25.1一元二次方程的概念1 课件 2026-2027学年人教版数学九年级上册

该初中数学课件聚焦一元二次方程的概念、一般形式及系数，通过长方形面积、排球比赛场次、矩形铁皮制作方盒三个实际问题导入，引导学生列方程并整理，观察共同特点，联系一元一次方程，搭建从具体到抽象的学习支架。 其亮点是以实际情境培养“用数学眼光观察现实世界”，如从长方形面积问题抽象数量关系，通过观察方程特点发展“用数学思维思考现实世界”形成概念，例题练习强化“用数学语言表达现实世界”规范形式。小结系统梳理要素，助学生理解本质，教师可高效教学。

第二十五章 一元二次方程 人教版九年级上册 25.1一元二次方程的概念 学习目标 1.会设未知数，列一元二次方程. 2.了解一元二次方程及其根的概念. 3.能熟练地把一元二次方程化成一般形式，并准确地指出各项系数． 学习目标 情景引入 问题1：一个长方形的面积为24 cm²，长比宽多2 cm，求这个长方形的长和宽。 设宽为x cm，则长为 (x+2) cm。 根据面积公式列方程：x(x+2) = 24 展开整理得：x² + 2x − 24 = 0  ……① 情景引入 问题2：要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场。赛程计划安排7天，每天4场比赛。比赛组织者应邀请多少个队参赛？ 设邀请 x 个队，总场数为 场。 列方程： 展开整理得：x² − x − 56 = 0 ……② 问题1：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 探究新知 情景引入 问题3：如图1，有一块矩形铁皮，长 100 cm，宽 50 cm.在它的四角各切去一个同样大小的正方形铁皮，然后将四周凸出部分折起，就能制作一个无盖方盒（图2）．如果要制作的无盖方盒的底面积为 3600 cm2，那么矩形铁皮各角应切去边长为多少的正方形铁皮？ 图1 图2 解：设各角切去的正方形铁皮的边长为 cm，则盒底的长为（100 − 2）cm，宽为（50 − 2）cm.根据方盒的底面积为 3600 cm2，可列得方程 图1 图2 3600 cm2 100 cm 50 cm (100−2)(50−2) = 3600. 整理并化简，得 −75+350 = 0. ① 03 这两个方程是我们学过的一元一次方程吗？ 它们有什么特点？ 观察与思考 x² − x − 56 = 0   x² + 2x − 24 = 0 特点： 1.都是整式方程； 2.只含一个未知数； 3.未知数的最高次数是2. −75+350 = 0. 探究新知 二次项 二次项系数 一次项 一次项系数 常数项 知识要点 一般地，如果方程中只含有一个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的最高次数是2，这样的方程叫作一元二次方程. 一元二次方程的概念 一元二次方程的一般形式 a+b+c = 0（a ≠ 0） a a b b c 想一想：为什么一般形式中 ax2+bx+c = 0 要规定 a≠0？b、c可以为0吗？ 当a=0时 bx+c=0 一元一次方程 当a≠0，b=0时 a+c=0 一元二次方程 当a≠0，c=0时 a+b=0 一元二次方程 当a≠0，b=c=0时 a=0 一元二次方程 特殊形式 总结：只要满足a≠0，b、c可以为任意实数. 探究新知 判断下列方程是否为一元二次方程： （1）2x² = 8 （2）x² + y = 3 （3） （4）(x+1)(x−1) = x² 提示：提示判断一个方程是不是一元二次方程，首先看是不是整式方程；如是再进一步化简整理后再作判断. 一元一次方程与一元二次方程的区别与联系 一般式 相同点 不同点 一元一次方程 ax+b=0（a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是1 一元二次方程 ax2+bx+c=0（a≠0） 整式方程，只含有一个未知数 未知数最高次数是2 例题精讲 例 将方程 3x(x–1)=5(x+2) 化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项. 解：去括号，得 3–3=5+10. 移项，合并同类项，得一元二次方程的一般形式 3x2–8x–10=0. 它的二次项系数为3，一次项系数为–8，常数项为–10. 注意：系数和项均包含前面的符号. 下列哪些数是一元二次方程 –4+3=0 的解？为什么？ – 1，0，1，2，3. √ √ 一元二次方程的解 使一元二次方程左右两边相等的未知数的值，就是这个一元二次方程的解（又叫作根）. 例题精讲 课堂练习 1.下列方程是一元二次方程的是（ ） A. B.-3=0 C. D.+2 2.一元二次方程 3=5 的二次项系数和一次项系数分别是（ ） A. 3，5 B. 3，0 C. 3，–5 D. 5，0 B C 3.关于x的方程(a–1)+4–3=0是一元二次方程， 则（ ） A. a>1 B. a=1 C. a≠1 D. a≥0 课堂练习 C 4.已知关于 的方程 –2+3=0 是一元二次方程，则k=______. 3 5.已知关于x 的方程   是一元二次方程， 求m 的值。 课堂练习 【选自教材第3页 练习 第1题】 1.把下列方程化成一元二次方程的一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项： （1）5x2–1 = 4x； （2）4x2=81； （3）4x(x+2)=25； （4）(3x–2)(x+1)=8x–3. 05 2.根据下列问题，列出一元二次方程，并将所列方程化成一元二次方程的一般形式： （1）4个完全相同的正方形面积之和是25，求正方形的边长； 【选自教材第3页 练习 第1题】 课堂练习 （2）一个矩形的长比宽多2，面积是100，求矩形的长； （3）把长为 1m 的木条分成两段，使较短一段的长与木条全长的积，等于较长一段长的平方，求较短一段的长. 课堂小结