精品解析：陕西汉中市西乡县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试题

2025-2026学年度第二学期教学质量评估试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试卷上答卷； 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C、是中心对称图形，但不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故本选项符合题意； 2. 下列由左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为整式的乘积形式，熟练掌握因式分解的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. ，是整式的乘法，不是因式分解； B. ，是因式分解； C. ，最后运算加法，不是因式分解； D. ，故选项的等式不成立； 故选：B． 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查不等式的基本性质，根据不等式的基本性质逐一判断各选项，找出错误的判断即可． 【详解】解：A、由于，不等式两边同时加同一个数，不等号方向不变， 则，选项正确，不符合题意； B、由于，不等式两边同时乘同一个负数，不等号方向改变，则，选项正确，不符合题意； C、当时，则，选项错误，符合题意； D、由于，且，可得，不等式两边同时除以正数，不等号方向不变，则，选项正确，不符合题意． 4. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，熟练掌握分式的基本性质是解题的关键．利用分式的基本性质，将原式中的x和y都扩大为原来的2倍后再约分即可． 【详解】解：将分式中的x和y都扩大为原来的2倍得， 则分式的值不变， 故选：A． 5. 如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 周长为10 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得，，，即可判断AB正确；由等边对等角得出，，结合三角形内角和定理求出，即可判断D正确；根据已知条件无法说明，即可判断C错误． 【详解】解：由题意可得：，，，故A正确，不符合题意； ∴周长，故B正确，不符合题意； ∵，， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴，故D正确，不符合题意； 根据已知条件无法说明，故C错误，符合题意． 6. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的增根，先将方程两边都乘以得到整式方程，再将分式方程的增根代入整式方程求解可得． 【详解】解：方程两边都乘以，得， ∵原方程有增根， ∴， 解得， 把代入中， 得． 故选：A． 7. 如果关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查已知不等式组的解集求参数，先分别解两个不等式，得到不等式组的解集，再根据整数解的个数确定m的取值范围． 【详解】解：解得； 解得； 因此，不等式组的解集为， 由题意，该解集有且仅有2个整数解，观察解集， ∴，对应选项C， 故选：C． 8. 如图，在中，于点，于点，若的周长为，且，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，面积等于底×高．连接，利用平行四边形的性质与周长得到，再利用得到，解出即可求出的面积． 【详解】解：连接， 四边形是平行四边形， ，，， 的周长为， ， ， 于点，于点，且，， ， ， ， ， 解得：， ， 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解______． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再利用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 【答案】##150度 【解析】 【分析】根据正多边形的性质求出，，然后求解即可． 【详解】解：∵六边形为正六边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∴． 11. 如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据垂直平分线的性质得到，进而得到，求出，利用直角三角形的性质可得，由，即可求解． 【详解】解：连接， 是的垂直平分线， ， ∵， ， ∵在中，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 12. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 【答案】3 【解析】 【分析】作于点E，则，先求出，得出，根据勾股定理得出，求出，证明，得出，即可解答． 【详解】解：作于点E，则， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∵四边形是平行四边形，对角线、相交于点O， ∴，，，， ∴，， ∵在和中， ， ∴， ∴， ∴． 13. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数图象，可以得到当时，函数图象在的图象下方，从而得出的解集． 【详解】解：根据函数图象可知，当时，函数图象在的图象下方， ∴关于的不等式的解集为． 14. 如图，在中，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据直角三角形30度角的性质得到，由平行四边形的性质推出，最短也就是最短，过O作的垂线，当P与重合时，的值才是最小，根据三角函数求出答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵最短也就是最短， ∴过O作的垂线， 当P与重合时，的值才是最小， ∴则的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题考查了平行四边形的性质，锐角三角函数，直角三角形30度角的性质，垂线段最短，正确理解垂线段最短是解题的关键． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 【答案】，整数解为 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组及不等式组的整数解，熟知解集的确定方法“大大取大，小小取小，大小小大中间找，大大小小无解了”是解题的关键. 先分别求出每一个不等式的解集，然后确定出不等式组的解集，再确定整数解即可． 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 则不等式组的解集为：， 所以不等式组的整数解为． 16. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查解分式方程，将原方程去分母后化为整式方程，解得x的值后进行检验即可． 【详解】解：原方程去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验，是原方程的根． 17. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的化简求值，解答本题的关键是明确分式化简求值的方法． 根据分式的减法和除法进行运算，再利用提公因式和完全平方公式进行因式分解，再化简化式子，然后将代入化简后的式子后，即可解答． 【详解】原式： 当时， 原式． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【解析】 【分析】以点为圆心，的长为半径画弧，再以点为圆心，的长为半径画弧，两弧的交点即为点E，连接、即可． 【详解】解：如图，四边形即为所求． 证明：由作图可知，，， ∴四边形是平行四边形． 19. 如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用即可得证． 【详解】证明：∵，， ∴， 又∵，， ∴． 20. 为了满足生物实验考试需求，学校决定购买一批显微镜和光照培养箱．经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台．学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过12000元，则最多可购买多少台显微镜？ 【答案】最多可购买10台显微镜 【解析】 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，整数解的计算，熟练掌握解不等式是解题的关键．设购买x台显微镜，由题意可得：，求最大整数解即可． 【详解】解：设购买x台显微镜， 由题意可得：， 解得， 为最大整数， 的最大值为10， 答：最多可购买10台显微镜． 21. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查三角形中位线的性质，等腰三角形的判定．根据点、分别是、的中点，得到，，，从而证得，得到，根据线段的和差即可求解． 【详解】解：点、分别是、的中点， ，是的中位线， ，， ， 是的平分线， ， ， ， ． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为点、、． （1）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标； （2）画出将先向上平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的，点A、B、C的对应点分别为点、、． 【答案】（1）图见详解， （2）图见详解 【解析】 【分析】本题考查了旋转作图及坐标，平移作图； （1）按旋转的性质进行作图，即可求解； （2）按平移的要求进行作图，即可求解． 【小问1详解】 解：如图，为所求作，； 【小问2详解】 解：如图，为所求作． 23. 如图，在中，，，点是直角边上的一点，连接，以为边向上作等边，延长到点，使，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）求的度数． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（）先证明是等腰三角形，再证明即可求证； （）证明即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键． 【小问1详解】 证明：， ， ， ∴垂直平分， ∴， 是等腰三角形， ， ， 是等边三角形； 【小问2详解】 解：是等边三角形， ， 是等边三角形， ，， ， 在和中， ， ， ． 24. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】此题重点考查平行线的性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、勾股定理等知识，证明是解题的关键． （1）由，得，而，，即可根据“”证明，得，即可根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”证明四边形是平行四边形； （2）因为，所以，，求得，则，所以，则． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 【小问2详解】 解：∵， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴的长是． 25. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 【答案】（1）A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元 （2）售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润为10700元 【解析】 【分析】（1）设出B型车的进货单价，表示出A型车的进货单价，根据两种车购进数量相等列分式方程，求解检验后得到结果； （2）先计算出两种车的单件利润，设A型车的销售量，表示出B型车销售量，得到总利润关于A型销售量的一次函数，再根据B型销售量的限制条件列出不等式，求出自变量的整数取值范围，最后结合一次函数的增减性求出最大利润及对应销售量． 【小问1详解】 解：设B型自行车的进货单价为元，则A型自行车的进货单价为 元． 根据题意， 得． 解得． 经检验，是原分式方程的解，且符合题意． 则 (元)． 答：A型自行车进货单价为1200元，B型自行车进货单价为1500元． 【小问2详解】 解：由题意得，每辆A型车的利润为 (元)，每辆B型车的利润为 (元)． 设售出A型车辆，则售出B型车辆，总利润为元． 则 ． 根据题意得 ． 解不等式 得 ． 解不等式得． 因为为正整数，所以的取值为．  中，，  随的增大而减小，  当时，取得最大值，此时 (元)，(辆)． 答：售出A型车9辆，B型车16辆时总利润最大，最大利润是10700元． 26. 问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 【答案】（1）； （2）证明：四边形、四边形都是平行四边形， ，，，， ，， ，即， ， ． （3）水渠的最小长度为 【解析】 【分析】本题考查的是等边三角形性质、全等三角形的判定与性质、平行四边形判定与性质， （1）作，垂足为H，得出，根据勾股定理求出结论即可； （2）根据平行四边形性质证明，即可证明结论； （3）作交于点，连接、、，先证明为等边三角形，为等边三角形，进而证明四边形是平行四边形，，点在射线上运动，当时，即取最小值，根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高，求出结论即可． 【详解】解：（1）作，垂足为H， 等边的边长为4， ， 在中，， 故答案为：． （2）略 （3）如图，作交于点，连接、、， 为等边三角形， ，， ， ， 为等边三角形， ， ，即， ， ， 又， 为等边三角形， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ，即， ， ， ， 点在射线上运动，当时，即取最小值， 根据平行线间的距离相等知的最小值就是等边的高， 过点作于点，则， ， 水渠的最小长度为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期教学质量评估试卷 八年级数学 注意事项： 1．本试卷共6页，满分120分，考试时间为120分钟，学生直接在试卷上答卷； 2．答卷前请将装订线内的项目填写清楚； 3．书写要认真、工整、规范；卷面干净、整洁、美观． 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题（共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列由左到右的变形为因式分解的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列判断不正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4. 将分式中的和都扩大为原来的2倍，则分式的值（　　） A. 不变 B. 扩大为原来的2倍 C. 扩大为原来的4倍 D. 缩小到原来的一半 5. 如图，在中，，，分别以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，交于点；再以、为圆心，大于的长为半径画弧，过两弧的交点作直线，交于点，连接，，则下列说法不正确的是（ ） A. B. 周长为10 C. D. 6. 关于x的方程有增根，则k的值为（ ） A. 6 B. C. D. 2 7. 如果关于的一元一次不等式组有且仅有2个整数解，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，于点，于点，若的周长为，且，，则平行四边形的面积为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 9. 因式分解______． 10. 如图，以正六边形一边为边向外作正方形，连接．则____________． 11. 如图，在中，，，是的垂直平分线，，则的长度为______． 12. 如图，在中，对角线、相交于点O，直线经过O点，若，，，则图中阴影部分的面积之和是____ ． 13. 函数与的图象如图所示，则关于的不等式的解集为______． 14. 如图，在中，，点P为上任意一点，连接，以为邻边作，连接，则的最小值为_____． 三、解答题（共12小题，共78分） 15. 解不等式组：，并写出该不等式组的所有整数解． 16. 解方程：． 17. 先化简，再求值：，其中． 18. 如图，已知，请用尺规作图法在右侧找一点E，使得四边形是平行四边形．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 如图，，，垂足分别为E，F，，，求证：． 20. 为了满足生物实验考试需求，学校决定购买一批显微镜和光照培养箱．经市场调查，显微镜的价格为880元/台，光照培养箱的价格为600元/台．学校准备采购这两种器材共15台，且总费用不超过12000元，则最多可购买多少台显微镜？ 21. 如图，在中，点、分别是、的中点，连接，的平分线交于点，连接，若，，求的长． 22. 如图，在平面直角坐标系中，已知的三个顶点坐标分别为点、、． （1）画出绕原点O顺时针旋转后得到的，点A、B、C的对应点分别为点、、，并直接写出点的坐标； （2）画出将先向上平移6个单位长度，再向左平移3个单位长度得到的，点A、B、C的对应点分别为点、、． 23. 如图，在中，，，点是直角边上的一点，连接，以为边向上作等边，延长到点，使，连接． （1）求证：为等边三角形； （2）求的度数． 24. 如图，在四边形中，，对角线、相交于点，且， （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若，求的长． 25. “低碳生活，绿色出行”的理念已逐渐深入人心，某自行车专卖店有A，B两种规格的自行车，A型车的售价为1500元/辆，B型车的售价为2000元/辆； （1）已知一辆A型车比一辆B型车进价少花300元，老板在第三周进货时，用48000元购进A型自行车数量与用60000元购进B型自行车数量相等，求A、B两种的自行车进货单价分别是多少元？ （2）若计划第四周售出A、B两种型号自行车共25辆，其中B型车的销售量大于A型车的销售量，且不超过A型车销售量的2倍，该专卖店售出A型、B型车各多少辆才能使第四周总利润最大，最大利润是多少元？ 26. 问题探究 （1）如图1，已知等边的边长为4，则点到的距离为______； （2）如图2，在和中，连接、、，求证：； 问题解决 （3）如图3，某农业观光园中有一块等边三角形的蔬菜种植基地．经测量，，、分别是边、上的点，且满足，是边上的动点（不与端点重合），下方有一块空地（空地足够大），为了增加蔬菜种植基地的面积，管理员计划以、为邻边构造区域，用来种植新品有机蔬菜，扩建后沿修一条灌溉水渠．为节约成本，要求水渠的长度尽可能的短，请求出水渠的最小长度． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $