精品解析：广东潮州市2025-2026学年高一第二学期期末教学质量监测数学试题

2025—2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数除法运算求出复数z即可求出. 【详解】依题意，， 所以. 故选：A 2. 在中，已知为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由向量加法的平行四边形法则可得，， 所以. 3. 抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A. 正面向上的概率为0.48 B. 反面向上的概率是0.48 C. 正面向上的频率为0.48 D. 反面向上的频率是0.48 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率和概率的定义逐项判定可得答案. 【详解】对于A，正面向上的概率为0.5，是固定不变的，故错误； 对于B，反面向上的概率也是0.5，是固定不变的，故错误； 对于C，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，根据频率的定义可知，正面向上的频率为0.48，正确； 对于D，抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，反面向上的次数为52次，根据频率的定义可知，反面向上的频率是0.52，故错误. 故选：C. 4. 已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【详解】对于A：由，，得或，A错误； 对于B：由，，得，B正确； 对于C：由，，得或相交，C错误； 对于D：在正四面体中，令平面、平面分别为平面，直线为直线， 由线段的中点与点C确定的直线为，满足，，，而不垂直，D错误. 5. 已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】底面直径为，则半径. 故高. 所以体积. 6. 甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. D. 0.76 【答案】C 【解析】 【分析】设出事件，结合互斥事件，独立事件和对立事件的概率公式求解概率即可. 【详解】设甲独立破译密码为事件，乙独立破译密码为事件， 则恰有一人破译密码为，而互斥， 由互斥事件概率公式得， 由题意得相互独立，相互独立， 由独立事件概率公式得， ， 由题意得，，则， ，得到， 则恰有一人破译密码的概率为，故C正确. 故选：C 7. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】由题意得投影向量公式为， 其中，， 所以，故 8. “凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用邻补角余弦互为相反数，结合余弦定理列等式，消去角度直接解出塔高. 【详解】设塔高，则，在中，， 因为， 所以由余弦定理得， 化简得， 解得，故塔高约为. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 【答案】AD 【解析】 【分析】A，利用向量垂直时数量积为的性质求解.B，通过向量平行性质求解.C，通过数量积和模求解向量夹角.D，用坐标表示出后利用坐标求模的范围. 【详解】选项A，因为，所以，，解得，A正确. 选项B，因为，所以设，解得或，B错误. 选项C，时，，，，， 所以，所以夹角是，C错误. 选项D，，， 函数为开口向上的二次函数，对称轴为， 所以当时，， 所以，D正确. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据事件之间的关系，以及互斥事件，对立事件的概念，相互独立事件的概率公式逐一判断即得. 【详解】依题意，，，. 对于A，因“两人都击中”的对立事件为“至多1人击中”，即包括“无人击中”，“1人击中”，故事件与 是互斥事件，即A正确； 对于B，因“至少 1 人击中”包括“1人击中”，“2人击中”两种情况，故其对立事件即“无人击中”，即B正确； 对于C，依题意，因，则，而，故事件 与 不相互独立，即C错误； 对于D，因，故，故D正确. 故选：ABD. 11. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的任意一点，则 B. 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为 C. 异面直线与所成角为 D. 若点为体对角线上的动点，则的最大值为 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线面垂直性质定理即可证明，可得A正确；求出正方体外接球半径即可知球体的表面积为，即B正确；易知异面直线与所成角为即为或其补角，求得其大小为，即C错误；当时，取得最小值，利用余弦定理可求得的最大值为，可得D正确. 【详解】连接，如下图所示： 对于A，由正方体性质可知平面，又平面，所以， 又，且，平面， 所以平面， 显然，所以可得平面； 又平面，所以， 即点为线段上的任意一点时，总成立，即A正确； 对于B，易知该正方体的外接球直径即为该正方体的体对角线， 设该球半径为，则， 所以该球体的表面积为，即B正确； 对于C，连接，如下图所示： 易知，所以异面直线与所成角为即为或其补角， 在中，，所以， 即异面直线与所成角为，所以C错误； 对于D，连接，如下图所示： 易知，当最小时，可使最大； 当时，取得最小值为， 由余弦定理可知，即可得； 所以的最大值为，即D正确. 故选：ABD 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________. 【答案】32 【解析】 【详解】高一年级应抽取的人数是. 13. 在中，若，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用余弦定理列方程，化简求得. 【详解】依题意， ，负根舍去. 所以. 故答案为： 14. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用复数的几何意义结合复数的模相等求解即可. 【详解】由题意可设对应的向量为对应的向量为， 由旋转性质得和模相等，且它们对应的向量垂直， 则解得. 故答案为： 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据纯虚数的定义得到方程和不等式，求出； （2）根据复数对应的点所在象限，得到不等式，求出答案. 【小问1详解】 因为是纯虚数，所以， 由，解得或， 由得，且，故. 【小问2详解】 因为对应的点位于第三象限，所以， 所以解得的取值范围是. 16. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 【答案】（1）；（2）. 【解析】 【分析】 （1）在中，利用余弦定理即可求解. （2）由（1）可得，从而可得，，即，再利用三角形的面积公式即可求解. 【详解】解：（1）在中， 又，所以. （2）由（1）知，，所以， 又，所以，， 由，知， 所以 17. 为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数； （2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 【答案】（1）第80百分位数为133，众数135 （2） 【解析】 【分析】（1）根据百分位数、众数的定义计算即可； （2）根据古典概型公式计算即可． 【小问1详解】 ∵， ∴甲组20名同学成绩的第80百分位数为，众数为； 【小问2详解】 甲组20名同学的成绩不低于140分的有2个， 乙组20名同学的成绩不低于140分的有个， 记事件A为“取出的2个成绩不是同一组”， 任意选出2个成绩的所有样本点共个， 其中两个成绩不是同一组的样本点共个， ∴． 18. 如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 如图，连接，设，连接， 因，，可得是平行四边形，则， 又，则得， 因平面，平面，故平面. （2）证明如下： 由（1）已得，因，故四边形为菱形，则， 因平面 平面则， 又平面，故平面. （3） 【解析】 【分析】（1）首先证明四边形是平行四边形，再根据中位线的性质，结合线面平行的判断定理，即可证明； （2）根据线面垂直的判断定理，转化为证明线线垂直，即可证明，，即可证明线面垂直； （3）利用等体积，求点到平面的距离. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 在中，， 因平面 平面则 在中，，同理，，， 故满足勾股定理，则， 故 而 ，设点D到平面的距离为d， 由等体积法得 ， 得 = 故点D到平面的距离为 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，，求的值； （2）设，，试用向量，的坐标表示的值； （3）设点，，，求的面积. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据向量的数量积及向量的模求出，根据同角的三角函数关系得到，代入公式求解即可. （2）根据向量的数量积及向量的模，结合同角的三角函数关系，代入公式求解即可. （3）根据三角形面积公式，结合的定义求解即可. 【小问1详解】 由，得， 由，可得， 又，所以， ． 【小问2详解】 由，，则，． 所以． 又，所以， 所以． 【小问3详解】 由，，，得，， 由（2）得，， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度第二学期高一级期末教学质量监测 数学 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4页，满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考号填写在答题卡上. 2.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案；答案不能答在试卷上. 3.非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答的答案无效. 4.考生必须保持答题卡的整洁，考试结束，将答题卡交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 若复数（i为虚数单位），则（ ） A. B. C. 1 D. 2 2. 在中，已知为边上的中线，则（ ） A. B. C. D. 3. 抛掷一枚硬币100次，正面向上的次数为48次，下列说法正确的是（　　） A. 正面向上的概率为0.48 B. 反面向上的概率是0.48 C. 正面向上的频率为0.48 D. 反面向上的频率是0.48 4. 已知，是互不重合的直线，，是互不重合的平面，下列命题正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，，则 5. 已知一个圆锥的母线长与底面直径均为2，则圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 6. 甲、乙两人独立破译一个密码，甲独立破译密码的概率为，乙独立破译密码的概率为，则恰有一人破译密码的概率为（ ） A. 0.4 B. 0.6 C. D. 0.76 7. 已知，，则向量在向量上的投影向量为（ ） A. B. C. D. 8. “凤凰塔”是我市的古建筑之一，始建于明万历十三年（1585），塔有七层八面，第一、二层为石砌，第三层以上为砖砌，塔身中空，夹壁中有螺旋形台阶可登顶层，塔基须弥座分雕龙、凤、鹤、马、羊等各种祥禽瑞兽和精美的花卉，建造工程浩大，彰显我市古代人们的智慧.为了测量其高度，设凤凰塔高为，在与点同一水平面且共线的三点，，处分别测得顶点的仰角为，，，且，则凤凰塔的高约为（ ）（参考数据：） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知向量，，则下列结论正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则与夹角为 D. 10. 射击场，甲乙两人独立射击同一个靶子，击中靶子的概率分别为 . 记事件为 “两人都击中”，事件 为 “至少 1 人击中”，事件 为 “无人击中”，则下列说法正确的是（ ） A. 事件与 是互斥事件 B. 事件 与 是对立事件 C. 事件 与 相互独立 D. 11. 已知正方体的棱长为1，下列说法正确的是（ ） A. 若点为线段上的任意一点，则 B. 若该正方体的所有顶点都在同一个球面上，则该球体的表面积为 C. 异面直线与所成角为 D. 若点为体对角线上的动点，则的最大值为 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 某高中三个年级共有学生2000人，其中高一800人，高二600人，高三600人，该校为了解学生睡眠情况，准备从全校学生中抽取80人进行访谈，若采取按比例分配的分层抽样，且按年级来分层，则高一年级应抽取的人数是________. 13. 在中，若，，，则______． 14. 在复平面内，向量对应的复数绕点逆时针旋转后对应的复数为，则__________. 四、解答题（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 15. 已知复数. （1）若是纯虚数，求； （2）在复平面内，对应的点位于第三象限，求的取值范围. 16. 如图，在中，是上的点，，，，. （1）求角的大小； （2）求的面积. 17. 为了提高学生安全意识，迪庆州某校利用自习课时间开展“防溺水”安全知识竞赛，加强对学生的安全教育，通过知识竞赛的形式，不仅帮助同学们发现自己对“防溺水”知识认知的不足之处，还教会了同学们溺水自救的方法，提高了应急脱险能力．现抽取了甲组20名同学的成绩记录如下：甲：92，96，99，103，104，105，113，114，117，117，121，123，124，126，129，132，134，136，141，142．抽取了乙组20名同学的成绩，将成绩分成五组，并画出了其频率分布直方图． （1）根据以上记录数据求甲组20名同学成绩的第80百分位数，并根据频率分布直方图估计乙组20名同学成绩的众数； （2）现从甲乙两组同学的不低于140分的成绩中任意取出2个人的成绩，求取出的2个人的成绩不在同一组的概率． 18. 如图，在四棱锥中，平面 ， 分别为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求证：平面； （3）求点到平面的距离. 19. 设平面内两个非零向量，的夹角为，定义一种运算“”：.试求解下列问题： （1）若向量，，，求的值； （2）设，，试用向量，的坐标表示的值； （3）设点，，，求的面积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $