 所以， ∴． （2）解：，，， ，． ∵长方形的面积为40， ∴，即， 设，，则， ∴ ． 所以图中阴影部分的面积和为144． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $