第3章 圆 单元测试卷 2026-2027学年苏科版九年级数学上册.

**基本信息** 聚焦“圆”单元核心知识，通过基础判断、几何推理与实际应用，考查抽象能力、空间观念和模型意识，适配初中数学单元复习巩固。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|点与圆位置关系、垂径定理、弧长计算|基础概念辨析，如第2题考查垂径定理推论| |填空题|6/18|外心性质、等弧判定、圆锥底面半径|易混知识点区分，如第11题辨析等弧条件| |解答题|8/72|正多边形外接圆、切线证明、桥洞截面计算|分层设计，如第21题桥洞问题融合几何直观与应用意识|

第3章 圆 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 【答案】B 【分析】根据点与圆的位置关系，比较点A到两个圆心的距离和对应圆的半径，即可判断点A的位置，点与圆的位置关系为：设圆半径为，点到圆心的距离为，则时点在圆外，时点在圆内． 【详解】解：在中，，，， 由勾股定理得， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆外部， 对于圆，圆心为，半径， ，点在圆内部． 2．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 【答案】D 【分析】本题考查的是垂径定理，熟知平分弦的直径垂直这条弦，并且平分弦所对的两条弧是解答此题的关键．根据垂径定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、两条直径互相平分，但不一定垂直，故本选项错误，不符合题意； B、平分一条弧的直径垂直于这条弧所对的弦，故本选项错误，不符合题意； C、弦的垂直平分线必经过这条弦所在圆的圆心，故本选项错误，不符合题意； D、在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心，故本选项正确，符合题意． 故选：D． 3．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，根据圆周角定理可得，再根据垂径定理可得，然后根据弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， ， ， 又， ∴， ， 弧的长度为：． 4．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先求得中心角，进而根据圆周角定理，即可求解． 【详解】解：∵正五边形内接于， ∴， ∵与分别是所对的圆周角和圆心角， ∴． 5．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了圆的性质和勾股定理．熟练掌握圆的性质和勾股定理是解题的关键． 根据圆的弦长性质，求出经过圆内一点的弦长的取值范围，再据此判断即可． 【详解】解：的半径，， ∴最小弦长， 最大弦长， ∴弦长的取值范围为． 选项A中.，不符合要求． 选项B中.，不符合要求． 选项C中.在弦长的取值范围内，符合要求． 选项D中.，不符合要求． 故选C． 6．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先利用勾股定理求出圆锥的母线长，再根据“圆锥侧面展开图的弧长等于底面圆周长”，结合扇形弧长公式列方程求解圆心角度数． 【详解】解：圆锥底面半径，高， 由勾股定理得圆锥母线长． ∵圆锥底面圆周长，且圆锥侧面展开图扇形的弧长等于底面圆周长， 设扇形圆心角度数为， 则， 解得：， 即圆心角度数为． 7．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据题意画出等边与内切圆，首先根据三角形面积计算公式求出，再观察发现的内切圆半径，恰好是内三个三角形的高，因而可以通过面积来计算半径，根据面积公式计算即可． 本题考查了三角形的内切圆和内心，等边三角形的性质，三角形的面积，正确的画出图形是解题的关键． 【详解】解：设与相切于D，E，F，连接， ∵是等边三角形， ∴过点O，， ∴， ∴， 设内切圆半径为r， ∴， ∴， ∴内切圆面积． 故选：B． 8．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正多边形和圆，圆周角定理，求出中心角的度数是解题的关键．连接，，由圆周角定理得，再根据正边形的边数中心角，即可得解． 【详解】解：如图，连接，， ， ， 是的内接正边形的一边，   ． 故选：C． 9．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点，然后根据两点之间的距离公式可知每段线段的大小，根据线段的等量关系求解． 本题考查了三角形的外接圆，平面直角坐标系以及两点之间的距离公式，知道三角形的外接圆的圆心为三角形三边中垂线的交点是解题关键． 【详解】 解： 设外接圆的圆心为点, 外接圆的圆心为三角形三条边中垂线的交点， 由题可知，,, 则作的中垂线交于, 作的中垂线交于, , 设点的坐标为， , ， ， ， 则点的坐标为． 故选: ． 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的面积是（　　） A． B．C．D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了由三视图确定几何体和求圆锥的侧面积．牢记公式是解题的关键，难度不大． 从主视图以及左视图都为一个三角形，俯视图为一个圆形看，可以确定这个几何体为一个圆锥，由三视图可知圆锥的底面半径为，高为，故母线长为，据此可以求得其侧面积，再求出底面积，最后求出圆锥的面积，即可作答． 【详解】解：依题意，这个几何体是圆锥， 由三视图可知圆锥的底面半径为，高为， ∴母线长为 ∴侧面积为 则底面积为 ∴这个圆锥的面积是 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 【答案】①③/③① 【分析】本题考查等弧，直径的概念，弦与圆心角的关系，三角形的外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，据此一一判断即可， 【详解】解：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点．正确． ②两条弧的度数相等，它们不一定是等弧，原说法错误； ③直径是圆中最长的弦，正确； ④两条弦相等，这两条弦所对的圆心角不一定相等，原说法错误． 故答案为：①③． 12．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 【答案】 【分析】先根据圆的周长公式求出圆形花坛的半径，再将半径代入圆的面积公式计算得到花坛的面积． 【详解】解：取，根据圆的周长公式，计算圆形花坛的半径： 米， 再根据圆的面积公式，计算圆形花坛的面积： 平方米． 13．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 【答案】 【分析】设半径为r，则，得到，由垂径定理得到，再根据勾股定理，即可求出答案． 【详解】解：由题意，设半径为r， 则， ∵， ∴， ∵是的直径，弦于点E， ∴点E是的中点， ∵， ∴， 在中，由勾股定理得 ， 即， 解得：． 14．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 【答案】 【分析】首先求得扇形的弧长，然后利用圆的周长公式即可求得． 【详解】解：∵的直径为 ，则半径是： ， ∴， 连接、设的中点为，连接，根据题意知 ， ∵, ∴是直径， ∴， 在中，， 即扇形的对应半径， 弧长， 设圆锥底面圆半径为r，则有， 解得：． 15．如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝__________． （2）当为的中点时，到的最大距离是__________． 【答案】 / 【分析】本题主要考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理、圆的基本性质，相似三角形的判定和性质． 根据矩形的性质可得，，，设，根据折叠的性质可得：，，利用勾股定理可列关于的方程，解方程可得； 由题意得在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大，过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E，由，得：，进而即可求解 ． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 点是的中点， ， 设，则有，， 在中，， ， 解得：， ， 故答案为：； 解，如下图所示，当点是中点时， ， 在中，， ， ∴在以点为圆心，为半径的圆上，当点M与点A重合时，到的距离最大， 过点N作交于点H，过点作交的延长线与点F，连接交于点E， ∵， ∴， 有折叠可知：， ∴，， ∵ ∴， ∴， ∴在中，，解得：， ∴ ∵， ∴，即，解得： ∴点到的最大距离为． 故答案为：． 16．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 【答案】 【分析】将正方形绕点顺时针旋转得到正方形，作的中点，连接，利用旋转的性质进一步证明，得到，确定点是在以点为圆心，为半径的圆上运动，利用圆外一点到圆上的最短距离求解． 【详解】解：如图所示，将正方形绕点顺时针旋转得到正方形， 取的中点，连接， ， ∵四边形是边长为2的正方形， ∴， ∵， ∴点共线， ∵, ∴， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵， ∴，即，     ∵E是的中点，为的中点，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中，， ∴， ∴， ∵点为定点，为定长， ∴点是在以点为圆心，半径为半径的圆上运动， ∴， ∴的最小值为． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）运用圆周角定理，可求出和的度数，再运用三角形内角和即可求得的度数； （2）根据度数分别证明，，即可得证． 【详解】（1）解：是正五边形的外接圆， 根据圆周角定理可知，， ． （2）证明：由（1）可知，， ． 根据圆周角定理可知，， ， ． 【点睛】本题考查了正多边形和圆的关系，解题关键是灵活运用圆周角定理． 18．如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】本题主要考查的是三角形外接圆的作法、勾股定理等知识点，掌握垂直平分线找到圆心和利用勾股定理构建方程是解答本题的关键． （1）由于三角形的外心是三角形三边中垂线的交点，作和的垂直平分线，相交于点O；以O为圆心、长为半径作圆，即可得出的外接圆； （2）的垂直平分线交于点D，则线段即为直径，然后利用三线合一可证平分； （3）连接，利用垂径定理求得，然后在中求得，最后在中利用勾股定理构建方程求解即可． 【详解】（1）解：如图所示：是所求作的的外接圆， （2）证明：如图，即为所求作的直径， ∵，， ∴平分； （3）解：如图，设与交于点E，的半径为r， ∵是等腰三角形，，，， ∴ ∴在中，． 在中，∵， ∴， ∴． 故答案为：． 19．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求阴影部分图形的面积． 【答案】(1)证明：如图，连接， 是的直径， ， ， 是的中位线， ， ， ， 又是的半径， 是的切线； (2) 【分析】（1）连接，易证是的中位线，然后根据中位线的性质和平行线的性质可推出，即可证得结论； （2）先根据直径所对的圆周角为直角和线段垂直平分线的性质可知，从而，然后根据30度直角三角形的性质和勾股定理求得、，再计算和，进而可求得答案． 【详解】（1）略 （2）解：如图，连接， 是的直径， ， ， 垂直平分， ， ， ， ， ， ， ， 由（1）得， ， ， ． 20．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 【答案】(1)相等； (2) (3) 解：够长，如图所示，过点作于点， ，， ， 圆锥的侧面展开后可得到的扇形圆心角为， ， ，是中点， ， 在中，，，    在中，       的彩带够长． 【分析】本题考查了圆锥和圆锥侧面展开图的关系，圆锥侧面展开图圆心角的度数，解直角三角形以及勾股定理等知识点，掌握以上知识是解题的关键． （1）根据圆锥底面周长与其侧面展开图的弧长相等，得出和之间的关系，进而即可求解； （2）根据，即可求解； （3）过点作于点，构造和，解两个直角三角形，求出和11比较大小即可． 【详解】（1）解：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长相等， 解得， 故答案为：相等，9； （2）解：底面周长，扇形的弧长， ， ； （3）略 21．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 【答案】(1)米 (2) 解：该船能通过该桥洞．理由如下： 如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米， 由（1）易得米， 米， 若该船随水面上升1米，则点H到线段的距离为2米， 若该船刚好能通过该桥洞，情形如图（2），过点O作于点G， 延长交半圆O于点H，连接， 则米，米． 在中，由勾股定理得（米）． 米． ， 该船能通过该桥洞． 【分析】（1）由垂径定理可知，易得米，，于是，（米），再由可得答案； （2）如图（1），延长交于点F，交半圆O于点H，则米，米，由（1）易得米，则米， 【详解】（1）解：如图（1），过点O作于点E，则，． 连接，则米，，当箱子随水面上升1米，点H到线段的距离为2米，求出当木箱刚好通过该桥洞时，的长度，若该长度小于2，则此木箱能通过该桥洞，否则不能． ， （米）， （米）； （2）略 【点睛】本题主要考查垂径定理、勾股定理、特殊角的三角函数值、含30度角的直角三角形性质、矩形的判定与性质，熟练掌握垂径定理是解题关键． 22．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】本题考查作圆的切线和全等三角形判定与性质： （1）以点B为圆心，适当长为半径，画弧分别交于点M、的延长线于点N，再分别以点M和点N为圆心，大于，的长为半径，画弧，分别相交于点G和点H，连接并延长交于一点，即为点F，此时是的垂直平分线，结合，即可作答； （2）由，，可得，而点D在以为直径的圆上，为的切线，可得，证明，即可作答． 【详解】（1）解：如图：过B作，交于F，直线即为所求直线； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点D在以为直径的圆上， ∴， ∴， ∵为的切线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 23．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查圆周角定理的推论，圆内接四边形，全等三角形的性质和判定，等边三角形的性质和判定等知识点，解题的关键是掌握以上知识点． （1）先根据圆内接四边形的性质，得出，进一步证明是等边三角形，得出，最后根据圆周角定理的推论即可求出的度数； （2）通过在上截取，再连接，构造出全等三角形和等边三角形，再利用其性质即可证明． 【详解】（1）解：四边形内接于， ． ， ． ， 是等边三角形， ， ， ． 答：的度数为． （2）证明：如图， 在上截取，连接， 由（1）知，是等边三角形， ． ， ． 在和中， ， ． ， 是等边三角形， ， ． 24．如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）连接，如图所示，由切线长定理及三角形全等的判定与性质得到，，再由平行性质即可得证； （2）由（1）中，利用勾股定理得到，进而运用等面积法求出，再运用勾股定理及切线长定理即可得到答案． 【详解】（1）解：连接，如图所示： ，，分别与相切于，，三点， 由切线长定理可得， 在和中， ， ， ； 同理可得； ， ， ， ， ； （2）解：连接，如图所示： 由（1）可知， 在中，， 是的切线， ， ， ， ， ， ， 由切线长定理得，， ． 【点睛】本题考查圆综合，涉及切线性质、全等三角形的判定与性质、平行线的性质、垂直判定、勾股定理、等面积法求线段长等知识，熟练掌握切线性质、全等三角形的判定与性质及勾股定理是解决问题的关键． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第3章 圆 单元巩固测试卷 一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．在中，，，．分别以、为圆心，长为半径作圆、圆，下列关于点的位置描述正确的是（     ） A．在圆外部，在圆外部 B．在圆外部，在圆内部 C．在圆内部，在圆内部 D．在圆内部，在圆外部 2．下列命题中，正确的是（   ） A．平分一条直径的弦必垂直于这条直径 B．平分一条弧的直线垂直于这条弧所对的弦 C．弦的垂线必经过这条弦所在圆的圆心 D．在一个圆内平分一条弧和平分它所对的弦的直线必经过这个圆的圆心 3．如图，点，，，都在上，，，且半径为，则弧的长度为（     ） A． B． C． D． 4．如图，正五边形内接于，为上的一点（点不与点重合），则的度数为（    ） A． B． C． D． 5．已知的半径为，为内一点，若，则经过点的弦长可能是（   ） A． B．9 C． D． 6．一个圆锥的底面圆半径是1，高为，则圆锥的侧面展开图扇形所对的圆心角度数为（   ） A． B． C． D． 7．等边三角形的边长为4，则它的内切圆面积等于（　　） A． B． C． D． 8．如图，是的内接正边形的一边，点在上，，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．如图，顶点都在网格格点上，外接圆的圆心是（   ） A． B． C． D． 10．如图是某几何体的三视图，则该几何体的面积是（　　） A． B．C．D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．在下列说法中：①三角形的外心是三角形三边垂直平分线的交点；②若两条弧的度数相等，则它们是等弧；③直径是圆中最长的弦；④如果两条弦相等，那么这两条弦所对的圆心角相等；其中说法正确的是___________ 12．一个圆形花坛的周长是米，这个花坛的面积是_________ 平方米． 13．如图，是的直径，弦于点E，，，则的半径_______． 14．如图，从一块直径是 的圆形铁皮上剪下一个圆心角为的扇形，如果将剪下来的扇形围成一个圆锥，圆锥的底面圆的半径是______． 15．如图，已知矩形中，，，点，分别在边，上，沿着折叠矩形，使点，分别落在，处， （1）若为线段的中点，则＝__________． （2）当为的中点时，到的最大距离是__________． 16．如图，在边长为2的正方形中，E是的中点，点F在正方形内，且，且，则线段的长的最小值是________． 三、解答题（本大题共8小题，每小题9分，共72分） 17．如图，是正五边形的外接圆，对角线相交于点． (1)求的度数． (2)求证：． 18．如图，等腰． (1)尺规作图作出的外接圆；（保留作图痕迹，不写作法）； (2)作直径，证明：平分； (3)的半径=______________． 19．如图，是的直径，是一条弦，延长至点，使，连接，过点作，垂足为点． (1)求证：是的切线； (2)若的直径，，求阴影部分图形的面积． 20．综合与实践 问题情境：如图1，有一个圆锥草帽，其底面半径为，当把这个圆锥草帽的侧面展开后，会得到一个半径为，圆心角为的扇形． (1)探索尝试：圆锥草帽底面周长与其侧面展开图的弧长_____；（填“相等”或“不相等”）若，则_____． (2)问题抽象：图2中，对于任意一个圆锥体，其底面半径为，侧面展开图会得到一个半径为，圆心角为的扇形．请用含，的式子表示； (3)拓展延伸：图3是一种纸质圆锥形草帽，，，是线段中点，如今计划要从点到点再到点之间拉一装饰彩带，先提前准备好一根长度为的装饰彩带，请问该彩带的长度是否够长，并说明理由． 21．如图是一个半圆形桥洞的截面示意图，圆心为O，直径是河底线，弦是水位线，，米，． (1)求的长． (2)一艘船要经过该桥洞，矩形是该船水面以上部分的截面简化示意图，宽为10米，高为2米．受天气影响，若该船随水面上升1米，请判断该船能否通过该桥洞，并说明理由． 22．如图，在中，，以为直径的交边于点，连接，过点作． (1)请用无刻度的直尺和圆规作图：过点作的切线，交于点；（不写作法，保留作图痕迹，标明字母） (2)在（1）的条件下，若，求的长． 23．如图，已知四边形内接于，，，连接． (1)求的度数； (2)求证：． 24．如图，，，分别与相切于点，，，且∥，连接，． (1)求证：； (2)若，，求的值． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $